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SIMETRÍA DE CRISTALES

SIMETRÍA DE CRISTALES

La propiedad de los cristales de combinarse consigo mismos durante rotaciones, reflexiones, transferencias paralelas, o parte o combinación de estas operaciones. Simetría significa la capacidad de transformar un objeto que lo combina consigo mismo. simetría ext. la forma (corte) de un cristal está determinada por la simetría de su estructura atómica, que también determina la simetría de la física. propiedades cristalinas.

Arroz. 1. a - cristal de cuarzo: 3 - eje de simetría de tercer orden, 2x, 2y, 2w - ejes de segundo orden; b - cristal de metasilicato de sodio acuoso: m - plano de simetría.

En la fig. 1a muestra un cristal de cuarzo. ext. su forma es tal que al girarlo 120° alrededor del eje 3 puede superponerse consigo mismo (igualdad consistente). El cristal de metasilicato de sodio (Fig. 1, 6) se transforma en sí mismo por reflexión en el plano de simetría m (igualdad del espejo).

Si F(xlx2.x3) es una función que describe un objeto, p. la forma de un cristal en el espacio tridimensional o c.-l. su propiedad, y la operación g(x1, x2, x3) transforma las coordenadas de todos los puntos del objeto, entonces g es una operación o una transformación de simetría, y F es un objeto simétrico si se cumplen las siguientes condiciones:

En la formulación más general - la inmutabilidad (invariancia) de objetos y leyes bajo ciertas transformaciones de las variables que los describen. Los cristales son objetos en el espacio tridimensional, por lo que el clásico. la teoría del S. a. - la teoría del simétrico. transformaciones en sí mismo del espacio tridimensional, teniendo en cuenta el hecho de que ext. la estructura atómica de los cristales es tridimensionalmente periódica, es decir, se describe como . Durante las transformaciones, la simetría no se deforma, sino que se transforma como un todo rígido. Tales transformaciones se llaman ortogonal o isométrica. Después las partes del objeto que estaban en un lugar coinciden con las partes que están en otro lugar. Esto significa que hay partes iguales (compatibles o reflejadas) en un objeto simétrico.

S. a. se manifiesta no solo en su estructura y propiedades en el espacio tridimensional real, sino también en la descripción de la energética. el espectro de los electrones del cristal (ver TEORÍA DE ZONAS), al analizar los procesos de difracción de rayos X. rayos y electrones en cristales en el espacio recíproco (ver CELOSÍA INVERSA), etc.

Grupo de simetría de cristales. Un cristal puede tener no uno, sino varios. operaciones de simetria Por lo tanto, un cristal de cuarzo (Fig. 1, a) se alinea consigo mismo no solo cuando se gira 120° alrededor del eje 3 (operación g1), sino también cuando se gira 240° alrededor del eje 3 (operación g2), y también cuando se gira en 180 ° alrededor de los ejes 2x, 2y, 2w (operaciones g3, g4, g5). Cada elemento de simetría puede estar asociado: una línea recta, un plano o un punto, en relación con el cual se realiza esta operación. Por ejemplo, el eje 3 o los ejes 2x, 2y, 2w son los ejes de simetría, el plano m (Fig. 1.6) es el plano de simetría especular, etc. El conjunto de operaciones de simetría (g1, g2, . . . , gn) de un cristal dado forma un grupo de simetría G en el sentido matemático. teoría de grupos. Coherente realizar dos operaciones de simetría también es una operación de simetría. Siempre hay una operación de identidad g0 que no cambia nada en el cristal, llamada. identificación, geométricamente correspondiente a la inmovilidad del objeto oa su rotación de 360° alrededor de cualquier eje. El número de operaciones que forman un grupo G, llamado. orden de grupo.

Los grupos de simetría se clasifican: según el número n de dimensiones espaciales en que se definen; según el número m de dimensiones espaciales, en las que el objeto es periódico (se denotan respectivamente por Gnm), y según algunas otras características. Para describir los cristales usa dec. grupos de simetría, de los cuales los más importantes son . G33, que describe la estructura atómica de los cristales, y grupos puntuales con simetría G30, que describe su forma externa. Apellidos también clases cristalográficas.

Grupos de simetría de puntos. Las operaciones de simetría puntual son: rotaciones alrededor del eje de simetría de orden N en un ángulo igual a 360°/N (Fig. 2, a), reflexión en el plano de simetría ( ; Fig. 2, b), inversión de T (simetría alrededor de un punto; Fig. 2, c), rotaciones de inversión N= (combinación de rotación de 360°/N con inversión simultánea; Fig. 2, d).

Arroz. 2. Las operaciones de simetría más simples: a - rotación; b - reflexión; c - inversión; d - rotación de inversión de 4° orden; e - rotación helicoidal de 4° orden; e - reflexión deslizante.

En lugar de giros de inversión, a veces se consideran N = giros de espejo. Las combinaciones geométricamente posibles de estas operaciones determinan uno u otro grupo de simetría de puntos, que generalmente se representa en forma estereográfica. proyecciones. Con las transformaciones de simetría de puntos, al menos un punto del objeto permanece fijo: se transforma en sí mismo. Todas las simetrías se cruzan en él, y es el centro de la estereografía. proyecciones. Ejemplos de cristales relacionados con dec. los grupos de puntos se dan en las Figs. 3.

Arroz. 3. Ejemplos de cristales que pertenecen a diferentes grupos puntuales (clases cristalográficas): o - a la clase m (un plano de simetría); b - a la clase c (centro de simetría); c - a la clase 2 (un eje de simetría de segundo orden); d - a la clase 6 (un eje rotatorio de inversión del sexto orden).

Las transformaciones de simetría puntual g (x1, x2, x3) \u003d x "1, x" 2, x "3 se describen mediante ecuaciones lineales:

es decir, la matriz de coeficientes, (aij). Por ejemplo, al girar alrededor del eje x1 en un ángulo a=360°/N, el coeficiente parece:

y cuando se refleja en el plano x1, x2, tiene la forma:

El número de grupos de puntos Go es infinito. Sin embargo, en cristales debido a la presencia de crist. Enrejados, solo son posibles las operaciones y, en consecuencia, los ejes de simetría hasta el sexto orden (excepto el quinto; en una red cristalina no puede haber un eje de simetría del quinto orden, ya que es imposible llenar sin espacios con la ayuda de pentágonos), que se denotan símbolos: 1, 2, 3, 4, 6, así como ejes de inversión 1 (también es el centro de simetría), 2 (también es el plano de simetría), 3, 4, 6 Por tanto, el número de puntos cristalográficos. grupos de simetría que describen ext. la forma de los cristales es limitada, solo hay 32 (ver tabla). en el internacional la notación de grupos puntuales incluye los símbolos de las operaciones de simetría que los generan. Estos grupos se combinan según la simetría de la forma de la celda unitaria (con períodos o, b, cy ángulos a, b, g) en 7 singonías.

Los grupos que contienen solo rotaciones describen , que consisten solo en partes iguales compatibles (grupos del 1er tipo). Los grupos que contienen reflexiones o rotaciones de inversión describen cristales en los que hay partes iguales especulares (grupos del segundo tipo). Los cristales descritos por grupos del 1er tipo pueden cristalizar en dos formas enantiomórficas ("derecha" e "izquierda", cada una de las cuales no contiene elementos de simetría del 2º tipo), pero espejos iguales entre sí (ver ENANTIOMORFISMO).

Los grupos de puntos describen la simetría no solo de los cristales, sino también de cualquier figura finita. En la naturaleza viva, a menudo se observa simetría con ejes de orden 5, 7 y superior, lo que está prohibido en cristalografía. Por ejemplo, para describir la estructura regular de una esfera virus, en cuyas conchas se observan los principios de empaquetamiento denso de moléculas, el 532 icosaédrico resultó ser importante (ver CRISTALES BIOLÓGICOS).

Limitar grupos. Funciones, to-rye describen la dependencia decomp. Las propiedades del cristal desde la dirección, tienen un cierto punto de simetría, únicamente asociado con el grupo de simetría de las facetas del cristal. O coincide con él o es más alto que él en simetría (principio de Neumann).

Muchas de las propiedades de los cristales que pertenecen a ciertos grupos de simetría puntual se describen en el volumen FÍSICA DE LOS CRISTALES).

La simetría espacial de la estructura atómica de los cristales se describe mediante espacios. Grupos de simetría G33 (también llamados grupos de Fedorov en honor a E. S. Fedorov, quien los encontró en 1890). Las tres operaciones no coplanares a, b, c, llamadas son características de una red. traducciones, centeno establece la periodicidad tridimensional de la estructura atómica de los cristales. El desplazamiento (transferencia) de la estructura por los vectores a, b, c o cualquier vector t=p1a+p2b+p3c, donde p1,p2, p3 son enteros positivos o negativos, combina la estructura cristalina consigo misma y, por lo tanto, es una operación de simetría (simetría traslacional).

Debido a la posibilidad de combinar traslaciones y operaciones de simetría puntual en la red G33, surgen operaciones y elementos de simetría correspondientes a partir de traslaciones. componente - descomposición de los ejes del tornillo. órdenes y plano de reflexión rasante (Fig. 2, e, f). Se conocen un total de 230 espacios. grupos de simetría G33, cualquier cristal pertenece a uno de estos grupos. Transmisión. los elementos de microsimetría no aparecen macroscópicamente, por ejemplo. el eje helicoidal en el tallado de cristales aparece como un eje de rotación simple correspondiente en orden. Por lo tanto, cada uno de los 230 grupos G33 es macroscópicamente similar (homomorfo) a uno de los 32 grupos de puntos. Por ejemplo, 28 espacios se mapean homomórficamente en el grupo de puntos mmm. grupos El conjunto de transferencias inherentes a un grupo espacial dado es su subgrupo de traslación, o red de Bravais; Hay 14 tales celosías.

Simetría de capas y cadenas. Para describir objetos que son periódicos en 1 o 2 direcciones, en particular fragmentos de la estructura cristalina, se pueden usar los grupos G32 - bidimensionalmente periódicos y G31 - unidimensionalmente periódicos en el espacio tridimensional. Estos grupos juegan un papel importante en el estudio de biol. estructuras y moléculas. Por ejemplo, los grupos G| describir la estructura de biol. membranas, grupos de moléculas de cadena G31 (Fig. 5, a) virus en forma de varilla, cristales tubulares de proteínas globulares (Fig. 5, b), en los que están dispuestos de acuerdo con la simetría helicoidal (helicoidal) posible en grupos G31 ( ver CRISTALES BIOLÓGICOS).

Arroz. 5. Objetos con simetría helicoidal: a - ADN; b - cristal tubular de proteína fosforilasa (imagen de microscopio electrónico, aumento 220000).

Simetría generalizada. La definición de simetría se basa en el concepto de igualdad (1, b) bajo la transformación (1, a). Sin embargo, física (y matemáticamente) un objeto puede ser igual a sí mismo en algunos aspectos y no igual en otros. Por ejemplo, los núcleos y los electrones de un cristal antiferromagnético se pueden describir utilizando espacios ordinarios. simetría, pero si tenemos en cuenta el magn. momentos (Fig. 6), luego ordinaria”, clásica. la simetría ya no es suficiente. Tales generalizaciones de simetría incluyen antisimetría y . En antisimetría además de tres espacios. variables x1, x2, x3, se introduce una cuarta variable adicional x4=±1. Esto se puede interpretar de tal manera que durante la transformación (1, a) la función F no solo puede ser igual a sí misma, como en (1, b), sino también "anti-igual": cambiar el signo. Convencionalmente, tal operación puede representarse mediante un cambio de color (Fig. 7).

Arroz. 6. Distribución de momentos magnéticos (flechas) en la celda unitaria de un cristal ferrimagnético, descrita usando simetría generalizada.

Hay 58 grupos de antisimetría puntual C30 y 1651 espacios. antisimetrías G33,a (Shubnikovskii gr u p p). Si la variable adicional adquiere no dos valores, sino varios. (son posibles los números 3, 4, 6, 8, . . ., 48), entonces surge la simetría cromática de Belov. Así, se conocen 81 grupos puntuales G30,c y 2942 grupos C33,c. Las principales aplicaciones de la simetría generalizada en cristalografía son la descripción del campo magnético. estructuras

Arroz. 7. La figura descrita por el grupo puntual de antisimetría.

Dr. generalizaciones de simetría: simetría de similitud, cuando la igualdad de las partes de la figura se reemplaza por su similitud (Fig. 8), simetría curvilínea, estadística. simetría introducida en la descripción de la estructura de cristales desordenados, soluciones sólidas, cristales líquidos, etc.

Diccionario enciclopédico físico. - M.: Enciclopedia soviética. Editor en jefe A. M. Prokhorov. 1983 .

SIMETRÍA DE CRISTALES

La propiedad de los cristales de combinarse consigo mismos durante rotaciones, reflexiones, transferencias paralelas, o con una parte o combinación de estas operaciones. simetría ext. la forma (corte) de un cristal está determinada por la simetría de su estructura atómica, que también determina la simetría de la física. propiedades cristalinas.

Arroz. 1. a - cristal de cuarzo; 3 - eje de simetría de 3° orden, - ejes de 2° orden; b - cristal de metasilicato de sodio acuoso; m - plano de simetría.

En la fig. una a muestra un cristal de cuarzo. ext. su forma es la siguiente, b) se transforma en sí mismo por reflexión en el plano de simetría m (igualdad especular). si un - una función que describe un objeto, p. la forma de un cristal en el espacio tridimensional, o c.-l. su propiedad, y la operación transforma las coordenadas de todos los puntos del objeto, entonces gramo es una operación, o transformación de simetría, y F es un objeto simétrico,

En naib. En la formulación general, la simetría es la inmutabilidad (invariancia) de objetos y leyes bajo ciertas transformaciones de las variables que los describen. S. a. se manifiesta no solo en su estructura y propiedades en el espacio tridimensional real, sino también en la descripción de la energética. el espectro de electrones del cristal (ver teoría de zonas), en análisis de proceso difracción de rayos x, difracción de neutrones y difracción de electrones en cristales usando el espacio recíproco (ver Enrejado recíproco)eso. PAGS.

Grupos de simetría de cristales. Un cristal puede tener más de uno, anesque. operaciones de simetria Entonces, un cristal de cuarzo (Fig. 1, a) está alineado consigo mismo no solo cuando se gira 120 ° alrededor del eje 3 (operación soldado americano), noi al girar alrededor del eje 3 240° (funcionamiento g2),& también para rotaciones de 180° alrededor de los ejes 2X, 2Y, 2W(operaciones g3, g4, g5).Cada operación de simetría se puede asociar con un elemento de simetría: línea recta, 3 o eje 2x, 2y, 2w son los ejes de simetría, el plano t(Fig. 1,b) - por un plano de simetría especular, etc. El conjunto de operaciones de simetría (g 1 , g 2 ,..., g n ) dado cristal forma un grupo de simetría en el sentido de las matemáticas. teorías grupos Coherente Realizar dos operaciones de simetría también es una operación de simetría. En la teoría de grupos, esto se conoce como un producto de operaciones: siempre hay una operación de identidad gramo 0 , no cambia nada en el cristal, llamado. identificación, corresponde geométricamente a la inmovilidad del objeto oa su rotación de 360° alrededor de cualquier eje. El número de operaciones que forman un grupo G, llamado. orden de grupo.

Los grupos de simetría de las transformaciones espaciales se clasifican: por el número . dimensiones del espacio, en el que se definen; por número . dimensiones del espacio, en las que el objeto es periódico (se designan respectivamente), y según algunas otras características. Para describir los cristales se utilizan varios grupos de simetría, de los cuales los más importantes son los que describen la parte externa. la forma de los cristales; su nombre. también cristalográfica. clases; grupos de simetría espacial que describen la estructura atómica de los cristales.

Grupos de simetría de puntos. Las operaciones de simetría puntual son: rotaciones alrededor del eje de simetría del orden norte en un ángulo igual a 360°/N(Fig. 2, a); reflexión en el plano de simetría t(reflejo de espejo, b); inversión (simetría con respecto a un punto, Fig. 2, c); giros de inversión (combinación de rotación por un ángulo 360°/N con al mismo tiempo inversión, Fig.2, d). En lugar de rotaciones de inversión, a veces se consideran rotaciones de espejo equivalentes.

Arroz. 2. Ejemplos de operaciones de simetría: a - rotación; b - reflexión; c- inversión; d - rotación de inversión de 4° orden; e - rotación helicoidal de 4º orden; e - reflexión deslizante.

Arroz. 3. Ejemplos de cristales que pertenecen a diferentes grupos de puntos (clases cristalográficas): a - clase m (un plano de simetría), b - clase (centro de simetría o centro de inversión); a - a la clase 2 (un eje de simetría de segundo orden); d - a la clase (un eje rotatorio de inversión del sexto orden).

Transformaciones de simetría de puntos se describen mediante ecuaciones lineales

o matriz de coeficientes

Por ejemplo, al girar alrededor de un eje x1ángulo -=360°/N matriz D parece:

y cuando se refleja en un plano x 1 x 2D parece:

El número de grupos de puntos es infinito. Sin embargo, en cristales debido a la presencia de cristalino. celosía, solo son posibles operaciones y, en consecuencia, ejes de simetría hasta el sexto orden (excepto el quinto; en una red cristalina no puede haber un eje de simetría de quinto orden, ya que con la ayuda de figuras pentagonales es imposible llenar el espacio sin huecos) Las operaciones de simetría puntual y los elementos de simetría que les corresponden se indican mediante símbolos: ejes 1, 2, 3, 4, 6, ejes de inversión (centro de simetría o centro de inversión), (también es el plano de simetría m), (Fig. 4).

Arroz. 4. Designaciones gráficas de elementos de simetría puntual: un círculo - el centro de simetría, ejes de simetría perpendiculares al plano del dibujo b - eje 2, paralelo al plano del dibujo; en - ejes de simetría, paralelos u oblicuos al plano del dibujo; g - plano de simetría, perpendicular al plano del dibujo; d - planos de simetría paralelos al plano del dibujo.

Para describir un grupo de simetría de puntos, basta con especificar uno o más. b, c y ángulos ) en 7 singonías (Tabla 1).

Grupos que contienen, además del cap. hachas norte planos de simetria yo, denominado Nuevo Méjico Yo para Nuevo Méjico, si el eje esta en un plano t. Si un grupo además El eje tiene varios. planos de simetría que lo atraviesan, entonces se denota Nmm.

Pestaña. una.- Grupos puntuales (clases) de simetría de cristales.

Los grupos de S. k. llevan un geoma. significado: cada una de las operaciones corresponde, por ejemplo, a la rotación alrededor del eje de simetría, la reflexión en el plano. en un grupo dado (pero no en su sentido geom.), son iguales o isomorfos entre sí. Estos son, por ejemplo, los grupos 4 y , tt2, 222. En total, hay 18 grupos abstractos isomorfos a uno o más de los 32 grupos puntuales de S. c.

Los grupos de puntos describen la simetría no solo de los cristales, sino también de cualquier figura finita. En la naturaleza viva, a menudo se observa una simetría puntual con ejes de orden 5, 7 y superior, lo que está prohibido en cristalografía. Describir la estructura regular de una esfera virus, en cuyas conchas se observan los principios de empaquetamiento denso de moléculas, y algunos inorgánicos. Las moléculas resultaron ser importantes icosaédricas. (cm. cristal biológico). Icosaédrico. La simetría también se ve en cuasicristales.

Limitar grupos. Las funciones, que describen la dependencia de varias propiedades de un cristal en la dirección, tienen una cierta simetría puntual, asociada únicamente con el grupo de simetría de las facetas del cristal. O coincide con él o es más alto que él en simetría ( principio de Neumann).

Con respecto a lo macroscópico Las propiedades del cristal se pueden describir como un medio continuo homogéneo. Por lo tanto, muchas de las propiedades de los cristales que pertenecen a uno u otro grupo de simetría puntual están descritas por los llamados. limitando los grupos de puntos que contienen ejes de simetría de orden infinito, denotados por el símbolo La presencia de un eje significa que el objeto está alineado consigo mismo cuando rota por cualquiera, incluida la Física de Cristales).

Arroz. 5. Proyecciones estereográficas de 32 grupos cristalográficos y 2 icosaédricos. Los grupos están ordenados en columnas por familias cuyos símbolos se dan en la fila superior. La fila inferior indica el grupo límite de cada familia y muestra figuras que ilustran el grupo límite.

Grupos de simetría espacial. La simetría espacial de la estructura atómica de los cristales se describe mediante grupos de simetría espacial. Se les llama también Fedorov en honor a E. S. Fedorov, quien los encontró en 1890. Estos grupos fueron derivados independientemente en el mismo año por A. Schoenflies. poliedros (S. I. Gessel, 1830, A. Las operaciones características de la estructura atómica de los cristales son 3 traducciones no coplanares a, b , Con , centeno y establecer la periodicidad tridimensional del cristal. rejillas Cristalino la red se considera infinita en las tres dimensiones. Tal estera. real, a, b, c o cualquier vector donde pág. 1, pág. 2, pág. 3 - cualquier número entero, Phys. discreción del cristal. la materia se expresa en su estructura atómica. son los grupos de transformación de un espacio discreto tridimensional homogéneo en sí mismo. La discreción radica en el hecho de que no todos los puntos de dicho espacio son simétricamente iguales entre sí, por ejemplo. uno y otro tipo de átomo, núcleos y electrones. Las condiciones de homogeneidad y discreción están determinadas por el hecho de que los grupos espaciales son tridimensionalmente periódicos, es decir, cualquier grupo contiene un subgrupo de traslaciones T- cristalino. enrejado.

Debido a la posibilidad de combinar traslaciones y operaciones de simetría puntual en grupos en una red, además de las operaciones de simetría puntual, surgen operaciones y elementos de simetría correspondientes con traslaciones. componente: ejes helicoidales de varios órdenes y planos de reflexión rasante (Fig. 2, d, f).

De acuerdo con la simetría puntual de la forma de la celda unitaria (paralelepípedo elemental), los grupos espaciales, al igual que los puntuales, se dividen en 7 grupos cristalográficos. singonía(Tabla 2). Su subdivisión adicional corresponde a las transmisiones. grupos y sus respectivos Derecho a las rejas. Hay 14 retículas de Bravais, de las cuales 7 son retículas primitivas de las singonías correspondientes, P (excepto la romboédrica R). Otros-7 se desploma. A (la cara está centrada ac), B(cara ac), C (ab); centrado en el cuerpo I, centrado en la cara (en las 3 caras) F. Teniendo en cuenta el centrado para la operación de traducción t se añaden las traslaciones de centrado correspondientes al centro t c . Si estas operaciones se combinan entre sí t+ t s y con las operaciones de los grupos puntuales de las singonías correspondientes, entonces obtenemos 73 grupos espaciales, llamados. simórfico.

Pestaña. 2.-Grupos de simetría espacial

Según ciertas reglas, los subgrupos no triviales se pueden extraer de los grupos espaciales simórficos, lo que da otros 157 grupos espaciales no simórficos. Hay 230 grupos espaciales en total Operaciones de simetría al transformar un punto X en simétricamente igual a él (y por lo tanto todo el espacio en sí mismo) se escriben como:, donde D- transformaciones puntuales, - componentes de transferencia de tornillo o reflexión deslizante, - operaciones de traslación. Grupos valientes. Operaciones de simetría helicoidal y los elementos de simetría correspondientes: los ejes helicoidales tienen un ángulo. componente (N = 2, 3, 4, 6) y traslacional t s = tq/N, dónde t- traducción de la rejilla, encienda ocurre simultáneamente con la traslación a lo largo del eje Z, q-índice de tornillo Símbolo general para ejes helicoidales N q(Figura 6). Los ejes de los tornillos están dirigidos a lo largo del cap. ejes o diagonales de la celda unitaria. Los ejes 3 1 y 3 2 , 4 1 y 4 3 , 6 1 y 6 5 , 6 2 y 6 4 corresponden por pares a giros helicoidales a derecha e izquierda. Además de la operación de simetría especular en grupos espaciales, planos de reflexión rasante a, antes de Cristo: la reflexión se combina con la transferencia por la mitad del período de red correspondiente. La traslación por la mitad de la diagonal de la cara de la celda corresponde a t. norte. plano de cuña de deslizamiento n, además, en tetragonal y cúbico. d.

Arroz. 6. a - Designaciones gráficas de ejes helicoidales perpendiculares al plano de la Fig.; b - eje helicoidal que se encuentra en el plano de la Fig.; c - planos de reflexión de pastoreo, perpendiculares al plano de la Fig., donde a, b, c - períodos de la celda unitaria, a lo largo de cuyos ejes se produce el deslizamiento (componente de traslación a / 2), n - plano diagonal de pastoreo reflexión [componente traslacional (a + b) / 2], d - plano de deslizamiento del diamante; d - lo mismo en el plano de la figura.

En mesa. Se dan 2 símbolos internacionales de los 230 grupos espaciales de acuerdo con su pertenencia a una de las 7 singonías y la clase de simetría puntual.

Transmisión. los componentes de las operaciones de microsimetría de los grupos espaciales no aparecen macroscópicamente en los grupos puntuales; por ejemplo, el eje helicoidal en el tallado de cristales aparece como un eje de rotación simple correspondiente en orden. Por lo tanto, cada uno de los 230 grupos es macroscópicamente similar (homomorfo) a uno de los 32 grupos puntuales. Por ejemplo, en un grupo de puntos: mmm 28 grupos espaciales se muestran homomórficamente.

La notación Schoenflies de grupos espaciales es la designación del grupo de puntos correspondiente (por ejemplo, Tabla 1), al que se asigna desde arriba el históricamente aceptado . En notación internacional se indica el símbolo de la red de Bravais y las operaciones generadoras de simetría para cada grupo, etc. La secuencia de arreglo de grupos espaciales en la Tabla 2 en notación internacional corresponde al número (superíndice) en notación de Schoenflies.

En la fig. 7 se da la imagen de los espacios. grupos - Rpta según la Cristalografía Internacional mesas. Operaciones (y elementos correspondientes) de simetría de cada grupo espacial,

Arroz. 7. Imagen del grupo -Ppta en las tablas Internacionales.

Si establece dentro de la celda elemental Ph.D. punto x (x 1 x 2 x 3), luego las operaciones de simetría lo transforman en puntos simétricamente iguales a él en todo el cristal. espacio; tales puntos es infinito. Pero es suficiente describir su posición en una celda elemental, y este conjunto ya se multiplicará por las traslaciones de la red. El conjunto de puntos derivados de las operaciones dadas. soldado americano grupos G - x 1 ,x 2 ,...,x n-1, llamó correcto sistema de puntos (PST) En la fig. 7 a la derecha está la disposición de los elementos de simetría del grupo, a la izquierda está la imagen del PST de la posición general de este grupo. Los puntos en posición general son aquellos puntos que no están ubicados en un elemento de simetría puntual del grupo espacial. El número (multiplicidad) de tales puntos es igual al orden del grupo. y = 1/4 y 3/4. Si un punto cae en un plano, entonces no es duplicado por este plano, como en el caso de los puntos en posición general.Cada grupo espacial tiene su propio conjunto de PST. Solo hay un sistema correcto de puntos en posición general para cada grupo. Pero parte de la posición privada del PST puede ser la misma para diferentes grupos. Las Tablas Internacionales indican la multiplicidad de los PST, su simetría y coordenadas, y todas las demás características de cada grupo espacial. La importancia del concepto de PST radica en que en cualquier cristalino. estructura perteneciente a un grupo espacial dado,

Subgrupos de grupos de simetría cristalina. Si parte de la operación a.-l. forma un grupo G r (g 1 ,...,g m),, entonces el apellido subgrupo del primero. Por ejemplo, los subgrupos del punto group32 (Fig. 1, a) son el grupo 3 y grupo 2. También entre espacios. grupos, hay una jerarquía de subgrupos. Los grupos espaciales pueden tener como subgrupos grupos de puntos (hay 217 grupos espaciales de este tipo) y subgrupos que son grupos espaciales de orden inferior. En consecuencia, existe una jerarquía de subgrupos.

La mayoría de los grupos de cristales de simetría espacial son diferentes entre sí y como grupos abstractos; el número de grupos abstractos isomorfos a 230 grupos espaciales es 219. Abstractamente iguales son 11 grupos espaciales (enantiomórficos) iguales a un espejo, uno con solo ejes helicoidales derechos, otros con ejes helicoidales izquierdos. Estos son, por ejemplo, PAGS 3 1 21 y PAGS 3 2 21. Ambos grupos espaciales se asignan homomórficamente a un grupo de puntos32 al que pertenece , pero el cuarzo, respectivamente, es dextrógiro o levógiro: la simetría de la estructura espacial en este caso se expresa macroscópicamente, El papel de los grupos de cristales de simetría espacial. Grupos de simetría espacial de cristales: la base de la teoría. cristalografía, difracción y otros métodos para determinar la estructura atómica de los cristales y describir el cristal. El patrón de difracción obtenido por difracción de rayos X. neutronografía o electrografia, le permite establecer simetría y geom. la red recíproca del cristal, y por lo tanto la estructura misma del cristal. Así se determina el grupo puntual del cristal y la celda unitaria; por extinciones características (ausencia de ciertos reflejos de difracción) determinan el tipo de rejilla de Bravais y la pertenencia a uno u otro grupo espacial. La disposición de los átomos en una celda elemental se encuentra a partir de la totalidad de las intensidades de las reflexiones de difracción.

Los grupos espaciales juegan un papel importante en química de cristales Se han identificado más de 100 mil cristales. estructuras inorgánicas., orgánicas. y biológica. conexiones Rcc2, P4 2 cm, P4nc 1 , P6tp. La teoría que explica el predominio de las tecnologías de otros grupos espaciales tiene en cuenta las dimensiones de los átomos que componen la estructura, el concepto de empaquetamiento denso de átomos o moléculas, el papel de los elementos de simetría de "empaquetamiento": planos de deslizamiento y ejes helicoidales.

En física del estado sólido se utiliza la teoría de representaciones de grupos mediante matrices y especiales. f-ciones, para grupos espaciales estas funciones son periódicas. transiciones de fase estructurales del segundo tipo, el grupo espacial de la simetría de la fase menos simétrica (baja temperatura) es un subgrupo del grupo espacial de la fase más simétrica, y la transición de fase está asociada con una de las representaciones irreducibles de el grupo espacial de la fase altamente simétrica. La teoría de la representación también permite resolver problemas de dinámica red cristalina, es electronico y magnetico estructuras, una serie de propiedades. en lo teorico Simetría de proyecciones, capas y cadenas. Proyecciones cristalinas. en el plano estructural se describen mediante grupos planos, su número es 17. Para describir objetos tridimensionales, periódicos en 1 o 2 direcciones, en particular fragmentos de la estructura cristalina, se pueden usar grupos - bidimensionalmente periódicos y - uno- dimensionalmente periódica. Estos grupos juegan un papel importante en el estudio de la biología. describir la estructura biológica membranas, grupos de moléculas de cadena (Fig. 8, a), virus en forma de varilla, cristales tubulares de proteínas globulares (Fig. 8, b) en el que están dispuestos de acuerdo con la simetría espiral (helicoidal) posible en grupos (ver Fig. cristal biológico).

Arroz. 8. Objetos con simetría helicoidal: a - molécula de ADN; b - cristal tubular de proteína fosforilasa (imagen de microscopio electrónico, aumento 220.000).

Estructura de los cuasicristales.cuasicristal(por ejemplo, A1 86 Mn 14) tienen icosaedro. simetría puntual (Fig. 5), lo cual es imposible en un cristal. Simetría generalizada. La definición de simetría se basa en el concepto de igualdad (1,b) bajo la transformación (1,a). Sin embargo, física (y matemáticamente) un objeto puede ser igual a sí mismo en algunos aspectos y no igual en otros. Por ejemplo, la distribución de núcleos y electrones en un cristal antiferromagnético se puede describir utilizando la simetría espacial habitual, pero si tenemos en cuenta la distribución de los magnéticos. momentos (Fig. 9), luego “usual”, clásico. la simetría ya no es suficiente.

Arroz. 9. Distribución de momentos magnéticos (flechas) en la celda unitaria de un cristal ferrimagnético, descrita usando simetría generalizada.

En antisimetría, además de tres variables espaciales x1, x2, x3 se introduce una cuarta variable adicional. Esto se puede interpretar de tal manera que cuando se transforma (1, a), la función F puede ser no solo igual a sí mismo, como en (1, b), sino también "anti-igual": cambiará de signo. Hay 58 grupos de antisimetría de puntos y 1651 grupos de antisimetría espacial (grupos de Shubnkov).

Si la variable adicional adquiere no dos valores, sino más (posibles 3,4,6,8, ..., 48), entonces el llamado. Simetría de color de Belov.

Entonces, se conocen 81 grupos de puntos y 2942 grupos. Principal aplicaciones de simetría generalizada en cristalografía - descripción de magn. También se han encontrado otros grupos antisimétricos (múltiples, etc.). Teóricamente, se derivan todos los grupos puntuales y espaciales del espacio de cuatro dimensiones y dimensiones superiores. Con base en la consideración de la simetría del espacio dimensional (3 + K), también se pueden describir módulos que son inconmensurables en tres direcciones. estructura desproporcionada).

Dr. generalización de la simetría - simetría de similitud, cuando la igualdad de las partes de la figura se reemplaza por su similitud (Fig. 10), simetría curvilínea, estadística. soluciones sólidas, cristales líquidos, etc.

Arroz. 10. Una figura con simetría de semejanza. Gran diccionario enciclopédico

La regularidad de la estructura atómica, forma externa y propiedades físicas de los cristales, que consiste en el hecho de que un cristal puede combinarse consigo mismo a través de rotaciones, reflexiones, transferencias paralelas (traslaciones) y otras transformaciones de simetría... diccionario enciclopédico

La propiedad de los cristales de estar alineados consigo mismos en varias posiciones por rotaciones, reflexiones, transferencias paralelas, o parte o combinación de estas operaciones. La simetría de la forma externa (corte) de un cristal está determinada por la simetría de su átomo ... ...

La regularidad de la estructura atómica, ext. formas y físico propiedades de los cristales, que consiste en el hecho de que un cristal puede combinarse consigo mismo a través de rotaciones, reflexiones, transferencias paralelas (traslaciones) y otras transformaciones de simetría, así como ... ... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

Simetría cristalina- la propiedad de los cristales de combinarse consigo mismos por rotación, reflexión, transferencia paralela o una combinación de estas operaciones. La simetría de la forma externa (corte) está determinada por la simetría de su estructura atómica, que también determina ... Diccionario Enciclopédico de Metalurgia

Simetría (del griego symmetria - proporcionalidad) en matemáticas, 1) simetría (en sentido estricto), o reflexión (espejo) relativa al plano a en el espacio (relativa a la recta a en el plano), - transformación del espacio (avión), con ... ... Gran enciclopedia soviética

El carácter de una molécula determinado por el conjunto de posibles operaciones de simetría puntual para su configuración de equilibrio. Cuatro operaciones de simetría puntual (rotación alrededor de un eje en un cierto ángulo menor o igual a 360°; reflexión desde un plano; inversión ... ... Enciclopedia Física

I Simetría (del griego symmetria proporcionalidad) en matemáticas, 1) simetría (en sentido estricto), o reflexión (espejo) relativa al plano α en el espacio (relativa a la recta a en el plano), transformación del espacio.. . ... Gran enciclopedia soviética

- (del griego proporcionalidad), un concepto que caracteriza la transición de los objetos en sí mismos o entre sí durante la implementación de una definición sobre ellos. transformaciones (transformaciones de S.); en un sentido amplio, la propiedad de invariancia (invariancia) de algunos ... ... Enciclopedia filosófica

- (del griego symmetria proporcionalidad) leyes de la física. Si las leyes que establecen la relación entre las magnitudes caracterizan la física. sistema, o determinar el cambio en estas cantidades a lo largo del tiempo, no cambian durante ciertas operaciones ... ... Enciclopedia Física, E.S. Fiódorov. La publicación incluye las obras clásicas de Evgraf Stepanovich Fedorov sobre cristalografía. El mayor logro de E. S. Fedorov es la derivación rigurosa de todos los grupos espaciales posibles (1891). Los…

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA

INSTITUTO ESTATAL DE MOSCÚ DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

(UNIVERSIDAD TECNICA)

"APROBAR"

Cabeza departamento de KFN

Gorbatsevich A.A.

LABORATORIO #10

a razón de "FTT y PP"

La descripción era:

Anfalova ES

MOSCÚ, 2002

LABORATORIO #1

DETERMINACIÓN DE LA ESTRUCTURA DE CRISTALES MEDIANTE DIFRACCIÓN DE RAYOS X

Objetivo: determinación de la estructura cristalina y la constante de red mediante el método de Debye-Scherer.

1. Estructura y simetría de los cristales.

Los cristales son sólidos caracterizados por una disposición periódica de átomos en el espacio. La periodicidad de los cristales significa la existencia de un orden de largo alcance en ellos y distingue a los cristales de los cuerpos amorfos, en los que solo hay un orden de corto alcance.

La periodicidad es uno de los tipos de simetría cristalina. Simetría significa la capacidad de transformar un objeto que lo combina consigo mismo. Los cristales también pueden ser simétricos con respecto a las rotaciones sobre ejes de rotación seleccionados (ubicados periódicamente en el espacio) y reflexiones en planos de reflexión. Una transformación espacial que deja el cristal invariante, es decir, transforma el cristal en sí mismo, se denomina operación de simetría. Las rotaciones sobre un eje, las reflexiones en un plano, así como la inversión sobre el centro de inversión son transformaciones de simetría puntual, ya que dejan al menos un punto del cristal en su lugar. El desplazamiento (o traslación) de un cristal por un período de red es la misma transformación de simetría, pero ya no se aplica a las transformaciones puntuales. Las transformaciones de simetría puntual también se denominan transformaciones propias. También hay transformaciones de simetría impropia, que son una combinación de rotación o reflexión y traslación sobre una distancia que es un múltiplo del período de la red.

Los cristales de diferente composición química desde el punto de vista de la simetría pueden ser equivalentes, es decir, pueden tener el mismo conjunto de operaciones de simetría. Esta circunstancia determina la posibilidad de clasificar los cristales según el tipo de su simetría. A diferentes cristales se les puede asignar la misma red con una simetría dada. La clasificación de los cristales se basa en las redes de Bravais. La red de Bravais se puede definir como un conjunto de puntos cuyas coordenadas vienen dadas por los extremos del radio vector r .

dónde a 1 , a 2 , a 3 - un triple arbitrario de vectores no coplanares (que no se encuentran en el mismo plano), norte 1 , norte 2 , norte 3 son números enteros arbitrarios. Vectores a 1 , a 2 , a 3 se llaman vectores de traslaciones elementales. La red se transforma en sí misma al trasladarse a cualquier vector que satisfaga la relación (1). Cabe señalar que para una red de Bravais dada, la elección de los vectores de traslación elementales es ambigua. De la definición de la red de Bravais se deduce que el vector de traslación elemental a 1 representa el período de red más pequeño en una dirección dada. Cualquiera de las tres traducciones no coplanares se puede elegir como traducción elemental. mínimo período de celosía.

En cada celosía de Bravais, se puede distinguir el volumen mínimo de espacio que, para todas las traslaciones de la forma (1), llena todo el espacio sin superponerse consigo mismo y sin dejar huecos. Tal volumen se llama celda primitiva. Si elegimos un volumen que llena todo el espacio como resultado no de todas, sino de un subconjunto de traslaciones, entonces dicho volumen ya será solo una celda elemental. Así, una celda primitiva es una celda elemental del volumen mínimo. De la definición de celda primitiva se deduce que hay exactamente un nodo de celosía de Bravais por celda. Esta circunstancia puede ser útil para comprobar si el volumen seleccionado es una celda primitiva o no.

La elección de una celda primitiva, así como la elección de vectores de traducción elementales, es ambigua. El ejemplo más simple de una celda primitiva es un paralelepípedo construido sobre los vectores de traslaciones elementales.

La celda primitiva de Wigner-Seitz juega un papel importante en la física del estado sólido, que se define como la parte del espacio ubicada más cerca de un punto dado de la red de Bravais que de otros puntos de la red. Para construir una celda de Wigner-Seitz, se deben dibujar planos perpendiculares a los segmentos de línea que conectan el punto de la red elegido como centro con otros puntos. Los planos deben pasar por los puntos medios de estos segmentos. El poliedro, limitado por los planos construidos, será la celda de Wigner-Seitz. Es esencial que la celda de Wigner-Seitz tenga todos los elementos de simetría de la red de Bravais.

Un cristal (estructura cristalina) se puede describir asignándole una determinada red de Bravais y especificando la disposición de los átomos en una celda unitaria. La totalidad de estos átomos se llama base. La base puede consistir en uno o más átomos. Así, en el silicio, la composición base incluye dos átomos de Si; en el cristal de GaAs, la base también es diatómica y está representada por un átomo de Ga y uno de As. En compuestos orgánicos complejos, la base puede incluir varios miles de átomos. La relación entre los conceptos de celosía, base, estructura se puede definir de la siguiente manera:

red + base = estructura cristalina.

El requisito de que la invariancia traslacional sea periódica impone restricciones significativas sobre las posibles operaciones de simetría puntual en un cristal. Así, en un cristal idealmente periódico, pueden existir ejes de simetría de solo 2, 3, 4 y 6 órdenes, y está prohibida la existencia de un eje de 5 órdenes.

Bravais demostró que a partir de los planos de reflexión, cuatro tipos de ejes de rotación, inversión y traslación, se pueden formar 14 combinaciones diferentes. Estas 14 combinaciones corresponden a 14 tipos de redes. Desde un punto de vista matemático, cada una de estas combinaciones es un grupo (grupo de simetría). En este caso, dado que las traslaciones están presentes en el grupo como elementos de simetría, el grupo se denomina grupo de simetría espacial. Si se elimina la traducción, los elementos restantes forman un grupo de puntos. Hay 7 grupos de puntos de simetría de retículas de Bravais en total.Las retículas que pertenecen a un grupo de puntos dado forman una singonía o sistema. El sistema cúbico incluye redes cúbicas simples (PC), cúbicas centradas en el cuerpo (bcc) y cúbicas centradas en las caras (fcc); a tetragonal - tetragonal simple y tetragonal centrada; a rómbico - redes rómbicas simples, centradas en la base, centradas en el cuerpo y centradas en las caras; a monoclínica - redes monoclínicas simples y centradas en la base. Las tres singonías restantes contienen un tipo de redes del mismo nombre con ellas: triclínica, trigonal y hexagonal.

MOU "Escuela Secundaria No. 24"

ciudad de Podolsk

región de Moscú

Reporte

« Simetría cristalina»

Realizado:

Orlova

Olga Románovna,

estudiante 10 clase "G"

Consejero científico:

Eliuschev Oleg Vladimirovich,

profesor

matemáticas

año 2012.

Plan.

yoIntroducción. El concepto de simetría.

II Parte principal.

1) partes y figuras iguales en geometría y cristalografía;

2) cristales y su estructura;

3) células elementales al cristal;

4) simetría y anisotropía de poliedros cristalinos;

5) simetría y sus elementos;

6) grupos o tipos de simetría;

7) singonía de cristales;

9) simetría de cristales reales;

terceroConclusión. La simetría como método de investigación en física de cristales.

Simetría de cristales.

La palabra griega "simetría" traducida al ruso significa "proporción". En general, la simetría se puede definir como la capacidad de una figura para repetir naturalmente sus partes. La idea de simetría está muy extendida en la vida cotidiana. Simétricas son, por ejemplo, corolas de flores, alas de mariposa, estrellas de nieve. La humanidad ha utilizado durante mucho tiempo el concepto de simetría, aplicándolo en una amplia variedad de áreas de su actividad. Sin embargo, el desarrollo matemático de la doctrina de la simetría se llevó a cabo recién en la segunda mitad del s.XIX siglo.

Una figura simétrica debe consistir en repetir regularmente partes iguales. Por tanto, la idea de figuras simétricas se basa en el concepto de partes iguales.

"Dos figuras se llaman mutuamente iguales si para cada punto de una figura hay un punto correspondiente de la otra figura, y la distancia entre dos puntos cualesquiera de una figura es igual a la distancia entre dos puntos correspondientes de la otra".

El concepto de igualdad de figuras, según esta definición, es mucho más amplio que el concepto correspondiente aceptado en la geometría elemental. En geometría elemental, se suele llamar igual a aquellas figuras que, superpuestas entre sí, coinciden con todos sus puntos. En cristalografía, no solo se consideran iguales las figuras iguales compatibles, sino también las figuras relacionadas entre sí como un objeto y su imagen especular.

Hasta ahora, hemos estado hablando de formas geométricas. Volviendo a los cristales, debemos recordar que son cuerpos reales y que sus partes iguales deben ser no solo geométricamente iguales, sino también físicamente idénticas.

En general, se suele denominar cristales a los sólidos que se forman en condiciones naturales o de laboratorio en forma de poliedros.

La superficie de tales poliedros está limitada por planos más o menos perfectos, caras que se cruzan en líneas rectas, bordes. Los puntos de intersección de las aristas forman los vértices.

La forma geométricamente correcta de los cristales está determinada, en primer lugar, por su estructura interna estrictamente regular.

En todas las estructuras cristalinas se pueden distinguir muchos átomos idénticos, dispuestos como nodos de una red espacial. Para imaginar tal retícula, es necesario llenar mentalmente el espacio sin dejar rastro con una multitud de paralelepípedos iguales, orientados paralelamente y adyacentes a lo largo de caras enteras. El ejemplo más simple de este tipo de sistemas paralelepipédicos es una colección de cubos o ladrillos muy unidos entre sí. Si, en tales paralelepípedos imaginarios, se seleccionan los puntos correspondientes, por ejemplo, sus centros o cualquier otro punto, entonces se puede obtener la llamada red espacial. Los puntos correspondientes seleccionados se denominan nodos. En las estructuras cristalinas reales, los sitios de los nodos de la red espacial pueden estar ocupados por átomos individuales, iones o grupos de átomos.

La estructura reticular es característica de todos los cristales sin excepción.

Por lo tanto, la definición más completa de un cristal sonará así: todos los sólidos en los que las partículas (átomos, iones, moléculas) se organizan regularmente en forma de nodos de redes espaciales se denominan cristales.

Los sólidos en los que las partículas están dispuestas al azar se denominan amorfos. Ejemplos de formaciones amorfas son vidrios, plásticos, resinas, pegamento. Una sustancia amorfa no es estable y tiende a cristalizar con el tiempo. Entonces el vidrio "cristaliza", formando agregados de pequeños cristales.

Ejemplos de cristales son los cubos de sal, los prismas hexagonales de cristal de roca puntiagudos en los extremos, los octaedros de diamante, los dodecaedros de granada.

En la descripción moderna de un mineral, se indican necesariamente los parámetros de su celda elemental: el grupo más pequeño de átomos, cuyo movimiento paralelo puede construir la estructura completa de una sustancia dada. A pesar de que el número de átomos en una celda elemental y su tipo son diferentes para cada mineral, en los cristales naturales solo hay siete tipos de celdas elementales que, repitiéndose millones de veces en el espacio tridimensional, forman cristales diferentes. Cada tipo de celda corresponde a una determinada singonía, lo que permite dividir todos los cristales en siete grupos.

La apariencia de los cristales depende en gran medida de la forma de las células elementales y de su ubicación en el espacio. Se pueden obtener grandes cristales cúbicos a partir de células elementales cúbicas. Al mismo tiempo, la disposición escalonada de los "cubos" le permite crear formas más complejas.

Las celdas elementales siempre están alineadas de tal manera que las caras del cristal en crecimiento y los ángulos formados por ellas no se ubican al azar, sino en el orden correcto. Cada tipo de cara tiene una determinada posición relativa al eje, plano o centro de simetría que posee tal o cual mineral. La cristalografía se basa en las leyes de simetría, según las cuales los cristales se clasifican según ciertas singonías.

En la naturaleza, en los laboratorios científicos e industriales, los cristales crecen en forma de hermosos poliedros regulares con bordes planos y bordes rectos. La simetría y regularidad de la forma externa de los poliedros cristalinos naturales es una característica distintiva de los cristales, pero no obligatoria. En condiciones de fábrica y laboratorio, a menudo se cultivan cristales que no son poliédricos, pero sus propiedades no cambian a partir de esto. De cristales naturales y cultivados artificialmente, se cortan placas, prismas, varillas, lentes, en los que ya no hay rastros de la forma poliédrica externa del cristal, pero se conserva la asombrosa simetría de la estructura y las propiedades de la sustancia cristalina.

La experiencia muestra que si un fragmento o placa de un cristal se coloca en una solución o masa fundida de la misma sustancia y se le permite crecer libremente, entonces el cristal volverá a crecer en forma de un polígono regular y simétrico. Esto se debe al hecho de que la tasa de crecimiento de los cristales en diferentes direcciones es diferente. Este es solo un ejemplo de la anisotropía de las propiedades físicas de un cristal.

La anisotropía y la simetría son rasgos característicos de los cristales debido a la regularidad y simetría de su estructura interna. En un poliedro cristalino y en una placa recortada de él, hay una disposición periódica de partículas igualmente regular, simétrica. Las partículas que componen los cristales forman filas, redes, celosías regulares y simétricas.

Piedras, metales, productos químicos -orgánicos e inorgánicos, incluidos los complejos como las fibras de algodón y rayón, los huesos humanos y animales y, por último, los objetos organizados de forma tan compleja como los virus, la hemoglobina, la insulina, el ADN y muchos otros- tienen una estructura interna regular. estructura. Cada sustancia cristalina tiene un cierto orden, un "patrón" característico y simetría en la disposición de las partículas, distancias establecidas entre las partículas, y todos estos patrones pueden determinarse cualitativa y cuantitativamente.

Todo lo anterior se aplica a cristales idealmente desarrollados. Pero en la naturaleza, rara vez se encuentran formas geométricas perfectas. Más comúnmente, los cristales se deforman como resultado del desarrollo desigual de las facetas o tienen líneas curvas quebradas mientras mantienen los ángulos entre las diferentes facetas. Los cristales pueden crecer en forma de agregados geométricamente ordenados o en completo desorden. No es raro que los minerales presenten una combinación de diferentes formas cristalográficas. A veces, ciertos obstáculos interfieren con el crecimiento de un cristal, por lo que la estructura cristalina interna no encuentra un reflejo ideal en la forma externa, y el mineral forma agregados irregulares o masas densas. Al mismo tiempo, de acuerdo con la ley de constancia de los ángulos de las caras, en los cristales de una determinada sustancia, tanto el tamaño de las caras como su forma pueden cambiar, pero los ángulos entre las caras correspondientes permanecen constantes. Por lo tanto, al estudiar la simetría y, en general, la geometría de los cristales reales, es necesario confiar en los ángulos entre las caras.

Al familiarizarse con esta sección de la cristalografía, uno no puede prescindir del uso de poliedros geométricamente regulares, que representan modelos idealizados de ciertos cristales.

La doctrina de la simetría de los cristales se basa en la geometría. Sin embargo, esta rama de la ciencia debe su desarrollo principalmente a científicos que trabajaron en el campo de la cristalografía. Los logros más brillantes están asociados con los nombres de los cristalógrafos, entre los que se destacan los nombres de dos académicos rusos: A.V. Gadolin y E.S. Fedorov.

Ahora necesitas hablar sobre la simetría en sí y sus elementos. La definición de simetría mencionaba la repetición regular de partes iguales de figuras. Para aclarar el concepto de esta regularidad, se utilizan imágenes auxiliares imaginarias (puntos, rectas, planos), en relación con las cuales se repiten correctamente partes iguales de figuras. Tales imágenes se llaman elementos de simetría.

Ejemplos de los elementos mencionados son: centro de inversión, ejes y planos de simetría.

Para caracterizar uno u otro eje, es necesario averiguar el valor del menor ángulo de rotación que alinea la figura. Este ángulo se denomina ángulo elemental de rotación del eje.

El ángulo elemental de rotación de cualquier eje de simetría es un número entero de 360°:

dónde norte- un entero llamado orden (nombre) del eje.

El orden del eje de simetría corresponde al número que indica cuántas veces el ángulo elemental de rotación está contenido en 360°. Al mismo tiempo, el orden del eje da el número de combinaciones de la figura consigo misma durante una rotación completa alrededor de este eje.

Cada eje tiene su propio ángulo elemental de rotación:

a norte=1 α=360°

norte=2 α=180°

norte=3 α=120°

norte=4 α=90°

norte=5 α=72°

norte=6 α=60° etc

En geometría, hay un número infinito de ejes de varios nombres enteros. Sin embargo, la simetría de los cristales se describe mediante un conjunto finito de ejes. Su número está limitado por el hecho de la existencia de una red espacial. La red impone una prohibición a la realización en cristales de ejes de quinto orden y ejes superiores al sexto orden.

Además, existen los llamados ejes de inversión.

Tal elemento de simetría es, por así decirlo, una combinación de un eje de simetría simple y el centro de inversión, que no actúan por separado, sino juntos. Al participar únicamente como parte integrante del eje de inversión, el centro de inversión no puede aparecer como un elemento independiente de simetría. En todos los modelos donde es necesario definir ejes de inversión, no hay centro de inversión.

En cristalografía, un conjunto de elementos de simetría se denomina tipo de simetría de un poliedro cristalino.

Todos los grupos (tipos) de simetría de los cristales fueron obtenidos en 1820 por el profesor alemán de mineralogía I. Gessel. Hubo 32. Sin embargo, sus resultados no fueron notados por la comunidad científica, en parte debido a una presentación fallida, en parte porque el artículo de Gessel fue publicado en una publicación inaccesible.

Independientemente de Hessel, la derivación de 32 grupos (tipos) de simetría de cristales fue realizada en 1867 por el académico ruso, profesor de la Academia de Artillería, cristalógrafo aficionado, General A. V. Gadolin. Su trabajo fue inmediatamente muy apreciado por los expertos.

Los grupos de simetría de cristales, o, como se les llama comúnmente, tipos de simetría, se dividen convenientemente en sistemas que combinan grupos con elementos de simetría similares. Hay seis sistemas de este tipo: triclínico, monoclínico, rómbico, tetragonal, hexagonal y cúbico.

Los cristalógrafos que estudian la forma externa de los cristales y su estructura a menudo distinguen los cristales trigonales del sistema hexagonal. Por lo tanto, todos los cristales se dividen en siete singonías (del griego "syn" - juntos, "gonia" - ángulo): triclínica, monoclínica, rómbica, trigonal, tetragonal, hexagonal y cúbica. En cristalografía, una singonía es un grupo de tipos de simetría que tienen uno o más elementos de simetría similares con el mismo número de unidades de dirección. Es fundamental señalar que las redes espaciales relacionadas con cristales de la misma singonía deben tener celdas unitarias con la misma simetría.

Los nombres de las singonías se explican de la siguiente manera: en los cristales de la singonía triclínica, los tres ángulos entre los bordes del paralelepípedo son oblicuos [klino (griego) - inclinación]. En los cristales del sistema monoclínico sólo existe un ángulo oblicuo entre las aristas indicadas (los otros dos son rectos). La singonía rómbica se caracteriza por el hecho de que las formas simples relacionadas con ella tienen a menudo la forma de rombos.

Los nombres de sistemas "trigonal", "tetragonal", "hexagonal" indican la simetría típica de los cristales relacionados con esto. El sistema trigonal a menudo se llama romboédrico, ya que la mayoría de los tipos de simetría de este sistema se caracterizan por una forma simple llamada romboedro.

Los cristales del sistema cúbico se caracterizan por redes espaciales, cuyos paralelepípedos elementales tienen forma de cubo.

sintonía triclínica. Sintonía con las formas cristalinas más primitivas y simetría muy simple. Una forma característica de la singonía triclínica es un prisma oblicuo. Representantes típicos: turquesa y rodonita.

sintonía monoclínica. Los prismas con un paralelogramo en la base son característicos. El sistema monoclínico incluye cristales de minerales como alabastro, malaquita, jade.

sintonía rómbica. Las formas típicas son el prisma rómbico, la pirámide y la bipirámide. Entre los minerales típicos de esta singonía se encuentran el topacio, el crisoberilo y el olivino.

singonía trigonal. Las formas simples son prismas trigonales, pirámides, bipirámides, así como romboedros y escalenoedros. Ejemplos de minerales del sistema trigonal son calcita, cuarzo, turmalina.

Singonía hexagonal. Formas típicas: prismas de 6 o 12 lados, pirámides y bipirámides. Berilo y vanadinita (utilizado como mineral de vanadio) se destacan en esta sintonía.

Singonía tetragonal. Las formas simples son prismas tetragonales, pirámides y bipirámides. Circón y rutilo cristalizan en esta singonía.

sintonía cúbica. Formas simples: cubo, octaedro, tetraedro. Fluorita, diamante, pirita cristalizan en la singonía cúbica.

Syngonia, a su vez, se agrupan en tres categorías: inferior, medio, superior.

Los cristales de la categoría más baja se caracterizan por la presencia de varias direcciones únicas (la única dirección que no se repite en el cristal se denomina única) y la ausencia de ejes de simetría de orden superior a 2. Estos incluyen tres singonías: triclínica, monoclínica y rómbico.

Los cristales de la categoría media tienen una sola dirección, coincidiendo con un solo eje de orden superior a 2. También pertenecen a esta tres singonías: trigonal, tetragonal y hexagonal.

En los cristales de la categoría más alta, en ausencia de direcciones únicas, siempre hay varios ejes de orden superior a 2. Esto incluye un sistema cúbico.

Hasta ahora, se han considerado modelos idealizados de poliedros cristalinos.

Es mucho más difícil determinar la simetría de los cristales reales. Arriba, se notó el desarrollo desigual de las caras simétricas del cristal debido a la entrada desigual de la solución de alimentación hacia ellas. En este sentido, el cubo de un cristal real suele adoptar la forma de un paralelepípedo aplanado o alargado. Además, a veces hay incluso una ausencia parcial de rostros simétricos. Por lo tanto, con base en las formas externas de los cristales reales, es fácil reducir erróneamente su simetría real.

Las medidas precisas de los ángulos entre las caras vienen al rescate aquí, por lo que no es difícil restaurar la verdadera simetría del poliedro. Sin embargo, también suelen ocurrir errores inversos, cuando se atribuye a los cristales una mayor simetría en comparación con la real.

También es interesante que las mismas sustancias en diferentes condiciones puedan formar estructuras cristalinas completamente diferentes y, por lo tanto, diferentes minerales. Un ejemplo llamativo es el carbono: si tiene singonía hexagonal, entonces se forma grafito, si es cúbico, diamante.

Así, la simetría, la periodicidad y la regularidad de la estructura son las principales características del estado cristalino de la materia.

La forma en que se organiza un cristal desde el interior se refleja inevitablemente en su apariencia y forma. La forma del cristal nos permite suponer en qué orden se combinan las partículas en su estructura. Y, por supuesto, podemos decir con gran confianza que en un cristal de fluorita octaédrico, una placa de grafito hexagonal y un cristal de barita laminar, las partículas están dispuestas de manera diferente. Pero en los "cubos" de halita y galena, se ubican de manera muy similar, aunque estos minerales tienen una composición química diferente.

Todas estas diferencias y similitudes ayudan a describir la simetría.

Sin embargo, la simetría no se limita a revelar patrones en la disposición de partículas en redes espaciales y en la forma externa de los cristales. Además, todas las propiedades físicas están íntimamente relacionadas con la simetría. Determina qué propiedades físicas puede o no tener un cristal en particular. Dicta el número de cantidades independientes necesarias para la caracterización completa de una propiedad física dada, y la dirección de sus medidas con respecto a los elementos de simetría, es decir determina la naturaleza de la anisotropía de las propiedades físicas. Además, resultó posible atribuir simetría a cantidades matemáticas: escalares, vectores que describen las propiedades físicas de los cristales. Y, finalmente, a los propios fenómenos físicos en los cristales se les puede atribuir una u otra simetría, coincidiendo con la simetría de las cantidades matemáticas que describen estos fenómenos.

Bibliografía

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2. MP Shaskolskaya. "Cristalografía", M., "Escuela Superior", 1984

3.G.M.Popov, I.I.Shafranovsky. "Cristalografía", M., "Escuela Superior", 1972

4. M. Aksenova, V. Volodin. Enciclopedia para niños. Geología, M., "Avanta+", 2006

5. A. Zharkova. "Minerales. Tesoros de la tierra", M., "De Agostini", 2009

Nota explicativa.

El tema de mi ensayo es la simetría de los cristales. El propósito de mi ensayo es una historia sobre la simetría de los cristales. Los objetivos de mi trabajo son el estudio de los elementos de simetría, la historia de la importancia de la simetría en el estudio de las propiedades de los cristales y la generalización de los datos obtenidos. El tema de mi investigación son los cristales. Durante mi investigación, utilicé una variedad de literatura. Una de las principales fuentes fue el libro "Cristalografía" de MP Shaskolskaya, que contenía muchos artículos sobre la estructura de los cristales y la simetría misma. También utilicé el libro de G.M. Popov, I.I. Shafranovsky "Crystallography", donde encontré mucha información interesante. Para un análisis más detallado y una historia sobre la simetría de los cristales, utilicé otra literatura, revistas y enciclopedias.

Resúmenes.

La palabra griega "simetría" traducida al ruso significa "proporción". En general, la simetría se puede definir como la capacidad de una figura para repetir naturalmente sus partes.

En cristalografía, no solo se consideran iguales las figuras iguales compatibles, sino también las figuras relacionadas entre sí como un objeto y su imagen especular.

Todos los cristales están construidos a partir de partículas materiales, geométricamente ubicadas correctamente en el espacio. La distribución ordenada de átomos, iones, moléculas distingue el estado cristalino del estado no cristalino, donde el grado de orden es completamente despreciable.

Los cristales son todos los sólidos en los que las partículas (átomos, iones, moléculas) se organizan regularmente en forma de nodos de redes espaciales.

En la descripción moderna de un mineral, se indican necesariamente los parámetros de su celda elemental: el grupo más pequeño de átomos, cuyo movimiento paralelo puede construir la estructura completa de una sustancia dada.

La anisotropía y la simetría son rasgos característicos de los cristales debido a la regularidad y simetría de su estructura interna.

Los elementos de simetría se denominan imágenes geométricas auxiliares (puntos, líneas, planos), con la ayuda de las cuales se detecta la simetría de las figuras.

El centro de inversión es un punto singular dentro de la figura, caracterizado por el hecho de que cualquier línea recta trazada a través de él a ambos lados ya distancias iguales se encuentra con los mismos puntos (correspondientes) de la figura. Tal punto en geometría se llama el centro de simetría.

Un plano de simetría es un plano que divide una figura en dos partes iguales de espejo, ubicadas entre sí como un objeto y su reflejo de espejo.

El eje de simetría es una línea recta alrededor de la cual se repiten varias veces partes iguales de la figura.

Un eje de inversión es una línea recta, cuando gira alrededor de ella en un ángulo específico con un reflejo posterior (o preliminar) en el punto central de la figura, como en el centro de inversión, la figura se combina consigo misma.

Todos los cristales se dividen en siete singonías (del griego "syn" - juntos, "gonia" - ángulo): triclínica, monoclínica, rómbica, trigonal, tetragonal, hexagonal y cúbica. En cristalografía, una singonía es un grupo de tipos de simetría que tienen uno o más elementos de simetría similares con el mismo número de unidades de dirección.

Las mismas sustancias en diferentes condiciones pueden formar estructuras cristalinas completamente diferentes y, en consecuencia, diferentes minerales. Un ejemplo llamativo es el carbono: si tiene singonía hexagonal, entonces se forma grafito, si es cúbico, diamante.

La forma en que se organiza un cristal desde el interior se refleja inevitablemente en su apariencia y forma. La forma del cristal nos permite suponer en qué orden se combinan las partículas en su estructura.

Además, todas las propiedades físicas están íntimamente relacionadas con la simetría. Determina qué propiedades físicas puede o no tener un cristal en particular. Dicta el número de cantidades independientes necesarias para la caracterización completa de una propiedad física dada, y la dirección de sus medidas con respecto a los elementos de simetría, es decir determina la naturaleza de la anisotropía de las propiedades físicas.

La simetría impregna toda la física de los cristales y actúa como un método específico para estudiar las propiedades físicas de los cristales.

Por lo tanto, el método principal de la cristalografía es establecer la simetría de los fenómenos, las propiedades, la estructura y la forma externa de los cristales.

Solicitud.

A. I. Semke,
, MOU escuela secundaria No. 11, Yeysk UO, Yeysk, Krasnodar kr.

Simetría cristalina

Objetivos de la lección: educativo– familiaridad con la simetría de los cristales; consolidación de conocimientos y habilidades sobre el tema "Propiedades de los cristales" Educativo- educación de conceptos de cosmovisión (relaciones causales en el mundo circundante, la cognoscibilidad del mundo y la humanidad); educación moral (educación del amor por la naturaleza, sentimientos de camaradería, ayuda mutua, ética del trabajo en grupo) Educativo– desarrollo de la independencia de pensamiento, habla oral competente, habilidades de investigación, trabajo experimental, de búsqueda y práctico.

Simetría... es esa idea, a través de
que el hombre ha intentado durante siglos
comprender el orden, la belleza y la perfección.
Herman Weil

Diccionario físico

• Cristal - del griego. κρύσταλλος - literalmente hielo, cristal de roca.
• La simetría de los cristales es una regularidad de la estructura atómica, la forma externa y las propiedades físicas de los cristales, que consiste en que un cristal puede combinarse consigo mismo mediante rotaciones, reflexiones, transferencias paralelas (traslaciones) y otras transformaciones de simetría, así como como combinaciones de estas transformaciones.

Etapa introductoria

La simetría de los cristales es el patrón más general asociado con la estructura y propiedades de una sustancia cristalina. Es uno de los conceptos fundamentales generalizadores de la física y de las ciencias naturales en general. Según la definición de simetría dada por E.S. Fedorov, "la simetría es la propiedad de las figuras geométricas de repetir sus partes, o, para ser más precisos, su propiedad en varias posiciones para alinearse con la posición original". Por lo tanto, tal objeto es simétrico, lo que puede combinarse consigo mismo mediante ciertas transformaciones: rotaciones alrededor de los ejes de simetría o reflejos en los planos de simetría. Tales transformaciones se llaman operaciones simétricas. Después de la transformación de simetría, las partes del objeto que estaban en un lugar son las mismas que las partes que están en otro lugar, lo que significa que hay partes iguales (compatibles y reflejadas) en un objeto simétrico. La estructura atómica interna de los cristales es tridimensionalmente periódica, es decir, se describe como una red cristalina. La simetría de la forma externa (facetado) de un cristal está determinada por la simetría de su estructura atómica interna, que también determina la simetría de las propiedades físicas del cristal.

Trabajo de investigación 1. Descripción de cristales

La red cristalina puede tener diferentes tipos de simetría. La simetría de una red cristalina se entiende como las propiedades de la red para coincidir consigo misma con algunos desplazamientos espaciales. Si la red coincide consigo misma cuando algún eje se gira un ángulo 2π/ norte, entonces este eje se llama eje de simetría norte-th orden.

Además del eje trivial de primer orden, solo son posibles los ejes de segundo, tercer, cuarto y sexto orden.

Para describir los cristales se utilizan varios grupos de simetría, de los cuales los más importantes son grupos de simetría espacial, describir la estructura de los cristales a nivel atómico, y grupos de simetría puntual, describiendo su forma externa. Estos últimos también son llamados clases cristalográficas. La notación de grupos de puntos incluye símbolos de los principales elementos de simetría inherentes a ellos. Estos grupos se combinan de acuerdo con la simetría de la forma de la celda unitaria del cristal en siete singonías cristalográficas: triclínica, monoclínica, rómbica, tetragonal, trigonal, hexagonal y cúbica. La pertenencia de un cristal a uno u otro grupo de simetría y singonía se determina midiendo los ángulos o mediante análisis de difracción de rayos X.

En orden de simetría creciente, los sistemas cristalográficos están dispuestos de la siguiente manera (las designaciones de los ejes y ángulos son claras en la figura):

sistema triclínico. Propiedad característica: a ≠ b ≠ c;α ≠ β ≠ γ. La celda unitaria tiene la forma de un paralelepípedo oblicuo.

sistema monoclínico. Propiedad característica: dos ángulos son rectos, el tercero es diferente de la derecha. Como consecuencia, un ≠ segundo ≠ c; β = γ = 90°, α ≠ 90°. La celda elemental tiene forma de paralelepípedo con un rectángulo en la base.

sistema rómbico. Todos los ángulos son rectos, todos los bordes son diferentes: un ≠ segundo ≠ c; α = β = γ = 90°. La celda elemental tiene la forma de un paralelepípedo rectangular.

sistema tetragonal. Todos los ángulos son rectos, dos aristas son iguales: un = segundo ≠ do; α = β = γ = 90°. La celda unitaria tiene la forma de un prisma recto de base cuadrada.

Sistema romboédrico (trigonal). Todos los bordes son iguales, todos los ángulos son iguales y diferentes de una línea recta: a=b=c; α = β = γ ≠ 90°. La celda elemental tiene la forma de un cubo deformado por compresión o estiramiento a lo largo de la diagonal.

Sistema hexagonal. Los bordes y los ángulos entre ellos cumplen las siguientes condiciones: un = segundo ≠ do; α = β = 90°; γ = 120°. Si juntas tres celdas elementales, obtienes un prisma hexagonal regular. más de 30 elementos tienen empaquetamiento hexagonal (C en la modificación alotrópica del grafito, Be, Cd, Ti, etc.).

sistema cúbico. Todos los bordes son iguales, todos los ángulos son rectos: a=b=c; α = β = γ = 90°. La celda elemental tiene la forma de un cubo. En el sistema cúbico, hay tres tipos de los llamados Redes de Bravais: primitivo ( a), centrada en el cuerpo ( b) y centrado en la cara ( en).

Un ejemplo de un sistema cúbico son los cristales de sal común (NaCl, GRAMO). Los iones de cloruro más grandes (bolas ligeras) forman un empaquetamiento cúbico denso, en cuyos nodos libres (en los vértices de un octaedro regular) se encuentran los iones de sodio (bolas negras).

Otro ejemplo de un sistema cúbico es la red de diamantes ( d). Consiste en dos redes de Bravais cúbicas centradas en las caras desplazadas un cuarto de la longitud de la diagonal espacial del cubo. Tal red está poseída, por ejemplo, por los elementos químicos silicio, germanio, así como por la modificación alotrópica del estaño - estaño gris.

Trabajo experimental "Observación de cuerpos cristalinos"

Equipo: lupa o lente de foco corto en un marco, un conjunto de cuerpos cristalinos.

Orden de ejecución

1. Mira los cristales de sal con una lupa. Tenga en cuenta que todos tienen forma de cubos. Un solo cristal se llama cristal individual(tiene una red cristalina macroscópicamente ordenada). La propiedad principal de los cuerpos cristalinos es la dependencia de las propiedades físicas del cristal en la dirección: anisotropía.
2. Examine los cristales de sulfato de cobre, preste atención a la presencia de bordes planos en los cristales individuales, los ángulos entre las caras no son iguales a 90 °.
3. Considere los cristales de mica en forma de placas delgadas. El extremo de una de las placas de mica se divide en muchas hojas delgadas. Es difícil romper una placa de mica, pero es fácil dividirla en hojas más delgadas a lo largo de los planos ( anisotropía de fuerza).
4. Considere los cuerpos policristalinos (una pieza rota de hierro, hierro fundido o zinc). Tenga en cuenta: en el descanso, puede distinguir pequeños cristales que forman una pieza de metal. La mayoría de los sólidos que se encuentran en la naturaleza y se obtienen en la tecnología son una colección de pequeños cristales orientados aleatoriamente fusionados entre sí. A diferencia de los monocristales, los policristales son isotrópicos, es decir, sus propiedades son las mismas en todas las direcciones.

Trabajo de investigación 2. Simetría de cristales (redes cristalinas)

Los cristales pueden tomar la forma de varios prismas, cuya base es un triángulo regular, un cuadrado, un paralelogramo y un hexágono. La clasificación de los cristales y la explicación de sus propiedades físicas pueden basarse no solo en la forma de la celda unitaria, sino también en otros tipos de simetría, por ejemplo, la rotación alrededor de un eje. El eje de simetría se llama línea recta, cuando se gira 360 °, el cristal (su red) se combina varias veces consigo mismo. El número de estas combinaciones se llama el orden del eje de simetria. Existen redes cristalinas con ejes de simetría de 2°, 3°, 4° y 6° orden. Es posible la simetría de la red cristalina con respecto al plano de simetría, así como combinaciones de diferentes tipos de simetría.

científico ruso E.S. Fedorov descubrió que 230 grupos espaciales diferentes cubren todas las estructuras cristalinas posibles que se encuentran en la naturaleza. Evgraf Stepanovich Fedorov (22 de diciembre de 1853 - 21 de mayo de 1919): cristalógrafo, mineralogista y matemático ruso. El mayor logro de E.S. Fedorov: una derivación rigurosa de todos los grupos espaciales posibles en 1890. Por lo tanto, Fedorov describió las simetrías de toda la variedad de estructuras cristalinas. Al mismo tiempo, resolvió el problema de las posibles figuras simétricas conocidas desde la antigüedad. Además, Evgraf Stepanovich creó un dispositivo universal para mediciones cristalográficas: la mesa de Fedorov.

Trabajo experimental "Demostración de redes cristalinas"

Equipo: modelos de redes cristalinas de cloruro de sodio, grafito, diamante.

Orden de ejecución

1. Montar el modelo de cristal de cloruro de sodio ( se muestra el dibujo). Prestamos atención al hecho de que las bolas de un color imitan los iones de sodio y el otro, los iones de cloro. Cada ion en un cristal realiza un movimiento oscilatorio térmico alrededor de un nodo de la red cristalina. Si conecta estos nodos con líneas rectas, se forma una red cristalina. Cada ion de sodio está rodeado por seis iones de cloruro y viceversa, cada ion de cloruro está rodeado por seis iones de sodio.
2. Elija una dirección a lo largo de uno de los bordes de la celosía. Tenga en cuenta: las bolas blancas y negras, los iones de sodio y cloro, se alternan.
3. Elija una dirección a lo largo del segundo borde: las bolas blancas y negras (iones de sodio y cloruro) se alternan.
4. Elija una dirección a lo largo del tercer borde: las bolas blancas y negras (iones de sodio y cloruro) se alternan.
5. Dibuje mentalmente una línea recta a lo largo de la diagonal del cubo; contendrá solo bolas blancas o solo negras, es decir, iones de un elemento. Esta observación puede servir como base para explicar el fenómeno de la anisotropía inherente a los cuerpos cristalinos.
6. Los tamaños de los iones en la red no son los mismos: el radio del ion de sodio es aproximadamente 2 veces mayor que el radio del ion de cloro. Como resultado, los iones en un cristal de sal están dispuestos de tal manera que la posición de la red es estable, es decir, hay un mínimo de energía potencial.
7. Ensamble un modelo de la red cristalina de diamante y grafito. La diferencia en el empaquetamiento de los átomos de carbono en las redes de grafito y diamante determina las diferencias significativas en sus propiedades físicas. Tales sustancias se llaman alotrópico.
8. Saque una conclusión basada en los resultados de la observación y dibuje esquemáticamente los tipos de cristales.

1. Almandino. 2. espato islandés. 3. Apatito. 4. Hielo. 5. Sal de mesa. 6. Estaurolita (doble). 7. Calcita (doble). 8. Oro.

Trabajo de investigación 3. Obtención de cristales

Los cristales de varios elementos y muchos productos químicos tienen notables propiedades mecánicas, eléctricas, magnéticas y ópticas. El desarrollo de la ciencia y la tecnología ha llevado al hecho de que muchos cristales que rara vez se encuentran en la naturaleza se han vuelto muy necesarios para la fabricación de piezas para dispositivos, máquinas y para la investigación científica. Se planteó la tarea de desarrollar una tecnología para la fabricación de monocristales de muchos elementos y compuestos químicos. Como sabes, el diamante es un cristal de carbono, el rubí y el zafiro son cristales de óxido de aluminio con diversas impurezas.

Los métodos más comunes para hacer crecer monocristales son la cristalización a partir de un fundido y la cristalización a partir de una solución. Los cristales de la solución crecen evaporando lentamente el solvente de una solución saturada o bajando lentamente la temperatura de la solución.

Trabajo experimental "Cultivo de cristales"

Equipo: soluciones saturadas de cloruro de sodio, dicromato de amonio, hidroquinona, cloruro de amonio, portaobjetos de vidrio, varilla de vidrio, lupa o lente enmarcada.

Orden de ejecución

1. Tome una pequeña gota de una solución salina saturada con una varilla de vidrio y transfiérala a un portaobjetos de vidrio precalentado ( las soluciones se preparan con antelación y se almacenan en pequeños frascos o tubos de ensayo cerrados con tapones).
2. El agua del vidrio tibio se evapora con relativa rapidez y los cristales comienzan a caer de la solución. Toma una lupa y observa el proceso de cristalización.
3. El experimento con dicromato de amonio pasa con mayor eficacia. En los bordes, y luego sobre toda la superficie de la gota, aparecen ramas de color naranja dorado con finas agujas, formando un patrón extraño.
4. Uno puede ver claramente las tasas de crecimiento desiguales de los cristales en diferentes direcciones (la anisotropía de crecimiento) en la hidroquinona.
5. Saque una conclusión basada en los resultados de la observación y dibuje esquemáticamente los tipos de cristales obtenidos.

Trabajo de investigación 4. Aplicación de cristales

Los cristales tienen la notable propiedad de la anisotropía (mecánica, eléctrica, óptica, etc.). La producción moderna no se puede imaginar sin el uso de cristales.

Cristal		Ejemplo de aplicación
	Exploración y minería	Herramientas de perforación
	industria de la joyería	Decoraciones
	Instrumentación	Cronómetros marinos: extremadamente precisos accesorios
	Industria manufacturera	Cojinetes de diamante
	Instrumentación	Piedras base para relojes
	Industria química	Hileras para estirar fibra
	Investigación científica	láser rubí
	industria de la joyería	Decoraciones
germanio, silicio	Industria electrónica	Circuitos y dispositivos semiconductores.
Fluorita, turmalina, espato islandés	Industria optoelectrónica	Dispositivos ópticos
cuarzo, mica	Industria electrónica	Dispositivos electrónicos (condensadores, etc.)
Zafiro, amatista	industria de la joyería	Decoraciones
	Industria manufacturera	lubricante de grafito
	Ingeniería Mecánica	lubricante de grafito

Información interesante

¿Quién descubrió los cristales líquidos y cuándo? ¿Dónde se utilizan las pantallas LCD?

A finales del siglo XIX. el físico alemán O. Lehman y el botánico austriaco F. Reinitzer llamaron la atención sobre el hecho de que algunas sustancias amorfas y líquidas se distinguen por un apilamiento paralelo muy ordenado de moléculas de forma alargada. Posteriormente, según el grado de orden estructural, se denominaron cristales líquidos(LCD). Hay cristales esmécticos (con una disposición de moléculas en capas), nemáticos (con moléculas alargadas desplazadas aleatoriamente en paralelo) y colestéricos (de estructura similar a los nemáticos, pero caracterizados por una mayor movilidad de las moléculas). Se notó que bajo la influencia externa, por ejemplo, un pequeño voltaje eléctrico, con un cambio en la temperatura, la fuerza del campo magnético, la transparencia óptica de la molécula de LC cambia. Resultó que esto sucede debido a la reorientación de los ejes de las moléculas en la dirección perpendicular al estado inicial.

Cristales líquidos: a) esméctico; b) nemático; en) colestérico.
URL: http://www.superscreen.ru

Cómo funciona el indicador LCD:
a la izquierda: el campo eléctrico se apaga, la luz atraviesa el vidrio; a la derecha: el campo está encendido, la luz no pasa, los símbolos negros son visibles (la URL es la misma)

Otra ola de interés científico por los cristales líquidos surgió en los años de la posguerra. Entre los cristalógrafos, nuestro compatriota I.G. Chistyakov. A finales de los años 60. corporación americana del siglo pasado rca comenzó a realizar la primera investigación seria sobre el uso de pantallas LCD nemáticas para la visualización de información. Sin embargo, la empresa japonesa se adelantó a todos. Agudo, que en 1973 propuso un panel de mosaico alfanumérico de cristal líquido - LCD ( LCD - Pantalla de cristal líquido). Estos eran indicadores monocromáticos de tamaño modesto, donde los electrodos de polisegmento se usaban principalmente para numerar números. El comienzo de la "revolución de los indicadores" condujo al reemplazo casi completo de los mecanismos de puntero (en instrumentos de medición eléctricos, relojes de pulsera y estacionarios, equipos de radio domésticos e industriales) con medios de visualización de información en forma digital: más precisos, con error -conteo libre.

Pantallas de cristal líquido de varios tipos. URL: http://www.permvelikaya.ru; http://www.gio.gov.tw http://www.radiokot.ru

Gracias a los avances en microelectrónica, las calculadoras de bolsillo y de escritorio han reemplazado a los aritmómetros, ábacos y reglas de cálculo. La reducción avalancha del coste de los circuitos integrados ha dado lugar incluso a fenómenos claramente contrarios a las tendencias técnicas. Por ejemplo, los relojes de pulsera digitales modernos son notablemente más baratos que los relojes de resorte, que, debido a la inercia del pensamiento, siguen siendo populares y pasan a la categoría de "prestigiosos".

¿Qué parámetros determinan la forma de los copos de nieve? ¿Qué ciencia y con qué fines se dedica al estudio de la nieve, el hielo y los copos de nieve?

El primer álbum con bocetos de varios copos de nieve hechos con un microscopio apareció a principios del siglo XIX. en Japón . Fue creado por el científico Doi Chishitsura. Casi cien años después, otro científico japonés, Ukishiro Nakaya, creó una clasificación de los copos de nieve. Su investigación demostró que los copos de nieve ramificados de seis puntas a los que estamos acostumbrados aparecen solo a cierta temperatura: 14–17 °C. En este caso, la humedad del aire debe ser muy alta. En otros casos, los copos de nieve pueden adoptar una variedad de formas.

La forma más común de copos de nieve son las dendritas (del griego δέντρο - madera). Los rayos de estos cristales parecen ramas de árboles.

La ciencia se ocupa del mundo de la nieve y el hielo. glaciología. Surgió en el siglo XVII. después de que el naturalista suizo O. Saussure publicara un libro sobre los glaciares alpinos. La glaciología existe en la intersección de muchas otras ciencias, principalmente la física, la geología y la hidrología. Estudiar el hielo y la nieve es necesario para saber cómo prevenir las avalanchas de nieve y el hielo. Después de todo, se gastan millones de dólares anualmente para combatir sus consecuencias en todo el mundo. Pero si conoce la naturaleza de la nieve y el hielo, puede ahorrar mucho dinero y salvar muchas vidas. Y el hielo puede hablar sobre la historia de la Tierra. Por ejemplo, en los años 70. Los glaciólogos estudiaron la capa de hielo de la Antártida, perforaron pozos y estudiaron las características del hielo en diferentes capas. Gracias a esto, fue posible conocer los múltiples cambios climáticos que se han producido en nuestro planeta desde hace 400.000 años.

Tareas entretenidas y no estándar.(trabajo en equipo)

A orillas del Canal del Norte, en el noreste de la isla de Irlanda, se alzan las bajas montañas de Antrim. Están compuestos de basaltos negros, rastros de la actividad de antiguos volcanes que se elevaron a lo largo de la falla gigante que separó Irlanda de Gran Bretaña hace 60 millones de años. Los flujos de lava negra que surgieron de estos cráteres formaron las montañas costeras en la costa irlandesa y en las Hébridas al otro lado del Canal del Norte. ¡Este basalto es una raza increíble! Líquido, que fluye fácilmente en forma fundida (los flujos de basalto a veces se precipitan a lo largo de las laderas de los volcanes a velocidades de hasta 50 km / h), se agrieta cuando se enfría y se solidifica, formando prismas hexagonales regulares. Desde la distancia, los acantilados de basalto parecen órganos enormes con cientos de tubos negros. Y cuando el flujo de lava fluye hacia el agua, a veces aparecen formaciones tan extrañas que es difícil no creer en su origen mágico. Es este fenómeno natural el que se puede observar al pie de Antrim. Una especie de "camino a ninguna parte" se separa aquí del macizo volcánico. La presa se eleva 6 m sobre el nivel del mar y consta de aproximadamente 40.000 columnas de basalto. Parece un puente inacabado sobre el estrecho, concebido por algún gigante fabuloso, y se llama el "Puente del Gigante".

Una tarea.¿De qué propiedades de los sólidos y líquidos cristalinos estamos hablando? ¿Cuáles son las diferencias entre sólidos cristalinos y líquidos? ( Responder. La forma geométrica correcta es una característica externa esencial de cualquier cristal en condiciones naturales.)

El primer diamante en Sudáfrica fue encontrado en 1869 por un pastor. Un año más tarde, se fundó aquí la ciudad de Kimberley, cuyo nombre se conoció como kimberlita a la roca madre que contiene diamantes. El contenido de diamantes en las kimberlitas es muy bajo, no más de 0,000 007 3%, lo que equivale a 0,2 g (1 quilate) por cada 3 toneladas de kimberlitas. Ahora, una de las atracciones de Kimberley es un enorme pozo de 400 m de profundidad, excavado por mineros de diamantes.

Una tarea.¿Dónde se aplican las valiosas propiedades de los diamantes?

“Tal copo de nieve (estamos hablando de un copo de nieve. - COMO.), una estrella regular hexagonal, cayó sobre Nerzhin en la manga de un viejo abrigo rojo de primera línea.

AI. Solzhenitsin. En el primer círculo.

? ¿Por qué los copos de nieve tienen la forma correcta? ( Responder. La principal propiedad de los cristales es la simetría.)

“La ventana traqueteaba con el ruido; los vasos volaron, tintinearon, y sobresalió la cara de un cerdo terrible, moviendo los ojos, como preguntando: "¿Qué hacen aquí, buena gente?"

NEVADA. Gogol.

? ¿Por qué el vidrio se rompe incluso con una carga pequeña? ( Responder. El vidrio se clasifica como un cuerpo frágil, en el que prácticamente no hay deformación plástica, por lo que la deformación elástica acaba directamente en destrucción).

“Estaba helada más fuerte que en la mañana; pero en cambio estaba tan silencioso que el crujido de la escarcha bajo las botas se oía a media versta de distancia.

NEVADA. Gogol. Tardes en una Granja Cerca de Dikanka.

? ¿Por qué la nieve cruje bajo los pies cuando hace frío? ( Responder. Los copos de nieve son cristales, bajo los pies se derrumban, como resultado de lo cual aparece el sonido).

El diamante es cortado por un diamante.

? El diamante y el grafito están formados por los mismos átomos de carbono. ¿Por qué las propiedades del diamante y el grafito son diferentes? ( Responder. Estas sustancias difieren en su estructura cristalina. El diamante tiene fuertes enlaces covalentes, mientras que el grafito tiene una estructura en capas).

? ¿Qué sustancias conoces que no sean inferiores al diamante en fuerza? ( Responder. Una de esas sustancias es el nitruro de boro. Un enlace covalente muy fuerte une los átomos de boro y nitrógeno en la red cristalina de nitruro de boro. El nitruro de boro no es inferior al diamante en dureza y lo supera en fuerza y ​​resistencia al calor).

El final es desafilado, el cincel es afilado: corta láminas, los pedazos vuelan. ¿Qué es esto? ( Responder. Diamante.)

? ¿Qué propiedad distingue al diamante de otras sustancias? ( Responder. Dureza.)

Los cristales más grandes se encontraron en la Cueva de Naica, en el estado mexicano de Chihuahua. Algunas de ellas alcanzan una longitud de 13 my una anchura de 1 m.

A. E. Fersman a principios del siglo XX. describió una cantera en los Urales del Sur, incrustada en un cristal de feldespato gigante.

Conclusión

Como conclusión de la lección, quiero dar un ejemplo único del uso de la simetría. Las abejas melíferas necesitan poder contar y ahorrar. Para secretar solo 60 g de cera con glándulas especiales, necesitan comer 1 kg de miel de néctar y polen, y se requieren alrededor de 7 kg de alimentos dulces para construir un nido de tamaño mediano. Las celdas del panal pueden ser en principio cuadradas, pero las abejas eligen una forma hexagonal: proporciona el empaque más denso de larvas, por lo que la construcción de las paredes requiere un mínimo de cera preciosa. Las celdas son verticales, las celdas en ellas están ubicadas en ambos lados, es decir, tienen un fondo común: más ahorros. Se dirigen hacia arriba en un ángulo de 13 ° para que la miel no se derrame. En tales panales, se colocan varios kilogramos de miel. Estas son las verdaderas maravillas de la naturaleza.

Literatura

1. Arnold VI Métodos matemáticos de la mecánica clásica. M.: Editorial URSS, 2003.
2. Weil G. Symmetry: traducción del inglés. M, 1968.
3. Diccionario Glaciológico / Ed. V. M. Kotliakov. L.: Gidrometeoizdat, 1984.
4. Kompaneets A.S. Simetría en el micro y macromundo. Moscú: Nauka, 1978.
5. Merkulov D. La magia de los cristales líquidos // Ciencia y Vida. 2004. Nº 12.
6. Fiódorov ES Simetría y estructura de los cristales. M, 1949.
7. Física: Enc. para niños. Moscú: Avanta+, 2000.
8. Shubnikov A.V., Koptsik V.A. Simetría en la ciencia y el arte. Editorial 2. M., 1972.

SIMETRÍA DE CRISTALES- la propiedad de los cristales de combinarse consigo mismos durante rotaciones, reflexiones, transferencias paralelas, o con una parte o combinación de estas operaciones. ext. la forma (corte) de un cristal está determinada por la simetría de su estructura atómica, que también determina la simetría de la física. propiedades cristalinas.

Arroz. 1. a - cristal de cuarzo; 3 - eje de simetría de 3° orden, - ejes de 2° orden; b - cristal de metasilicato de sodio acuoso; m - plano de simetría.

En la fig. una a muestra un cristal de cuarzo. ext. su forma es tal que al girarlo 120° alrededor del eje 3 puede superponerse consigo mismo (igualdad consistente). Cristal de metasilicato de sodio (Fig. 1, b) se transforma en sí mismo por reflexión en el plano de simetría m (igualdad especular). si un - una función que describe un objeto, p. la forma de un cristal en el espacio tridimensional o to-l. su propiedad, y la operación transforma las coordenadas de todos los puntos del objeto, entonces gramo es una operación, o una transformación de simetría, y F es un objeto simétrico si se cumplen las siguientes condiciones:

En naib. En la formulación general, la simetría es la inmutabilidad (invariancia) de objetos y leyes bajo ciertas transformaciones de las variables que los describen. Los cristales son objetos en el espacio tridimensional, por lo que el clásico. teoría de S. a. - la teoría de las transformaciones simétricas en sí mismo del espacio tridimensional, teniendo en cuenta el hecho de que ext. la estructura atómica de los cristales es discreta, tridimensionalmente periódica. Durante las transformaciones de simetría, el espacio no se deforma, sino que se transforma como un todo rígido. Tal transformación es un surco. ortogonales o isométricas y. Después de la transformación de simetría, las partes del objeto que estaban en un lugar coinciden con las partes que están en otro lugar. Esto significa que hay partes iguales (compatibles o reflejadas) en un objeto simétrico.

S. a. se manifiesta no solo en su estructura y propiedades en el espacio tridimensional real, sino también en la descripción de la energética. el espectro de electrones del cristal (ver Teoría de zonas), al analizar procesos difracción de rayos x, difracción de neutrones y difracción de electrones en cristales usando el espacio recíproco (ver Enrejado recíproco)etc.

Grupos de simetría de cristales. Un cristal puede tener no uno, sino varios. . Entonces, un cristal de cuarzo (Fig. 1, a) está alineado consigo mismo no solo cuando se gira 120 ° alrededor del eje 3 (operación soldado americano), sino también al girar alrededor del eje 3 240° (funcionamiento g2), & también para rotaciones de 180° alrededor de los ejes 2X, 2Y, 2W(operaciones g3, g4, g5). Cada operación de simetría se puede asociar con un elemento de simetría: una línea, un plano o un punto, en relación con el cual se realiza la operación dada. por ejemplo, eje 3 o hachas 2x, 2y, 2w son los ejes de simetría, el plano t(Fig. 1,b) - por el plano de simetría especular, etc. El conjunto de operaciones de simetría (g 1 , g 2 , ..., g n ) dado cristal forma un grupo de simetría en el sentido de las matemáticas. teorías grupos. Coherente realizar dos operaciones de simetría también es una operación de simetría. En la teoría de grupos, esto se conoce como un producto de operaciones:. Siempre hay una operación de identidad. g0, que no cambia nada en el cristal, llamado. identificación, corresponde geométricamente a la inmovilidad del objeto oa su rotación de 360° alrededor de cualquier eje. El número de operaciones que forman un grupo G, llamado. orden de grupo.

Los grupos de simetría de las transformaciones espaciales se clasifican: por el número PAGS dimensiones del espacio, en el que se definen; por número t dimensiones del espacio, en las que el objeto es periódico (se designan en consecuencia), y según ciertos otros signos. Para describir los cristales se utilizan varios grupos de simetría, de los cuales los más importantes son los grupos de simetría puntual que describen el exterior. la forma de los cristales; su nombre. también cristalográfica. clases; grupos de simetría espacial que describen la estructura atómica de los cristales.

Grupos de simetría de puntos. Las operaciones de simetría puntual son: rotaciones alrededor del eje de simetría del orden norte en un ángulo igual a 360°/N(Fig. 2, a); reflexión en el plano de simetría t(reflejo de espejo, Fig. 2, b); inversión (simetría con respecto a un punto, Fig. 2, c); giros de inversión (combinación de rotación por un ángulo 360°/N con al mismo tiempo inversión, fig. 2d). En lugar de rotaciones de inversión, a veces se consideran rotaciones de espejo equivalentes a ellas. Las combinaciones geométricamente posibles de operaciones de simetría de puntos determinan uno u otro grupo de simetría de puntos, que generalmente se representa en estereografía. proyecciones. Con las transformaciones de simetría de puntos, al menos un punto del objeto permanece fijo: se transforma en sí mismo. Todos los elementos de simetría se cruzan en él, y es el centro de la estereografía. proyecciones. En las Figs. 3.

Arroz. 2. Ejemplos de operaciones de simetría: a - rotación; b - reflexión; c - inversión; d - rotación de inversión de 4° orden; e - rotación helicoidal de 4º orden; e - reflexión deslizante.

Arroz. 3. Ejemplos de cristales que pertenecen a diferentes grupos de puntos (clases cristalográficas): a - a la clase m (un plano de simetría); b - a la clase (centro de simetría o centro de inversión); a - a la clase 2 (un eje de simetría de segundo orden); g - a la clase (un eje rotatorio de inversión del sexto orden).

Transformaciones de simetría de puntos se describen mediante ecuaciones lineales

o matriz de coeficientes

Por ejemplo, al girar alrededor de un eje x1 en un ángulo-=360°/N matriz D parece:

y cuando se refleja en un plano x 1 x 2D parece:

El número de grupos de puntos es infinito. Sin embargo, en cristales debido a la presencia de cristalino. celosía, solo son posibles operaciones y, en consecuencia, ejes de simetría hasta el sexto orden (excepto el quinto; en una red cristalina no puede haber un eje de simetría de quinto orden, ya que con la ayuda de figuras pentagonales es imposible llenar espacio sin huecos). Las operaciones de simetría puntual y los elementos de simetría correspondientes se denotan con los símbolos: ejes 1, 2, 3, 4, 6, ejes de inversión (centro de simetría o centro de inversión), (también es el plano de simetría m), (Figura 4).

Arroz. 4. Designaciones gráficas de elementos de simetría puntual: a - un círculo - el centro de simetría, ejes de simetría perpendiculares al plano del dibujo; b - eje 2, paralelo al plano del dibujo; c - ejes de simetría, paralelos u oblicuos al plano del dibujo; g - plano de simetría, perpendicular al plano del dibujo; d - planos de simetría paralelos al plano del dibujo.

Para describir un grupo de simetría de puntos, basta con especificar uno o más. las operaciones de simetría que lo generan, el resto de sus operaciones (si las hay) surgen como resultado de la interacción de los generadores. Por ejemplo, para el cuarzo (Fig. 1, a), las operaciones generadoras son 3 y una de las operaciones es 2, y en este grupo hay operaciones en total 6. La notación internacional de grupos incluye los símbolos de las operaciones generadoras de simetría. Los grupos de puntos se combinan de acuerdo con la simetría de puntos de la forma de la celda unitaria (con períodos a, antes de Cristo y ángulos) en 7 singonías (Tabla 1).

Grupos que contienen, además del cap. hachas norte planos de simetria t, se denotan como Nuevo Méjico Yo para Nuevo Méjico si el eje esta en el plano t. Si un grupo además de Ch. El eje tiene varios. planos de simetría que lo atraviesan, entonces se denota mmm.

Pestaña. una.- Grupos puntuales (clases) de simetría de cristales.

Los grupos que contienen solo rotaciones describen cristales que consisten solo en partes iguales compatibles (grupos del primer tipo). Los grupos que contienen reflexiones o rotaciones de inversión describen cristales, en los que hay partes iguales especulares (grupos del segundo tipo). Los cristales descritos por grupos del 1er tipo pueden cristalizar en dos formas enantiomórficas ("derecha" e "izquierda", cada una de las cuales no contiene elementos de simetría del 2do tipo), pero iguales en espejo entre sí (ver Fig. enantiomorfismo).

Los grupos de S. k. llevan un geoma. significado: cada una de las operaciones corresponde, por ejemplo, a la rotación alrededor del eje de simetría, la reflexión en el plano. Ciertos grupos de puntos en el sentido de la teoría de grupos, que tiene en cuenta solo las reglas para la interacción de operaciones en un grupo dado (pero no su significado geométrico), resultan ser iguales o isomorfos entre sí. Estos son, por ejemplo, los grupos 4 y, tt2, 222. En total, hay 18 grupos abstractos isomorfos a uno o más de los 32 grupos puntuales de S. c.

Limitar grupos. Las funciones, que describen la dependencia de varias propiedades de un cristal en la dirección, tienen una cierta simetría puntual, asociada únicamente con el grupo de simetría de las facetas del cristal. O coincide con él o es más alto que él en simetría ( Principio de Neumann).

Con respecto a lo macroscópico Las propiedades de un cristal se pueden describir como un medio continuo homogéneo. Por lo tanto, muchas de las propiedades de los cristales que pertenecen a uno u otro grupo de simetría puntual están descritas por los llamados. grupos de puntos límite que contienen ejes de simetría de orden infinito, denotados por el símbolo. La presencia de un eje significa que el objeto está alineado consigo mismo cuando se gira en cualquier ángulo, incluido uno infinitesimal. Hay 7 de estos grupos (Fig. 5). Así, en total hay 32 + 7 = 39 grupos de puntos que describen la simetría de las propiedades de los cristales. Conociendo el grupo de simetría de los cristales, se puede indicar la posibilidad de la presencia o ausencia de ciertas propiedades físicas en él. propiedades (ver física de cristal).

Arroz. 5. Proyecciones estereográficas de 32 grupos cristalográficos y 2 icosaédricos. Los grupos están ordenados en columnas por familias cuyos símbolos se dan en la fila superior. La fila inferior indica el grupo límite de cada familia y muestra figuras que ilustran el grupo límite..

Grupos de simetría espacial. La simetría espacial de la estructura atómica de los cristales se describe mediante grupos de simetría espacial. Se les llama también Fedorov en honor a E. S. Fedorov, quien los encontró en 1890; estos grupos fueron criados de forma independiente en el mismo año por A. Schoenflies. A diferencia de los grupos puntuales, los centeno se obtuvieron como una generalización de las regularidades de las formas cristalinas. poliedros (S. I. Gessel, 1830, A. V. Gadolin, 1867), los grupos espaciales eran el producto de la geom matemática. teoría que anticipó el experimento. determinación de la estructura de los cristales mediante difracción de rayos X. rayos

Las operaciones características de la estructura atómica de los cristales son 3 traslaciones no coplanares a, b, c, a-centeno y establecen la periodicidad tridimensional del cristal. rejillas Cristalino la red se considera infinita en las tres dimensiones. Tal estera. la aproximación es real, porque el número de celdas unitarias en los cristales observados es muy grande. Transferencia de estructura a vectores a B C o cualquier vector donde pág. 1, pág. 2, pág. 3- cualquier número entero, combina la estructura cristalina consigo mismo y, por lo tanto, es una operación de simetría (simetría traslacional).

física discreción del cristal. la materia se expresa en su estructura atómica. Los grupos espaciales son grupos de transformación de un espacio discreto tridimensional homogéneo en sí mismo. La discreción radica en el hecho de que no todos los puntos de dicho espacio son simétricamente iguales entre sí, por ejemplo. un átomo de uno y un átomo de otro tipo, un núcleo y electrones. Las condiciones de homogeneidad y discreción están determinadas por el hecho de que los grupos espaciales son tridimensionalmente periódicos, es decir, cualquier grupo contiene un subgrupo de traslaciones T- cristalino. enrejado.

Debido a la posibilidad de combinar traslaciones y operaciones de simetría puntual en grupos en una red, además de las operaciones de simetría puntual, surgen operaciones y elementos de simetría correspondientes a partir de traslaciones. componente: ejes helicoidales de varios órdenes y planos de reflexión rasante (Fig. 2, d, e).

De acuerdo con la simetría puntual de la forma de la celda unitaria (paralelepípedo elemental), los grupos espaciales, al igual que los puntuales, se dividen en 7 grupos cristalográficos. singonía(Tabla 2). Su subdivisión adicional corresponde a las traducciones. grupos y sus respectivos Rejillas Vrave. Hay 14 retículas de Bravais, de las cuales 7 son retículas primitivas de las singonías correspondientes, se denotan R(excepto romboédrico R). Otros-7 se desploma. celosías: baso (boco) - centrado PERO(la cara está centrada a.c.), V(cara ac), C (ab); centrado en el cuerpo I, centrado en la cara (en las 3 caras) F. Teniendo en cuenta el centrado para la operación de traducción t se añaden las traslaciones de centrado correspondientes al centro t.c.. Si estas operaciones se combinan entre sí t + t s y con las operaciones de los grupos puntuales de las singonías correspondientes, entonces se obtienen 73 grupos espaciales, llamados. simórfico.

Pestaña. 2.-Grupos de simetría espacial

Según ciertas reglas, los subgrupos no triviales se pueden extraer de los grupos espaciales simórficos, lo que da otros 157 grupos espaciales no simórficos. Hay 230 grupos espaciales en total Operaciones de simetría al transformar un punto X en simétricamente igual a él (y por lo tanto todo el espacio en sí mismo) se escriben como: , donde D- transformaciones de puntos, - componentes de transferencia de tornillo o reflexión deslizante, - operaciones de traslación. Grupos valientes. Operaciones de simetría helicoidal y sus correspondientes elementos de simetría: los ejes helicoidales tienen un ángulo. componente (N = 2, 3, 4, 6) y traslacional t s = tq/N, dónde t- traslación de la red, la rotación n ocurre simultáneamente con la traslación a lo largo del eje W, q- índice helicoidal. Símbolo general para ejes helicoidales N q(Figura 6). Los ejes de los tornillos están dirigidos a lo largo del cap. ejes o diagonales de la celda unitaria. Los ejes 3 1 y 3 2 , 4 1 y 4 3 , 6 1 y 6 5 , 6 2 y 6 4 corresponden por pares a giros helicoidales a derecha e izquierda. Además de la operación de simetría especular en grupos espaciales, planos de reflexión rasante a, antes de Cristo: la reflexión se combina con la traducción por la mitad del período de rejilla correspondiente. La transferencia por la mitad de la diagonal de la cara de la celda corresponde a la llamada. plano de cuña de deslizamiento n, además, en tetragonal y cúbico. grupos, los planos de "diamante" son posibles d.

Arroz. 6. a - Designaciones gráficas de ejes helicoidales perpendiculares al plano de la Fig.; b - eje helicoidal que se encuentra en el plano de la Fig.; c - planos de reflexión rasantes perpendiculares al plano de la Fig., donde a, b, c - períodos de la celda unitaria, a lo largo de cuyos ejes se produce el deslizamiento (componente traslacional a / 2), n - plano diagonal de reflexión rasante [traslacional componente (a + b) / 2], d - plano de deslizamiento de diamante; d - lo mismo en el plano de la figura.

En mesa. Se dan 2 símbolos internacionales de los 230 grupos espaciales de acuerdo con su pertenencia a una de las 7 singonías y la clase de simetría puntual.

Transmisión. los componentes de operaciones de microsimetría de grupos espaciales no aparecen macroscópicamente en grupos puntuales; por ejemplo, el eje helicoidal en el tallado de cristales aparece como un eje de rotación simple correspondiente en orden. Por lo tanto, cada uno de los 230 grupos es macroscópicamente similar (homomorfo) a uno de los 32 grupos puntuales. Por ejemplo, para el grupo de puntos mmm 28 grupos espaciales se muestran homomórficamente.

La notación Schoenflies de grupos espaciales es la designación del grupo de puntos correspondiente (por ejemplo, , Tabla 1), al que se asigna desde arriba el número de serie históricamente aceptado, por ejemplo. . En notación internacional, se indica el símbolo de la red de Bravais y las operaciones generadoras de la simetría de cada grupo, etc. La secuencia de disposición de los grupos espaciales en la Tabla. 2 en notación internacional corresponde al número (superíndice) en notación Schoenflies.

En la fig. 7 se da la imagen de los espacios. grupos - Rpta según la Cristalografía Internacional mesas. Las operaciones (y sus correspondientes elementos) de la simetría de cada grupo espacial, indicadas para la celda unitaria, actúan sobre todo cristalino. el espacio, toda la estructura atómica del cristal y entre sí.

Arroz. 7. Imagen del grupo - Rpta en las tablas Internacionales.

Si configura dentro de la celda elemental to-n. punto x (x 1 x 2 x 3), luego las operaciones de simetría lo transforman en puntos simétricamente iguales a él en todo el cristal. espacio; hay un número infinito de tales puntos. Pero es suficiente describir su posición en una celda elemental, y este conjunto ya se multiplicará por las traslaciones de la red. El conjunto de puntos derivados de las operaciones dadas. soldado americano grupos G - x 1 , x 2 ,..., x n-1, llamó correcto sistema de puntos (PST). En la fig. 7 a la derecha está la disposición de los elementos de simetría del grupo, a la izquierda está la imagen del PST de la posición general de este grupo. Los puntos en posición general son aquellos puntos que no están ubicados en un elemento de simetría puntual del grupo espacial. El número (multiplicidad) de tales puntos es igual al orden del grupo. Los puntos ubicados en un elemento (o elementos) de simetría puntual forman un PST de una posición particular y tienen una simetría correspondiente, su número es un número entero de veces menor que la multiplicidad de un PST de una posición general. En la fig. 7 a la izquierda los círculos indican puntos de posición general, están dentro de la celda elemental 8, los símbolos "+" y "-", "1/2+" y "1/2-" significan, respectivamente, las coordenadas +z , -z, 1/2 + z , 1/2 - z. Las comas o su ausencia significan igualdad especular por pares de los puntos correspondientes con respecto a los planos de simetría m presentes en este grupo en a= 1/4 y 3/4. Si el punto cae en el plano m, entonces no es duplicado por este plano, como en el caso de los puntos en posición general, y el número (multiplicidad) de tales puntos de posición particular es 4, su simetría es -m. Lo mismo ocurre cuando un punto toca los centros de simetría.

Cada grupo espacial tiene sus propios conjuntos de PST. Solo hay un sistema correcto de puntos en posición general para cada grupo. Pero parte del PST de un puesto en particular puede resultar ser el mismo para diferentes grupos. Las Tablas Internacionales indican la multiplicidad de PST, su simetría y coordenadas, y todas las demás características de cada grupo espacial. La importancia del concepto de PST radica en que en cualquier cristalino. Estructura perteneciente a un determinado grupo espacial, los átomos o centros de moléculas se ubican a lo largo de la SST (uno o más). En análisis estructural, la distribución de los átomos en uno o varios. El PST de este grupo espacial se produce teniendo en cuenta la sustancia química. Crystal Fly y datos de difracción. experimento, le permite encontrar las coordenadas de puntos de posiciones privadas o generales, en las que se encuentran los átomos. Dado que cada PST consta de uno o varios de los retículos de Bravais, la disposición de los átomos también se puede considerar como un conjunto de retículos de Bravo "empujados entre sí". Tal representación es equivalente al hecho de que el grupo espacial contiene traslaciones como un subgrupo. Grupo valiente.

Subgrupos de grupos de simetría cristalina. Si parte de la operación a-l. grupo en sí mismo forma un grupo G r (g 1 ,...,g m),, entonces el último se llama subgrupo del primero. Por ejemplo, los subgrupos del grupo de puntos 32 (Fig. 1, a) son el grupo 3 y grupo 2 . También entre espacios. grupos, hay una jerarquía de subgrupos. Los grupos espaciales pueden tener como subgrupos grupos de puntos (hay 217 grupos espaciales de este tipo) y subgrupos que son grupos espaciales de orden inferior. En consecuencia, existe una jerarquía de subgrupos.

La mayoría de los grupos de cristales de simetría espacial son diferentes entre sí y como grupos abstractos; el número de grupos abstractos isomorfos a 230 grupos espaciales es 219. Los grupos abstractos iguales son 11 grupos espaciales (enantiomórficos) iguales a un espejo, uno con solo ejes helicoidales derechos, otros con ejes helicoidales izquierdos. Estos son, por ejemplo, PAGS 3 1 21 y PAGS 3 2 21. Ambos grupos espaciales se mapean homomórficamente en el grupo de puntos 32, al que pertenece el cuarzo, pero el cuarzo es dextrógiro y levógiro, respectivamente: la simetría de la estructura espacial en este caso se expresa macroscópicamente, pero el el grupo de puntos es el mismo en ambos casos.

El papel de los grupos de cristales de simetría espacial.. Grupos de simetría espacial de cristales: la base de la teoría. cristalografía, difracción y otros métodos para determinar la estructura atómica de los cristales y describir el cristal. estructuras

El patrón de difracción obtenido por difracción de rayos X. neutronografía o electrografia, le permite establecer simetría y geom. características celosía recíproca cristal, y por lo tanto la estructura misma del cristal. Así se determina el grupo puntual de un cristal y la celda unitaria; las extinciones características (la ausencia de ciertos reflejos de difracción) determinan el tipo de rejilla de Bravais y la pertenencia a un grupo espacial particular. La disposición de los átomos en una celda elemental se encuentra a partir de la totalidad de las intensidades de las reflexiones de difracción.

Los grupos espaciales juegan un papel importante en química de cristal. Se han identificado más de 100 mil cristales. estructuras inorgánicas., orgánicas. y biológica. conexiones Cualquier cristal pertenece a uno de los 230 grupos espaciales. Resultó que casi todos los grupos espaciales se realizan en el mundo de los cristales, aunque algunos de ellos son más comunes que otros. Hay estadísticas sobre la prevalencia de grupos espaciales para varios tipos de productos químicos. conexiones Hasta el momento, solo 4 grupos no se han encontrado entre las estructuras estudiadas: Rcc2, P4 2 cm, P4nc 1, R6tp. La teoría que explica la prevalencia de ciertos grupos espaciales tiene en cuenta las dimensiones de los átomos que componen la estructura, el concepto de empaquetamiento denso de átomos o moléculas, el papel de los elementos de simetría de "empaquetamiento": planos de deslizamiento y ejes helicoidales.

En física del estado sólido se utiliza la teoría de representaciones de grupos con la ayuda de matrices y especiales. f-ciones, para grupos espaciales estas funciones son periódicas. Entonces, en teoría transiciones de fase estructural El grupo espacial de simetría de la fase menos simétrica (de baja temperatura) del segundo tipo es un subgrupo del grupo espacial de la fase más simétrica, y la transición de fase está asociada con una de las representaciones irreducibles del grupo espacial de la fase muy simétrica. La teoría de la representación también permite resolver problemas de dinámica red cristalina, es electrónico y magnético estructuras, una serie de propiedades. en lo teorico cristalografía, los grupos espaciales permiten desarrollar una teoría de partición del espacio en regiones iguales, en particular, poliédricas.

Simetría de proyecciones, capas y cadenas.. Proyecciones cristalinas. las estructuras por plano se describen mediante grupos planos, su número es 17. Para describir objetos tridimensionales, periódicos en 1 o 2 direcciones, en particular fragmentos de la estructura cristalina, se pueden usar grupos - bidimensionalmente periódicos y - unidimensionalmente periódico. Estos grupos juegan un papel importante en el estudio de la biología. estructuras y moléculas. Por ejemplo, los grupos describen la estructura de lo biológico. membranas, grupos de moléculas de cadena (Fig. 8, a), virus en forma de varilla, cristales tubulares de proteínas globulares (Fig. 8, b), en el que las moléculas están dispuestas según la simetría helicoidal (helicoidal) posible en grupos (ver Fig. cristal biológico).

Arroz. 8. Objetos con simetría helicoidal: a - molécula de ADN; b - cristal tubular de proteína fosforilasa (imagen de microscopio electrónico, aumento 220,000).

Estructura de cuasicristales. cuasicristal(p. ej., A1 86 Mn 14) tienen icosaedro. simetría puntual (Fig. 5), lo cual es imposible en un cristal. enrejado. El orden de largo alcance en los cuasi-cristales es cuasi-periódico, descrito sobre la base de la teoría de casi periódico. funciones La estructura de los cuasicristales se puede representar como una proyección en un espacio tridimensional de un periódico de seis dimensiones. cúbico celosías con ejes de 5º orden. Los cuasicristales con simetría pentadimensional en dimensión superior pueden tener 3 tipos de redes de Bravais (primitivas, centradas en el cuerpo y centradas en las caras) y 11 grupos espaciales. Dr. posibles tipos de cuasicristales: colocados en una pila de rejillas bidimensionales de átomos con ejes de 5, 7, 8, 10, 12 órdenes, con una periodicidad a lo largo de la tercera dirección perpendicular a las rejillas.

Simetría generalizada. La definición de simetría se basa en el concepto de igualdad (1,b) bajo la transformación (1,a). Sin embargo, física (y matemáticamente) un objeto puede ser igual a sí mismo en algunos aspectos y no igual en otros. Por ejemplo, la distribución de núcleos y electrones en un cristal antiferromagnético puede describirse utilizando la habitual simetría espacial, pero si tenemos en cuenta la distribución de los magnéticos en ella. momentos (Fig. 9), luego “usual”, clásico. la simetría ya no es suficiente. Tales generalizaciones de simetría incluyen la antisimetría y la fotografía en color.

Arroz. 9. Distribución de momentos magnéticos (flechas) en la celda unitaria de un cristal ferrimagnético, descrita usando simetría generalizada.

En antisimetría, además de tres variables espaciales x1, x2, x3 se introduce una cuarta variable adicional. Esto se puede interpretar de tal manera que cuando se transforma (1, a), la función F puede ser no solo igual a sí mismo, como en (1, b), sino también "anti-igual": cambiará de signo. Hay 58 grupos de antisimetría de puntos y 1651 grupos de antisimetría espacial (grupos de Shubnkov).

Si la variable adicional adquiere no dos valores, sino más (posibles 3,4,6,8, ..., 48) , entonces el llamado Simetría de color de Belov.

Entonces, se conocen 81 grupos de puntos y 2942 grupos. Principal aplicaciones de simetría generalizada en cristalografía - descripción de magn. estructuras

También se han encontrado otros grupos antisimétricos (múltiples, etc.). Teóricamente, también se derivan todos los grupos puntuales y espaciales del espacio de cuatro dimensiones y dimensiones superiores. Con base en la consideración de la simetría de un espacio de (3 + K) dimensiones, también se pueden describir módulos que son inconmensurables en tres direcciones. estructuras (ver estructura desproporcionada).

Dr. generalización de la simetría - simetría de similitud, cuando la igualdad de las partes de la figura se reemplaza por su similitud (Fig. 10), simetría curvilínea, estadística. simetría introducida en la descripción de la estructura de los cristales desordenados, soluciones sólidas, cristales líquidos y etc.

Arroz. 10. Una figura con simetría de semejanza.

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