Symmetrie von Kristallen. Atomarer Aufbau von Festkörpern Versuchsarbeit "Kristalle züchten"

SYMMETRIE DER KRISTALLE

Die Eigenschaft von Kristallen, bei Drehungen, Spiegelungen, parallelen Übertragungen oder einem Teil oder einer Kombination dieser Vorgänge mit sich selbst kombiniert zu werden. Symmetrie bedeutet die Fähigkeit, ein Objekt zu transformieren, das es mit sich selbst verbindet. Symmetrie ext. Die Form (Schliff) eines Kristalls wird durch die Symmetrie seiner atomaren Struktur bestimmt, die auch die Symmetrie des Physischen bestimmt. Kristalleigenschaften.

Reis. 1. a - Quarzkristall: 3 - Symmetrieachse 3. Ordnung, 2x, 2y, 2w - Achsen 2. Ordnung; b - Kristall aus wässrigem Natriummetasilikat: m - Symmetrieebene.

Auf Abb. 1a zeigt einen Quarzkristall. Ext. seine Form ist so, dass er durch Drehung um 120° um die Achse 3 mit sich selbst überlagert werden kann (konsequente Gleichheit). Der Natriummetasilikat-Kristall (Abb. 1, 6) wird durch Spiegelung an der Symmetrieebene m in sich selbst umgewandelt (Spiegelgleichheit).

Wenn F(xlx2.x3) eine Funktion ist, die ein Objekt beschreibt, z.B. die Form eines Kristalls im dreidimensionalen Raum oder c.-l. seine Eigenschaft, und die Operation g(x1, x2, x3) transformiert die Koordinaten aller Punkte des Objekts, dann ist g eine Operation oder eine Symmetrietransformation, und F ist ein symmetrisches Objekt, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

In der allgemeinsten Formulierung - die Unveränderlichkeit (Invarianz) von Objekten und Gesetzen unter bestimmten Transformationen der Variablen, die sie beschreiben. Kristalle sind Objekte im dreidimensionalen Raum, so der Klassiker. die Theorie von S. bis - die Theorie der symmetrischen. Transformationen des dreidimensionalen Raums in sich selbst unter Berücksichtigung der Tatsache, dass ext. Die atomare Struktur von Kristallen ist dreidimensional periodisch, das heißt, sie wird als beschrieben. Bei Transformationen wird die Symmetrie nicht deformiert, sondern als starres Ganzes transformiert. Solche Transformationen werden aufgerufen orthogonal oder isometrisch. Nachdem die Teile des Objekts, die sich an einem Ort befanden, mit den Teilen zusammenfallen, die sich an einem anderen Ort befinden. Dies bedeutet, dass in einem symmetrischen Objekt gleiche Teile (kompatibel oder gespiegelt) vorhanden sind.

S. bis manifestiert sich nicht nur in ihrer Struktur und Eigenschaften im realen dreidimensionalen Raum, sondern auch in der energetischen Beschreibung. das Spektrum der Elektronen des Kristalls (siehe ZONE THEORY), bei der Analyse der Prozesse der Röntgenbeugung. Strahlen und Elektronen in Kristallen im reziproken Raum (siehe UMKEHRGITTER) usw.

Symmetriegruppe von Kristallen. Ein Kristall kann nicht einen, sondern mehrere haben. Symmetrieoperationen. So wird ein Quarzkristall (Abb. 1, a) nicht nur bei einer Drehung um 120° um die Achse 3 (Vorgang g1), sondern auch bei einer Drehung um die Achse 3 um 240° (Vorgang g2) und auch bei einer Drehung auf sich selbst ausgerichtet um 180° um die Achsen 2x, 2y, 2w (Operationen g3, g4, g5). Jedes Symmetrieelement kann zugeordnet werden - eine gerade Linie, eine Ebene oder ein Punkt, relativ zu dem diese Operation ausgeführt wird. Beispielsweise sind die 3-Achse oder die 2x-, 2y-, 2w-Achsen die Symmetrieachsen, die m-Ebene (Abb. 1.6) die Ebene der Spiegelsymmetrie usw. Die Menge der Symmetrieoperationen (g1, g2, . . . , gn) eines gegebenen Kristalls bildet eine Symmetriegruppe G im Sinne von Math. Gruppentheorie. Konsistent Das Ausführen von zwei Symmetrieoperationen ist auch eine Symmetrieoperation. Es gibt immer eine Identitätsoperation g0, die nichts im Kristall ändert, genannt. Identifizierung, die geometrisch der Unbeweglichkeit des Objekts oder seiner Drehung um 360 ° um eine beliebige Achse entspricht. Die Anzahl der Operationen, die eine Gruppe G bilden, genannt. Gruppenbestellung.

Symmetriegruppen werden klassifiziert: nach der Anzahl n der Raumdimensionen, in denen sie definiert sind; nach der Anzahl m der Raumdimensionen, in denen das Objekt periodisch ist (sie werden jeweils mit Gnm bezeichnet), und nach einigen anderen Merkmalen. Um die Kristalle zu beschreiben, verwenden Sie dec. Symmetriegruppen, von denen die wichtigsten sind . G33, das die atomare Struktur von Kristallen beschreibt, und Punktgruppen mit G30-Symmetrie, die ihre äußere Form beschreiben. Nachnamen auch kristallographische Klassen.

Punktsymmetriegruppen. Die Operationen der Punktsymmetrie sind: Drehungen um die Symmetrieachse der Ordnung N um einen Winkel gleich 360°/N (Abb. 2, a), Spiegelung in der Symmetrieebene ( ; Abb. 2, b), Inversion von T (Symmetrie um einen Punkt; Abb. 2, c), Inversionsrotationen N= (Kombination aus 360°/N-Rotation bei gleichzeitiger Inversion; Abb. 2, d).

Reis. 2. Die einfachsten Symmetrieoperationen: a - Drehung; b - Reflexion; c - Umkehrung; d - Inversionsrotation 4. Ordnung; e - Schraubendrehung 4. Ordnung; e - gleitende Reflexion.

Anstelle von Inversionswindungen werden manchmal N = Spiegelwindungen in Betracht gezogen. Geometrisch mögliche Kombinationen dieser Operationen bestimmen die eine oder andere Punktsymmetriegruppe, die üblicherweise in stereographischer Form dargestellt wird. Projektionen. Bei Punktsymmetrietransformationen bleibt mindestens ein Punkt des Objekts fixiert – es transformiert sich in sich selbst. In ihm schneiden sich alle Symmetrien, und er ist das Zentrum des Stereografischen. Projektionen. Beispiele für Kristalle im Zusammenhang mit Dec. Punktgruppen sind in den Fig. 1 und 2 angegeben. 3.

Reis. 3. Beispiele von Kristallen, die zu verschiedenen Punktgruppen gehören (kristallographische Klassen): o - bis Klasse m (eine Symmetrieebene); b - bis Klasse c (Symmetriezentrum); c - bis Klasse 2 (eine Symmetrieachse 2. Ordnung); d - bis Klasse 6 (eine Inversionsdrehachse 6. Ordnung).

Punktsymmetrietransformationen g (x1, x2, x3) \u003d x "1, x" 2, x "3 werden durch lineare Gleichungen beschrieben:

d.h. die Koeffizientenmatrix (aij). Beispielsweise bei einer Drehung um die x1-Achse im Winkel a=360°/N ist der Koeffizient sieht aus wie:

und wenn es in der x1, x2-Ebene gespiegelt wird, hat es die Form:

Die Anzahl der Go-Punkt-Gruppen ist unendlich. In Kristallen jedoch aufgrund des Vorhandenseins von Crist. Gitter sind nur Operationen möglich und dementsprechend Symmetrieachsen bis zur 6. Ordnung (außer der 5.; in einem Kristallgitter kann es keine Symmetrieachse 5. Ordnung geben, da ein lückenloses Auffüllen mit Hilfe von nicht möglich ist Fünfecke), die als Symbole bezeichnet werden: 1, 2, 3, 4, 6, sowie Umkehrachsen 1 (es ist auch das Symmetriezentrum), 2 (es ist auch die Symmetrieebene), 3, 4, 6 Daher ist die Anzahl der kristallographischen Punkte. Symmetriegruppen, die ext. Die Form der Kristalle ist begrenzt, es gibt nur 32 (siehe Tabelle). Im internationalen Die Notation von Punktgruppen enthält die Symbole der Symmetrieoperationen, die sie erzeugen. Diese Gruppen werden entsprechend der Symmetrie der Elementarzellenform (mit Perioden o, b, c und Winkeln a, b, g) zu 7 Syngonien zusammengefasst.

Gruppen, die nur Drehungen enthalten, beschreiben , die nur aus kompatiblen gleichen Teilen bestehen (Gruppen 1. Art). Gruppen, die Spiegelungen oder Inversionsdrehungen enthalten, beschreiben Kristalle, in denen spiegelgleiche Teile vorhanden sind (Gruppen zweiter Art). Kristalle, die von Gruppen der 1. Art beschrieben werden, können in zwei enantiomorphen Formen kristallisieren („rechts“ und „links“, die jeweils keine Symmetrieelemente der 2. Art enthalten), aber zueinander spiegelgleich sind (siehe ENANTIOMORPHISM).

Punktgruppen beschreiben die Symmetrie nicht nur von Kristallen, sondern von beliebigen endlichen Figuren. In der belebten Natur wird häufig die in der Kristallographie verbotene Symmetrie mit Achsen der 5., 7. Ordnung und höher beobachtet. Zum Beispiel, um die regelmäßige Struktur einer Kugel zu beschreiben Viren, in deren Hüllen die Prinzipien der dichten Packung von Molekülen beobachtet werden, erwies sich der Ikosaeder 532 als wichtig (siehe BIOLOGISCHE KRISTALLE).

Gruppen begrenzen. Funktionen, um Roggen beschreiben die Abhängigkeit decomp. Eigenschaften des Kristalls aus der Richtung, haben eine bestimmte Punktsymmetrie, die eindeutig mit der Symmetriegruppe der Facettierung des Kristalls verbunden ist. Es fällt entweder damit zusammen oder ist symmetrisch höher als es (Neumann-Prinzip).

Viele der Eigenschaften von Kristallen, die zu bestimmten Punktsymmetriegruppen gehören, sind in Bd. CRYSTAL PHYSICS) beschrieben.

Die räumliche Symmetrie der atomaren Struktur von Kristallen wird durch Zwischenräume beschrieben. G33-Symmetriegruppen (auch Fedorov-Gruppen genannt, zu Ehren von E. S. Fedorov, der sie 1890 gefunden hat). Charakteristisch für einen Verband sind die drei nicht koplanaren Operationen a, b, c, genannt. Übersetzungen, Roggen legen die dreidimensionale Periodizität der atomaren Struktur von Kristallen fest. Die Verschiebung (Übertragung) der Struktur um die Vektoren a, b, c oder einen beliebigen Vektor t=p1a+p2b+p3c, wobei p1,p2, p3 beliebige positive oder negative ganze Zahlen sind, verbindet die Kristallstruktur mit sich selbst und somit ist eine Symmetrieoperation (Translationssymmetrie).

Durch die Möglichkeit, Translationen und Punktsymmetrieoperationen im G33-Gitter zu kombinieren, entstehen Operationen und entsprechende Symmetrieelemente aus Translationen. Bauteil - Schneckenachsen dekomp. Ordnungen und Ebene der streifenden Reflexion (Abb. 2, e, f). Insgesamt sind 230 Plätze bekannt. Symmetriegruppen G33, jeder Kristall gehört zu einer dieser Gruppen. Übertragung. Elemente der Mikrosymmetrie treten beispielsweise makroskopisch nicht auf. Die Schraubenachse in der Facettierung von Kristallen erscheint als einfache Rotationsachse in entsprechender Reihenfolge. Daher ist jede der 230 G33-Gruppen makroskopisch ähnlich (homomorph) zu einer der 32 Punktgruppen. Beispielsweise werden 28 Räume homomorph auf die Punktgruppe mmm abgebildet. Gruppen. Der Satz von Übertragungen, der einer gegebenen Raumgruppe innewohnt, ist ihre Translationsuntergruppe oder das Bravais-Gitter; Es gibt 14 solcher Gitter.

Symmetrie von Schichten und Ketten. Zur Beschreibung von in 1 oder 2 Richtungen periodischen Objekten, insbesondere Fragmenten der Kristallstruktur, können die Gruppen G32 - zweidimensional periodisch und G31 - eindimensional periodisch im dreidimensionalen Raum verwendet werden. Diese Gruppen spielen eine wichtige Rolle beim Studium der Biologie. Strukturen und Moleküle. Zum Beispiel die Gruppen G| den Aufbau von biol. Membranen, Gruppen von G31-Kettenmolekülen (Abb. 5, a) stäbchenförmige Viren, röhrenförmige Kristalle von kugelförmigen Proteinen (Abb. 5, b), in denen sie gemäß der in Gruppen G31 möglichen helikalen (helikalen) Symmetrie angeordnet sind ( siehe BIOLOGISCHE KRISTALLE ).

Reis. 5. Objekte mit Helixsymmetrie: a - DNA; b - röhrenförmiger Kristall des Phosphorylaseproteins (elektronenmikroskopische Aufnahme, Vergrößerung 220000).

Verallgemeinerte Symmetrie. Die Definition der Symmetrie basiert auf dem Gleichheitsbegriff (1, b) unter der Transformation (1, a). Physikalisch (und mathematisch) kann ein Objekt jedoch in gewisser Hinsicht gleich und in anderer Hinsicht nicht gleich sein. Beispielsweise können Kerne und Elektronen in einem antiferromagnetischen Kristall unter Verwendung gewöhnlicher Räume beschrieben werden. Symmetrie, aber wenn wir die magn. Momente (Abb. 6), dann gewöhnlich“, klassisch. Symmetrie reicht nicht mehr aus. Solche Verallgemeinerungen der Symmetrie umfassen Antisymmetrie und . In Antisymmetrie zusätzlich zu drei Zwischenräumen. Variablen x1, x2, x3 wird eine zusätzliche 4. Variable x4=±1 eingeführt. Dies lässt sich so interpretieren, dass bei der Transformation (1, a) die Funktion F nicht nur gleich sich selbst sein kann, wie in (1, b), sondern auch „anti-gleich“ – also das Vorzeichen wechseln kann. Herkömmlicherweise kann eine solche Operation durch eine Farbänderung dargestellt werden (Fig. 7).

Reis. 6. Verteilung magnetischer Momente (Pfeile) in der Elementarzelle eines ferrimagnetischen Kristalls, beschrieben durch verallgemeinerte Symmetrie.

Es gibt 58 Gruppen von Punktantisymmetrie C30 und 1651 Zwischenräume. Antisymmetrien G33,a (Shubnikovskii gr u p p). Wenn die zusätzliche Variable nicht zwei Werte annimmt, sondern mehrere. (Möglich sind die Zahlen 3, 4, 6, 8, . . ., 48), dann entsteht Belovs Farbsymmetrie. Somit sind 81 Punktgruppen G30,c und 2942 Gruppen C33,c bekannt. Die Hauptanwendungen der verallgemeinerten Symmetrie in der Kristallographie sind die Beschreibung des Magnetfelds. Strukturen.

Reis. 7. Die Figur, die durch die Punktgruppe der Antisymmetrie beschrieben wird.

DR. Verallgemeinerungen der Symmetrie: Ähnlichkeitssymmetrie, wenn die Gleichheit der Teile der Figur durch ihre Ähnlichkeit ersetzt wird (Abb. 8), krummlinige Symmetrie, statistische. Symmetrie eingeführt in die Beschreibung der Struktur von ungeordneten Kristallen, festen Lösungen, Flüssigkristallen usw.

Physikalisches Enzyklopädisches Wörterbuch. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. Chefredakteur A. M. Prochorow. 1983 .

SYMMETRIE DER KRISTALLE

Die Eigenschaft von Kristallen, bei Drehungen, Spiegelungen, parallelen Übertragungen oder mit einem Teil oder einer Kombination dieser Operationen mit sich selbst kombiniert zu werden. Symmetrie ext. Die Form (Schliff) eines Kristalls wird durch die Symmetrie seiner atomaren Struktur bestimmt, die auch die Symmetrie des Physischen bestimmt. Kristalleigenschaften.

Reis. 1. a - Quarzkristall; 3 - Symmetrieachse 3. Ordnung, - Achsen 2. Ordnung; b - Kristall aus wässrigem Natriummetasilikat; m - Symmetrieebene.

Auf Abb. eines a zeigt einen Quarzkristall. Ext. seine Form ist wie folgt, b) wird durch Spiegelung in der Symmetrieebene m (Spiegelgleichheit) in sich selbst umgewandelt. Wenn ein - eine Funktion, die ein Objekt beschreibt, z. die Form eines Kristalls im dreidimensionalen Raum oder c.-l. seine Eigenschaft, und die Operation transformiert dann die Koordinaten aller Punkte des Objekts g eine Operation oder Symmetrietransformation ist und F ein symmetrisches Objekt ist,

In naib. In der allgemeinen Formulierung ist Symmetrie die Unveränderlichkeit (Invarianz) von Objekten und Gesetzen unter bestimmten Transformationen der sie beschreibenden Variablen. S. bis manifestiert sich nicht nur in ihrer Struktur und Eigenschaften im realen dreidimensionalen Raum, sondern auch in der energetischen Beschreibung. das Elektronenspektrum des Kristalls (vgl Zonentheorie), in der Prozessanalyse Röntgenbeugung, Neutronenbeugung und Elektronenbeugung in Kristallen unter Verwendung des reziproken Raums (vgl Reziprokes Gitter)es. P.

Symmetriegruppen von Kristallen. Ein Kristall kann mehr als einen haben, anesque. Symmetrieoperationen. Also ein Quarzkristall (Abb. 1, a) ist nicht nur bei einer Drehung um 120° um die Achse mit sich selbst ausgerichtet 3 (Betrieb gi), noi beim Drehen um die Achse 3 240° (Betrieb g2),& auch für 180° Drehungen um Achsen 2 X, 2 Y, 2 W(Operationen g3, g4, g5).Jeder Symmetrieoperation kann ein Symmetrieelement zugeordnet werden - Gerade, 3 oder Achse 2x, 2j, 2w sind die Symmetrieachsen, die Ebene t(Abb. 1,b) - durch eine Ebene der Spiegelsymmetrie usw. Die Menge der Symmetrieoperationen (g 1 , g 2 ,..., g n ) gegebener Kristall bildet eine Symmetriegruppe im Sinne von Math. Theorien Gruppen. Konsistent Auch die Durchführung von zwei Symmetrieoperationen ist eine Symmetrieoperation. In der Gruppentheorie wird dies als Produkt von Operationen bezeichnet: Es gibt immer eine Identitätsoperation g 0 ,ändert nichts im Kristall, genannt. Identifizierung, es entspricht geometrisch der Unbeweglichkeit des Objekts oder seiner Drehung um 360 ° um eine beliebige Achse. Die Anzahl der Operationen, die eine Gruppe G bilden, genannt. Gruppenbestellung.

Symmetriegruppen von Raumtransformationen werden klassifiziert: nach der Anzahl . Raumdimensionen, in denen sie definiert sind; nach Nummer . Dimensionen des Raumes, in denen das Objekt periodisch ist (sie werden jeweils mit bezeichnet), und nach einigen anderen Merkmalen. Zur Beschreibung von Kristallen werden verschiedene Symmetriegruppen verwendet, von denen die wichtigsten diejenigen sind, die das Äußere beschreiben. die Form der Kristalle; ihr Name. auch kristallographisch. Klassen, Raumsymmetriegruppen, die die atomare Struktur von Kristallen beschreiben.

Punktsymmetriegruppen. Die Operationen der Punktsymmetrie sind: Rotationen um die Symmetrieachse der Ordnung N in einem Winkel gleich 360°/N(Abb. 2, a); Spiegelung in der Symmetrieebene t(Spiegelreflexion, b); Inversion (Symmetrie in Bezug auf einen Punkt, Abb. 2, c); Inversionsdrehungen (Kombination der Drehung um einen Winkel 360°/N mit zur selben Zeit Inversion, Abb.2, d). Anstelle von Inversionsdrehungen werden manchmal äquivalente Spiegeldrehungen betrachtet.

Reis. 2. Beispiele für Symmetrieoperationen: a - Drehung; b - Reflexion; c-Inversion; d - Inversionsrotation 4. Ordnung; e - Schraubendrehung 4. Ordnung; e - gleitende Reflexion.

Reis. 3. Beispiele von Kristallen, die zu verschiedenen Punktgruppen gehören (kristallographische Klassen): a – Klasse m (eine Symmetrieebene), b – Klasse (Symmetriezentrum oder Inversionszentrum); a - bis Klasse 2 (eine Symmetrieachse 2. Ordnung); d - zur Klasse (eine Inversionsdrehachse der 6. Ordnung).

Punktsymmetrietransformationen werden durch lineare Gleichungen beschrieben

oder Koeffizientenmatrix

Zum Beispiel beim Drehen um eine Achse x 1 Winkel -=360°/N-Matrix D sieht aus wie:

und wenn sie in einer Ebene gespiegelt werden x 1 x 2D sieht aus wie:

Die Anzahl der Punktgruppen ist unendlich. In Kristallen jedoch aufgrund des Vorhandenseins von Kristallinen. Gitter sind nur Operationen und dementsprechend Symmetrieachsen bis zur 6. Ordnung möglich (außer der 5.; in einem Kristallgitter kann es keine Symmetrieachse der 5. Ordnung geben, da es mit Hilfe von Fünfeckfiguren unmöglich ist, sie zu füllen der lückenlose Raum) Operationen der Punktsymmetrie und die ihnen entsprechenden Symmetrieelemente sind durch Symbole gekennzeichnet: Achsen 1, 2, 3, 4, 6, Inversionsachsen (Symmetriezentrum oder Inversionszentrum), (es ist auch die Symmetrieebene m), (Abb. 4).

Reis. 4. Grafische Bezeichnungen von Elementen der Punktsymmetrie: ein Kreis - das Symmetriezentrum, Symmetrieachsen senkrecht zur Zeichenebene, b - Achse 2, parallel zur Zeichenebene; in - Symmetrieachsen, parallel oder schräg zur Zeichenebene angeordnet; g - Symmetrieebene, senkrecht zur Zeichenebene; d - Symmetrieebenen parallel zur Zeichenebene.

Um eine Punktsymmetriegruppe zu beschreiben, genügt es, eine oder mehrere anzugeben. b, c und Winkel ) in 7 Syngonien (Tabelle 1).

Gruppen, die zusätzlich zu Ch. Achsen N Symmetrieebenen t, bezeichnet als Nm ich für Nm, wenn die Achse in einer Ebene liegt t. Wenn eine Gruppe nebenbei Achse hat mehrere. Symmetrieebenen, die durch sie hindurchgehen, dann wird sie bezeichnet Nmm.

Tab. eines.- Punktgruppen (Klassen) der Symmetrie von Kristallen

Die Gruppen von S. k. tragen ein Geom. Bedeutung: Jede der Operationen entspricht beispielsweise einer Drehung um die Symmetrieachse, einer Spiegelung in der Ebene. in einer gegebenen Gruppe (aber nicht in ihrem geom. Sinn) gleich oder isomorph zueinander sind. Dies sind zum Beispiel die Gruppen 4 und , tt2, 222. Insgesamt gibt es 18 abstrakte Gruppen, die isomorph zu einer oder mehreren der 32 Punktgruppen von S. c.

Punktgruppen beschreiben die Symmetrie nicht nur von Kristallen, sondern von beliebigen endlichen Figuren. In der belebten Natur wird häufig die in der Kristallographie verbotene Punktsymmetrie mit Achsen 5., 7. Ordnung und höher beobachtet. Um die regelmäßige Struktur einer Kugel zu beschreiben Viren, in deren Hüllen die Prinzipien der dichten Packung von Molekülen beobachtet werden, und einige anorganische. Moleküle erwiesen sich als wichtige Ikosaeder. (cm. biologischer Kristall). Ikosaeder. Symmetrie ist auch in zu sehen Quasikristalle.

Gruppen begrenzen. Funktionen, die die Richtungsabhängigkeit verschiedener Eigenschaften eines Kristalls beschreiben, haben eine bestimmte Punktsymmetrie, die eindeutig der Symmetriegruppe der Kristallfacettierung zugeordnet ist. Es fällt entweder damit zusammen oder ist symmetrisch höher als es ( Neumann-Prinzip).

In Bezug auf makroskopische Eigenschaften des Kristalls können als homogenes kontinuierliches Medium beschrieben werden. Daher werden viele der Eigenschaften von Kristallen, die zu der einen oder anderen Punktsymmetriegruppe gehören, durch die sogenannten beschrieben. begrenzende Punktgruppen, die Symmetrieachsen unendlicher Ordnung enthalten, gekennzeichnet durch das Symbol. Das Vorhandensein einer Achse bedeutet, dass das Objekt mit sich selbst ausgerichtet ist, wenn es um irgendetwas gedreht wird, einschließlich der Kristallphysik).

Reis. 5. Stereographische Projektionen von 32 kristallographischen und 2 ikosaedrischen Gruppen. Die Gruppen sind in Spalten nach Familien angeordnet, deren Symbole in der obersten Reihe angegeben sind. Die untere Reihe gibt die Grenzwertgruppe jeder Familie an und zeigt Figuren, die die Grenzwertgruppe veranschaulichen.

Räumliche Symmetriegruppen. Die räumliche Symmetrie der atomaren Struktur von Kristallen wird durch Raumsymmetriegruppen beschrieben. Sie heißen auch Fedorov zu Ehren von E. S. Fedorov, der sie 1890 gefunden hat, diese Gruppen wurden im selben Jahr von A. Schoenflies unabhängig abgeleitet. Polyeder (S. I. Gessel, 1830, A. Operationen, die für die atomare Struktur von Kristallen charakteristisch sind, sind 3 nicht koplanare Translationen a, b , Mit , to-rye und stellen Sie die dreidimensionale Periodizität des Kristalls ein. Gitter. Kristallin Das Gitter wird in allen drei Dimensionen als unendlich angesehen. So eine Matte. real, a, b, c oder irgendein Vektor wo S. 1, S. 2, S. 3 - beliebige ganze Zahlen, Phys. Diskretion des Kristalls. Materie drückt sich in ihrer atomaren Struktur aus. sind die Transformationsgruppen eines dreidimensionalen homogenen diskreten Raums in sich. Diskretion liegt zum Beispiel darin, dass nicht alle Punkte eines solchen Raums symmetrisch gleich sind. die eine und die andere Art von Atomen, Kernen und Elektronen. Die Bedingungen für Homogenität und Diskretheit werden durch die Tatsache bestimmt, dass Raumgruppen dreidimensional periodisch sind, d. h. jede Gruppe eine Untergruppe von Translationen enthält T- kristallin. Gitter.

Durch die Möglichkeit, Translationen und Punktsymmetrieoperationen gruppenweise in einem Verband zusammenzufassen, entstehen neben Punktsymmetrieoperationen auch Operationen und entsprechende Symmetrieelemente mit Translationen. Komponente - Schraubenachsen verschiedener Ordnungen und Ebenen der streifenden Reflexion (Abb. 2, d,f).

In Übereinstimmung mit der Punktsymmetrie der Form der Elementarzelle (Elementarquader) werden die Raumgruppen wie die Punktgruppen in 7 kristallographische unterteilt Syngonie(Tabelle 2). Ihre weitere Unterteilung entspricht Broadcasts. Gruppen und ihre jeweiligen Direkt zu den Gittern. Es gibt 14 Bravais-Gitter, von denen 7 primitive Gitter der entsprechenden Syngonien sind, P (mit Ausnahme der Rhomboeder R). Andere-7 stürzt ab. A (Gesicht ist zentriert v. Chr.), B(Gesicht ac), C(ab); körperzentriertes Ich, gesichtszentriert (auf allen 3 Gesichtern) F. Berücksichtigung der Zentrierung für den Übersetzungsvorgang t Zentriertranslationen, die dem Zentrum entsprechen, werden hinzugefügt t c . Wenn diese Operationen miteinander kombiniert werden t+ t s und mit den Operationen der Punktgruppen der entsprechenden Syngonien erhalten wir dann 73 Raumgruppen, genannt. symmorph.

Tab. 2.-Space-Symmetrie-Gruppen

Basierend auf bestimmten Regeln können nicht-triviale Untergruppen aus symmorphischen Raumgruppen extrahiert werden, was weitere 157 nicht-symmorphe Raumgruppen ergibt. Es gibt insgesamt 230 Raumgruppen Symmetrieoperationen beim Transformieren eines Punktes X in symmetrisch gleich (und damit den gesamten Raum in sich selbst) geschrieben werden als:, wo D- Punkttransformationen, - Komponenten der Schraubenübertragung oder gleitenden Reflexion, - Translationsoperationen. Mutige Gruppen. Operationen der Schraubensymmetrie und die entsprechenden Symmetrieelemente - Schraubenachsen haben einen Winkel. Komponente (N = 2, 3, 4, 6) und translational ts = tq/N, wo t-Übersetzung des Gitters, einschalten erfolgt gleichzeitig mit der Translation entlang der Z-Achse, q- Schraubenindex. Allgemeines Symbol für Schraubenachsen Nq(Abb. 6). Die Schraubenachsen sind entlang Ch gerichtet. Achsen oder Diagonalen der Einheitszelle. Die Achsen 3 1 und 3 2 , 4 1 und 4 3 , 6 1 und 6 5 , 6 2 und 6 4 entsprechen paarweise rechten und linken spiralförmigen Windungen. Neben der Operation der Spiegelsymmetrie in Raumgruppen, Ebenen streifender Reflexion a, b, c: Reflexion wird mit Übertragung um die Hälfte der entsprechenden Gitterperiode kombiniert. Die Translation um die halbe Diagonale der Zellenfläche entspricht t. n. Keilebene des Gleitens n außerdem in tetragonal und kubisch. d.

Reis. 6. a - Grafische Bezeichnungen von Schraubenachsen senkrecht zur Ebene der Abb.; b - in der Ebene der Abb. liegende Schraubenachse; c - Ebenen der streifenden Reflexion, senkrecht zur Ebene der Abb., wo a, b, c - Perioden der Elementarzelle, entlang deren Achsen das Gleiten auftritt (Translationskomponente a / 2), n - diagonale Ebene der Streifen Reflexion [translationale Komponente (a + b) / 2], d - Diamant-Gleitebene; d - das gleiche in der Ebene der Figur.

Im Tisch. 2 internationale Symbole aller 230 Raumgruppen sind entsprechend ihrer Zugehörigkeit zu einer der 7 Syngonien und der Klasse der Punktsymmetrie angegeben.

Übertragung. Komponenten von Mikrosymmetrieoperationen von Raumgruppen erscheinen makroskopisch nicht in Punktgruppen; Beispielsweise erscheint die Schraubenachse in der Facettierung von Kristallen als einfache Rotationsachse in entsprechender Reihenfolge. Daher ist jede der 230 Gruppen makroskopisch ähnlich (homomorph) zu einer der 32 Punktgruppen. Zum Beispiel auf einer Punktgruppe - mmm 28 Raumgruppen werden homomorph dargestellt.

Die Schönflies-Notation der Raumgruppen ist die Bezeichnung der entsprechenden Punktgruppe (z. B. Tabelle 1), der das historisch übliche von oben zugeordnet wird. In internationaler Schreibweise sind das Symbol des Bravais-Gitters und die erzeugenden Symmetrieoperationen für jede Gruppe angegeben usw. Die Reihenfolge der Anordnung von Raumgruppen in Tabelle 2 in internationaler Schreibweise entspricht der Zahl (hochgestellt) in Schoenflies-Schreibweise.

Auf Abb. 7 ist das Bild von Räumen gegeben. Gruppen - Rpta laut International Crystallographic Tische. Operationen (und entsprechende Elemente) der Symmetrie jeder Raumgruppe,

Reis. 7. Bild der Gruppe -Ppta in den internationalen Tabellen.

Wenn Sie innerhalb der Elementarzelle Ph.D. Punkt x (x 1 x 2 x 3), dann wandeln die Symmetrieoperationen es in Punkte um, die ihm im ganzen Kristall symmetrisch gleich sind. Platz; solche Punkte ist unendlich. Aber es reicht aus, ihre Position in einer Elementarzelle zu beschreiben, und diese Menge wird sich bereits durch Verschiebungen des Gitters vervielfachen. Die aus den gegebenen Operationen abgeleitete Menge von Punkten gi Gruppen G - x 1 , x 2 , ..., x n-1, genannt korrektes Punktesystem (PST). 7 rechts ist die Anordnung der Symmetrieelemente der Gruppe, links ist das Bild des PST der allgemeinen Position dieser Gruppe. Punkte in allgemeiner Position sind solche Punkte, die nicht auf einem Punktsymmetrieelement der Raumgruppe liegen. Die Anzahl (Multiplizität) solcher Punkte ist gleich der Ordnung der Gruppe. y = 1/4 und 3/4. Wenn ein Punkt auf eine Ebene fällt, dann wird er nicht von dieser Ebene verdoppelt, wie im Fall von Punkten in allgemeiner Position.Jede Raumgruppe hat ihren eigenen Satz von PSTs. Für jede Gruppe gibt es nur ein richtiges Punktesystem in allgemeiner Position. Einige der PST-Privatpositionen können jedoch für verschiedene Gruppen gleich sein. Die internationalen Tabellen geben die Multiplizität der PST, ihre Symmetrie und Koordinaten und alle anderen Eigenschaften jeder Raumgruppe an. Die Bedeutung des Konzepts von PST liegt in der Tatsache, dass in jedem kristallinen. Struktur, die zu einer bestimmten Raumgruppe gehört,

Untergruppen von Kristallsymmetriegruppen. Wenn Teil der Operation zu.-l. bildet eine Gruppe G r (g 1 ,...,g m),, dann der Nachname Untergruppe der ersten. Beispielsweise sind die Untergruppen der Punktgruppe32 (Abb. 1, a) die Gruppe 3 und Gruppe 2. Auch zwischen Leerzeichen. Gruppen gibt es eine Hierarchie von Untergruppen. Raumgruppen können als Untergruppen Punktgruppen haben (es gibt 217 solcher Raumgruppen) und Untergruppen, die Raumgruppen niedrigerer Ordnung sind. Dementsprechend gibt es eine Hierarchie von Untergruppen.

Die meisten Kristallgruppen mit Raumsymmetrie sind untereinander und als abstrakte Gruppen verschieden; die Zahl der zu 230 Raumgruppen isomorphen abstrakten Gruppen beträgt 219. Abstrakt gleich sind 11 spiegelgleiche (enantiomorphe) Raumgruppen - eine nur mit rechter, andere mit linker Schraubenachse. Dies sind zum Beispiel P 3 1 21 und P 3 2 21. Diese beiden Raumgruppen werden homomorph auf eine Punktgruppe32 abgebildet, zu der gehört, aber Quarz ist rechtshändig bzw. linkshändig: Die Symmetrie der Raumstruktur drückt sich in diesem Fall makroskopisch aus, Die Rolle von Raumsymmetriegruppen von Kristallen. Räumliche Symmetriegruppen von Kristallen - die Grundlage der Theorie. Kristallographie, Beugung und andere Methoden zur Bestimmung der atomaren Struktur von Kristallen und zur Beschreibung des Kristalls. Das durch Röntgenbeugung erhaltene Beugungsmuster Neutronographie oder Elektronographie, ermöglicht Ihnen, Symmetrie und Geom einzustellen. das reziproke Gitter des Kristalls und damit die eigentliche Struktur des Kristalls. So werden die Punktgruppe des Kristalls und die Einheitszelle bestimmt; durch charakteristische Auslöschungen (Fehlen bestimmter Beugungsreflexe) bestimmen den Typ des Bravais-Gitters und die Zugehörigkeit zu der einen oder anderen räumlichen Gruppe. Die Anordnung der Atome in einer Elementarzelle ergibt sich aus der Gesamtheit der Intensitäten der Beugungsreflexe.

Raumgruppen spielen dabei eine wichtige Rolle Kristallchemie. Mehr als 100.000 Kristalle wurden identifiziert. Strukturen anorganisch., organisch. und biologisch. Verbindungen. Rcc2, P4 2 cm, P4nc 1, P6tp. Die Theorie, die die Verbreitung von Technologien anderer Raumgruppen erklärt, berücksichtigt die Abmessungen der Atome, aus denen die Struktur besteht, das Konzept der dichten Packung von Atomen oder Molekülen, die Rolle der "Verpackungs" -Symmetrieelemente - Gleitebenen und Schraubenachsen.

In der Festkörperphysik wird die Theorie der Gruppendarstellungen unter Verwendung von Matrizen und Specials verwendet. f-tionen, für Raumgruppen sind diese Funktionen periodisch. strukturelle Phasenübergänge der 2. Art, die Raumgruppe der Symmetrie der weniger symmetrischen (Tieftemperatur-) Phase ist eine Untergruppe der Raumgruppe der symmetrischeren Phase, und der Phasenübergang wird einer der irreduziblen Darstellungen zugeordnet die Raumgruppe der hochsymmetrischen Phase. Die Darstellungstheorie ermöglicht es auch, Probleme der Dynamik zu lösen Kristallgitter, es ist elektronisch und magnetisch Strukturen, eine Reihe von physischen Eigenschaften. Im Theoretischen Symmetrie von Vorsprüngen, Schichten und Ketten. Kristalline Projektionen. auf der Strukturebene werden durch flache Gruppen beschrieben, ihre Zahl ist 17. Zur Beschreibung dreidimensionaler Objekte, die in 1 oder 2 Richtungen periodisch sind, insbesondere Fragmente der Kristallstruktur, können Gruppen verwendet werden - zweidimensional periodisch und - ein- dimensional periodisch. Diese Gruppen spielen eine wichtige Rolle im Studium der Biologie. Beschreiben Sie die Struktur der biologischen Membranen, Gruppen von -Kettenmolekülen (Abb. 8, a), stäbchenförmige Viren, röhrenförmige Kristalle aus kugelförmigen Proteinen (Abb. 8, b) in der sie entsprechend der in Gruppen möglichen Spiral-(Helix-)Symmetrie angeordnet sind (siehe Abb. biologischer Kristall).

Reis. 8. Objekte mit Helixsymmetrie: a - DNA-Molekül; b - röhrenförmiger Kristall des Phosphorylaseproteins (elektronenmikroskopische Aufnahme, Vergrößerung 220.000).

Struktur von Quasikristallen.Quasikristall(z. B. A1 86 Mn 14) haben Ikosaeder. Punktsymmetrie (Abb. 5), was in einem Kristall unmöglich ist. Verallgemeinerte Symmetrie. Die Definition von Symmetrie basiert auf dem Konzept der Gleichheit (1,b) unter Transformation (1,a). Physikalisch (und mathematisch) kann ein Objekt jedoch in gewisser Hinsicht gleich und in anderer Hinsicht nicht gleich sein. Zum Beispiel die Verteilung von Kernen und Elektronen in einem Kristall Antiferromagnet kann mit der üblichen räumlichen Symmetrie beschrieben werden, aber wenn wir die Verteilung des Magneten berücksichtigen. Momente (Abb. 9), dann „normal“, klassisch. Symmetrie reicht nicht mehr aus.

Reis. 9. Verteilung magnetischer Momente (Pfeile) in der Elementarzelle eines ferrimagnetischen Kristalls, beschrieben durch verallgemeinerte Symmetrie.

In der Antisymmetrie zusätzlich zu drei Raumvariablen x 1, x 2, x 3 eine zusätzliche, vierte Variable wird eingeführt. Dies kann so interpretiert werden, dass bei Transformation von (1, a) die Funktion F kann nicht nur sich selbst gleich sein, wie in (1, b), sondern auch "anti-gleich" - es ändert das Vorzeichen. Es gibt 58 Punkt-Antisymmetriegruppen und 1651 Raum-Antisymmetriegruppen (Shubnkov-Gruppen).

Wenn die zusätzliche Variable nicht zwei Werte annimmt, sondern mehr (evtl 3,4,6,8, ..., 48), dann die sog. Belovs Farbsymmetrie.

Es sind also 81 Punktgruppen und 2942 Gruppen bekannt. Hauptsächlich Anwendungen der verallgemeinerten Symmetrie in der Kristallographie - Beschreibung von magn. Es wurden auch andere Antisymmetriegruppen (mehrere usw.) gefunden. Theoretisch werden alle Punkt- und Raumgruppen des vierdimensionalen Raums und höherer Dimensionen abgeleitet. Aufgrund der Berücksichtigung der Symmetrie des (3 + K)-dimensionalen Raumes kann man auch Beträge beschreiben, die in drei Richtungen inkommensurabel sind. unverhältnismäßige Struktur).

Reis. 10. Eine Figur mit Ähnlichkeitssymmetrie. Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Die Regelmäßigkeit der atomaren Struktur, der äußeren Form und der physikalischen Eigenschaften von Kristallen, die darin besteht, dass ein Kristall durch Rotationen, Spiegelungen, parallele Übertragungen (Translationen) und andere Symmetrietransformationen mit sich selbst kombiniert werden kann ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Die Eigenschaft von Kristallen, durch Drehungen, Reflexionen, parallele Übertragungen oder einen Teil oder eine Kombination dieser Vorgänge in verschiedenen Positionen mit sich selbst ausgerichtet zu werden. Die Symmetrie der äußeren Form (Schnitt) eines Kristalls wird durch die Symmetrie seiner Atome bestimmt ... ...

Die Regelmäßigkeit des Atombaus, ext. Formen und körperliche Eigenschaften von Kristallen, die darin bestehen, dass ein Kristall durch Drehungen, Spiegelungen, Parallelverschiebungen (Translationen) und andere Symmetrietransformationen mit sich selbst kombiniert werden kann, sowie ... ... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

Kristallsymmetrie- die Eigenschaft von Kristallen, sich durch Rotation, Reflexion, Parallelübertragung oder eine Kombination dieser Vorgänge mit sich selbst zu verbinden. Die Symmetrie der äußeren Form (Schnitt) wird durch die Symmetrie ihrer Atomstruktur bestimmt, die auch ... Enzyklopädisches Wörterbuch der Metallurgie

Symmetrie (aus dem Griechischen symmetria - Proportionalität) in der Mathematik, 1) Symmetrie (im engeren Sinne) oder Reflexion (Spiegel) relativ zur Ebene a im Raum (relativ zur Geraden a in der Ebene), - Transformation des Raums (Flugzeug), mit ... ... Große sowjetische Enzyklopädie

Der Charakter eines Moleküls, der durch die Menge möglicher Punktsymmetrieoperationen für seine Gleichgewichtskonfiguration bestimmt wird. Vier Operationen der Punktsymmetrie (Rotation um eine Achse um einen bestimmten Winkel kleiner oder gleich 360°; Reflexion an einer Ebene; Inversion ... ... Physikalische Enzyklopädie

I Symmetrie (von griechisch symmetria Proportionalität) in der Mathematik, 1) Symmetrie (im engeren Sinne), oder Spiegelung (Spiegelung) relativ zur Ebene α im Raum (relativ zur Geraden a auf der Ebene), Raumtransformation.. . ... Große sowjetische Enzyklopädie

- (aus dem Griechischen Proportionalität), ein Begriff, der den Übergang von Objekten in sich selbst oder ineinander während der Umsetzung einer Definition auf ihnen charakterisiert. Transformationen (Transformationen von S.); im weitesten Sinne die Eigenschaft der Invarianz (Invarianz) einiger ... ... Philosophische Enzyklopädie

- (aus dem Griechischen symmetria Proportionalität) Gesetze der Physik. Wenn die Gesetze, die die Beziehung zwischen den Größen herstellen, die das Physische charakterisieren. System, oder die Bestimmung der Änderung dieser Größen im Laufe der Zeit, ändern sich während bestimmter Operationen nicht ... ... Physikalische Enzyklopädie, E.S. Fjodorow. Die Veröffentlichung umfasst die klassischen Arbeiten von Evgraf Stepanovich Fedorov zur Kristallographie. Die größte Leistung von E. S. Fedorov ist die rigorose Ableitung aller möglichen Raumgruppen (1891). Das…

BILDUNGSMINISTERIUM DER RUSSISCHEN FÖDERATION

MOSKAUER STAATLICHES INSTITUT FÜR ELEKTRONISCHE TECHNIK

(TECHNISCHE UNIVERSITÄT)

"GENEHMIGEN"

Kopf Abteilung des KFN

Gorbatsewitsch A.A.

LABOR #10

zum Satz von "FTT und PP"

Die Beschreibung war:

Anfalova E.S.

MOSKAU, 2002

LABOR #1

BESTIMMUNG DER STRUKTUR VON KRISTALLEN MITTELS RÖNTGENDIFFRAKTION

Zielsetzung: Bestimmung der Kristallstruktur und Gitterkonstante nach der Debye-Scherer-Methode.

1. Struktur und Symmetrie von Kristallen.

Kristalle sind Festkörper, die durch eine periodische Anordnung von Atomen im Raum gekennzeichnet sind. Die Periodizität von Kristallen bedeutet das Vorhandensein von Fernordnung in ihnen und unterscheidet Kristalle von amorphen Körpern, in denen nur Nahordnung vorhanden ist.

Periodizität ist eine der Arten von Kristallsymmetrie. Symmetrie bedeutet die Fähigkeit, ein Objekt zu transformieren, das es mit sich selbst verbindet. Kristalle können auch bezüglich Drehungen um ausgewählte (periodisch im Raum befindliche) Drehachsen und Reflexionen in Reflexionsebenen symmetrisch sein. Eine räumliche Transformation, die den Kristall invariant lässt, dh den Kristall in sich selbst transformiert, wird als Symmetrieoperation bezeichnet. Rotationen um eine Achse, Spiegelungen in einer Ebene sowie Inversionen um das Inversionszentrum sind Punktsymmetrietransformationen, da sie mindestens einen Punkt des Kristalls an Ort und Stelle belassen. Die Verschiebung (oder Translation) eines Kristalls um eine Gitterperiode ist die gleiche Symmetrietransformation, aber sie gilt nicht mehr für Punkttransformationen. Punktsymmetrietransformationen werden auch als Eigentransformationen bezeichnet. Es gibt auch uneigentliche Symmetrietransformationen, die eine Kombination aus Rotation oder Reflexion und Translation über eine Distanz sind, die ein Vielfaches der Gitterperiode ist.

Kristalle unterschiedlicher chemischer Zusammensetzung können unter dem Gesichtspunkt der Symmetrie äquivalent sein, das heißt, sie können denselben Satz von Symmetrieoperationen haben. Dieser Umstand bestimmt die Möglichkeit, Kristalle nach der Art ihrer Symmetrie zu klassifizieren. Unterschiedlichen Kristallen kann bei gegebener Symmetrie das gleiche Gitter zugeordnet werden. Die Klassifizierung von Kristallen basiert auf Bravais-Gittern. Das Bravais-Gitter kann als eine Menge von Punkten definiert werden, deren Koordinaten durch die Enden des Radiusvektors gegeben sind r .

wo a 1 , a 2 , a 3 - ein beliebiges Tripel von nicht koplanaren (nicht in der gleichen Ebene liegenden) Vektoren, n 1 , n 2 , n 3 sind beliebige ganze Zahlen. Vektoren a 1 , a 2 , a 3 heißen Vektoren elementarer Translationen. Das Gitter wandelt sich bei der Translation in einen beliebigen Vektor, der die Beziehung (1) erfüllt, in sich selbst um. Es sollte beachtet werden, dass für ein gegebenes Bravais-Gitter die Wahl der elementaren Translationsvektoren mehrdeutig ist. Aus der Definition des Bravais-Gitters folgt, dass der elementare Translationsvektor a 1 stellt die kleinste Gitterperiode in einer gegebenen Richtung dar. Als Elementarübersetzungen können drei beliebige nicht koplanare Übersetzungen gewählt werden. minimal Gitterperiode.

In jedem Bravais-Gitter kann man das minimale Raumvolumen unterscheiden, das für alle Übersetzungen der Form (1) den gesamten Raum ausfüllt, ohne sich selbst zu überlappen und keine Lücken zu hinterlassen. Ein solches Volumen wird als primitive Zelle bezeichnet. Wenn wir ein Volumen wählen, das den gesamten Raum als Ergebnis nicht aller, aber einer Teilmenge von Übersetzungen ausfüllt, dann ist ein solches Volumen bereits nur eine Elementarzelle. Somit ist eine primitive Zelle eine Elementarzelle mit minimalem Volumen. Aus der Definition einer primitiven Zelle folgt, dass es genau einen Bravais-Gitterknoten pro Zelle gibt. Dieser Umstand kann nützlich sein, um zu überprüfen, ob das ausgewählte Volumen eine primitive Zelle ist oder nicht.

Die Wahl einer primitiven Zelle sowie die Wahl elementarer Translationsvektoren ist mehrdeutig. Das einfachste Beispiel einer primitiven Zelle ist ein Parallelepiped, das auf den Vektoren elementarer Translationen aufgebaut ist.

Eine wichtige Rolle in der Festkörperphysik spielt die primitive Wigner-Seitz-Zelle, die als der Teil des Raums definiert ist, der sich näher an einem bestimmten Punkt des Bravais-Gitters befindet als an anderen Punkten des Gitters. Um eine Wigner-Seitz-Zelle zu konstruieren, sollte man Ebenen senkrecht zu den Liniensegmenten zeichnen, die den als Zentrum gewählten Gitterpunkt mit anderen Punkten verbinden. Die Ebenen müssen durch die Mittelpunkte dieser Segmente verlaufen. Das durch die konstruierten Ebenen begrenzte Polyeder wird die Wigner-Seitz-Zelle sein. Wesentlich ist, dass die Wigner-Seitz-Zelle alle Symmetrieelemente des Bravais-Gitters aufweist.

Ein Kristall (Kristallstruktur) lässt sich beschreiben, indem man ihm ein bestimmtes Bravais-Gitter zuordnet und die Anordnung der Atome in einer Elementarzelle angibt. Die Gesamtheit dieser Atome wird Basis genannt. Die Basis kann aus einem oder mehreren Atomen bestehen. So enthält die Basiszusammensetzung im Silizium zwei Si-Atome, im GaAs-Kristall ist die Basis ebenfalls zweiatomig und wird durch ein Ga- und ein As-Atom repräsentiert. Bei komplexen organischen Verbindungen kann die Basis mehrere tausend Atome umfassen. Die Beziehung zwischen den Begriffen Gitter, Basis, Struktur lässt sich wie folgt definieren:

Gitter + Basis = Kristallstruktur.

Die Anforderung, dass die Translationsinvarianz periodisch sein muss, erlegt den möglichen Punktsymmetrieoperationen in einem Kristall erhebliche Einschränkungen auf. Daher können in einem ideal periodischen Kristall nur Symmetrieachsen 2., 3., 4. und 6. Ordnung existieren, und die Existenz einer Achse 5. Ordnung ist verboten.

Bravais zeigte, dass aus den Spiegelungsebenen, vier Arten von Rotations-, Inversions- und Translationsachsen 14 verschiedene Kombinationen gebildet werden können. Diese 14 Kombinationen entsprechen 14 Arten von Gittern. Aus mathematischer Sicht ist jede solche Kombination eine Gruppe (Symmetriegruppe). Da in diesem Fall Translationen als Symmetrieelemente in der Gruppe vorhanden sind, wird die Gruppe als Raumsymmetriegruppe bezeichnet. Wird die Translation entfernt, bilden die verbleibenden Elemente eine Punktgruppe. Es gibt insgesamt 7 Punktsymmetriegruppen von Bravais-Gittern. Gitter, die zu einer gegebenen Punktgruppe gehören, bilden eine Syngonie oder ein System. Das kubische System umfasst einfache kubische (PC), raumzentrierte kubische (bcc) und flächenzentrierte kubische (fcc) Gitter; zu tetragonal - einfach tetragonal und zentriert tetragonal; bis rhombisch - einfache, basiszentrierte, körperzentrierte und flächenzentrierte rhombische Gitter; zu monoklin - einfache und basenzentrierte monokline Gitter. Die verbleibenden drei Syngonien enthalten eine Art von gleichnamigen Gittern - triklin, trigonal und hexagonal.

Absichtserklärung "Sekundarschule Nr. 24"

Stadt Podolsk

Moskau Region

Bericht

« Kristallsymmetrie»

Aufgeführt:

Orlowa

Olga Romanowna,

Schüler 10 Klasse "G"

Wissenschaftlicher Leiter:

Eljuschtschew Oleg Wladimirowitsch,

Lehrer

Mathematik

Jahr 2012.

Planen.

ichEinführung. Das Konzept der Symmetrie.

II Hauptteil.

1) gleiche Teile und Figuren in Geometrie und Kristallographie;

2) Kristalle und ihre Struktur;

3) Elementarzellen zum Kristall;

4) Symmetrie und Anisotropie kristalliner Polyeder;

5) Symmetrie und ihre Elemente;

6) Gruppen oder Symmetrietypen;

7) Syngonie der Kristalle;

9) Symmetrie echter Kristalle;

IIIFazit. Symmetrie als kristallphysikalische Forschungsmethode.

Symmetrie von Kristallen.

Das griechische Wort "Symmetrie" bedeutet in der Übersetzung ins Russische "Proportion". Im Allgemeinen kann Symmetrie als die Fähigkeit einer Figur definiert werden, ihre Teile auf natürliche Weise zu wiederholen. Der Symmetriegedanke ist im Alltag weit verbreitet. Symmetrisch sind zum Beispiel Blumenkronen, Schmetterlingsflügel, Schneesterne. Die Menschheit verwendet seit langem das Konzept der Symmetrie und wendet es in einer Vielzahl von Bereichen ihrer Tätigkeit an. Die mathematische Entwicklung der Symmetrielehre erfolgte jedoch erst in der zweiten Hälfte des JahresXIX Jahrhundert.

Eine symmetrische Figur sollte aus sich regelmäßig wiederholenden gleichen Teilen bestehen. Daher basiert die Idee symmetrischer Figuren auf dem Konzept der gleichen Teile.

"Zwei Figuren heißen einander gleich, wenn es für jeden Punkt der einen Figur einen entsprechenden Punkt der anderen Figur gibt und der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten der einen Figur gleich dem Abstand zwischen zwei entsprechenden Punkten der anderen ist."

Der Begriff der Gleichheit von Figuren ist nach dieser Definition viel umfassender als der entsprechende Begriff, der in der elementaren Geometrie akzeptiert wird. In der elementaren Geometrie werden solche Figuren normalerweise als gleich bezeichnet, die, wenn sie übereinander gelegt werden, mit allen ihren Punkten zusammenfallen. In der Kristallographie werden nicht nur solche kompatiblen - gleiche Figuren als gleich angesehen, sondern auch Figuren, die als Objekt und sein Spiegelbild zueinander in Beziehung stehen.

Bisher haben wir über geometrische Formen gesprochen. Bei Kristallen müssen wir uns daran erinnern, dass es sich um reale Körper handelt und dass ihre gleichen Teile nicht nur geometrisch gleich, sondern auch physikalisch identisch sein müssen.

Im Allgemeinen werden Kristalle normalerweise als Festkörper bezeichnet, die unter natürlichen oder Laborbedingungen in Form von Polyedern gebildet werden.

Die Oberfläche solcher Polyeder wird durch mehr oder weniger perfekte Ebenen begrenzt - Flächen, die sich in geraden Linien schneiden - Kanten. Die Schnittpunkte der Kanten bilden die Eckpunkte.

Die geometrisch korrekte Form von Kristallen wird in erster Linie durch ihre streng regelmäßige innere Struktur bestimmt.

In allen Kristallstrukturen lassen sich viele identische Atome unterscheiden, die wie Knoten eines räumlichen Gitters angeordnet sind. Um sich ein solches Gitter vorzustellen, ist es notwendig, den Raum spurlos mit einer Vielzahl gleicher Parallelepipede zu füllen, die parallel ausgerichtet und entlang ganzer Flächen nebeneinander liegen. Das einfachste Beispiel für solche Parallelepiped-Systeme ist eine Ansammlung von Würfeln oder Ziegeln, die eng aneinander haften. Wählt man bei solchen gedachten Parallelepipeden die entsprechenden Punkte aus, beispielsweise deren Mittelpunkte oder beliebige andere Punkte, so erhält man ein sogenanntes räumliches Gitter. Ausgewählte korrespondierende Punkte werden Knoten genannt. In realen Kristallstrukturen können die Plätze räumlicher Gitterknoten von einzelnen Atomen, Ionen oder Atomgruppen besetzt sein.

Die Gitterstruktur ist ausnahmslos allen Kristallen eigen.

Die vollständigste Definition eines Kristalls klingt also so: Alle Festkörper, in denen Teilchen (Atome, Ionen, Moleküle) regelmäßig in Form von Knoten räumlicher Gitter angeordnet sind, werden Kristalle genannt.

Festkörper, in denen Teilchen zufällig angeordnet sind, werden als amorph bezeichnet. Beispiele für amorphe Gebilde sind Gläser, Kunststoffe, Harze, Kleber. Eine amorphe Substanz ist nicht stabil und neigt dazu, mit der Zeit zu kristallisieren. So "kristallisiert" das Glas und bildet Aggregate aus kleinen Kristallen.

Beispiele für Kristalle sind Salzwürfel, an den Enden zugespitzte sechseckige Prismen aus Bergkristall, Diamant-Oktaeder, Granatapfel-Dodekaeder.

In der modernen Beschreibung eines Minerals werden notwendigerweise die Parameter seiner Elementarzelle angegeben - die kleinste Gruppe von Atomen, deren parallele Bewegung die gesamte Struktur einer bestimmten Substanz aufbauen kann. Obwohl die Anzahl der Atome in einer Elementarzelle und ihre Art für jedes Mineral unterschiedlich sind, gibt es in natürlichen Kristallen nur sieben Arten von Elementarzellen, die sich im dreidimensionalen Raum millionenfach wiederholen und unterschiedliche Kristalle bilden. Jedem Zelltyp entspricht eine bestimmte Syngonie, die es ermöglicht, alle Kristalle in sieben Gruppen einzuteilen.

Das Aussehen von Kristallen hängt weitgehend von der Form der Elementarzellen und ihrer Lage im Raum ab. Große kubische Kristalle können aus kubischen Elementarzellen gewonnen werden. Gleichzeitig lassen sich durch die gestufte Anordnung der „Würfel“ komplexere Formen kreieren.

Dabei werden die Elementarzellen immer so ausgerichtet, dass die Flächen des wachsenden Kristalls und die von ihnen gebildeten Winkel nicht zufällig, sondern in der richtigen Reihenfolge liegen. Jede Art von Gesicht hat eine bestimmte Position relativ zu der Achse, Ebene oder dem Symmetriezentrum, die dieses oder jenes Mineral besitzt. Die Kristallographie basiert auf den Symmetriegesetzen, nach denen Kristalle nach bestimmten Syngonien klassifiziert werden.

In der Natur, in wissenschaftlichen und industriellen Labors, wachsen Kristalle in Form schöner, regelmäßiger Polyeder mit flachen Kanten und geraden Kanten. Die Symmetrie und Regelmäßigkeit der äußeren Form natürlicher kristalliner Polyeder ist ein charakteristisches Merkmal von Kristallen, aber nicht zwingend. Unter Fabrik- und Laborbedingungen werden oft Kristalle gezüchtet, die nicht polyedrisch sind, aber ihre Eigenschaften ändern sich dadurch nicht. Aus natürlichen und künstlich gewachsenen Kristallen werden Platten, Prismen, Stäbe, Linsen ausgeschnitten, bei denen keine Spuren der äußeren polyedrischen Form des Kristalls mehr vorhanden sind, aber die erstaunliche Symmetrie der Struktur und Eigenschaften der kristallinen Substanz erhalten bleibt.

Die Erfahrung zeigt, dass, wenn ein Fragment oder eine Platte eines Kristalls in eine Lösung oder Schmelze derselben Substanz gelegt und frei wachsen gelassen wird, der Kristall wieder in Form eines regelmäßigen, symmetrischen Vielecks wächst. Dies liegt daran, dass die Wachstumsrate von Kristallen in verschiedenen Richtungen unterschiedlich ist. Dies ist nur ein Beispiel für die Anisotropie der physikalischen Eigenschaften eines Kristalls.

Anisotropie und Symmetrie sind aufgrund der Regelmäßigkeit und Symmetrie ihrer inneren Struktur charakteristische Merkmale von Kristallen. In einem kristallinen Polyeder und in einer daraus ausgeschnittenen Platte liegt eine ebenso regelmäßige, symmetrische, periodische Anordnung von Teilchen vor. Die Partikel, aus denen die Kristalle bestehen, bilden regelmäßige, symmetrische Reihen, Netze und Gitter.

Steine, Metalle, chemische Produkte – organische und anorganische, darunter so komplexe wie Baumwoll- und Rayonfasern, menschliche und tierische Knochen und schließlich so komplex organisierte Objekte wie Viren, Hämoglobin, Insulin, DNA und viele andere, haben ein regelmäßiges Inneres Struktur. Jede kristalline Substanz hat eine bestimmte Ordnung, ein charakteristisches "Muster" und eine Symmetrie in der Anordnung der Teilchen, etablierte Abstände zwischen den Teilchen, und all diese Muster können qualitativ und quantitativ bestimmt werden.

All dies gilt für ideal entwickelte Kristalle. Aber in der Natur findet man selten perfekte geometrische Formen. Am häufigsten verformen sich Kristalle als Ergebnis einer ungleichmäßigen Facettenentwicklung oder haben gebrochene, gekrümmte Linien, während Winkel zwischen verschiedenen Facetten beibehalten werden. Kristalle können in Form von geometrisch geordneten Aggregaten oder in völliger Unordnung wachsen. Es ist nicht ungewöhnlich, dass Mineralien eine Kombination verschiedener kristallographischer Formen aufweisen. Manchmal stören bestimmte Hindernisse das Wachstum eines Kristalls, wodurch die innere Kristallstruktur kein ideales Spiegelbild in der äußeren Form findet und das Mineral unregelmäßige Aggregate oder dichte Massen bildet. Gleichzeitig können sich gemäß dem Gesetz der Konstanz der Flächenwinkel in Kristallen einer bestimmten Substanz sowohl die Größe der Flächen als auch ihre Form ändern, aber die Winkel zwischen den entsprechenden Flächen bleiben konstant. Daher ist es beim Studium der Symmetrie und im Allgemeinen der Geometrie echter Kristalle notwendig, sich auf die Winkel zwischen den Flächen zu verlassen.

Um sich mit diesem Abschnitt der Kristallographie vertraut zu machen, kann man nicht auf die Verwendung geometrisch regelmäßiger Polyeder verzichten, die idealisierte Modelle bestimmter Kristalle darstellen.

Die Lehre von der Symmetrie der Kristalle basiert auf der Geometrie. Dieser Wissenschaftszweig verdankt seine Entwicklung jedoch hauptsächlich Wissenschaftlern, die auf dem Gebiet der Kristallographie tätig waren. Die brillantesten Errungenschaften sind mit den Namen von Kristallographen verbunden, unter denen die Namen zweier russischer Akademiker hervorstechen - A. V. Gadolin und E. S. Fedorov.

Jetzt müssen Sie über die Symmetrie selbst und ihre Elemente sprechen. Die Definition von Symmetrie erwähnte die regelmäßige Wiederholung gleicher Teile von Figuren. Um den Begriff dieser Regelmäßigkeit zu verdeutlichen, werden imaginäre Hilfsbilder (Punkte, Geraden, Ebenen) verwendet, relativ zu denen gleiche Teile von Figuren korrekt wiederholt werden. Solche Bilder werden Symmetrieelemente genannt.

Beispiele für die genannten Elemente sind: Inversionszentrum, Achsen und Symmetrieebenen.

Um die eine oder andere Achse zu charakterisieren, muss der Wert des kleinsten Drehwinkels ermittelt werden, der die Figur in Ausrichtung bringt. Dieser Winkel wird als elementarer Rotationswinkel der Achse bezeichnet.

Der elementare Rotationswinkel jeder Symmetrieachse ist ganzzahlig mal 360°:

wo n- eine Ganzzahl, die als Reihenfolge (Name) der Achse bezeichnet wird.

Die Ordnung der Symmetrieachse entspricht der Zahl, die angibt, wie oft der elementare Drehwinkel in 360° enthalten ist. Gleichzeitig gibt die Reihenfolge der Achse die Anzahl der Kombinationen der Figur mit sich selbst während einer vollen Drehung um diese Achse an.

Jede Achse hat ihren eigenen elementaren Drehwinkel:

bei n=1 α=360°

n=2 α=180°

n=3 α=120°

n=4 α=90°

n=5 α=72°

n=6 α=60° usw.

In der Geometrie gibt es unendlich viele Achsen mit verschiedenen ganzzahligen Namen. Die Symmetrie von Kristallen wird jedoch durch einen endlichen Satz von Achsen beschrieben. Ihre Anzahl ist durch die Existenz eines räumlichen Gitters begrenzt. Das Gitter verbietet die Realisierung von Achsen fünfter Ordnung und Achsen höherer als sechster Ordnung in Kristallen.

Darüber hinaus gibt es sogenannte Inversionsachsen.

Ein solches Symmetrieelement ist sozusagen eine Kombination aus einer einfachen Symmetrieachse und dem Inversionszentrum, die nicht getrennt, sondern zusammen wirken. Da das Inversionszentrum nur als integraler Bestandteil der Inversionsachse beteiligt ist, erscheint es möglicherweise nicht als unabhängiges Symmetrieelement. Bei allen Modellen, bei denen es notwendig ist, Inversionsachsen zu definieren, gibt es kein Inversionszentrum.

In der Kristallographie wird ein Satz von Symmetrieelementen als Symmetrietyp eines kristallinen Polyeders bezeichnet.

Alle Gruppen (Typen) der Symmetrie von Kristallen wurden 1820 vom deutschen Professor für Mineralogie I. Gessel erhalten. Es waren 32. Seine Ergebnisse wurden jedoch von der wissenschaftlichen Gemeinschaft nicht wahrgenommen, teils wegen einer erfolglosen Präsentation, teils weil Gessels Artikel in einer unzugänglichen Publikation veröffentlicht wurde.

Unabhängig von Hessel wurde die Ableitung von 32 Gruppen (Typen) der Symmetrie von Kristallen 1867 von dem russischen Akademiker, Professor der Artillerie-Akademie, Amateur-Kristallograph, General A. V. Gadolin, durchgeführt. Seine Arbeit wurde von Fachleuten sofort hoch geschätzt.

Die Symmetriegruppen von Kristallen oder, wie sie gemeinhin genannt werden, Symmetriearten, werden zweckmäßigerweise in Systeme unterteilt, die Gruppen mit ähnlichen Symmetrieelementen kombinieren. Es gibt sechs solcher Systeme - triklin, monoklin, rhombisch, tetragonal, hexagonal und kubisch.

Kristallographen, die die äußere Form von Kristallen und ihre Struktur untersuchen, unterscheiden oft trigonale Kristalle vom hexagonalen System. So werden alle Kristalle in sieben Syngonien (von griechisch „syn“ – zusammen, „gonia“ – Winkel) eingeteilt: triklin, monoklin, rhombisch, trigonal, tetragonal, hexagonal und kubisch. In der Kristallographie ist eine Syngonie eine Gruppe von Symmetrietypen, die ein oder mehrere ähnliche Symmetrieelemente mit der gleichen Anzahl von Einheitsrichtungen haben. Es ist wichtig zu beachten, dass räumliche Gitter, die mit Kristallen derselben Syngonie verwandt sind, Elementarzellen mit derselben Symmetrie haben müssen.

Die Namen von Syngonien werden wie folgt erklärt: In Kristallen der triklinen Syngonie sind alle drei Winkel zwischen den Kanten des Parallelepipeds schräg [klino (griechisch) - Neigung]. In Kristallen des monoklinen Systems gibt es nur einen schiefen Winkel zwischen den angegebenen Kanten (die anderen beiden sind gerade). Die rhombische Syngonie zeichnet sich dadurch aus, dass die ihr verwandten einfachen Formen oft die Form von Rauten haben.

Die Bezeichnungen "trigonale", "tetragonale", "hexagonale" Systeme weisen auf die damit zusammenhängende typische Symmetrie der Kristalle hin. Das trigonale System wird oft als rhomboedrisch bezeichnet, da die meisten Symmetrietypen dieses Systems durch eine einfache Form gekennzeichnet sind, die als Rhomboeder bezeichnet wird.

Kristalle des kubischen Systems sind durch räumliche Gitter gekennzeichnet, deren elementare Parallelepipede würfelförmig sind.

triklinische syngonie. Syngonie mit den primitivsten Kristallformen und sehr einfacher Symmetrie. Eine charakteristische Form der triklinen Syngonie ist ein schiefes Prisma. Typische Vertreter: Türkis und Rhodonit.

monokline Syngonie. Charakteristisch sind Prismen mit einem Parallelogramm an der Basis. Das monokline System umfasst Kristalle von Mineralien wie Alabaster, Malachit, Jade.

rhombische syngonie. Typische Formen sind rhombisches Prisma, Pyramide und Bipyramide. Zu den typischen Mineralien dieser Syngonie gehören Topas, Chrysoberyll und Olivin.

trigonale syngonie. Einfache Formen sind trigonale Prismen, Pyramiden, Bipyramiden sowie Rhomboeder und Skalenoeder. Beispiele für Mineralien des trigonalen Systems sind Calcit, Quarz, Turmalin.

Sechseckige Syngonie. Typische Formen: 6- oder 12-seitige Prismen, Pyramiden und Bipyramiden. Beryll und Vanadinit (als Vanadiumerz verwendet) fallen in dieser Syngonie auf.

Tetragonale Syngonie. Einfache Formen sind tetragonale Prismen, Pyramiden und Bipyramiden. Zirkon und Rutil kristallisieren in dieser Syngonie.

Kubische Syngonie. Einfache Formen: Würfel, Oktaeder, Tetraeder. Fluorit, Diamant, Pyrit kristallisieren in der kubischen Syngonie.

Syngonien wiederum werden in drei Kategorien eingeteilt: niedriger, mittel, höher.

Kristalle der niedrigsten Kategorie sind durch das Vorhandensein mehrerer Einzelrichtungen gekennzeichnet (die einzige Richtung, die sich im Kristall nicht wiederholt, wird als Einzelrichtung bezeichnet) und das Fehlen von Symmetrieachsen der Ordnung höher als 2. Dazu gehören drei Syngonien: triklin, monoklin und rhombisch.

Kristalle der mittleren Kategorie haben eine einzige Richtung, die mit einer einzigen Ordnungsachse über 2 zusammenfällt. Dazu gehören auch drei Syngonien: trigonal, tetragonal und hexagonal.

In Kristallen der höchsten Kategorie gibt es mangels einzelner Richtungen immer mehrere Ordnungsachsen über 2. Dies schließt ein kubisches System ein.

Bisher wurden idealisierte Modelle kristalliner Polyeder betrachtet.

Es ist viel schwieriger, die Symmetrie echter Kristalle zu bestimmen. Oben wurde die ungleichmäßige Entwicklung symmetrischer Kristallflächen aufgrund des ungleichmäßigen Zuflusses der Beschickungslösung zu ihnen festgestellt. In dieser Hinsicht hat der Würfel eines echten Kristalls oft die Form eines abgeflachten oder länglichen Parallelepipeds. Darüber hinaus fehlen manchmal sogar teilweise symmetrische Gesichter. Basierend auf den äußeren Formen echter Kristalle ist es daher leicht, ihre tatsächliche Symmetrie fälschlicherweise herabzusetzen.

Hier helfen genaue Messungen der Winkel zwischen den Flächen, durch die es nicht schwierig ist, die wahre Symmetrie des Polyeders wiederherzustellen. Allerdings kommt es auch häufig zu Umkehrfehlern, wenn Kristallen eine höhere Symmetrie zugeschrieben wird als der eigentlichen.

Interessant ist auch, dass die gleichen Substanzen unter unterschiedlichen Bedingungen völlig unterschiedliche Kristallstrukturen und damit unterschiedliche Mineralien bilden können. Ein markantes Beispiel ist Kohlenstoff: Hat er eine hexagonale Syngonie, entsteht Graphit, ist er kubisch, entsteht Diamant.

Symmetrie, Periodizität und Regelmäßigkeit der Struktur sind also die Hauptmerkmale des kristallinen Zustands der Materie.

Die Art und Weise, wie ein Kristall von innen angeordnet ist, spiegelt sich zwangsläufig in seinem Aussehen und seiner Form wider. Die Form des Kristalls lässt uns erahnen, in welcher Reihenfolge die Teilchen in seiner Struktur zusammengesetzt sind. Und natürlich können wir mit großer Sicherheit sagen, dass in einem oktaedrischen Fluoritkristall, einer hexagonalen Graphitplatte und einem lamellaren Barytkristall die Partikel unterschiedlich angeordnet sind. Aber in den "Würfeln" von Halit und Bleiglanz sind sie sehr ähnlich lokalisiert, obwohl diese Mineralien eine andere chemische Zusammensetzung haben.

All diese Unterschiede und Ähnlichkeiten helfen, Symmetrie zu beschreiben.

Symmetrie ist jedoch nicht darauf beschränkt, Muster in der Anordnung von Partikeln in räumlichen Gittern und in der äußeren Form von Kristallen aufzudecken. Außerdem sind alle physikalischen Eigenschaften eng mit der Symmetrie verbunden. Es bestimmt, welche physikalischen Eigenschaften ein bestimmter Kristall haben kann oder nicht. Es bestimmt die Anzahl unabhängiger Größen, die für die vollständige Charakterisierung einer gegebenen physikalischen Eigenschaft erforderlich sind, und die Richtung ihrer Messungen in Bezug auf die Symmetrieelemente, d.h. bestimmt die Art der Anisotropie physikalischer Eigenschaften. Darüber hinaus erwies es sich als möglich, mathematischen Größen – Skalaren, Vektoren, die die physikalischen Eigenschaften von Kristallen beschreiben – Symmetrie zuzuschreiben. Und schließlich kann den sehr physikalischen Phänomenen in Kristallen die eine oder andere Symmetrie zugeschrieben werden, die mit der Symmetrie der mathematischen Größen zusammenfällt, die diese Phänomene beschreiben.

Referenzliste

1. A. S. Sonin. „Vorlesung Makroskopische Kristallphysik“, M., „Nauka“, 2006.

2. MP Schaskolskaja. "Kristallographie", M., "Higher School", 1984

3. G. M. Popov, I. I. Shafranovsky. "Kristallographie", M., "Higher School", 1972

4. M. Aksenova, V. Volodin. Enzyklopädie für Kinder. Geologie, M., "Avanta+", 2006

5. A. Zharkova. "Mineralien. Schätze der Erde", M., "De Agostini", 2009

Erläuterungen.

Das Thema meines Essays ist die Symmetrie von Kristallen. Der Zweck meines Essays ist eine Geschichte über die Symmetrie von Kristallen. Die Ziele meiner Arbeit sind das Studium der Elemente der Symmetrie, die Geschichte der Bedeutung der Symmetrie beim Studium der Eigenschaften von Kristallen und die Verallgemeinerung der erhaltenen Daten. Gegenstand meiner Forschung sind Kristalle. Bei meiner Recherche habe ich mich verschiedener Literatur bedient. Eine der Hauptquellen war das Buch "Crystallography" von MP Shaskolskaya, das viele Artikel über die Struktur von Kristallen und die Symmetrie selbst enthielt. Ich habe auch das Buch von G. M. Popov, I. I. Shafranovsky "Crystallography" verwendet, in dem ich viele interessante Informationen gefunden habe. Für eine detailliertere Analyse und eine Geschichte über die Symmetrie von Kristallen habe ich andere Literatur, Zeitschriften und Enzyklopädien verwendet.

Zusammenfassungen.

In der Kristallographie werden nicht nur solche kompatiblen - gleiche Figuren als gleich angesehen, sondern auch Figuren, die als Objekt und sein Spiegelbild zueinander in Beziehung stehen.

Alle Kristalle sind aus Materialpartikeln aufgebaut, die geometrisch korrekt im Raum angeordnet sind. Die geordnete Verteilung von Atomen, Ionen, Molekülen unterscheidet den kristallinen Zustand vom nichtkristallinen Zustand, bei dem der Ordnungsgrad völlig vernachlässigbar ist.

Kristalle sind alle Festkörper, in denen Teilchen (Atome, Ionen, Moleküle) regelmäßig in Form von Knoten räumlicher Gitter angeordnet sind.

Anisotropie und Symmetrie sind aufgrund der Regelmäßigkeit und Symmetrie ihrer inneren Struktur charakteristische Merkmale von Kristallen.

Symmetrieelemente werden als geometrische Hilfsbilder (Punkte, Linien, Ebenen) bezeichnet, mit deren Hilfe die Symmetrie von Figuren erkannt wird.

Das Inversionszentrum ist ein singulärer Punkt innerhalb der Figur, der dadurch gekennzeichnet ist, dass jede gerade Linie, die auf beiden Seiten davon und in gleichen Abständen durch ihn gezogen wird, dieselben (entsprechenden) Punkte der Figur trifft. Ein solcher Punkt in der Geometrie wird Symmetriezentrum genannt.

Eine Symmetrieebene ist eine Ebene, die eine Figur in zwei spiegelgleiche Teile teilt, die als Objekt und dessen Spiegelbild relativ zueinander angeordnet sind.

Die Symmetrieachse ist eine gerade Linie, um die sich gleiche Teile der Figur mehrmals wiederholen.

Eine Umkehrachse ist eine solche Gerade, um die sie um einen bestimmten Winkel gedreht wird, mit anschließender (oder vorläufiger) Spiegelung am Mittelpunkt der Figur, da im Umkehrzentrum die Figur mit sich selbst kombiniert wird.

Alle Kristalle sind in sieben Syngonien (von griechisch "syn" - zusammen, "gonia" - Winkel) unterteilt: triklin, monoklin, rhombisch, trigonal, tetragonal, hexagonal und kubisch. In der Kristallographie ist eine Syngonie eine Gruppe von Symmetrietypen, die ein oder mehrere ähnliche Symmetrieelemente mit der gleichen Anzahl von Einheitsrichtungen haben.

Dieselben Substanzen können unter unterschiedlichen Bedingungen völlig unterschiedliche Kristallstrukturen und folglich unterschiedliche Mineralien bilden. Ein markantes Beispiel ist Kohlenstoff: Hat er eine hexagonale Syngonie, entsteht Graphit, ist er kubisch, entsteht Diamant.

Außerdem sind alle physikalischen Eigenschaften eng mit der Symmetrie verbunden. Es bestimmt, welche physikalischen Eigenschaften ein bestimmter Kristall haben kann oder nicht. Es bestimmt die Anzahl unabhängiger Größen, die für die vollständige Charakterisierung einer gegebenen physikalischen Eigenschaft erforderlich sind, und die Richtung ihrer Messungen in Bezug auf die Symmetrieelemente, d.h. bestimmt die Art der Anisotropie physikalischer Eigenschaften.

Symmetrie durchdringt die gesamte Kristallphysik und dient als spezifische Methode zur Untersuchung der physikalischen Eigenschaften von Kristallen.

Daher besteht die Hauptmethode der Kristallographie darin, die Symmetrie von Phänomenen, Eigenschaften, Strukturen und äußeren Formen von Kristallen festzustellen.

Anwendung.

A. I. Semke,
, MOU Sekundarschule Nr. 11, Yeysk UO, Yeysk, Krasnodar kr.

Kristallsymmetrie

Unterrichtsziele: lehrreich– Vertrautheit mit der Symmetrie von Kristallen; Vertiefung von Kenntnissen und Fähigkeiten zum Thema „Eigenschaften von Kristallen“ Lehrreich- Vermittlung von Weltanschauungskonzepten (kausale Zusammenhänge in der Umwelt, Erkennbarkeit der Welt und des Menschen); Moralische Erziehung (Erziehung zur Liebe zur Natur, Gefühle kameradschaftlicher gegenseitiger Hilfeleistung, Ethik der Gruppenarbeit) Lehrreich– Entwicklung der Unabhängigkeit des Denkens, der kompetenten mündlichen Rede, der Fähigkeiten der Forschung, des Experimentierens, der Suche und der praktischen Arbeit.

Symmetrie... ist diese Idee, durch
die der Mensch seit Jahrhunderten versucht hat
Ordnung, Schönheit und Perfektion zu begreifen.
Hermann Weil

Physikalisches Wörterbuch

Kristall - aus dem Griechischen. κρύσταλλος - wörtlich Eis, Bergkristall.
Die Symmetrie von Kristallen ist eine Regelmäßigkeit des atomaren Aufbaus, der äußeren Form und der physikalischen Eigenschaften von Kristallen, die darin besteht, dass ein Kristall auch durch Rotationen, Spiegelungen, Parallelverschiebungen (Translationen) und andere Symmetrietransformationen mit sich selbst kombiniert werden kann als Kombinationen dieser Transformationen.

Einführungsphase

Die Symmetrie von Kristallen ist das allgemeinste Muster, das mit der Struktur und den Eigenschaften einer kristallinen Substanz verbunden ist. Es ist eines der verallgemeinernden Grundkonzepte der Physik und der Naturwissenschaften im Allgemeinen. Nach der Symmetriedefinition von E.S. Fedorov, "Symmetrie ist die Eigenschaft geometrischer Figuren, ihre Teile zu wiederholen, oder genauer gesagt, ihre Eigenschaft, sich in verschiedenen Positionen mit der ursprünglichen Position auszurichten." Somit ist ein solches Objekt symmetrisch, was durch bestimmte Transformationen mit sich selbst kombiniert werden kann: Drehungen um die Symmetrieachsen oder Spiegelungen in den Symmetrieebenen. Solche Transformationen werden aufgerufen symmetrische Operationen. Nach der Symmetrietransformation sind die Teile des Objekts, die sich an einer Stelle befanden, dieselben wie die Teile, die sich an einer anderen Stelle befinden, was bedeutet, dass es gleiche Teile (kompatibel und gespiegelt) in einem symmetrischen Objekt gibt. Die innere Atomstruktur von Kristallen ist dreidimensional periodisch, dh sie wird als Kristallgitter beschrieben. Die Symmetrie der äußeren Form (Facettierung) eines Kristalls wird durch die Symmetrie seiner inneren Atomstruktur bestimmt, die auch die Symmetrie der physikalischen Eigenschaften des Kristalls bestimmt.

Forschungsarbeit 1. Beschreibung von Kristallen

Das Kristallgitter kann verschiedene Arten von Symmetrie haben. Die Symmetrie eines Kristallgitters wird als die Eigenschaft des Gitters verstanden, mit einigen räumlichen Verschiebungen mit sich selbst zusammenzufallen. Wenn das Gitter mit sich selbst zusammenfällt, wenn eine Achse um einen Winkel 2π/ gedreht wird n, dann heißt diese Achse Symmetrieachse n-te Ordnung.

Neben der trivialen Achse 1. Ordnung sind nur Achsen 2., 3., 4. und 6. Ordnung möglich.

Zur Beschreibung von Kristallen werden verschiedene Symmetriegruppen verwendet, von denen die wichtigsten sind Raumsymmetriegruppen, Beschreibung der Struktur von Kristallen auf atomarer Ebene, und Punktsymmetriegruppen, ihre äußere Form beschreiben. Letztere werden auch genannt Kristallographische Klassen. Die Notation von Punktgruppen enthält Symbole der ihnen innewohnenden Hauptsymmetrieelemente. Diese Gruppen werden gemäß der Symmetrie der Form der Einheitszelle des Kristalls in sieben kristallographische Syngonien zusammengefasst - triklin, monoklin, rhombisch, tetragonal, trigonal, hexagonal und kubisch. Die Zugehörigkeit eines Kristalls zu der einen oder anderen Symmetrie- und Syngoniegruppe wird durch Winkelmessung oder Röntgenbeugungsanalyse bestimmt.

In der Reihenfolge zunehmender Symmetrie sind die kristallographischen Systeme wie folgt angeordnet (die Bezeichnungen der Achsen und Winkel sind aus der Abbildung ersichtlich):

triklinisches System. Feature-Eigenschaft: a ≠ b ≠ c;α ≠ β ≠ γ. Die Einheitszelle hat die Form eines schiefen Parallelepipeds.

monoklines System. Charakteristische Eigenschaft: Zwei Winkel sind rechts, der dritte ist von rechts verschieden. Folglich, a ≠ b ≠ c; β = γ = 90°, α ≠ 90°. Die Elementarzelle hat die Form eines Parallelepipeds mit einem Rechteck an der Basis.

Rhombisches System. Alle Winkel stimmen, alle Kanten sind unterschiedlich: a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90°. Die Elementarzelle hat die Form eines rechteckigen Parallelepipeds.

tetragonales System. Alle Winkel sind richtig, zwei Kanten sind gleich: a = b ≠ c; α = β = γ = 90°. Die Elementarzelle hat die Form eines geraden Prismas mit quadratischer Grundfläche.

Rhomboedrisches (trigonales) System. Alle Kanten sind gleich, alle Winkel sind gleich und von einer Geraden verschieden: a=b=c; α = β = γ ≠ 90°. Die Elementarzelle hat die Form eines Würfels, der durch Kompression oder Dehnung entlang der Diagonale verformt wird.

Sechseckiges System. Die Kanten und die Winkel zwischen ihnen erfüllen die folgenden Bedingungen: a = b ≠ c; α = β = 90°; γ = 120°. Wenn Sie drei Elementarzellen zusammenfügen, erhalten Sie ein regelmäßiges sechseckiges Prisma. mehr als 30 Elemente haben eine hexagonale Packung (C in der allotropen Modifikation von Graphit, Be, Cd, Ti usw.).

Kubisches System. Alle Kanten sind gleich, alle Winkel sind richtig: a=b=c; α = β = γ = 90°. Die Elementarzelle hat die Form eines Würfels. Im kubischen System gibt es drei Arten von sogenannten Bravais-Gitter: primitiv ( a), körperzentriert ( b) und flächenzentriert ( in).

Ein Beispiel für ein kubisches System sind gewöhnliche Salzkristalle (NaCl, G). Größere Chloridionen (helle Kugeln) bilden eine dichte Würfelpackung, in deren freien Knoten (an den Ecken eines regelmäßigen Oktaeders) Natriumionen (schwarze Kugeln) sitzen.

Ein weiteres Beispiel für ein kubisches System ist das Diamantgitter ( d). Es besteht aus zwei kubisch flächenzentrierten Bravais-Gittern, die um ein Viertel der Länge der Raumdiagonale des Würfels verschoben sind. Ein solches Gitter besitzen beispielsweise die chemischen Elemente Silizium, Germanium sowie die allotrope Modifikation von Zinn - Grauzinn.

Experimentelle Arbeit "Beobachtung kristalliner Körper"

Ausrüstung: Lupe oder Kurzfokuslinse in einem Rahmen, eine Reihe kristalliner Körper.

Reihenfolge der Ausführung

Betrachten Sie die Salzkristalle mit einer Lupe. Bitte beachten Sie, dass sie alle wie Würfel geformt sind. Ein Einkristall wird genannt Einkristall(hat ein makroskopisch geordnetes Kristallgitter). Die Haupteigenschaft kristalliner Körper ist die Abhängigkeit der physikalischen Eigenschaften des Kristalls von der Richtung - Anisotropie.
Untersuchen Sie die Kupfersulfatkristalle, achten Sie auf das Vorhandensein flacher Kanten in einzelnen Kristallen, die Winkel zwischen den Flächen sind nicht gleich 90 °.
Betrachten Sie Glimmerkristalle in Form dünner Platten. Das Ende einer der Glimmerplatten ist in viele dünne Blätter gespalten. Es ist schwierig, eine Glimmerplatte zu brechen, aber es ist einfach, sie entlang der Ebenen in dünnere Blätter zu spalten ( Festigkeitsanisotropie).
Betrachten Sie polykristalline Körper (ein zerbrochenes Stück Eisen, Gusseisen oder Zink). Bitte beachten Sie: An der Bruchstelle können Sie kleine Kristalle erkennen, aus denen ein Metallstück besteht. Die meisten der in der Natur vorkommenden und in der Technik gewonnenen Feststoffe sind eine Ansammlung zufällig orientierter kleiner Kristalle, die miteinander verschmolzen sind. Im Gegensatz zu Einkristallen sind Polykristalle isotrop, d.h. ihre Eigenschaften sind in allen Richtungen gleich.

Forschungsarbeit 2. Symmetrie von Kristallen (Kristallgitter)

Kristalle können die Form verschiedener Prismen annehmen, deren Basis ein regelmäßiges Dreieck, Quadrat, Parallelogramm und Sechseck ist. Die Klassifizierung von Kristallen und die Erklärung ihrer physikalischen Eigenschaften können nicht nur auf der Form der Elementarzelle basieren, sondern auch auf anderen Symmetriearten, beispielsweise der Drehung um eine Achse. Die Symmetrieachse wird als Gerade bezeichnet, bei einer Drehung um 360 ° wird der Kristall (sein Gitter) mehrmals mit sich selbst kombiniert. Die Anzahl dieser Kombinationen wird aufgerufen die Ordnung der Symmetrieachse. Es gibt Kristallgitter mit Symmetrieachsen 2., 3., 4. und 6. Ordnung. Die Symmetrie des Kristallgitters zur Symmetrieebene ist ebenso möglich wie Kombinationen verschiedener Symmetriearten.

Der russische Wissenschaftler E.S. Fedorov fand heraus, dass 230 verschiedene Raumgruppen alle möglichen in der Natur vorkommenden Kristallstrukturen abdecken. Evgraf Stepanovich Fedorov (22. Dezember 1853 - 21. Mai 1919) - Russischer Kristallograph, Mineraloge, Mathematiker. Der größte Erfolg von E.S. Fedorov - eine rigorose Ableitung aller möglichen Raumgruppen im Jahr 1890. So beschrieb Fedorov die Symmetrien der gesamten Vielfalt von Kristallstrukturen. Gleichzeitig löste er tatsächlich das seit der Antike bekannte Problem möglicher symmetrischer Figuren. Darüber hinaus hat Evgraf Stepanovich ein universelles Gerät für kristallographische Messungen entwickelt - den Fedorov-Tisch.

Versuchsarbeit „Demonstration von Kristallgittern“

Ausrüstung: Modelle von Kristallgittern aus Natriumchlorid, Graphit, Diamant.

Reihenfolge der Ausführung

Bauen Sie das Natriumchlorid-Kristallmodell zusammen ( Zeichnung gezeigt). Wir achten darauf, dass die Kugeln einer Farbe Natriumionen und die andere Chlorionen imitieren. Jedes Ion in einem Kristall führt eine thermische Schwingungsbewegung um einen Knoten des Kristallgitters aus. Wenn Sie diese Knoten mit geraden Linien verbinden, entsteht ein Kristallgitter. Jedes Natriumion ist von sechs Chloridionen umgeben und umgekehrt ist jedes Chloridion von sechs Natriumionen umgeben.
Wählen Sie eine Richtung entlang einer der Gitterkanten. Bitte beachten Sie: Weiße und schwarze Kugeln - Natrium- und Chlorionen - wechseln sich ab.
Wählen Sie eine Richtung entlang der zweiten Kante: Weiße und schwarze Kugeln - Natrium- und Chloridionen - wechseln sich ab.
Wählen Sie eine Richtung entlang der dritten Kante: Weiße und schwarze Kugeln - Natrium- und Chloridionen - wechseln sich ab.
Zeichnen Sie eine gedankliche gerade Linie entlang der Diagonalen des Würfels - er enthält nur weiße oder nur schwarze Kugeln, d. H. Ionen eines Elements. Diese Beobachtung kann als Grundlage für die Erklärung des Phänomens der Anisotropie dienen, das kristallinen Körpern innewohnt.
Die Größen der Ionen im Gitter sind nicht gleich: Der Radius des Natriumions ist ungefähr zweimal größer als der Radius des Chlorions. Dadurch sind die Ionen in einem Salzkristall so angeordnet, dass die Gitterlage stabil ist, also ein Minimum an potentieller Energie vorhanden ist.
Bauen Sie ein Modell des Kristallgitters von Diamant und Graphit zusammen. Der Unterschied in der Packung von Kohlenstoffatomen in den Gittern von Graphit und Diamant bestimmt die signifikanten Unterschiede in ihren physikalischen Eigenschaften. Solche Substanzen werden genannt allotrop.
Ziehen Sie aufgrund der Beobachtungsergebnisse eine Schlussfolgerung und skizzieren Sie schematisch die Kristallarten.

1. Almandin. 2. Isländischer Holm. 3. Apatit. 4. Eis. 5. Speisesalz. 6. Staurolith (doppelt). 7. Calcit (doppelt). 8. Gold.

Forschungsarbeit 3. Gewinnung von Kristallen

Kristalle einer Reihe von Elementen und vieler Chemikalien haben bemerkenswerte mechanische, elektrische, magnetische und optische Eigenschaften. Die Entwicklung von Wissenschaft und Technologie hat dazu geführt, dass viele in der Natur selten vorkommende Kristalle für die Herstellung von Teilen für Geräte, Maschinen und für die wissenschaftliche Forschung sehr notwendig geworden sind. Es stellte sich die Aufgabe, eine Technologie zur Herstellung von Einkristallen vieler Elemente und chemischer Verbindungen zu entwickeln. Wie Sie wissen, ist Diamant ein Kohlenstoffkristall, Rubin und Saphir sind Aluminiumoxidkristalle mit verschiedenen Verunreinigungen.

Die gebräuchlichsten Verfahren zur Züchtung von Einkristallen sind die Kristallisation aus einer Schmelze und die Kristallisation aus einer Lösung. Kristalle aus einer Lösung werden durch langsames Verdampfen des Lösungsmittels aus einer gesättigten Lösung oder durch langsames Absenken der Temperatur der Lösung gezüchtet.

Versuchsarbeit "Kristalle züchten"

Ausrüstung: gesättigte Lösungen von Natriumchlorid, Ammoniumdichromat, Hydrochinon, Ammoniumchlorid, Objektträger, Glasstab, Lupe oder gerahmte Linse.

Reihenfolge der Ausführung

Nehmen Sie mit einem Glasstab einen kleinen Tropfen einer gesättigten Kochsalzlösung und übertragen Sie ihn auf einen vorgewärmten Glasobjektträger ( Lösungen werden im Voraus hergestellt und in kleinen Fläschchen oder mit Stopfen verschlossenen Reagenzgläsern aufbewahrt).
Wasser aus warmem Glas verdunstet relativ schnell und Kristalle beginnen aus der Lösung auszufallen. Nimm eine Lupe und beobachte den Kristallisationsprozess.
Der Versuch mit Ammoniumdichromat verläuft am besten. An den Rändern und dann über die gesamte Oberfläche des Tropfens erscheinen goldorange Äste mit dünnen Nadeln, die ein bizarres Muster bilden.
Deutlich erkennt man die ungleichen Wachstumsraten von Kristallen in verschiedenen Richtungen - die Wachstumsanisotropie - bei Hydrochinon.
Ziehen Sie auf der Grundlage der Beobachtungsergebnisse eine Schlussfolgerung und skizzieren Sie schematisch die erhaltenen Kristalltypen.

Forschungsarbeit 4. Anwendung von Kristallen

Kristalle haben die bemerkenswerte Eigenschaft der Anisotropie (mechanisch, elektrisch, optisch usw.). Kristalle sind aus der modernen Produktion nicht mehr wegzudenken.

Kristall		Anwendungsbeispiel
	Exploration und Bergbau	Bohrwerkzeuge
	Schmuckindustrie	Dekorationen
	Instrumentierung	Marinechronometer - extrem genau Haushaltsgeräte
	Fertigungsindustrie	Diamantlager
	Instrumentierung	Basissteine für Uhren
	Chemische Industrie	Spinndüsen zum Ziehen von Fasern
	Wissenschaftliche Forschung	Rubinlaser
	Schmuckindustrie	Dekorationen
Germanium, Silizium	Elektronik-Industrie	Halbleiterschaltungen und -geräte
Fluorit, Turmalin, Isländischer Spat	Optoelektronische Industrie	Optische Geräte
Quarz, Glimmer	Elektronik-Industrie	Elektronische Geräte (Kondensatoren usw.)
Saphir, Amethyst	Schmuckindustrie	Dekorationen
	Fertigungsindustrie	Schmiermittel aus Graphit
	Maschinenbau	Schmiermittel aus Graphit

Interessante Information

Wer hat Flüssigkristalle wann entdeckt? Wo werden LCDs eingesetzt?

Ende des 19. Jahrhunderts. Der deutsche Physiker O. Lehman und der österreichische Botaniker F. Reinitzer machten darauf aufmerksam, dass sich einige amorphe und flüssige Substanzen durch eine sehr geordnete parallele Stapelung von länglichen Molekülen auszeichnen. Später wurden sie nach dem Grad der strukturellen Ordnung benannt Flüssigkristalle(LCD). Es gibt smektische Kristalle (mit einer geschichteten Anordnung von Molekülen), nematische (mit zufällig parallel verschobenen länglichen Molekülen) und cholesterische (ähnliche Struktur wie nematische, aber gekennzeichnet durch größere Beweglichkeit der Moleküle). Es wurde festgestellt, dass sich unter äußerem Einfluss, beispielsweise einer kleinen elektrischen Spannung, bei einer Änderung der Temperatur, der Magnetfeldstärke, die optische Transparenz des LC-Moleküls ändert. Es stellte sich heraus, dass dies durch die Neuorientierung der Achsen der Moleküle in Richtung senkrecht zum Ausgangszustand geschieht.

Flüssigkristalle: a) smektisch; b) nematisch; in) cholesterisch.
URL: http://www.superscreen.ru

Funktionsweise der LCD-Anzeige:
links - das elektrische Feld ist ausgeschaltet, das Licht fällt durch das Glas; rechts - das Feld ist eingeschaltet, das Licht geht nicht durch, schwarze Symbole sind sichtbar (die URL ist dieselbe)

Eine weitere Welle des wissenschaftlichen Interesses an Flüssigkristallen erhob sich in den Nachkriegsjahren. Unter den Kristallographen ist unser Landsmann I.G. Tschistjakow. Ende der 60er Jahre. amerikanische gesellschaft des letzten jahrhunderts Cinch begann mit der Durchführung der ersten ernsthaften Forschung zur Verwendung nematischer LCDs zur visuellen Anzeige von Informationen. Das japanische Unternehmen war jedoch allen voraus Scharf, das 1973 ein alphanumerisches Flüssigkristall-Mosaik-Panel - LCD ( LCD - Flüssigkristallanzeige). Dies waren monochrome Indikatoren von bescheidener Größe, bei denen Polysegment-Elektroden hauptsächlich zum Nummerieren von Zahlen verwendet wurden. Der Beginn der „Indikatorrevolution“ führte zum fast vollständigen Ersatz von Zeigerwerken (in elektrischen Messgeräten, Armband- und Stationsuhren, Haushalts- und Industriefunkgeräten) durch visuelle Anzeige von Informationen in digitaler Form – genauer, mit Fehlern -freies Zählen.

Flüssigkristallanzeigen verschiedener Typen. URL: http://www.permvelikaya.ru; http://www.gio.gov.tw http://www.radiokot.ru

Dank der Fortschritte in der Mikroelektronik haben Taschen- und Tischrechner Arithmometer, Abakus und Rechenschieber ersetzt. Die lawinenartige Reduzierung der Kosten integrierter Schaltungen hat sogar zu Phänomenen geführt, die dem technischen Trend eindeutig entgegenstehen. So sind moderne digitale Armbanduhren deutlich günstiger als Federzeigeruhren, die aufgrund der Trägheit des Denkens nach wie vor beliebt sind und in die Kategorie „Prestige“ rutschen.

Welche Parameter bestimmen die Form von Schneeflocken? Welche Wissenschaft und zu welchen Zwecken beschäftigt sich mit dem Studium von Schnee, Eis und Schneeflocken?

Das erste Album mit mikroskopischen Skizzen verschiedener Schneeflocken erschien Anfang des 19. Jahrhunderts. in Japan . Es wurde von dem Wissenschaftler Doi Chishitsura erstellt. Fast hundert Jahre später erstellte ein anderer japanischer Wissenschaftler, Ukishiro Nakaya, eine Klassifizierung von Schneeflocken. Seine Forschung bewies, dass die sechszackigen, verzweigten Schneeflocken, an die wir gewöhnt sind, nur bei einer bestimmten Temperatur erscheinen: 14–17 °C. In diesem Fall muss die Luftfeuchtigkeit sehr hoch sein. In anderen Fällen können Schneeflocken eine Vielzahl von Formen annehmen.

Die häufigste Form von Schneeflocken sind Dendriten (aus dem Griechischen δέντρο - Holz). Die Strahlen dieser Kristalle sehen aus wie Äste.

Die Wissenschaft beschäftigt sich mit der Welt von Schnee und Eis Glaziologie. Es entstand im siebzehnten Jahrhundert. nachdem der Schweizer Naturforscher O. Saussure ein Buch über Alpengletscher veröffentlichte. Die Glaziologie existiert an der Schnittstelle vieler anderer Wissenschaften, vor allem der Physik, Geologie und Hydrologie. Das Studium von Eis und Schnee ist notwendig, um zu wissen, wie Schneelawinen und Eis verhindert werden können. Schließlich werden jährlich Millionen von Dollar ausgegeben, um ihre Folgen weltweit zu bekämpfen. Aber wenn Sie die Natur von Schnee und Eis kennen, können Sie viel Geld sparen und viele Leben retten. Und Eis kann über die Geschichte der Erde erzählen. Zum Beispiel in den 70er Jahren. Glaziologen untersuchten die Eisbedeckung der Antarktis, bohrten Brunnen und untersuchten die Eigenschaften des Eises in verschiedenen Schichten. Dadurch war es möglich, über die vielen Klimaveränderungen zu erfahren, die sich auf unserem Planeten seit 400.000 Jahren ereignet haben.

Unterhaltsame und ungewöhnliche Aufgaben(Gruppenarbeit)

An den Ufern des Nordkanals, im Nordosten der Insel Irland, erheben sich die niedrigen Berge von Antrim. Sie bestehen aus schwarzen Basalten – Spuren der Aktivität alter Vulkane, die entlang der riesigen Verwerfung entstanden sind, die Irland vor 60 Millionen Jahren von Großbritannien trennte. Die schwarzen Lavaströme, die aus diesen Kratern ausbrachen, bildeten die Küstenberge an der irischen Küste und auf den Hebriden jenseits des Nordkanals. Dieser Basalt ist eine erstaunliche Rasse! Flüssig, in geschmolzener Form leicht fließend (Basaltströme rauschen manchmal mit Geschwindigkeiten von bis zu 50 km / h an den Hängen von Vulkanen entlang), reißt es beim Abkühlen und Erstarren und bildet regelmäßige sechseckige Prismen. Aus der Ferne ähneln Basaltfelsen riesigen Orgeln mit Hunderten von schwarzen Pfeifen. Und wenn der Lavastrom ins Wasser strömt, erscheinen manchmal so bizarre Gebilde, dass man an ihren magischen Ursprung kaum glauben kann. Es ist dieses Naturphänomen, das am Fuße von Antrim beobachtet werden kann. Eine Art „Straße ins Nirgendwo“ trennt sich hier vom Vulkanmassiv. Der Damm erhebt sich 6 m über dem Meer und besteht aus etwa 40.000 Basaltsäulen. Sie sieht aus wie eine unvollendete Brücke über die Meerenge, die von einem fabelhaften Riesen erdacht wurde, und wird "Brücke des Riesen" genannt.

Eine Aufgabe. Von welchen Eigenschaften kristalliner Festkörper und Flüssigkeiten sprechen wir? Was sind die Unterschiede zwischen kristallinen Festkörpern und Flüssigkeiten? ( Antworten. Die richtige geometrische Form ist ein wesentliches äußeres Merkmal jedes Kristalls unter natürlichen Bedingungen.)

Der erste Diamant in Südafrika wurde 1869 von einem Hirtenjungen gefunden. Ein Jahr später wurde hier die Stadt Kimberley gegründet, unter deren Namen das diamanthaltige Grundgestein als Kimberlit bekannt wurde. Der Gehalt an Diamanten in Kimberliten ist sehr gering - nicht mehr als 0,000 007 3%, was 0,2 g (1 Karat) pro 3 Tonnen Kimberliten entspricht. Jetzt ist eine der Attraktionen von Kimberley eine riesige, 400 m tiefe Grube, die von Diamantenschürfern gegraben wurde.

Eine Aufgabe. Wo kommen die wertvollen Eigenschaften von Diamanten zum Einsatz?

„So eine Schneeflocke (wir sprechen von einer Schneeflocke. - WIE.), ein sechseckiger, regelmäßiger Stern, fiel Nerzhin auf den Ärmel eines alten roten Mantels der Frontlinie.

KI Solschenizyn. Im ersten Kreis.

? Warum haben Schneeflocken die richtige Form? ( Antworten. Die Haupteigenschaft von Kristallen ist Symmetrie.)

„Das Fenster klirrte vor Lärm; die Gläser flogen klirrend heraus, und ein schreckliches Schweinsgesicht ragte heraus und bewegte die Augen, als ob es fragen würde: "Was macht ihr hier, ihr Lieben?"

NV Gogol.

? Warum bricht Glas schon bei geringer Belastung? ( Antworten. Glas wird als spröder Körper eingestuft, bei dem praktisch keine plastische Verformung auftritt, so dass die elastische Verformung direkt in der Zerstörung endet.)

„Es hat stärker gefroren als am Morgen; aber andererseits war es so still, dass das Knarren des Reifs unter den Stiefeln eine halbe Werst entfernt zu hören war.

NV Gogol. Abende auf einem Bauernhof in der Nähe von Dikanka.

? Warum knarzt der Schnee bei kaltem Wetter unter den Füßen? ( Antworten. Schneeflocken sind Kristalle, unter den Füßen kollabieren sie, wodurch Geräusche entstehen.)

Diamant wird von einem Diamanten geschnitten.

? Diamant und Graphit bestehen aus den gleichen Kohlenstoffatomen. Warum unterscheiden sich die Eigenschaften von Diamant und Graphit? ( Antworten. Diese Substanzen unterscheiden sich in ihrer kristallinen Struktur. Diamant hat starke kovalente Bindungen, während Graphit eine Schichtstruktur hat.)

? Welche Substanzen kennen Sie, die in ihrer Stärke dem Diamant in nichts nachstehen? ( Antworten. Eine solche Substanz ist Bornitrid. Eine sehr starke kovalente Bindung bindet Bor- und Stickstoffatome im Kristallgitter von Bornitrid. Bornitrid ist Diamant in der Härte nicht unterlegen und übertrifft ihn in Festigkeit und Hitzebeständigkeit.)

Das Ende ist stumpf, der Meißel ist scharf: Er schneidet Bleche, Stücke fliegen. Was ist das? ( Antworten. Diamant.)

? Welche Eigenschaft unterscheidet Diamant von anderen Stoffen? ( Antworten. Härte.)

Die größten Kristalle wurden in der Naica-Höhle im mexikanischen Bundesstaat Chihuahua gefunden. Einige von ihnen erreichen eine Länge von 13 m und eine Breite von 1 m.

A.E. Fersman zu Beginn des 20. Jahrhunderts. beschrieb einen Steinbruch im südlichen Ural, eingebettet in einen riesigen Feldspatkristall.

Fazit

Zum Abschluss der Lektion möchte ich ein einzigartiges Beispiel für die Verwendung von Symmetrie geben. Honigbienen müssen zählen und speichern können. Um nur 60 g Wachs mit speziellen Drüsen abzusondern, müssen sie 1 kg Honig aus Nektar und Pollen essen, und etwa 7 kg süße Nahrung werden benötigt, um ein mittelgroßes Nest zu bauen. Die Zellen der Wabe können im Prinzip quadratisch sein, aber die Bienen wählen eine sechseckige Form: Sie bietet die dichteste Larvenpackung, sodass der Bau der Wände ein Minimum an kostbarem Wachs erfordert. Die Zellen sind vertikal, die Zellen darauf befinden sich auf beiden Seiten, dh sie haben einen gemeinsamen Boden - mehr Einsparungen. Sie sind in einem Winkel von 13° nach oben gerichtet, damit kein Honig herausfließt. In solche Waben werden mehrere Kilogramm Honig gegeben. Das sind die wahren Wunder der Natur.

Literatur

Arnold VI. Mathematische Methoden der klassischen Mechanik. M.: Editorial URSS, 2003.
Weil G. Symmetrie: Übersetzung aus dem Englischen. M., 1968.
Glaziologisches Wörterbuch / Ed. V.M. Kotljakow. L.: Gidrometeoizdat, 1984.
Kompaneets A.S. Symmetrie in der Mikro- und Makrowelt. Moskau: Nauka, 1978.
Merkulov D. Die Magie der Flüssigkristalle // Wissenschaft und Leben. 2004. Nr. 12.
Fedorow E.S. Symmetrie und Struktur von Kristallen. M, 1949.
Physik: Enc. für Kinder. Moskau: Avanta+, 2000.
Shubnikov A.V., Koptsik V.A. Symmetrie in Wissenschaft und Kunst. Verlag 2. M., 1972.

SYMMETRIE DER KRISTALLE- die Eigenschaft von Kristallen, bei Drehungen, Reflexionen, parallelen Übertragungen oder mit einem Teil oder einer Kombination dieser Operationen mit sich selbst kombiniert zu werden. ext. Die Form (Schliff) eines Kristalls wird durch die Symmetrie seiner atomaren Struktur bestimmt, die auch die Symmetrie des Physischen bestimmt. Kristalleigenschaften.

Reis. 1. a - Quarzkristall; 3 - Symmetrieachse 3. Ordnung, - Achsen 2. Ordnung; b - Kristall aus wässrigem Natriummetasilikat; m - Symmetrieebene.

Auf Abb. eines a zeigt einen Quarzkristall. Ext. seine Form ist so, dass er durch Drehung um 120° um die Achse 3 mit sich selbst überlagert werden kann (konsequente Gleichheit). Natriummetasilikatkristall (Abb. 1, b) wird durch Spiegelung an der Symmetrieebene m in sich selbst transformiert (Spiegelgleichheit). Wenn ein - eine Funktion, die ein Objekt beschreibt, z. die Form eines Kristalls im dreidimensionalen Raum oder to-l. seine Eigenschaft, und die Operation transformiert dann die Koordinaten aller Punkte des Objekts g eine Operation oder eine Symmetrietransformation ist und F ein symmetrisches Objekt ist, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

In naib. In der allgemeinen Formulierung ist Symmetrie die Unveränderlichkeit (Invarianz) von Objekten und Gesetzen unter bestimmten Transformationen der sie beschreibenden Variablen. Kristalle sind Objekte im dreidimensionalen Raum, so der Klassiker. Theorie von S. bis - die Theorie der symmetrischen Transformationen des dreidimensionalen Raums in sich selbst unter Berücksichtigung der Tatsache, dass ext. Die atomare Struktur von Kristallen ist diskret, dreidimensional periodisch. Bei Symmetrietransformationen wird der Raum nicht deformiert, sondern als starres Ganzes transformiert. Eine solche Transformation ist ein Groove. orthogonal oder isometrisch und. Nach der Symmetrietransformation fallen die Teile des Objekts, die sich an einer Stelle befanden, mit den Teilen zusammen, die sich an einer anderen Stelle befinden. Dies bedeutet, dass in einem symmetrischen Objekt gleiche Teile (kompatibel oder gespiegelt) vorhanden sind.

S. bis manifestiert sich nicht nur in ihrer Struktur und Eigenschaften im realen dreidimensionalen Raum, sondern auch in der energetischen Beschreibung. das Elektronenspektrum des Kristalls (vgl Zonentheorie), bei der Analyse von Prozessen Röntgenbeugung, Neutronenbeugung und Elektronenbeugung in Kristallen unter Verwendung des reziproken Raums (vgl Reziprokes Gitter)usw.

Symmetriegruppen von Kristallen. Ein Kristall kann nicht einen, sondern mehrere haben. . Also ein Quarzkristall (Abb. 1, a) ist nicht nur bei einer Drehung um 120° um die Achse mit sich selbst ausgerichtet 3 (Betrieb g), sondern auch beim Drehen um die Achse 3 240° (Betrieb g2), & auch für 180° Drehungen um Achsen 2 X, 2 Y, 2 W(Operationen g3, g4, g5). Jede Symmetrieoperation kann einem Symmetrieelement zugeordnet werden – einer Linie, einer Ebene oder einem Punkt, relativ zu dem die gegebene Operation ausgeführt wird. z.B. Achse 3 oder Achsen 2x, 2j, 2w sind die Symmetrieachsen, die Ebene t(Abb. 1,b) - durch die Ebene der Spiegelsymmetrie usw. Die Menge der Symmetrieoperationen (g 1 , g 2 , ..., g n ) gegebener Kristall bildet eine Symmetriegruppe im Sinne von Math. Theorien Gruppen. Konsistent Das Ausführen von zwei Symmetrieoperationen ist auch eine Symmetrieoperation. In der Gruppentheorie wird dies als Produkt von Operationen bezeichnet:. Es gibt immer eine Identitätsoperation g0, was im Kristall nichts verändert, genannt. Identifizierung, es entspricht geometrisch der Unbeweglichkeit des Objekts oder seiner Drehung um 360 ° um eine beliebige Achse. Die Anzahl der Operationen, die eine Gruppe G bilden, genannt. Gruppenbestellung.

Symmetriegruppen von Raumtransformationen werden klassifiziert: nach der Anzahl P Raumdimensionen, in denen sie definiert sind; nach Nummer t Raumdimensionen, in denen das Objekt periodisch ist (sie werden entsprechend bezeichnet), und nach bestimmten anderen Zeichen. Zur Beschreibung von Kristallen werden verschiedene Symmetriegruppen verwendet, von denen die wichtigsten die Punktsymmetriegruppen sind, die das Äußere beschreiben. die Form der Kristalle; ihr Name. auch kristallographisch. Klassen; Raumsymmetriegruppen, die die atomare Struktur von Kristallen beschreiben.

Punktsymmetriegruppen. Die Operationen der Punktsymmetrie sind: Rotationen um die Symmetrieachse der Ordnung N in einem Winkel gleich 360°/N(Abb. 2, a); Spiegelung in der Symmetrieebene t(Spiegelbild, Abb. 2, b); Inversion (Symmetrie in Bezug auf einen Punkt, Abb. 2, c); Inversionsdrehungen (Kombination der Drehung um einen Winkel 360°/N mit zur selben Zeit Umkehrung, Abb. 2d). Anstelle von Inversionsdrehungen werden manchmal auch dazu äquivalente Spiegeldrehungen betrachtet.Geometrisch mögliche Kombinationen von Punktsymmetrieoperationen bestimmen die eine oder andere Punktsymmetriegruppe, die normalerweise stereographisch dargestellt wird. Projektionen. Bei Punktsymmetrietransformationen bleibt mindestens ein Punkt des Objekts fixiert – es transformiert sich in sich selbst. Alle Symmetrieelemente schneiden sich darin, und es ist das Zentrum der Stereographie. Projektionen. Beispiele von Kristallen, die zu unterschiedlichen Punktgruppen gehören, sind in den Fig. 3 und 4 angegeben. 3.

Reis. 2. Beispiele für Symmetrieoperationen: a - Drehung; b - Reflexion; c - Umkehrung; d - Inversionsrotation 4. Ordnung; e - Schraubendrehung 4. Ordnung; e - gleitende Reflexion.

Reis. 3. Beispiele von Kristallen, die zu verschiedenen Punktgruppen gehören (kristallographische Klassen): a - bis Klasse m (eine Symmetrieebene); b - zur Klasse (Symmetriezentrum oder Inversionszentrum); a - bis Klasse 2 (eine Symmetrieachse 2. Ordnung); g - zur Klasse (eine Inversions-Drehachse der 6. Ordnung).

Punktsymmetrietransformationen werden durch lineare Gleichungen beschrieben

oder Koeffizientenmatrix

Zum Beispiel beim Drehen um eine Achse x 1 bei einer Winkel-=360°/N-Matrix D sieht aus wie:

und wenn sie in einer Ebene gespiegelt werden x 1 x 2D sieht aus wie:

Die Anzahl der Punktgruppen ist unendlich. In Kristallen jedoch aufgrund des Vorhandenseins von Kristallinen. Gitter sind nur Operationen und dementsprechend Symmetrieachsen bis zur 6. Ordnung möglich (außer der 5.; in einem Kristallgitter kann es keine Symmetrieachse der 5. Ordnung geben, da es mit Hilfe von Fünfeckfiguren unmöglich ist, sie zu füllen Platz ohne Lücken). Die Operationen der Punktsymmetrie und die entsprechenden Symmetrieelemente werden mit den Symbolen bezeichnet: Achsen 1, 2, 3, 4, 6, Inversionsachsen (Symmetriezentrum oder Inversionszentrum), (es ist auch die Symmetrieebene m), (Abb. 4).

Reis. 4. Grafische Bezeichnungen von Elementen der Punktsymmetrie: a - ein Kreis - das Symmetriezentrum, Symmetrieachsen senkrecht zur Zeichenebene; b - Achse 2, parallel zur Zeichenebene; c - Symmetrieachsen, parallel oder schräg zur Zeichenebene; g - Symmetrieebene, senkrecht zur Zeichenebene; d - Symmetrieebenen parallel zur Zeichenebene.

Um eine Punktsymmetriegruppe zu beschreiben, genügt es, eine oder mehrere anzugeben. Die Symmetrieoperationen, die es erzeugen, der Rest seiner Operationen (falls vorhanden) entstehen als Ergebnis der Wechselwirkung der Generatoren. Beispielsweise sind für Quarz (Abb. 1, a) die Erzeugungsoperationen 3 und eine der Operationen 2, und es gibt insgesamt 6 Operationen in dieser Gruppe.Die internationale Notation von Gruppen enthält die Symbole der Erzeugungsoperationen von Symmetrie. Punktgruppen werden entsprechend der Punktsymmetrie der Elementarzellenform (mit den Perioden a, b, c und Winkel) in 7 Syngonien (Tabelle 1).

Gruppen, die zusätzlich zu Ch. Achsen N Symmetrieebenen t, werden als bezeichnet Nm ich für Nm wenn die Achse in der Ebene liegt t. Wenn eine Gruppe neben Ch. Achse hat mehrere. Symmetrieebenen, die durch sie hindurchgehen, dann wird sie bezeichnet Nmm.

Tab. eines.- Punktgruppen (Klassen) der Symmetrie von Kristallen

Gruppen, die nur Drehungen enthalten, beschreiben Kristalle, die nur aus kompatiblen gleichen Teilen bestehen (Gruppen der ersten Art). Gruppen, die Spiegelungen oder Inversionsdrehungen enthalten, beschreiben Kristalle, in denen spiegelgleiche Teile vorhanden sind (Gruppen zweiter Art). Durch Gruppen der 1. Art beschriebene Kristalle können in zwei enantiomorphen Formen („rechts“ und „links“, die jeweils keine Symmetrieelemente der 2. Art enthalten), aber zueinander spiegelgleich kristallisieren (siehe Abb. Enantiomorphismus).

Die Gruppen von S. k. tragen ein Geom. Bedeutung: Jede der Operationen entspricht beispielsweise einer Drehung um die Symmetrieachse, einer Spiegelung in der Ebene. Bestimmte Punktgruppen im Sinne der Gruppentheorie, die nur die Regeln für das Zusammenwirken von Operationen in einer gegebenen Gruppe (nicht aber deren geom. Bedeutung) berücksichtigt, erweisen sich als gleich oder isomorph zueinander. Dies sind zum Beispiel die Gruppen 4 und tt2, 222. Insgesamt gibt es 18 abstrakte Gruppen, die isomorph zu einer oder mehreren der 32 Punktgruppen von S. c.

In Bezug auf makroskopische Eigenschaften eines Kristalls können als homogenes kontinuierliches Medium beschrieben werden. Daher werden viele der Eigenschaften von Kristallen, die zu der einen oder anderen Punktsymmetriegruppe gehören, durch die sogenannten beschrieben. Grenzpunktgruppen, die Symmetrieachsen unendlicher Ordnung enthalten, gekennzeichnet durch das Symbol. Das Vorhandensein einer Achse bedeutet, dass das Objekt mit sich selbst ausgerichtet ist, wenn es um einen beliebigen Winkel gedreht wird, einschließlich eines unendlich kleinen. Es gibt 7 solcher Gruppen (Abb. 5). Insgesamt gibt es also 32 + 7 = 39 Punktgruppen, die die Symmetrie der Eigenschaften von Kristallen beschreiben. Wenn man die Symmetriegruppe von Kristallen kennt, kann man die Möglichkeit des Vorhandenseins oder Fehlens bestimmter physikalischer Eigenschaften darin anzeigen. Eigenschaften (vgl Kristallphysik).

Räumliche Symmetriegruppen. Die räumliche Symmetrie der atomaren Struktur von Kristallen wird durch Raumsymmetriegruppen beschrieben. Sie heißen auch Fedorov zu Ehren von E. S. Fedorov, der sie 1890 gefunden hat; diese Gruppen wurden im selben Jahr von A. Schoenflies unabhängig gezüchtet. Im Gegensatz zu Punktgruppen wurden To-Roggen als Verallgemeinerung der Gesetzmäßigkeiten der Kristallformen erhalten. Polyeder (S. I. Gessel, 1830, A. V. Gadolin, 1867), Raumgruppen waren das Produkt mathematischer Geom. Theorie, die das Experiment vorwegnahm. Bestimmung der Struktur von Kristallen mittels Röntgenbeugung. Strahlen.

Operationen, die für die atomare Struktur von Kristallen charakteristisch sind, sind 3 nicht koplanare Translationen a, b, c, Roggen und die dreidimensionale Periodizität des Kristalls einzustellen. Gitter. Kristallin Das Gitter wird in allen drei Dimensionen als unendlich angesehen. So eine Matte. die Annäherung ist real, weil die Zahl der Einheitszellen in den beobachteten Kristallen sehr groß ist. Struktur auf Vektoren übertragen a, b, c oder irgendein Vektor wo S. 1, S. 2, S. 3- beliebige ganze Zahlen, verbindet die Kristallstruktur mit sich selbst und ist daher eine Symmetrieoperation (translationale Symmetrie).

Phys. Diskretion des Kristalls. Materie drückt sich in ihrer atomaren Struktur aus. Raumgruppen sind Gruppen, die einen dreidimensionalen homogenen diskreten Raum in sich selbst transformieren. Diskretion liegt zum Beispiel darin, dass nicht alle Punkte eines solchen Raums symmetrisch gleich sind. ein Atom von der einen und ein Atom von einer anderen Sorte, ein Kern und Elektronen. Die Bedingungen für Homogenität und Diskretheit werden durch die Tatsache bestimmt, dass Raumgruppen dreidimensional periodisch sind, d. h. jede Gruppe eine Untergruppe von Translationen enthält T- kristallin. Gitter.

Durch die Möglichkeit, Translationen und Punktsymmetrieoperationen gruppenweise in einem Verband zusammenzufassen, entstehen neben Punktsymmetrieoperationen auch Operationen und entsprechende Symmetrieelemente aus Translationen. Komponente - Schraubenachsen verschiedener Ordnungen und Ebenen der streifenden Reflexion (Abb. 2, d, f).

In Übereinstimmung mit der Punktsymmetrie der Form der Elementarzelle (Elementarquader) werden die Raumgruppen wie die Punktgruppen in 7 kristallographische unterteilt Syngonie(Tabelle 2). Ihre weitere Unterteilung entspricht Übersetzungen. Gruppen und ihre jeweiligen Vrave-Gitter. Es gibt 14 Bravais-Gitter, von denen 7 primitive Gitter der entsprechenden Syngonien sind, sie werden bezeichnet R(außer rhomboedrisch R). Andere-7 stürzt ab. Gitter: Baso (Boco) - zentriert ABER(Gesicht ist zentriert v. Chr.), v(Gesicht ac), C(ab); körperzentriertes Ich, gesichtszentriert (auf allen 3 Gesichtern) F. Berücksichtigung der Zentrierung für den Übersetzungsvorgang t Zentriertranslationen, die dem Zentrum entsprechen, werden hinzugefügt tc. Wenn diese Operationen miteinander kombiniert werden t + t s und mit den Operationen der Punktgruppen der entsprechenden Syngonien werden dann 73 Raumgruppen erhalten, genannt. symmorph.

Tab. 2.-Space-Symmetrie-Gruppen

Basierend auf bestimmten Regeln können nicht-triviale Untergruppen aus symmorphischen Raumgruppen extrahiert werden, was weitere 157 nicht-symmorphe Raumgruppen ergibt. Es gibt insgesamt 230 Raumgruppen Symmetrieoperationen beim Transformieren eines Punktes X in symmetrisch gleich (und damit den ganzen Raum in sich selbst) werden geschrieben als: , wo D- Punkttransformationen, - Komponenten der Schraubenübertragung oder gleitenden Reflexion, - Translationsoperationen. Mutige Gruppen. Operationen der Schraubensymmetrie und ihre entsprechenden Symmetrieelemente - Schraubenachsen haben einen Winkel. Komponente (N = 2, 3, 4, 6) und translational ts = tq/N, wo t- Translation des Gitters, die Rotation n erfolgt gleichzeitig mit der Translation entlang der W-Achse, q- spiralförmiger Index. Allgemeines Symbol für Schraubenachsen Nq(Abb. 6). Die Schraubenachsen sind entlang Ch gerichtet. Achsen oder Diagonalen der Einheitszelle. Die Achsen 3 1 und 3 2 , 4 1 und 4 3 , 6 1 und 6 5 , 6 2 und 6 4 entsprechen paarweise rechten und linken spiralförmigen Windungen. Neben der Operation der Spiegelsymmetrie in Raumgruppen, Ebenen streifender Reflexion a, b, c: Reflexion wird mit Translation um die Hälfte der entsprechenden Gitterperiode kombiniert. Die Übertragung um die halbe Diagonale der Zellenfläche entspricht der sog. Keilebene des Gleitens n außerdem in tetragonal und kubisch. Gruppen sind "Diamant"-Ebenen möglich d.

Reis. 6. a - Grafische Bezeichnungen von Schraubenachsen senkrecht zur Ebene der Abb.; b - in der Ebene der Abb. liegende Schraubenachse; c - Ebenen der streifenden Reflexion senkrecht zur Ebene der Abb., wobei a, b, c - Perioden der Einheitszelle, entlang deren Achsen ein Gleiten auftritt (translationale Komponente a / 2), n - diagonale Ebene der streifenden Reflexion [translational Komponente (a + b) / 2], d - Diamant-Gleitebene; d - das gleiche in der Ebene der Figur.

Im Tisch. 2 internationale Symbole aller 230 Raumgruppen sind entsprechend ihrer Zugehörigkeit zu einer der 7 Syngonien und der Klasse der Punktsymmetrie angegeben.

Übertragung. die Komponenten von Mikrosymmetrieoperationen von Raumgruppen erscheinen makroskopisch nicht in Punktgruppen; Beispielsweise erscheint die Schraubenachse in der Facettierung von Kristallen als einfache Rotationsachse in entsprechender Reihenfolge. Daher ist jede der 230 Gruppen makroskopisch ähnlich (homomorph) zu einer der 32 Punktgruppen. Zum Beispiel für die Punktgruppe mmm 28 Raumgruppen werden homomorph dargestellt.

Die Schoenflies-Notation der Raumgruppen ist die Bezeichnung der entsprechenden Punktgruppe (zB , Tabelle 1), der zB die historisch übliche Seriennummer von oben zugeordnet wird. . In internationaler Notation sind das Symbol des Bravais-Gitters und die Erzeugungsoperationen der Symmetrie jeder Gruppe angegeben usw. Die Reihenfolge der Anordnung von Raumgruppen in Tabelle. 2 in internationaler Notation entspricht der Zahl (hochgestellt) in Schönflies-Notation.

Auf Abb. 7 ist das Bild von Räumen gegeben. Gruppen - Rpta laut International Crystallographic Tische. Die Operationen (und ihre entsprechenden Elemente) der Symmetrie jeder Raumgruppe, die für die Einheitszelle angegeben sind, wirken auf alle Kristalline. Raum, die gesamte atomare Struktur des Kristalls und einander.

Reis. 7. Bild der Gruppe - Rpta in den internationalen Tabellen.

Setzt man innerhalb der Elementarzelle to-n. Punkt x (x 1 x 2 x 3), dann wandeln die Symmetrieoperationen es in Punkte um, die ihm im gesamten Kristall symmetrisch gleich sind. Platz; Es gibt unendlich viele solcher Punkte. Aber es reicht aus, ihre Position in einer Elementarzelle zu beschreiben, und diese Menge wird sich bereits durch Verschiebungen des Gitters vervielfachen. Die aus den gegebenen Operationen abgeleitete Menge von Punkten gi Gruppen G – x 1 , x 2 , ..., x n-1, genannt korrektes Punktesystem (PST). Auf Abb. 7 rechts ist die Anordnung der Symmetrieelemente der Gruppe, links ist das Bild des PST der allgemeinen Position dieser Gruppe. Punkte in allgemeiner Position sind solche Punkte, die nicht auf einem Punktsymmetrieelement der Raumgruppe liegen. Die Anzahl (Multiplizität) solcher Punkte ist gleich der Ordnung der Gruppe. Punkte, die sich auf einem Element (oder Elementen) mit Punktsymmetrie befinden, bilden einen PST einer bestimmten Position und haben eine entsprechende Symmetrie, ihre Anzahl ist ein ganzzahliges Vielfaches kleiner als die Multiplizität eines PST einer allgemeinen Position. Auf Abb. 7 auf der linken Seite zeigen Punkte allgemeiner Position an, sie befinden sich innerhalb der elementaren Zelle 8, die Symbole "+" und "-", "1/2+" und "1/2-" bedeuten jeweils die Koordinaten +z , -z, 1/2 + z , 1/2 - z. Kommas oder deren Fehlen bedeuten paarweise Spiegelgleichheit der entsprechenden Punkte bezüglich der in dieser Gruppe vorhandenen Symmetrieebenen m bei= 1/4 und 3/4. Wenn der Punkt auf die Ebene m fällt, wird er durch diese Ebene nicht verdoppelt, wie im Fall von Punkten in allgemeiner Position, und die Anzahl (Vielzahl) solcher Punkte in besonderer Position ist 4, ihre Symmetrie ist -m. Dasselbe geschieht, wenn ein Punkt die Symmetriezentren trifft.

Jede Raumgruppe hat ihre eigenen PST-Sets. Für jede Gruppe gibt es nur ein richtiges Punktesystem in allgemeiner Position. Einige der PST einer bestimmten Position können sich jedoch für verschiedene Gruppen als gleich herausstellen. Die internationalen Tabellen geben die Vielfalt der PST, ihre Symmetrie und Koordinaten und alle anderen Eigenschaften jeder Raumgruppe an. Die Bedeutung des Konzepts von PST liegt in der Tatsache, dass in jedem kristallinen. Struktur, die zu einer bestimmten Raumgruppe gehört, Atome oder Molekülzentren befinden sich entlang der SST (eine oder mehrere). In der Strukturanalyse die Verteilung von Atomen auf ein oder mehrere Atome. PST dieser Raumgruppe wird unter Berücksichtigung der Chemikalie hergestellt. Kristallflug- und Beugungsdaten. Experiment, ermöglicht es Ihnen, die Koordinaten von Punkten privater oder allgemeiner Positionen zu finden, in denen sich Atome befinden. Da jeder PST aus einem oder mehreren der Bravais-Gitter besteht, kann man sich die Anordnung der Atome auch als einen Satz von „ineinander geschobenen“ Bravo-Gittern vorstellen. Eine solche Darstellung ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass die Raumgruppe Übersetzungen als Untergruppe enthält. Mutige Gruppe.

Untergruppen von Kristallsymmetriegruppen. Wenn Teil der Operation to-l. Gruppe bildet selbst eine Gruppe G r (g 1 ,...,g m),, dann wird der letzte aufgerufen Untergruppe der ersten. Beispielsweise sind die Untergruppen der Punktgruppe 32 (Fig. 1, a) die Gruppe 3 und Gruppe 2 . Auch zwischen Leerzeichen. Gruppen gibt es eine Hierarchie von Untergruppen. Raumgruppen können als Untergruppen Punktgruppen haben (es gibt 217 solcher Raumgruppen) und Untergruppen, die Raumgruppen niedrigerer Ordnung sind. Dementsprechend gibt es eine Hierarchie von Untergruppen.

Die meisten Raumsymmetriegruppen von Kristallen unterscheiden sich untereinander und als abstrakte Gruppen; die Zahl der zu 230 Raumgruppen isomorphen abstrakten Gruppen beträgt 219. Abstrakt gleich sind 11 spiegelgleiche (enantiomorphe) Raumgruppen - eine nur mit rechter, andere mit linker Schraubenachse. Dies sind zum Beispiel P 3 1 21 und P 3 2 21. Diese beiden Raumgruppen werden homomorph auf die Punktgruppe 32 abgebildet, zu der Quarz gehört, aber Quarz ist jeweils rechtshändig und linkshändig: Die Symmetrie der Raumstruktur drückt sich in diesem Fall makroskopisch aus, aber die Punktgruppe ist in beiden Fällen gleich.

Die Rolle von Raumsymmetriegruppen von Kristallen. Raumsymmetriegruppen von Kristallen - die Grundlage der Theorie. Kristallographie, Beugung und andere Methoden zur Bestimmung der Atomstruktur von Kristallen und zur Beschreibung des Kristalls. Strukturen.

Das durch Röntgenbeugung erhaltene Beugungsmuster Neutronographie oder Elektronographie, ermöglicht es Ihnen, Symmetrie und Geom einzustellen. Eigenschaften reziprokes Gitter Kristall und damit die eigentliche Struktur des Kristalls. So werden die Punktgruppe eines Kristalls und die Einheitszelle bestimmt; charakteristische Extinktionen (das Fehlen bestimmter Beugungsreflexe) bestimmen den Typ des Bravais-Gitters und die Zugehörigkeit zu einer bestimmten Raumgruppe. Die Anordnung der Atome in einer Elementarzelle ergibt sich aus der Gesamtheit der Intensitäten der Beugungsreflexe.

Raumgruppen spielen dabei eine wichtige Rolle Kristallchemie. Mehr als 100.000 Kristalle wurden identifiziert. Strukturen anorganisch., organisch. und biologisch. Verbindungen. Jeder Kristall gehört zu einer von 230 Raumgruppen. Es stellte sich heraus, dass fast alle Raumgruppen in der Welt der Kristalle realisiert sind, obwohl einige von ihnen häufiger sind als andere. Es gibt Statistiken über die Prävalenz von Raumgruppen für verschiedene Arten von Chem. Verbindungen. Bisher wurden nur 4 Gruppen unter den untersuchten Strukturen nicht gefunden: Rcc2, P4 2 cm, P4nc 1, R6tp. Die Theorie, die das Vorherrschen bestimmter Raumgruppen erklärt, berücksichtigt die Abmessungen der Atome, aus denen die Struktur besteht, das Konzept der dichten Packung von Atomen oder Molekülen, die Rolle der "Verpackungs" -Symmetrieelemente - Gleitebenen und Schraubenachsen.

In der Festkörperphysik wird die Theorie der Gruppendarstellungen mit Hilfe von Matrizen und Specials verwendet. f-tionen, für Raumgruppen sind diese Funktionen periodisch. Ja, theoretisch strukturelle Phasenübergänge Die Raumgruppe der Symmetrie der weniger symmetrischen (Tieftemperatur-) Phase 2. Art ist eine Untergruppe der Raumgruppe der symmetrischeren Phase, und der Phasenübergang ist einer der irreduziblen Darstellungen der Raumgruppe der zugeordnet hochsymmetrische Phase. Die Darstellungstheorie ermöglicht es auch, Probleme der Dynamik zu lösen Kristallgitter, es ist elektronisch und magnetisch Strukturen, eine Reihe von physischen Eigenschaften. Im Theoretischen Kristallographie ermöglichen Raumgruppen die Entwicklung einer Theorie der Aufteilung des Raums in gleiche Bereiche, insbesondere polyedrische.

Symmetrie von Vorsprüngen, Schichten und Ketten. Kristalline Projektionen. Strukturen pro Ebene werden durch flache Gruppen beschrieben, ihre Anzahl beträgt 17. Zur Beschreibung dreidimensionaler Objekte, periodisch in 1 oder 2 Richtungen, insbesondere Fragmente der Kristallstruktur, können Gruppen verwendet werden - zweidimensional periodisch und - eindimensional periodisch. Diese Gruppen spielen eine wichtige Rolle im Studium der Biologie. Strukturen und Moleküle. Beispielsweise beschreiben Gruppen die Struktur biologischer. Membranen, Gruppen von Kettenmolekülen (Abb. 8, a), stäbchenförmige Viren, röhrenförmige Kristalle aus kugelförmigen Proteinen (Abb. 8, b), bei dem die Moleküle entsprechend der helikalen (Helix-)Symmetrie möglich in Gruppen angeordnet sind (siehe Abb. biologischer Kristall).

Reis. 8. Objekte mit Helixsymmetrie: a - DNA-Molekül; b - röhrenförmiger Kristall des Phosphorylaseproteins (elektronenmikroskopische Aufnahme, Vergrößerung 220.000).

Struktur von Quasikristallen. Quasikristall(z. B. A1 86 Mn 14) ikosaedrisch sind. Punktsymmetrie (Abb. 5), was in einem Kristall unmöglich ist. Gitter. Die Fernordnung in Quasi-Kristallen ist quasi-periodisch, beschrieben auf der Basis der Theorie der Fast-Periodik. Funktionen. Die Struktur von Quasikristallen kann als Projektion einer sechsdimensionalen Periode auf einen dreidimensionalen Raum dargestellt werden. kubisch Gitter mit Achsen 5. Ordnung. Quasikristalle mit fünfdimensionaler Symmetrie in höheren Dimensionen können 3 Arten von Bravais-Gittern (primitiv, körperzentriert und flächenzentriert) und 11 Raumgruppen haben. DR. mögliche Arten von Quasikristallen - in einem Stapel von zweidimensionalen Atomgittern mit Achsen der 5-, 7-, 8-, 10-, 12-ten Ordnung liegend, mit einer Periodizität entlang der dritten Richtung senkrecht zu den Gittern.

Verallgemeinerte Symmetrie. Die Definition von Symmetrie basiert auf dem Konzept der Gleichheit (1,b) unter Transformation (1,a). Physikalisch (und mathematisch) kann ein Objekt jedoch in gewisser Hinsicht gleich und in anderer Hinsicht nicht gleich sein. Zum Beispiel die Verteilung von Kernen und Elektronen in einem Kristall Antiferromagnet kann mit der üblichen räumlichen Symmetrie beschrieben werden, aber wenn wir die Verteilung des Magneten darin berücksichtigen. Momente (Abb. 9), dann „normal“, klassisch. Symmetrie reicht nicht mehr aus. Solche Verallgemeinerungen der Symmetrie umfassen Antisymmetrie und Farbfotografie.

Reis. 9. Verteilung magnetischer Momente (Pfeile) in der Elementarzelle eines ferrimagnetischen Kristalls, beschrieben durch verallgemeinerte Symmetrie.

In der Antisymmetrie zusätzlich zu drei Raumvariablen x 1, x 2, x 3 eine zusätzliche, vierte Variable wird eingeführt. Dies kann so interpretiert werden, dass bei Transformation von (1, a) die Funktion F kann nicht nur sich selbst gleich sein, wie in (1, b), sondern auch „anti-gleich“ - es ändert das Vorzeichen. Es gibt 58 Punkt-Antisymmetriegruppen und 1651 Raum-Antisymmetriegruppen (Shubnkov-Gruppen).

Wenn die zusätzliche Variable nicht zwei Werte annimmt, sondern mehr (evtl 3,4,6,8, ..., 48) , dann die sog Belovs Farbsymmetrie.

Es sind also 81 Punktgruppen und 2942 Gruppen bekannt. Hauptsächlich Anwendungen der verallgemeinerten Symmetrie in der Kristallographie - Beschreibung von magn. Strukturen.

Es wurden auch andere Antisymmetriegruppen (mehrere usw.) gefunden. Theoretisch werden auch alle Punkt- und Raumgruppen des vierdimensionalen Raums und höherer Dimensionen abgeleitet. Aufgrund der Betrachtung der Symmetrie eines (3 + K)-dimensionalen Raumes kann man auch Beträge beschreiben, die in drei Richtungen inkommensurabel sind. Strukturen (vgl unverhältnismäßige Struktur).

DR. Verallgemeinerung der Symmetrie - Ähnlichkeitssymmetrie, wenn die Gleichheit der Teile der Figur durch ihre Ähnlichkeit ersetzt wird (Abb. 10), krummlinige Symmetrie, statistisch. Symmetrie, die in die Beschreibung der Struktur von ungeordneten Kristallen eingeführt wurde, feste Lösungen, Flüssigkristalle usw.

Reis. 10. Eine Figur mit Ähnlichkeitssymmetrie.

Zündete.: Shubnikov A. V., K o p c i k V. A., Symmetry in science and art, 2. Aufl., M., 1972; Fedorov E.S., Symmetrie und Struktur von Kristallen, M., 1949; Shubnikov A. V., Symmetrie und Antisymmetrie endlicher Figuren, M., 1951; Internationale Tabellen für Röntgenkristallographie, v. 1 - Symmetriegruppen, Birmingham, 1952; Kovalev O. V., Irreduzible Darstellungen von Raumgruppen, K., 1961; V e l G., Symmetry, übers. aus Englisch, M., 1968; Moderne Kristallographie, Bd. 1 - Vainshtein BK, Symmetrie von Kristallen. Methoden der Strukturkristallographie, M., 1979; G a l und u l und N R. V., Crystallographic Geometry, M., 1984; Internationale Tabellen für Kristallographie, v. A - Raumgruppensymmetrie, Dordrecht - , 1987. B. ZU. Weinstein.

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