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• Wasserstoffindex (pH-Faktor)
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Die Untersuchung des Zusammenhangs zwischen den Eigenschaften von Stoffen und ihrer Struktur ist eine der Hauptaufgaben der Chemie. Einen großen Beitrag zu seiner Lösung leistete die Strukturtheorie organischer Verbindungen, zu deren Begründern der große russische Chemiker Alexander Mikhailovich Butlerov (1828-1886) gehört. Er war es, der erstmals feststellte, dass die Eigenschaften eines Stoffes nicht nur von seiner Zusammensetzung (Summenformel) abhängen, sondern auch von der Reihenfolge, in der die Atome im Molekül miteinander verbunden sind. Diese Ordnung wurde "chemische Struktur" genannt. Butlerov sagte voraus, dass die Zusammensetzung C 4 H 10 kann zwei Substanzen mit unterschiedlicher Struktur entsprechen - Butan und Isobutan, und bestätigte dies durch die Synthese der letzteren Substanz.

Die Idee, dass die Anordnung der Atome von entscheidender Bedeutung für die Eigenschaften der Materie ist, hat sich als sehr fruchtbar erwiesen. Es basiert auf der Darstellung von Molekülen mithilfe von Graphen, in denen Atome die Rolle von Eckpunkten spielen und die chemischen Bindungen zwischen ihnen die Kanten sind, die die Eckpunkte verbinden. In der grafischen Darstellung werden die Längen der Bindungen und die Winkel zwischen ihnen ignoriert. Die oben beschriebenen C-Moleküle 4 H 10 werden in den folgenden Spalten angezeigt:

Wasserstoffatome werden in solchen Diagrammen nicht angezeigt, da ihre Lage aus der Struktur des Kohlenstoffgerüsts eindeutig bestimmt werden kann. Denken Sie daran, dass Kohlenstoff in organischen Verbindungen vierwertig ist, daher können in den entsprechenden Diagrammen nicht mehr als vier Kanten von jedem Scheitelpunkt abweichen.

Graphen sind mathematische Objekte, also können sie mit Zahlen charakterisiert werden. Daraus entstand die Idee, die Struktur von Molekülen durch Zahlen auszudrücken, die mit der Struktur von Molekülgraphen verbunden sind. Diese Zahlen werden in der Chemie „topologische Indizes“ genannt. Durch die Berechnung eines topologischen Index für eine große Anzahl von Molekülen kann man eine Beziehung zwischen ihren Werten und den Eigenschaften von Substanzen herstellen und diese Beziehung dann verwenden, um die Eigenschaften neuer, noch nicht synthetisierter Substanzen vorherzusagen. Bis heute haben Chemiker und Mathematiker Hunderte verschiedener Indizes vorgeschlagen, die bestimmte Eigenschaften von Molekülen charakterisieren.

1. Methoden zur Berechnung topologischer Indizes

Methoden zur Berechnung topologischer Indizes können sehr unterschiedlich sein, müssen aber alle ganz natürlichen Anforderungen genügen:

1) jedes Molekül hat seinen eigenen, individuellen Index;

2) Moleküle mit ähnlichen Eigenschaften haben ähnliche Indizes.

Mal sehen, wie diese Idee am Beispiel gesättigter Kohlenwasserstoffe - Alkane - umgesetzt wird. Der Schlüssel zur Konstruktion vieler Indizes ist das Konzept der "Abstandsmatrix" D. Dies ist der Name der Matrix, deren Elemente die Anzahl der Kanten zeigen, die die entsprechenden Eckpunkte des molekularen Graphen trennen. Konstruieren wir diese Matrix für drei isomere Kohlenwasserstoffe der Zusammensetzung C 5 H 12 . Dazu zeichnen wir ihre molekularen Graphen und nummerieren die Eckpunkte neu (in willkürlicher Reihenfolge):

Die Diagonalelemente der Abstandsmatrix für Kohlenwasserstoffe sind gleich 0. In der ersten Spalte ist Knoten 1 mit Knoten 2 durch eine Kante verbunden, also das Matrixelement d 12 = 1. In ähnlicher Weise gilt d 13 = 2, d 14 = 3, d 15 = 4. Die erste Zeile in der Abstandsmatrix von normalem Pentan ist: (0 1 2 3 4). Vollständige Distanzmatrizen für drei Graphen:

Topologischer Index der Molekülchemie

Der Abstand zwischen Scheitelpunkten hängt nicht von der Reihenfolge ihrer Aufzählung ab, daher sind die Abstandsmatrizen in Bezug auf die Diagonale symmetrisch.

Der erste topologische Index, der die Struktur eines molekularen Graphen (G) widerspiegelt, wurde 1947 von Wiener vorgeschlagen. Sie ist definiert als die Summe der diagonalen Elemente der Abstandsmatrix plus die Hälfte der Summe ihrer nichtdiagonalen Elemente:

(1)

Für die obigen Diagramme entsprechen Pentane C 5 H 12 , nimmt der Wiener-Index Werte von 20, 18 und 16 an. Es ist davon auszugehen, dass er den Verzweigungsgrad der Kohlenwasserstoffe beschreibt: Die größten Werte entsprechen den am wenigsten verzweigten Kohlenwasserstoffen. Mit zunehmender Länge des Kohlenstoffskeletts steigt der Wiener-Index, da mehr Elemente in der Abstandsmatrix vorhanden sind. Statistische Analysen am Beispiel mehrerer hundert Kohlenwasserstoffe zeigten, dass der Wiener-Index mit einigen physikalischen Eigenschaften von Alkanen korreliert: Siedepunkt, Verdampfungswärme, Molvolumen.

Ein anderer Indextyp basiert nicht auf Distanzen zwischen Scheitelpunkten, sondern auf der Anzahl der nächsten Nachbarn für jeden Scheitelpunkt. Lassen Sie uns als Beispiel den Randic-Index berechnen, der wie folgt definiert ist:

(2)

wo vich- der Grad des i-ten Scheitelpunkts, dh die Anzahl der von ihm ausgehenden Kanten. Für die obigen Grafiken lautet der Randic-Index:

(3)

(4)

(5)

Auch dieser Index nimmt mit zunehmendem Verzweigungsgrad des Kohlenstoffgerüstes ab und kann zur Beschreibung der physikalischen Eigenschaften von Alkanen herangezogen werden.

Alkane sind aus chemischer Sicht die langweiligste Art organischer Moleküle, da sie keine "Merkmale" enthalten - Doppel- und Dreifachbindungen oder Atome anderer Elemente als Wasserstoff und Kohlenstoff (solche Elemente werden Heteroatome genannt). Die Einführung von Heteroatomen in die Zusammensetzung eines Moleküls kann die Eigenschaften einer Substanz radikal verändern. So wandelt die Zugabe von nur einem Sauerstoffatom das eher inerte gasförmige Ethan C um 2 H 6 zu flüssigem Ethanol C 2 H 5 OH, das eine ziemlich hohe chemische und biologische Aktivität aufweist.

Folglich müssen in den topologischen Indizes von Molekülen, die komplexer sind als Alkane, das Vorhandensein von Mehrfachbindungen und Heteroatomen berücksichtigt werden. Dies geschieht durch Zuweisen bestimmter numerischer Koeffizienten – „Gewichte“ – zu den Scheitelpunkten und Kanten der Graphen. Beispielsweise können in der Abstandsmatrix die Diagonalelemente durch die Kernladung Z definiert werdenich(denken Sie daran, dass für Kohlenstoff Z = 6):

(6)

Außerdiagonale Elemente werden durch Summierung über Kanten bestimmt, wobei jede Kante Atome mit Ladungen Z verbindetichund zj, wird Gewicht zugewiesen

(7)

wobei b gleich der Bindungsordnung zwischen den Atomen ist (1 für eine Einfachbindung, 2 für eine Doppelbindung, 3 für eine Dreifachbindung). Für gewöhnliche Kohlenstoff-Kohlenstoff-Einfachbindungen ist k = 1. Vergleiche Propan-Wiener-Indizes C 3 H 8 und drei sauerstoffhaltige Substanzen ähnlicher Zusammensetzung: Propylalkohol C 3 H 8 O, sein isomerer Isopropylalkohol C 3 H 8 O und Aceton C 3 H 6 Oh

Dazu berechnen wir die Distanzmatrizen nach den angegebenen Regeln. In Molekulardiagrammen stellen wir alle Atome außer Wasserstoffatomen dar. 1) Propan

2) Im Propylalkoholmolekül ist Sauerstoff an das äußerste Kohlenstoffatom gebunden:

Für eine einzelne C-O-Bindung beträgt der Gewichtungsfaktor 36/(68) = 0,75. Diagonalelement der Matrix entsprechend Sauerstoff:

d 44 = 1 – 6/8 = 0.25.

Für Moleküle, die Heteroatome enthalten, ist der Wiener-Index keine ganze Zahl mehr. 3) Im Isopropylalkoholmolekül ist Sauerstoff an das mittlere Kohlenstoffatom gebunden:

4) In Aceton ist die Verbindungsreihenfolge der Atome dieselbe wie in Isopropylalkohol, aber die Bindung zwischen Kohlenstoff und Sauerstoff ist doppelt:

Für die C=O-Doppelbindung beträgt der Gewichtungsfaktor 36/(268) = 0,375

Wie zu sehen ist, führt die Hinzufügung eines Heteroatoms zur Struktur von Alkanen zu einer Erhöhung des Wiener-Index aufgrund einer Vergrößerung der Abstandsmatrix. Durch Hinzufügen mehrerer Bindungen und Erhöhen des Verzweigungsgrades des Moleküls wird dieser Index verringert. Diese Regeln gelten auch für komplexere Moleküle. Anfangs wurden topologische Indizes nur entwickelt, um die physikalisch-chemischen Eigenschaften von Substanzen vorherzusagen. Später wurden sie jedoch zur Lösung anderer Probleme eingesetzt. Betrachten wir einige von ihnen. Eine der Anwendungen topologischer Indizes bezieht sich auf die Klassifizierung organischer Verbindungen und die Erstellung organischer Datenbanken. Das Problem besteht darin, einen solchen Index zu finden, der die chemische Struktur eins zu eins charakterisiert und aus dem diese Struktur wiederhergestellt werden kann. Der benötigte Index muss eine gute Trennfähigkeit aufweisen, dh auch Moleküle mit ähnlicher Struktur untereinander unterscheiden können. Diese Aufgabe ist entmutigend, da bereits mehr als 20 Millionen organische Strukturen bekannt sind. Seine Lösung wird offensichtlich als Ergebnis der Verwendung zusammengesetzter topologischer Indizes gefunden.

Vorwort des Übersetzers
Vorwort zur russischen Ausgabe
Vorwort
TOPOLOGIE EINER ENDLICHEN PUNKTEMENGE UND MOLEKULARE STRUKTUR. R. Merrifield, X. Simmons
1. Einleitung
2. Endliche Topologie
2.1. Topologiediagramm
2.2. Qualitative Merkmale der Graphtopologie
2.3. Quantitative Merkmale der Graphentopologie: Kombinatorik
3. Topologie alternativer Moleküle
3.1. Komplexität strukturieren
3.2. Konnektivität und Delokalisierung
4. Topologie nicht-alternanter Moleküle
4.1. Duplex zählen
4.2. Duplex-Topologie
Literatur
STEREOCHEMISCHE TOPOLOGIE. D. Wolba
1. Einleitung
2. Ein Ansatz zur Synthese topologischer Stereoisomere basierend auf Möbius-Streifen
2.1. Vollständige Synthese des ersten molekularen Möbiusbandes
3. Kriterien für topologische Stereoisomerie
3.1. Topologische Chiralität
3.2. Topologische Diastereoisomerie
4. Clipping-Reaktion und Ansätze zur Synthese des molekularen Trifoliat-Knotens
4.1. Bruch der Stufen der Möbiusleiter
4.2. Molekularer Trefoil-Knoten
Literatur
QUALITATIVE STEREOCHEMIE J. Dugundji
1. Einleitung
2. Permutationsisomere
3. Chemische Identitätsgruppe
Literatur
THEORIE DER MOLEKULAREN STRUKTUR. R. Bader
1. Überblick über die Theorie
2. Einige Anwendungen
Literatur
ALGEBRAISCHE UND TOPOLOGISCHE STRUKTUR DER QUANTENCHEMIE, CHEMISCHE KINETIK UND VISUELLE REGELN, DIE ES ERMÖGLICHEN, QUALITATIVE VORHERSAGEN FÜR DIE CHEMISCHE PRAXIS ZU TREFFEN. O. Sinanoglu
1. Einleitung
2. Mikrochemie oder qualitative quantenchemische Regeln, die direkt aus Strukturformeln oder ORTEP-Diagrammen abgeleitet werden
2.1. Der Körper des Vektorraums der Valenzen Vn(R), der im euklidischen dreidimensionalen Raum (?)
2.2. Das Prinzip der linearen Kovarianz in der Quantenchemie
2.3. Nichteinheitliche Klassifikation von Molekülen
2.4. Von Strukturformeln von Molekülen zu detaillierteren strukturelektronischen Formeln (und zu Graphen)
2.5. "Struktur- und Deformationskovarianz" von Molekülen und graphische Regeln zur Gewinnung qualitativer quantenchemischer Ergebnisse
3. Morphologie von Reaktionsmechanismen, Synthesewegen und topologischen „Schritt-/Verbindungsregeln“
4. Merkmale zum Erhalten quantitativ qualitativer Eigenschaften jeder Reaktionsstufe des Reaktionsmechanismus oder -wegs
Literatur
REAKTIONSTOPOLOGIE: DIE THEORIE DER VIELFÄLTIGKEIT VON POTENZIELLEN OBERFLÄCHEN UND QUANTENCHEMISCHES DESIGN DER SYNTHESE. P. Mezhey
1. Einleitung
2. Topologische Mannigfaltigkeiten, differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Reaktionstopologie
3. Verhältnisse kritischer Punkte; Schnittgraphen im topologischen Raum (M, Tc) und quantenchemische Reaktionsschemata
4. Rechnerische Aspekte
5. Degenerierte kritische Punkte und chemische Strukturen, die nicht den wahren PES-Minima entsprechen
6. Schlussfolgerungen
Literatur
TOPOLOGIE DER BINDUNG IN POLYEDRALEN MOLEKÜLEN. R. König
1. Einleitung
2. Grundlage des Konzepts
3. Scheitelatome
4. Polyedrische Systeme mit lokalisierter Bindung
5. Systeme mit vollständig delokalisierter Bindung
6. Elektronenredundante polyedrische Systeme
7. Polyedrische Systeme mit Elektronenmangel
8. Anomale Peaks
9. Polyeder
10. Schlussfolgerungen
Literatur
FORMEN DER CLUSTER VON ELEMENTEN DER WICHTIGSTEN UNTERGRUPPEN: EIN TOPOLOGISCHER ANSATZ FÜR DIE ZÄHLUNG VON SKELETT-ELEKTRONEN. M. McGlinchy, Y. Tal
1. Einleitung
2. Cluster mit vollständig delokalisierter Bindung
3. Cluster mit Bindungslokalisierung an Kanten
3.1. Cluster aus sechs Atomen
3.2. Halbatomare Cluster
3.3. Cluster aus acht Atomen
4. Quantentopologische Begründung des polyedrischen Modells
5. Schlussfolgerungen
Literatur
TOPOLOGISCHE EIGENSCHAFTEN VON BINÄREN VERBINDUNGEN VON SCHWEFEL MIT STICKSTOFF. A. Turner
1. Einleitung
2. Prototypmolekül – Tetraschwefeltetranitrid
3. Planare zyklische Moleküle und SnNm-Ionen
4. Nichtplanare Systeme - Äquivalenz der Ladungsverteilungszentren
5. Anwendung der E
Literatur
SOLLTEN SIE TOPOLOGISCHE INDIZES ENTWICKELN? D. Rouvray
1. Einleitung
2. Wiener-Index
3. Indexkonstruktion
4. Indizes der Abstandsmatrix
5. Indizes der Adjazenzmatrix
6. Zentrische topologische Indizes
7. Informationstheoretische Indizes
8. Zusammengesetzte topologische Indizes
9. Einige mathematische Beziehungen
10. Form und Größe von Molekülen
11. Hauptanwendungen von Indizes
12. Bibliographische Klassifikation von Verbindungen
13. Bestimmung physikalisch-chemischer Parameter
14. Entwicklung von Arzneimitteln
15. Schlussfolgerungen
Literatur
TOPOLOGISCHE INDIZES AUF DER GRUNDLAGE DER UMGEBUNGSSYMMETRIE: CHEMISCHE UND BIOCHEMISCHE ANWENDUNGEN. V. Magnuson, D. Harris, S. Beisak
1. Einleitung
2. Informationsgehalt des Graphen
2.1. Definitionen
2.2. Wichtige Punkte
2.3. Äquivalenzbeziehung
2.4. Berechnung anderer topologischer Indizes
3. Berechnung von Indizes
4. Anwendungen in Studien zur quantitativen Struktur-Aktivitäts-Korrelation (QKSA).
4.1. Löslichkeit von Alkoholen
4.2. Hemmung der mikrosomalen para-Hydroxylierung von Anilin durch Alkohole
4.3. Toxizität (LD50) von Barbituraten
Literatur
ORDNUNG VON GRAPHEN ALS ANSATZ FÜR STUDIEN VON STRUKTUR-AKTIVITÄTS-KORRELATIONEN. M. Randic, J. Kraus, B. Dzonova-Jerman-Blazic
1. Einleitung
2. Grundprinzipien der Methode
3. Anwendung auf Substanzen mit Antimalariaaktivität
3.1. Aufbau einer Schaltungsfolge
3.2. Vergleich von A-M-Molekülen
4. Diskussion
Literatur
MATHEMATISCHES MODELL DER MOLEKULAREN KOMPLEXITÄT. S. Bertz
1. Suchen
2. Modellentwicklung
2.1. Graphentheorie und molekulare Topologie
2.2. Informationstheorie und molekulare Symmetrie
3. Modellvalidierung
3.1. Modellbeschränkungen
4. Zuverlässigkeit des Modells
5. Schlussfolgerungen
Literatur
DISTANZMATRIX FÜR MOLEKÜLE MIT HETERO-ATOMEN. M. Barish, J. Yashari, R. Lall, V. Srivastava, I. Trinaistich
1. Einleitung
2. Beziehung zwischen Adjazenzmatrix und Distanzmatrix
3. Abstandsmatrix für Heterosysteme
Literatur
Kanonische Nummerierung und System der linearen Notation von chemischen Diagrammen. W. Herndon
1. Einleitung
2. Kanonische Nummerierung
3. Einwertige lineare Notation
4. Kanonische Aufzählung regulärer Graphen
5. Schlussfolgerungen
Literatur
Symmetrie und Spektren von Diagrammen. IHRE ANWENDUNGEN IN DER CHEMIE. K. Balasubramanian
1. Einleitung
2. Baumschnitt
3. Baumbeschneidung und Baumsymmetriegruppen
4. Spektrale Polynome von Bäumen, die unter Verwendung des Trimmprozesses erhalten wurden
5. Anwendungen in der Chemie
Literatur
AUTOMORPHISMUS-GRUPPEN EINIGER CHEMISCHER GRAPHEN. G. Jones, E. Lloyd
1. Einleitung
2. Einige Graphen und ihre Gruppen
3. Reaktionsdiagramme
3.1. Beispiel 1: Beerenmechanismus
3.2. Beispiel 2: 1,2-Verschiebungen in Carboniumionen
3.3. Beispiel 3: 1,2-Verschiebungen in Homotetrahedranylkationen
3.4. Beispiel 4: Digonale Drehungen in oktaedrischen Komplexen
3.5. Beispiel 5: 1,3-Verschiebungen in Homotetrahedranylkationen
4. Suborbitaldiagramme
5. Schlussfolgerungen
Literatur
PROBLEM DES WIEDERAUFBAUS. W. Tutt
VERWENDUNG VON RIEMANN-OBERFLÄCHEN IN DER GRAPH THEORETISCHEN DARSTELLUNG VON MÖBIUS-SYSTEMEN. A. Day, R. Mallion, M. Rigby
1. Einleitung
2. Formalismus der Methode
3. Bewerbung
4. Schlussfolgerung
Literatur
GLOBALE DYNAMIK EINIGER KLASSEN VON REAKTIONSSYSTEMEN. X. Messen
1. Einleitung
2. Graphentheoretische Formulierung
2.1. Struktur der maßgeblichen Gleichungen
2.2. Einige Konzepte der Graphentheorie
2.3. Reaktionsinvarianten
2.4. Existenz stationärer Zustände
3. Vertex-getriebene Netzwerke
3.1. Konstante Eingabeströme
3.2. Periodische Eingabeströme
4. Schlussfolgerung
Literatur
„LOGISCHE BESCHREIBUNG“ IM VERGLEICH MIT „KONTINUIERLICHER BESCHREIBUNG“ VON SYSTEMEN MIT FEEDBACK-SCHLEIFEN: ZUSAMMENHANG ZWISCHEN ZEITVERZÖGERUNGEN UND PARAMETERN. R.Thomas
1. Einleitung
2. Logische Beschreibung von Systemen mit Rückkopplungsschleifen
2.1. Verzögerungen „ein“ und „aus“
2.2. Logische Gleichungen
2.3. Zustandstabellen
2.4. Ketten (Folgen von Zuständen)
2.5. Stabilitätsanalyse
3. Fortlaufende Beschreibung
3.1. Logische Zeitverzögerungen und kontinuierliche Parameter
Literatur
QUALITATIVE DYNAMIK UND STABILITÄT CHEMISCHER REAKTIONSSYSTEME. B. Clark
1. Einleitung
2. Einstellen des chemischen Systems
3. Zeitskalen - Entfernung von Substanzen, die zu schnell und zu langsam reagieren
4. Theorie chemischer Netzwerke
5. Systemdynamik
6. Mannigfaltigkeit stationärer Zustände
7. Einfache Sätze für die Netzwerkanalyse
8. Eine tiefergehende Diskussion stationärer Zustände und ihrer Existenz
9. Korrektheit
10. Einzigartigkeit
11. Globale Anziehungskraft
12. Netzwerke, in denen das Mannigfaltige nicht regelmäßig, eindeutig und global attraktiv ist
13. Netzwerktopologie und -stabilität
14. Schlussbemerkungen
15. Bewerbung
15.1. Universelle Funktionen
15.2. Funktionen zur symbolischen Verarbeitung und Berechnung der aktuellen Matrix
15.3. Satzprüfungsfunktionen und verwandte Funktionen
15.4. Individuelle Funktionen
Literatur
HÖCHSTES CHAOS IN EINFACHEN REAKTIONSSYSTEMEN. O. Ressler, J. Hudson
1. Einleitung
2. Die Methode, gewöhnliches Chaos zu erzeugen
3. Die Methode, höheres Chaos zu erzeugen
4. Diskussion
Literatur
Seltsame Attraktoren in linearen periodischen Übertragungsfunktionen mit periodischen Störungen. X. Grad
1. Einleitung
2. Ergebnisse
Literatur
VERWENDUNG DER EMPFINDLICHKEITSANALYSE BEI ​​DER BESTIMMUNG DER STRUKTURELLEN STABILITÄT VON MULTIPARAMETER-OSZILLATOREN. R. Larter
1. Einleitung
2. Methode
2.1. Standardtheorie
2.2. Modifizierte Theorie
3. Ergebnisse
3.1. Anfangsbedingungen
3.2. Ratenkonstanten
3.3. Schwierigere Situationen
Literatur
DARSTELLUNG VON n-DIMENSIONALEN CHEMISCHEN VERTEILERN MIT ELEKTRISCHEN NETZWERKEN. L. Pusener
1. Einführung: Topologische und geometrische Analyse chemischer Prozesse
2. Grundlegende geometrische Eigenschaften n-dimensionaler metrischer Mannigfaltigkeiten
3. Darstellung als Netzwerk
4. Beispiel für ein zweidimensionales System
5. Optimale Pfade
6. Ein Beispiel für die Verwendung eines chemischen Netzwerks für lineare Übergänge zwischen mehreren Zuständen
7. Variationsnetzwerke
Anwendung: Netzwerkanalyse
Literatur
LOGIK DER CHEMISCHEN IDEEN. P. Plyat, E. Hass
1. Einleitung
2. Topologie pericyclischer Reaktionen
3. Gitter pericyclischer Reaktionen
4. Orthomodulare und Boolesche reaktive vierdimensionale Gitter
5. Schlussfolgerungen
Literatur
MULTIDIMENSIONALES X-MODELL. GRAPHENTHEORIE UND ALGEBRAISCHER ANSATZ ZUR BESCHREIBUNG VON MECHANISMEN KOMPLEXER CHEMISCHER REAKTIONEN. E. Hass, P. Plyat
1. Einleitung
2. Ein-Parameter-X-Modell
3. Multivariates X-Modell
3.1. Reaktionswege für -Cycloadditionen
4. Schlussfolgerung
Literatur
KLASSIFIZIERUNG DER MECHANISMEN CHEMISCHER REAKTIONEN AUS GEOMETRISCHER SICHT. P. Verkäufer
1. Einleitung
2. Milners Beispiel
3. Mechanismen ohne Zyklen
4. Andere Mechanismen
5. Mehrere Gesamtreaktionen
6. Schlussfolgerungen
Literatur
GRAPHEN, POLYMERMODELLE, AUSGESCHLOSSENES VOLUMEN UND CHEMISCHE WIRKLICHKEIT. D. Klein, W. Seitz
1. Einleitung
2. Isolierte lineare Schaltungen
3. Zählen von Isomeren
4. Konformationen verzweigter Polymere
5. Theorie der Skalierung
6. Matrizen übertragen
7. Selbstähnlichkeit und Renormalisierung
8. Diskussion
Literatur
VOLUMENFUNKTION FÜR WASSER BASIEREND AUF EINEM RANDOM GITTER SUBGRAPH MODELL. L. Quintas
1. Einführung und mathematische Vorbemerkungen
2. Modell von Zufallsgraphen für Wasser
3. Volumenfunktion für Wasser
4. Korrespondenz von V(p) mit numerischen Daten
5. Schlussbemerkungen
Literatur
TOPOLOGISCHE ASPEKTE DER ENZYM-SUBSTRAT-ERKENNUNG. S. Swaminathan
1. Das Problem der Enzym-Substrat-Erkennung
2. Edelstein-Rosen-Modell
3. Methode des phänomenologischen Kalküls
4. Hilbert-Beschreibungsraum
5. Postulate für die Dynamik komplexer Systeme
6. Modell der Enzym-Substrat-Erkennung
7. Schlussbemerkungen
Literatur
DYNAMIK DER BILDUNG DER SEKUNDÄRSTRUKTUR DER RNA. X. Martinets
1. Einleitung
2. Methoden zur Energieminimierung
3. Modellierungsmethode
4. Schlussfolgerung
Literatur
LISP-PROGRAMM ZUR FUNKTIONAL-FRAGMENT-DARSTELLUNG VON MOLEKÜLEN UND IHRER GEOMETRIE. K. Trindle, R. Givan
1. Einleitung
2. Lisp ist eine nicht-numerische Programmiersprache
3. Darstellung von Molekülen unter Verwendung der Lisp-Sprache
4. Informeller Fragmenterkennungsalgorithmus
5. Einige spezielle Probleme
6. Erstellen einer Entfernungsmatrix unter Verwendung der Fragmentdatenbank
7. Faktorenanalyse und Crippen-Algorithmus zur Bestimmung der Geometrie durch Entfernungen
8. Schlussfolgerungen und Perspektiven
Literatur
Subject Index

• Spezialität HAC RF02.00.03
• Seitenzahl 410

Titel der Dissertation Doktor der Chemie Vonchev, Danail Georgiev

Paul Dirac hat vor einem halben Jahrhundert die Meinung geäußert, dass im Prinzip alle Chemie in den Gesetzen der Quantenmechanik enthalten ist, in Wirklichkeit aber bei praktischen Berechnungen unüberwindbare mathematische Schwierigkeiten auftreten. Die elektronische Computertechnologie hat dazu beigetragen, den Abstand zwischen den Möglichkeiten und der Umsetzung des quantenmechanischen Ansatzes zu verringern. Doch Berechnungen von Molekülen mit vielen Elektronen sind aufwändig und nicht genau genug, und bisher lassen sich nur wenige Moleküleigenschaften auf diese Weise berechnen. Andererseits gibt es in der organischen Chemie wichtige strukturelle Probleme, die noch nicht vollständig gelöst sind, und das ist vor allem das Problem der Beziehung zwischen Struktur und Eigenschaften von Molekülen. In der theoretischen Chemie geht es darum, die grundlegenden strukturellen Eigenschaften von Molekülen zu quantifizieren - ihre Verzweigung und Zyklizität. Diese Frage ist wesentlich, da eine quantitative Analyse der allgemeinen Gesetzmäßigkeiten in der Struktur verzweigter und zyklischer Moleküle weitgehend auf ihre anderen Eigenschaften übertragen werden kann. Auf diese Weise wäre es möglich, die Ordnung einer Gruppe isomerer Verbindungen gemäß den Werten solcher Eigenschaften wie Stabilität, Reaktivität, spektrale und thermodynamische Eigenschaften usw. vorherzusagen. Dies könnte die Vorhersage der Eigenschaften von noch nicht synthetisierten Verbindungen erleichtern Verbindungsklassen und die Suche nach Strukturen "mit vorbestimmten Eigenschaften. Trotz erheblicher Anstrengungen bleibt auch die Frage der rationalen Codierung chemischer Informationen zum Zweck ihrer effizienten Speicherung und Verwendung durch Computer offen. Die optimale Lösung dieser Frage würde Auswirkungen haben auf die Verbesserung der Klassifikation und Nomenklatur sowohl organischer Verbindungen als auch der Mechanismen chemischer Reaktionen. Vor der Theorie des Periodensystems 4 chemischer Elemente stellt sich auch die Frage nach einer ganzheitlichen und quantitativen Interpretation der Periodizität der Eigenschaften chemischer Elemente auf Größen, die die elektronische Struktur besser widerspiegeln als die Ordnungszahl des Elements.

Dadurch wurde in den letzten Jahrzehnten die Entwicklung neuer theoretischer Methoden in der Chemie angeregt, die unter dem Namen Mathematische Chemie zusammengefasst sind. Den Hauptplatz darin nehmen topologische Methoden ein, die die allgemeinsten strukturellen und geometrischen Eigenschaften von Molekülen widerspiegeln. Einer der Zweige der Topologie, die Graphentheorie, bietet dem Chemiker eine bequeme mathematische Sprache zur Beschreibung des Moleküls, da Strukturformeln im Wesentlichen chemische Graphen sind. Die Vorteile, die die Graphentheorie in der chemischen Forschung bietet, beruhen auf der für Experimentalchemiker wichtigen Möglichkeit der direkten Anwendung ihres mathematischen Apparats ohne den Einsatz eines Computers. Die Graphentheorie erlaubt es, ganz einfach in die strukturellen Eigenschaften von Molekülen einzutauchen. Die erhaltenen Ergebnisse sind allgemein und können als Theoreme oder Regeln formuliert und somit auf beliebige ähnliche chemische (und nicht-chemische) Objekte angewendet werden.

Nach der Veröffentlichung von Shannons und Wieners grundlegenden Arbeiten zur Informationstheorie und Kybernetik hat auch das Interesse an informationstheoretischen Forschungsmethoden stetig zugenommen. Die ursprüngliche Bedeutung des Begriffs „Informationen“ bezieht sich auf Informationen, Nachrichten und deren Übermittlung. Dieses Konzept verließ schnell die Grenzen der Kommunikationstheorie und Kybernetik und drang in verschiedene Wissenschaften der belebten und unbelebten Natur, Gesellschaft und Kognition ein. Der Entwicklungsprozess des informationstheoretischen Ansatzes in der Wissenschaft ist komplizierter als die formale Übertragung der kybernetischen Informationskategorie auf andere Wissensgebiete. Der Informationsansatz ist nicht nur eine Übersetzung aus weniger verbreiteten Sprachen in eine Metasprache. Es bietet eine andere Sicht auf Systeme und Phänomene und ermöglicht neue Ergebnisse. Indem die Verbindungen zwischen, nun ja, verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen erweitert werden, ermöglicht diese Methode, nützliche Analogien und gemeinsame Muster zwischen Nischen zu finden. Die sich entwickelnde, moderne Wissenschaft strebt immer mehr nach Verallgemeinerung, nach Einheit. In dieser Hinsicht ist die Informationstheorie eines der vielversprechendsten Gebiete.

Einen wichtigen Platz in diesem Prozess nimmt die Anwendung der Informationstheorie in der Chemie und anderen Naturwissenschaften ein - Physik, Biologie usw. In diesen Wissenschaften werden die Methoden der Informationstheorie zur Untersuchung und Beschreibung dieser Eigenschaften von Objekten und Prozessen verwendet die mit Struktur, Ordnung, Organisationssystemen verbunden sind "Der Nutzen des Informationsansatzes in der Chemie liegt vor allem darin, dass sich neue Möglichkeiten zur quantitativen Analyse verschiedener Aspekte chemischer Strukturen - Atome, Moleküle, Kristalle etc. - bieten Fällen die Begriffe "strukturelle" Information und "Informationsgehalt" von Atomen und Molekülen.

In Verbindung mit dem Vorstehenden ist das Hauptziel der Dissertationsarbeit, die Fruchtbarkeit der graphen- und informationstheoretischen Herangehensweise an Strukturprobleme in c aufzuzeigen. Chemie, von Atomen und Molekülen bis hin zu Polymeren und Kristallen, umfasst das Erreichen dieses Ziels als separate Schritte:

1. Definition eines Größensystems (Informationen und topologische Indizes; zur quantitativen Charakterisierung von Atomen, Molekülen, Polymeren und Kristallen.

2. Entwicklung auf dieser Grundlage eines neuen, allgemeineren Ansatzes zur Frage der Korrelation zwischen ihren Eigenschaften, geometrischen und elektronischen Strukturen. Vorhersage der Eigenschaften einiger organischer Verbindungen, Polymere und nicht synthetisierter Transactinid-nMx-Elemente.

Erstellung von Methoden zur Modellierung des Wachstums von Kristallen und Kristallleerstellen.

3. Verallgemeinerte topologische Charakterisierung von Molekülen durch Ausdruck der Essenz ihrer Verzweigung und Zyklizität in einer Reihe mathematisch bewiesener Strukturregeln und Untersuchung der Abbildung dieser Regeln durch verschiedene molekulare Eigenschaften.

4. Schaffung neuer effektiver Methoden zur Codierung chemischer Verbindungen und Mechanismen chemischer Reaktionen im Zusammenhang mit der Verbesserung ihrer Klassifizierung und Nomenklatur und insbesondere im Zusammenhang mit der Verwendung von Computern zur Verarbeitung chemischer Informationen.

KAPITEL 2. FORSCHUNGSMETHODE 2L. THEOREGIO-UNTERRICHTSMETHODE 2.1.1 „Einführung

Information ist eines der grundlegendsten Konzepte in der modernen Wissenschaft, ein Konzept, das nicht weniger allgemein ist als die Konzepte von Materie und Energie. Diese Sichtweise findet ihre Rechtfertigung in den eigentlichen Definitionen von Informationen. „Information ist weder Materie noch Energie“, so Wiener.

Ashby betrachtet Informationen als "Maß für die Vielfalt in einem bestimmten System". Laut Glushkov ist „Information ein Maß für die Inhomogenität in der Verteilung von Raum und Zeit“. Auf dieser Grundlage wird heute zunehmend erkannt, dass neben der stofflichen und energetischen Natur auch Objekte und Phänomene in Natur und Technik informationelle Eigenschaften haben. Einige Prognosen gehen noch weiter und sagen voraus, dass sich der Fokus der wissenschaftlichen Forschung zunehmend auf die Informationsnatur von Prozessen verlagern wird, die der Hauptforschungsgegenstand des 21. Jahrhunderts sein wird. Diese Prognosen basieren im Wesentlichen auf der Möglichkeit der optimalen Steuerung von Systemen und Prozessen durch Informationen, was eigentlich? ist die Hauptfunktion von Information in der Kybernetik. Diese Ideen können in Zukunft zur Schaffung von Technologien führen, bei denen jedes Atom und Molekül von Informationen gesteuert wird, eine Möglichkeit, die bisher nur in der belebten Natur verwirklicht wurde.

Die Entstehung der Informationstheorie bezieht sich gewöhnlich auf das Jahr 1948, als Claude Shannon sein grundlegendes Werk veröffentlichte. Die Vorstellung von Information als einer mit der Entropie zusammenhängenden Größe ist jedoch viel älter. Bereits 1894 stellte Boltzmann fest, dass jede Information, die man über ein bestimmtes System erhält, mit einer Abnahme der Anzahl seiner möglichen Zustände verbunden ist und daher eine Zunahme der Entropie „Informationsverlust“ bedeutet. 1929

Szilard entwickelte diese Idee für den allgemeinen Fall von Informationen in der Physik. ihr CP

Später verallgemeinerte Vrilluin die Idee der Beziehung zwischen Entropie und Information in seinem nicht-gentropischen Prinzip in einer Form, die auch die informationelle Seite von Phänomenen abdeckt. Fragen zum Zusammenhang zwischen Informationstheorie und Thermodynamik und insbesondere zum Zusammenhang zwischen Entropie und Information sind nach wie vor Gegenstand großer Aufmerksamkeit (eine ausführliche Liste von Veröffentlichungen auf diesem Gebiet findet sich in der Übersicht 58). Aus der jüngsten Entwicklung des Heftes ist besonders Kobozevs Arbeit zur Thermodynamik des Denkens hervorzuheben, in der die These über die Antientropie von Denkprozessen untermauert wird.

Die als „Spezielle Theorie der Kommunikation“ entstandene Informationstheorie wuchs schnell über ihre ursprünglichen Grenzen hinaus und fand Anwendung in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik: in der Chemie, Biologie, Medizin, Linguistik, Psychologie, Ästhetik etc. Die Rolle der Information in Biologie wurde zuerst anerkannt. Haben Sie wichtige Probleme im Zusammenhang mit der Speicherung, Verarbeitung und Übertragung von Informationen in lebenden Organismen gelöst, einschließlich der Kodierung genetischer Informationen 60-7? Einschätzung der Möglichkeit der spontanen spontanen Entstehung von Leben auf der Erde^, Formulierung der Grundgesetze der biologischen Thermodynamik^, Analyse von Fragen der Bioenergie usw. Als quantitatives Kriterium wurde der Informationsgehalt von Objekten verwendet

A A A Evolution". Es wurde die Frage nach dem Informationscharakter von Ernährungsprozessen aufgeworfen ^®^^.

Die Informationstheorie dringt immer noch langsam in die Chemie und Physik ein, obwohl auf diesem Gebiet in den letzten Jahren einige Fortschritte erzielt wurden.Es wurde die Frage nach der möglichen Existenz einer Informationsbilanz chemischer Reaktionen aufgeworfen. Es wurde eine Bewertung der Informationskapazität bioorganischer Moleküle vorgenommen und auf dieser Grundlage eine neue Klassifizierung dieser Verbindungen vorgeschlagen sowie die Spezifität chemischer Reaktionen bewertet.

Levin, Bernstein und andere haben die Informationstheorie auf die Molekulardynamik angewendet, um das Verhalten molekularer Systeme zu beschreiben, die weit vom Gleichgewicht entfernt sind. Die Essenz dieses Ansatzes ist das Konzept einer „Überraschung“, einer Abweichung von dem, was aufgrund der mikrokanonischen Verteilung erwartet wird. Es wurden verschiedene Anwendungen vorgeschlagen, einschließlich der Untersuchung der Leistung von Lasern, der Bestimmung des Verzweigungsverhältnisses konkurrierender Reaktionswege (unter der Annahme, dass der Weg, der dem Maximum der Shannon-Funktion entspricht, am wahrscheinlichsten ist) und so weiter.

Dodel et al. schlugen vor, den von einem molekularen System eingenommenen Raum in eine Reihe sich gegenseitig ausschließender Unterräume, sogenannte Logen, zu verteilen. Die besten Lodges, die lokalisierte Gruppen von Elektronen enthalten, werden durch Minimieren der Informationsfunktion gefunden. Sears ua fanden einen Zusammenhang zwischen quantenmechanischen kinetischen Energien und Informationsgrößen. Als Konsequenz aus diesem Ergebnis lässt sich das Variationsprinzip der Quantenmechanik als Prinzip der Minimalinformation formulieren. op os

Kobozev und Mitarbeiter haben die Selektivität und Aktivität von Katalysatoren mit ihrem Informationsgehalt in Verbindung gebracht. Sie formulierten auch optimale Informationsbedingungen für die Charakterisierung und Vorhersage katalytischer Eigenschaften. Entstehung und Wachstum von Kris

Autsch. rp oo tall wurden als Informationsprozess betrachtet“. Rakov unterzog sich einer Informationsanalyse der Behandlung von Katalysatoroberflächen mit verschiedenen chemischen Mitteln.

In der modernen analytischen Chemie gibt es einen zunehmenden Trend zum optimalen Experimentieren, um maximale Informationen aus einer minimalen Anzahl von Experimenten zu erhalten.

Diese neuen Ideen basieren auf Informationstheorie, Spieltheorie und Systemtheorie. Andere Autoren haben die Informationstheorie angewandt, um Analysefehler und -zeit zu minimieren, eine höhere Selektivität zu erreichen, die Wirksamkeit von Analysemethoden zu bewerten und so weiter. Forschung dieser Art umfasst auch physikalische Methoden in der analytischen Chemie, einschließlich Gaschromatographie, Atomemissionsspektralanalyse usw.

Auch in der Geochemie haben sich informationstheoretische Methoden bewährt, um die Häufigkeitsverteilung chemischer Verbindungen in geochemischen Systemen zu charakterisieren,170 um den Grad der Komplexität abzuschätzen und diese Systeme zu klassifizieren.

In der technischen Chemie kann die Informationsanalyse zur Lösung von Problemen chemisch-technologischer Systeme wie der Wahl optimaler Betriebsbedingungen, der Festlegung von Regelanforderungen usw. eingesetzt werden101.

Beispiele erfolgreicher Anwendung der Informationstheorie in der Chemie zeigen einmal mehr, dass auch Systeme in Natur und Technik einen Informationscharakter haben. Es zeigt auch, dass der Informationsansatz als universelle Sprache zur Beschreibung von Systemen und insbesondere von chemischen Strukturen jeglicher Art fungiert, denen er eine bestimmte Informationsfunktion und ein numerisches Maß zuordnet. Es dehnt sich aus. Anwendungsgebiet der Informationstheorie in der Chemie.

Der Nutzen des Informationsansatzes in der Chemie liegt vor allem darin, dass er die Möglichkeit der quantitativen Analyse verschiedener Aspekte chemischer Strukturen bietet. Der Grad der Komplexität dieser Strukturen, ihre Organisation und Spezifität können auf einer einzigen quantitativen Skala verglichen werden. Dies ermöglicht es einem, einige der allgemeinsten Eigenschaften chemischer Strukturen zu untersuchen, wie z. B. ihre Verzweigung und Zyklizität, den Grad der Organisation in verschiedenen Klassen chemischer Verbindungen, die Spezifität biologisch aktiver Substanzen und Katalysatoren zu untersuchen und zu vergleichen nähern Sie sich der Frage nach dem Grad der Ähnlichkeit und des Unterschieds zwischen zwei chemischen Objekten.

Der informationelle Ansatz eignet sich sehr gut zur Lösung persönlicher Einordnungsprobleme. In diesen Fällen können allgemeine Informationsgleichungen für die Hauptgruppierungen von Klassifikationsgegenständen (Gruppen und Perioden im Periodensystem der chemischen Elemente, homologe Reihen chemischer Verbindungen, Reihen isomerer Verbindungen usw.) abgeleitet werden *

Die große Unterscheidungsfähigkeit von Informationsverfahren in Bezug auf komplexe Strukturen (Isomere, Isotope usw.) kann bei der computergestützten Verarbeitung und Speicherung chemischer Informationen genutzt werden. Diese Methoden sind nicht nur bei der Wahl zwischen verschiedenen Strukturen nützlich, sondern auch zwischen alternativen Hypothesen und Näherungen, was für die Quantenchemie von Interesse ist. Die Möglichkeiten, neue Hypothesen auf der Grundlage der Informationstheorie aufzustellen, sind jedoch begrenzter, da diese Theorie die Beziehung zwischen Variablen beschreibt, aber nicht das Verhalten einer von ihnen.

Problem. Die Beziehung, die zwischen Struktur und Eigenschaften besteht, ist ein weiterer Bereich erfolgreicher Anwendung des informationstheoretischen Ansatzes in der Chemie. Die Wirksamkeit dieses Ansatzes soll in einer Dissertationsarbeit für qualitativ unterschiedliche Strukturebenen in der Chemie - Elektronenhüllen von Atomen, Molekülen, Polymeren, Kristallen und sogar Atomkernen^»^ - gezeigt werden. Sie kann sowohl qualitativ als auch quantitativ umgesetzt werden. Im ersten Fall können auf der Informationsbasis verschiedene Strukturregeln definiert werden, die die gegenseitige Beeinflussung zweier oder mehrerer Strukturfaktoren widerspiegeln. Es ist auch möglich, quantitative Korrelationen zwischen Informationsindizes und Eigenschaften zu erhalten?®. Gleichzeitig liefern Informationsindizes grundsätzlich bessere Korrelationen im Vergleich zu anderen Indizes, da sie die Eigenschaften chemischer Strukturen vollständiger widerspiegeln. Erfolgreiche Korrelationen sind nicht nur mit Größen möglich, die direkt mit der Entropie zusammenhängen, sondern auch mit Größen wie der Bindungsenergie, deren Beziehung zur Information alles andere als offensichtlich ist. Hierunter fallen Eigenschaften als separates Molekül" oder Atom, aber auch deren große Aggregate, also Eigenschaften, die von der Wechselwirkung zwischen Molekülen und Atomen abhängen, und nicht nur von ihrer inneren Struktur. Darüber hinaus können auch Prozesse in der Chemie das sein Gegenstand der Informationsanalyse auf der Grundlage von Änderungen der Informationsindizes während Interaktionen.

Einige Einschränkungen des Informationsansatzes sollten ebenfalls berücksichtigt werden. Obwohl sie .t sind, sind quantitative Informationsmaße relativ, nicht absolut. Sie sind ebenfalls statistische Merkmale und beziehen sich auf Aggregate, nicht aber auf einzelne Elemente derselben. Informationsindizes können für verschiedene Eigenschaften von Atomen und Molekülen definiert werden, aber die Beziehung zwischen ihnen ist oft komplex und implizit.

Andererseits kann das Vorhandensein mehrerer Informationsindizes für eine einzelne Struktur gemischte Gefühle hervorrufen. Es sollte jedoch daran erinnert werden, dass jeder dieser Indizes legal ist. Die richtige Frage ist hier, welche dieser Größen sinnvoll sind und in welchem ​​Umfang.

In diesem Kapitel werden erstmals informationstheoretische Indizes eingeführt, die die elektronische Struktur von Atomen charakterisieren, sowie neue informationsbezogene Indizes über die Symmetrie, Topologie und elektronische Struktur von Molekülen. Die Anwendung dieser Strukturmerkmale wird in Kapitel III, Abschnitte IV.2 und V 1 diskutiert.

2.1.2. Notwendige Informationen aus der Informationstheorie

Die Informationstheorie bietet quantitative Methoden zur Untersuchung der Erfassung, Speicherung, Übertragung, Transformation und Nutzung von Informationen. Den Hauptplatz bei diesen Methoden stellt die quantitative Messung von Informationen dar. Die Definition des Begriffs der Informationsmenge erfordert die Ablehnung weit verbreiteter, aber unklarer Vorstellungen von Informationen als Aggregat, Fakten, Informationen, Wissen.

Der Begriff der Informationsmenge ist eng verwandt mit dem Begriff der Entropie als Maß für die Unsicherheit. 1923 charakterisierte Hartley die Unsicherheit eines Experiments mit n verschiedenen Ergebnissen durch die Zahl ¿od n. In Shannons 1948 veröffentlichter statistischer Informationstheorie wird die Informationsmenge durch den Begriff der Wahrscheinlichkeit definiert. Es ist bekannt, dass dieses Konzept verwendet wird, um eine Situation zu beschreiben, in der mit der Wahl eines oder mehrerer Elemente (Ergebnisse) aus einer bestimmten Menge Unsicherheit verbunden ist. Nach Shannon das Maß der Unsicherheit des Ergebnisses X/Experiment X mit Wahrscheinlichkeit p(X¡) -¿Oy(X)) . Ein Maß für die durchschnittliche Unsicherheit des vollständigen Experiments X mit Xt, X2, ♦ möglichen Ergebnissen mit den Wahrscheinlichkeiten p(X4) bzw. p(X2). chp(Xn), ist die Menge

H(x) = - pcx,) Log p(Xi) cg>

In der statistischen Informationstheorie wird H(X) als Entropie der Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet. Letztere bilden bei /7 unterschiedlichen Ergebnissen ein endliches Wahrscheinlichkeitsschema, d.h.

Aus mengentheoretischer Sicht lässt sich der Begriff der Wahrscheinlichkeit allgemeiner definieren. Eine endliche Menge sei eine Zerlegung von A in eine /T)-Klasse, in der /\ disjunkte Mengen sind; durch eine Äquivalenzrelation X * Menge von Äquivalenzklassen

R/X = (2.2; heißt Faktormenge R in X

Kolmogorovs Wahrscheinlichkeitsfunktion (probabilistische Korrespondenz) p unterliegt drei Bedingungen:

Die Zahlenreihe PfXf) , P(X2) , ., P(XGG)) heißt Verteilung der Partition A, und die Shannon-Funktion H(X) aus Gleichung (2.1) drückt die Entropie der Partition X aus

Es sollte beachtet werden, dass der Begriff der Entropie in der Informationstheorie allgemeiner ist als die thermodynamische Entropie. Letzteres, als Maß für die Unordnung in atomar-molekularen Bewegungen betrachtet, ist ein Spezialfall eines allgemeineren Konzepts von Entro-! FDI ist das Maß für jede Unordnung oder Unsicherheit oder Vielfalt.

Die Informationsmenge X wird durch den Wert der abgelösten Unsicherheit ausgedrückt. Dann ist die durchschnittliche Entropie eines gegebenen Ereignisses mit vielen möglichen Ausgängen gleich der durchschnittlichen Informationsmenge, die benötigt wird, um irgendein Ereignis X aus der Menge ^ ,X^, auszuwählen. und wird durch die Shannon-Formel (y-e 2.1) bestimmt:

I(x) = -K$Lp(x,-)logp(K) = Hw

Hier ist K eine positive Konstante, die die Einheiten der Informationsmessung bestimmt. Unter der Annahme, dass K \u003d 4 ist, wird die Entropie (bzw. Information) in Dezimaleinheiten gemessen. Das bequemste Messsystem basiert auf binären Einheiten (Bits). In diesem Fall K ~ W2 und der Logarithmus wur-u(2.4) wird zur Basis zwei genommen und \-! wird kurz mit t bezeichnet.Eine binäre Informationseinheit (oder 1 Bit) ist die Informationsmenge, die erhalten wird, wenn das Ergebnis von die Wahl zwischen zwei gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten ist bekannt, und in Einheiten der Entropie,¿ .dgasG\ ist der Umrechnungsfaktor die Voltzmann-Konstante (1,38,10 yj.gra.d~geteilt durch /a?Yu.

Es ist bewiesen, dass die Wahl der logarithmischen Funktion für die Informationsmenge nicht zufällig ist, und dies die einzige Funktion ist, die die Bedingungen der Aktivität und Nicht-Negativität der Information erfüllt

Sowohl einzelne als auch durchschnittliche Informationen sind immer positiv. Diese Eigenschaft hängt damit zusammen, dass die Wahrscheinlichkeit immer kleiner als eins ist und die Konstante in Gleichung (2.4) immer positiv angenommen wird. E | & klingeln ^ Y, dann

13 p(x, -) = H(x, o c2.5) und diese Ungleichung bleibt auch nach Mittelung erhalten.

Die durchschnittliche Informationsmenge für ein bestimmtes Ereignis (Erfahrung) X erreicht ein Maximum bei einer gleichmäßigen Wahrscheinlichkeitsverteilung p(X,) - p(X2) = . . .=p(Xn)* d.h. für p(X)) für jedes P:

Für ein Paar zufällig abhängiger Ereignisse X und y wird die durchschnittliche Informationsmenge auch durch die Shannon-Formel ausgedrückt:

1(xy> = - р(х, yj) № pix, yj) (2.7)

Gleichung (2.7) kann für jede endliche Menge unabhängig von der Art ihrer Elemente verallgemeinert werden:

1(xy) = -Z Z. P(X,nYj) 16P(X-,nYj) (2.8) sind zwei Quotientenmengen von P in Bezug auf zwei verschiedene Äquivalenzbeziehungen x und y, und K/xy ist ein Faktor- Satz von Abschnitten von X; und:

Nachdem wir die gemeinsame Wahrscheinlichkeit in Gleichung (2.7) als Produkt der unbedingten und bedingten Wahrscheinlichkeiten geschrieben haben p(x;, y^ = p(><¡)"P(Уj/x¡) , и представив логарифм в виде сумш»получается уравнение:

1(Xy) = 1(X) x - 1(y/X) (2.9) wobei T(x/y) die durchschnittliche Menge an bedingter Information ist, die in y relativ zu x enthalten ist, und gegeben ist durch:

1(y/X) = -Y p(X, y1) 1B p(Y;/X-,) (2.10)

Funktion definieren:

1 (X, y.! = 1 (Y> - 1 (y / X) (2-Sh und Ersetzen in Gleichung (2.9):

1(xy) - 1(X) + 1(y) -1(x, y) (2.12) wird deutlich, dass T(X, y) die Abweichung der Information über das komplexe Ereignis (X, y") ausdrückt die Additivität von Informationen über einzelne Ereignisse (Ergebnisse): x und y. Daher ist G (X, Y) ein Maß für den Grad der statistischen Abhängigkeit (Zusammenhang) zwischen X und y. Die Beziehung zwischen x und y3 ist symmetrisch.

Im allgemeinen Fall gelten für eine statistische Beziehung zwischen x und y und der durchschnittlichen Menge unbedingter Informationen über X oder y die folgenden Ungleichungen:

Machtgleichheit, wenn der zweite Term in Gleichung (2.11) Null ist, d.h. wenn jedes / I entspricht, für das p(y. ¡X))=

Sind die Größen X und y unabhängig, d.h. wenn in Gleichung (2.12) T (X, y) \u003d 0, dann

1(xy) =1(X)<2Л5>

Diese Gleichung drückt die Eigenschaft der Additivität der Informationsmenge aus und wird für unabhängige Zufallsvariablen verallgemeinert. kommt in den Sinn:

1(xnx2,.,xn) = 11 1(x/) (2.16)

Bekannt sind auch probabilistische Ansätze zur quantitativen Bestimmung von Informationen. Ingarden und Urbanich schlugen eine axiomatische/sizvdelenie-Shein-Information ohne Wahrscheinlichkeiten in Form einer Funktion endlicher Boolescher Ringe vor. Von erheblichem Interesse ist die von Kolmogorov^^ vorgeschlagene Epsilon-Entropie (kombinatorischer Ansatz) und insbesondere die algorithmische Bestimmung der Informationsmenge. Laut Kolmogorov wird die Menge an Informationen, die in einem Objekt (Satz) relativ zu einem anderen Objekt (Satz) enthalten ist, als "Mindestlänge" von Programmen angesehen, die als Folge von Nullen und Einsen geschrieben sind und eine Eins-zu-Eins-Verbindung zulassen Transformation; das erste Objekt im zweiten:: \u003d H (X / y) \u003d W "W I (R) (2-17)

Der algorithmische Ansatz von Kolmogorov bietet neue Möglichkeiten

17 logische Grundlagen der Informationstheorie basierend auf den Begriffen Komplexität und Sequenz, Takcha&Yn-Konzepte „Entropie“ und „Informationsmenge“ erwiesen sich als anwendbar auf einzelne Objekte.

Unglaubliche Methoden der Informationstheorie erweitern den Inhalt des Begriffs der Informationsmenge von der Menge an reduzierter Ungewissheit auf die Menge an reduzierter Uniformität oder auf die Menge an Diversität gemäß Ashbys Interpretation. Jeder auf Eins normierte Satz von Wahrscheinlichkeiten kann als einem bestimmten Satz von Elementen entsprechend betrachtet werden, die Diversität besitzen. Diversität wird als Merkmal der Elemente einer Menge verstanden, das in ihrer Verschiedenheit, Nichtübereinstimmung in Bezug auf eine Äquivalenzbeziehung besteht. Dieses @ kann eine Menge von "verschiedenen Elementen, Beziehungen, Relationen, Eigenschaften von Objekten sein. Die kleinste Informationseinheit, ein Bit, drückt bei diesem Ansatz den minimalen Unterschied aus, d.h. den Unterschied zwischen zwei Objekten, die nicht identisch sind, sich in einigen unterscheiden Eigentum.

In diesem Aspekt sind informationstheoretische Methoden zur Definition des sogenannten anwendbar. Strukturinformationen sind die Menge an Informationen, die in der Struktur eines gegebenen Systems enthalten sind. Eine Struktur bedeutet hier jede endliche Menge, deren Elemente abhängig von einer bestimmten Äquivalenzrelation auf Teilmengen (Äquivalenzklassen) verteilt sind.

Diese Struktur enthalte A/ Elemente und sie seien nach einem Äquivalenzkriterium in Teilmengen äquivalenter Elemente verteilt: . Diese Verteilung entspricht einem endlichen probabilistischen Schema der Wahrscheinlichkeitsteilmenge ^ pn p2> . . ?Rp-Elemente

2.18) wobei ¿T - A/"u die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein (zufällig) ausgewähltes Element in / - diejenige Teilmenge fällt, für die A/,-Elemente. Die Entropie H der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Elemente dieser Struktur, bestimmt nach Gleichung (2.4) als Maß für die durchschnittliche Informationsmenge I angesehen werden kann, die in einem Element der Struktur enthalten ist: - p

1u P/ , Bits pro Element (2.19)

Der allgemeine Informationsgehalt der Struktur ist durch die Ableitungsgleichung (2.19) gegeben:

1-M1-A//0/h-hnmm,<*.»>

In der Literatur besteht kein Konsens darüber, wie die durch y-y (2.19) und (2.20) definierten Größen zu benennen sind. Manche Autoren bezeichnen sie lieber als durchschnittlichen bzw. allgemeinen Informationsgehalt. I ist also nach Moushowitz kein Maß für die Entropie im Sinne der Informationstheorie, da es nicht die durchschnittliche Unsicherheit einer Struktur aus /\/ Elementen in einem Ensemble aller möglichen Strukturen ausdrückt haben das gleiche: die Anzahl der Elemente. I ist vielmehr der Informationsgehalt der betrachteten Struktur in Bezug auf das System von Transformationen, die das System invariant lassen. Nach Rem aus Gleichung (2.4) misst die Informationsmenge nach dem Experiment, und davor ist H(x) ein Maß für die mit der Unsicherheit des Experiments verbundene Entropie. Ein „Experiment“, das die Unsicherheit chemischer Strukturen (Atome, Moleküle usw.) reduziert, ist unserer Meinung nach selbst „der Vorgang, diese Strukturen aus ihren nicht verwandten Elementen zu bilden Struktur, weshalb häufig der Begriff "Informationsgehalt" der Struktur verwendet wird.

Das Konzept der strukturellen Information, das auf der gegebenen Interpretation1 der Gleichungen (2.19) und (2.20) basiert, stimmt gut mit Ashbys Vorstellungen über die Menge an Information als Menge an Diversität überein. Wenn ein System aus den gleichen Elementen besteht, gibt es darin keine Vielfalt. In diesem Fall in y-s (2.19) und (2.20)/="/

Bei maximaler Vielfalt an Elementen in der Struktur ist Λ £ = / und der Informationsgehalt der Struktur maximal:

4 "* -N16 u, T ^ ^ vi

2.1.3. Informationstheoretische Indizes zur Charakterisierung der elektronischen Struktur von Atomen chemischer Elemente

Empfohlene Dissertationsliste im Fachgebiet "Organische Chemie", 02.00.03 VAK-Code

• Asymptotische Probleme der kombinatorischen Codierungstheorie und Informationstheorie 2001, Kandidat der physikalischen und mathematischen Wissenschaften Vilenkin, Pavel Alexandrovich2011, Kandidat der physikalischen und mathematischen Wissenschaften Shutkin, Yuri Sergeevich

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E. Babaev.  Kandidat der Chemischen Wissenschaften.

      Wenn man von der Mathematisierung der Wissenschaft spricht, meinen sie meistens nur den rein pragmatischen Einsatz von Rechenmethoden, wobei man die treffende Aussage von A. A. Lyubishchev über die Mathematik als nicht so sehr einen Diener als die Königin aller Wissenschaften vergisst. Es ist der Grad der Mathematisierung, der diese oder jene Wissenschaft in die Kategorie der exakten Wissenschaften bringt, wenn wir damit nicht die Verwendung exakter quantitativer Schätzungen meinen, sondern ein hohes Maß an Abstraktion, die Freiheit, mit Konzepten zu operieren, die mit den Kategorien von Nicht- Numerische Mathematik.
      Unter den Methoden der qualitativen Mathematik, die in der Chemie wirksame Anwendung gefunden haben, spielen Mengen, Gruppen, Algebren, topologische Konstruktionen und vor allem Graphen die Hauptrolle, die allgemeinste Methode zur Darstellung chemischer Strukturen.

Nimm zum Beispiel vier willkürlich auf einer Ebene oder im Raum liegende Punkte und verbinde sie mit drei Linien. Egal wie diese Punkte (Knoten genannt) liegen und egal wie sie durch Striche (Kanten genannt) miteinander verbunden sind, wir erhalten nur zwei mögliche Graphenstrukturen, die sich in der gegenseitigen Anordnung der Verbindungen voneinander unterscheiden: einen Graphen , ähnlich den Buchstaben „П “ oder „I“, und ein weiterer Graph, der wie die Buchstaben „T“, „E“ oder „U“ aussieht. Wenn wir anstelle von vier abstrakten Punkten vier Kohlenstoffatome nehmen und anstelle von Strichen chemische Bindungen zwischen ihnen, dann entsprechen die beiden angezeigten Diagramme zwei möglichen Isomeren von Butan mit normaler und Isostruktur.
      Was ist der Grund für das wachsende Interesse von Chemikern an der Graphentheorie, dieser bizarren, aber sehr einfachen Sprache der Punkte und Striche?
      Ein Graph hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass er bei allen Verformungen der Struktur, die nicht mit einem Aufbrechen der Verbindungen zwischen seinen Elementen einhergehen, unverändert bleibt. Die Graphstruktur kann verzerrt werden, wodurch ihr die Symmetrie im üblichen Sinne vollständig entzogen wird; dennoch behält der Graph seine Symmetrie im topologischen Sinne bei, bestimmt durch die Gleichheit und Austauschbarkeit der Endknoten. Angesichts dieser versteckten Symmetrie kann man beispielsweise die Anzahl verschiedener isomerer Amine vorhersagen, die man aus den Strukturen von Butan und Isobutan erhält, indem man Kohlenstoffatome durch Stickstoffatome ersetzt; Graphen ermöglichen es, mit einfachen physikalischen Betrachtungen Gesetzmäßigkeiten wie „Struktureigenschaft“ zu verstehen.
      Eine weitere, etwas unerwartete Idee, die strukturellen Eigenschaften von Graphen durch Zahlen auszudrücken (zB den Grad ihrer Verzweigung). Intuitiv haben wir das Gefühl, dass Isobutan verzweigter ist als normales Butan; Quantitativ lässt sich dies etwa dadurch ausdrücken, dass sich das Strukturfragment von Propan im Isobutanmolekül dreimal wiederholt, im normalen Butan nur zweimal. Diese Strukturzahl (als Wiener topologischer Index bezeichnet) korreliert überraschend gut mit gesättigten Kohlenwasserstoffeigenschaften wie Siedepunkt oder Verbrennungswärme. In letzter Zeit ist eine Art Mode für die Erfindung verschiedener topologischer Indizes aufgetaucht, es gibt bereits mehr als zwanzig davon; die verführerische Einfachheit macht diese pythagoreische Methode immer beliebter * .
      Die Verwendung der Graphentheorie in der Chemie ist nicht auf die Struktur von Molekülen beschränkt. Bereits in den dreißiger Jahren proklamierte A. A. Balandin, einer der Vorläufer der modernen mathematischen Chemie, das Prinzip der isomorphen Substitution, wonach ein und derselbe Graph einheitliche Informationen über die Eigenschaften heterogenster strukturierter Objekte enthält; es ist nur wichtig, klar zu definieren, welche Elemente als Knoten gewählt werden und welche Beziehungen zwischen ihnen durch Kanten ausgedrückt werden. So können neben Atomen und Bindungen auch Phasen und Komponenten, Isomere und Reaktionen, Makromoleküle und Wechselwirkungen zwischen ihnen als Ecken und Kanten gewählt werden. Man kann eine tiefe topologische Beziehung zwischen der Gibbs-Phasenregel, der stöchiometrischen Regel von Horiuchi und der rationalen Klassifizierung organischer Verbindungen nach ihrem Ungesättigtheitsgrad feststellen. Mit Hilfe von Graphen werden Wechselwirkungen zwischen Elementarteilchen, Kristallfusion, Zellteilung erfolgreich beschrieben... In diesem Sinne dient die Graphentheorie als visuelle, fast universelle Sprache der interdisziplinären Kommunikation.

Die Entwicklung jeder wissenschaftlichen Idee durchläuft traditionell Phasen: Artikel Review Monographie Lehrbuch. Der Ideenreichtum der mathematischen Chemie hat das Stadium der Rezensionen bereits hinter sich gelassen, obwohl er noch nicht den Status einer akademischen Disziplin erreicht hat. Aufgrund der Vielfalt der Richtungen sind Sammlungen heute die Hauptform der Veröffentlichungen in diesem Bereich; Mehrere solcher Sammlungen wurden 1987-1988 veröffentlicht.
      Die erste von R. King herausgegebene Sammlung "Chemical Applications of Topology and Graph Theory" (M., "Mir", 1987) enthält die Übersetzung der Berichte des internationalen Symposiums mit Beteiligung von Chemikern und Mathematikern aus verschiedenen Ländern . Das Buch gibt ein vollständiges Bild der bunten Palette von Ansätzen, die an der Schnittstelle von Graphentheorie und Chemie entstanden sind. Es berührt ein sehr breites Themenspektrum, angefangen bei der algebraischen Struktur der Quantenchemie und Stereochemie, über die magischen Regeln des elektronischen Zählens bis hin zur Struktur von Polymeren und der Lösungstheorie. Organische Chemiker werden zweifellos von einer neuen Strategie zur Synthese von molekularen Knoten wie einem Kleeblatt angezogen, einer experimentellen Umsetzung der Idee eines Mobius-Molekülstreifens. Von besonderem Interesse werden Übersichtsartikel zur Nutzung der oben genannten topologischen Indizes zur Abschätzung und Vorhersage verschiedenster Eigenschaften bis hin zur biologischen Aktivität von Molekülen sein.
      Die Übersetzung dieses Buches ist auch insofern nützlich, als die darin aufgeworfenen Fragen dazu beitragen können, eine Reihe umstrittener Probleme auf dem Gebiet der Methodik der chemischen Wissenschaften zu lösen. So wurde die Ablehnung der mathematischen Symbolik der Resonanzformeln durch einige Chemiker in den 50er Jahren in den 70er Jahren durch die Ablehnung des eigentlichen Konzepts der chemischen Struktur durch einzelne Physiker ersetzt. Im Rahmen der mathematischen Chemie können solche Widersprüche beispielsweise mit Hilfe einer kombinatorisch-topologischen Beschreibung sowohl klassischer als auch quantenchemischer Systeme beseitigt werden.
      Obwohl die Arbeiten sowjetischer Wissenschaftler in dieser Sammlung nicht präsentiert werden, ist es erfreulich, das wachsende Interesse an den Problemen der mathematischen Chemie in der heimischen Wissenschaft festzustellen. Ein Beispiel ist der erste Workshop "Molekulare Graphen in der chemischen Forschung" (Odessa, 1987), der etwa hundert Spezialisten aus dem ganzen Land zusammenbrachte. Im Vergleich zu ausländischen Studien zeichnen sich inländische Arbeiten durch einen ausgeprägteren angewandten Charakter aus, konzentrieren sich auf die Lösung von Problemen der Computersynthese und erstellen verschiedene Datenbanken. Trotz des hohen Niveaus an Berichten stellte die Tagung einen unannehmbaren Rückstand bei der Ausbildung von Spezialisten für mathematische Chemie fest. Lediglich an den Universitäten Moskau und Nowosibirsk werden gelegentlich Lehrveranstaltungen zu einzelnen Themen angeboten. Gleichzeitig ist es an der Zeit, sich ernsthaft die Frage zu stellen, welche Art von Mathematik Studierende der Chemie studieren sollten. Schließlich sind auch in den mathematischen Universitätsprogrammen der chemischen Fakultäten solche Bereiche wie Gruppentheorie, kombinatorische Methoden, Graphentheorie, Topologie praktisch nicht vertreten; Universitätsmathematiker wiederum studieren überhaupt keine Chemie. Neben dem Bildungsproblem ist die Frage der wissenschaftlichen Kommunikation akut: Es bedarf einer unionsweiten Zeitschrift für mathematische Chemie, die mindestens einmal im Jahr erscheint. Die Zeitschrift „MATCH“ (Mathematical Chemistry) erscheint seit vielen Jahren im Ausland, unsere Publikationen sind über Sammlungen und diverse Periodika verstreut.

Bis vor kurzem konnte der sowjetische Leser die mathematische Chemie nur durch das Buch von V. I. Sokolov "Einführung in die theoretische Stereochemie" (M.: Nauka, 1979) und I. S., 1977) kennenlernen. Um diese Lücke teilweise zu schließen, hat der sibirische Zweig des Verlags „Nauka“ im vergangenen Jahr das Buch „Application of Graph Theory in Chemistry“ (herausgegeben von N. S. Zefirov, S. I. Kuchanov) veröffentlicht. Das Buch besteht aus drei Abschnitten, wobei sich der erste mit der Verwendung der Graphentheorie in der Strukturchemie befasst; der zweite Teil befasst sich mit Reaktionsgraphen; die dritte zeigt, wie Graphen verwendet werden können, um die Lösung vieler traditioneller Probleme in der chemischen Physik von Polymeren zu erleichtern. Natürlich ist dieses Buch noch kein Lehrbuch (viele der diskutierten Ideen sind Originalergebnisse der Autoren); dennoch kann der erste Teil der Sammlung für den Einstieg in die Thematik uneingeschränkt empfohlen werden.
      Eine weitere Sammlung der Proceedings des Seminars der Fakultät für Chemie der Staatlichen Universität Moskau „Principles of Symmetry and Consistency in Chemistry“ (herausgegeben von N. F. Stepanov) wurde 1987 veröffentlicht. Schwerpunktthema der Sammlung sind gruppentheoretische, graphentheoretische und systemtheoretische Methoden in der Chemie. Die Palette der diskutierten Fragen ist unkonventionell, und die Antworten darauf sind noch weniger Standard. Der Leser erfährt beispielsweise etwas über die Gründe für die Dreidimensionalität des Raums, über den möglichen Mechanismus für das Auftreten von Dissymmetrien in der belebten Natur, über die Prinzipien zum Aufbau eines Periodensystems von Molekülen, über die Symmetrieebenen chemischer Reaktionen , über die Beschreibung molekularer Formen ohne Verwendung geometrischer Parameter und vieles mehr. Leider ist das Buch nur in wissenschaftlichen Bibliotheken zu finden, da es nicht allgemein erhältlich war.
      Da wir über die Prinzipien der Symmetrie und Konsistenz in der Wissenschaft sprechen, kann man nicht umhin, ein weiteres ungewöhnliches Buch "System. Symmetry. Harmony" (M.: Thought, 1988) zu erwähnen. Dieses Buch ist einer der Versionen der sogenannten Allgemeinen Systemtheorie (GTS) gewidmet, die von Yu.A. Die Grundprinzipien von Urmantsevs GTS sind die Konzepte von System und Chaos, Polymorphismus und Isomorphismus, Symmetrie und Asymmetrie sowie Harmonie und Disharmonie.
      Es scheint, dass Urmantsevs Theorie die größte Aufmerksamkeit der Chemiker erregen sollte, und sei es nur, weil in ihr die traditionellen chemischen Konzepte von Zusammensetzung, Isomerie, Dissymmetrie in den Rang von systemweiten erhoben werden. In dem Buch findet man auffallende Symmetrie-Analoga zum Beispiel zwischen Isomeren von Blättern und Molekülstrukturen ** . Natürlich ist bei der Lektüre des Buches an manchen Stellen eine gewisse fachliche Unbefangenheit gefragt, etwa wenn es um chemisch-musikalische Parallelen oder die Begründung eines spiegelsymmetrischen Elementesystems geht. Dennoch ist das Buch von der zentralen Idee durchdrungen, eine universelle Sprache zu finden, die die Einheit des Universums ausdrückt, etwa verwandt mit der kastalischen Sprache des „Perlenspiels“ von Hermann Hess.
Wenn man über die mathematischen Konstruktionen der modernen Chemie spricht, kann man das wunderbare Buch von A. F. Bochkov und V. A. Smith „Organic Synthesis“ (Moskau: Nauka, 1987) nicht ignorieren. Obwohl seine Autoren "reine" Chemiker sind, kommen einige der in diesem Buch diskutierten Ideen den oben angesprochenen Problemen sehr nahe. Ohne auf die brillante Präsentationsform und die Tiefe des Inhalts dieses Buches einzugehen, möchten wir nach der Lektüre, die Sie organische Synthese betreiben möchten, nur zwei Punkte hervorheben. Erstens, indem sie die organische Chemie durch das Prisma ihres Beitrags zur Weltwissenschaft und -kultur betrachten, ziehen die Autoren eine klare Parallele zwischen Chemie und Mathematik als universellen Wissenschaften und ziehen Objekte und Probleme ihrer Forschung in sich hinein. Mit anderen Worten, zum traditionellen Status der Mathematik als Königin und Dienerin der Chemie kann man eine eigentümliche Hypostase ihrer Schwester hinzufügen. Zweitens, um den Leser davon zu überzeugen, dass die organische Synthese eine exakte Wissenschaft ist, appellieren die Autoren an die Genauigkeit und Strenge sowohl der Strukturchemie selbst als auch an die Perfektion der Logik chemischer Ideen.
      Wenn Experimentatoren das sagen, kann es dann irgendeinen Zweifel geben, dass die Stunde der mathematischen Chemie geschlagen hat?

________________________
  * Siehe "Chemistry and Life", 1988, Nr. 7, S. 22.
** Siehe "Chemie und Leben", 1989, Nr. 2.

STÄDTISCHE AUTONOME ALLGEMEINE BILDUNGSEINRICHTUNG SEKUNDÄRE BILDUNGSSCHULE № 2

Bereit

Legkokonets Vladislav, 10A Student

Praktische Anwendung der Graphentheorie

Aufsicht

LI Noskova, Mathematiklehrerin

st.Bryukhovetskaya

2011

1.Einführung………………………………………………………………………….………….3

2. Die Entstehungsgeschichte der Graphentheorie………………………………………….………..4

3.Grundlegende Definitionen und Theoreme der Graphentheorie……………………………….………6

4. Aufgaben gelöst mit Hilfe von Grafiken……………………………..……………………..8

4.1 Berühmte Aufgaben………………………………….………………………...8

4.2 Einige interessante Aufgaben………………………………….……………..9

5. Anwendung von Graphen in verschiedenen Lebensbereichen……………………………...11

6. Problemlösung……………………………………………………………………………...12

7. Fazit ………………….……………………………………………………………….13

8. Literaturverzeichnis ………….………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………….

9. Anhang…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Einführung

Die Graphentheorie, die aus dem Lösen von Rätseln und unterhaltsamen Spielen stammt, ist heute zu einem einfachen, zugänglichen und leistungsstarken Werkzeug zum Lösen von Problemen im Zusammenhang mit einer Vielzahl von Problemen geworden. Diagramme sind buchstäblich allgegenwärtig. In Form von Graphen kann man zum Beispiel Straßendiagramme und Stromkreise, Landkarten und Moleküle chemischer Verbindungen, Verbindungen zwischen Menschen und Menschengruppen interpretieren. In den letzten vier Jahrzehnten hat sich die Graphentheorie zu einem der sich am schnellsten entwickelnden Zweige der Mathematik entwickelt. Dies wird durch die Anforderungen eines schnell wachsenden Anwendungsbereichs getrieben. Es wird beim Entwurf integrierter Schaltungen und Steuerschaltungen, beim Studium von Automaten, logischen Schaltungen, Programmflussdiagrammen, in Wirtschaft und Statistik, Chemie und Biologie, in der Planungstheorie verwendet. Deshalb Relevanz Das Thema ist einerseits der Popularität von Graphen und verwandten Forschungsmethoden geschuldet, andererseits einem unentwickelten, integralen System zu ihrer Umsetzung.

Die Lösung vieler Lebensprobleme erfordert lange Berechnungen, und manchmal bringen diese Berechnungen keinen Erfolg. Darin besteht es Forschungsproblem. Es stellt sich die Frage: Ist es möglich, eine einfache, rationale, kurze und elegante Lösung für ihre Lösung zu finden? Ist es einfacher, Probleme zu lösen, wenn Sie Diagramme verwenden? Es bestimmt Thema meiner Forschung: "Praktische Anwendung der Graphentheorie"

Ziel Die Forschung bestand darin, mithilfe von Grafiken zu lernen, wie praktische Probleme schnell gelöst werden können.

Forschungshypothese. Die Graphenmethode ist sehr wichtig und wird in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und des menschlichen Lebens häufig verwendet.

Forschungsschwerpunkte:

1. Studium der Literatur und Internetquellen zu diesem Thema.

2. Überprüfen Sie die Wirksamkeit der Graphenmethode bei der Lösung praktischer Probleme.

3. Machen Sie eine Schlussfolgerung.

Praktische Bedeutung des Studiums ist, dass die Ergebnisse zweifellos das Interesse vieler Menschen wecken werden. Hat keiner von Ihnen versucht, einen Stammbaum Ihrer Familie zu erstellen? Und wie macht man es richtig? Der Leiter eines Transportunternehmens muss wahrscheinlich das Problem einer rentableren Nutzung des Transports beim Transport von Waren von einem Zielort zu mehreren Siedlungen lösen. Jeder Schüler stand vor logischen Transfusionsaufgaben. Es stellt sich heraus, dass sie mit Hilfe von Graphen leicht gelöst werden können.

In der Arbeit kommen folgende Methoden zum Einsatz: Beobachtung, Suche, Auswahl, Analyse.

Die Entstehungsgeschichte der Graphentheorie

Der Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) gilt als Begründer der Graphentheorie. Die Entstehungsgeschichte dieser Theorie lässt sich anhand der Korrespondenz des großen Wissenschaftlers nachvollziehen. Hier ist eine Übersetzung des lateinischen Textes, der Eulers Brief an den italienischen Mathematiker und Ingenieur Marinoni entnommen ist, der am 13. März 1736 aus St. Petersburg geschickt wurde.

„Einmal wurde mir ein Problem über eine Insel in der Stadt Königsberg gegeben, die von einem Fluss umgeben ist, über den sieben Brücken geworfen werden.

[Anhang Abb.1] Die Frage ist, ob jemand sie kontinuierlich umgehen und jede Brücke nur einmal passieren kann. Und dann wurde mir gesagt, dass dies noch niemand geschafft habe, aber niemand habe bewiesen, dass es unmöglich sei. Diese Frage, obwohl banal, schien mir jedoch der Aufmerksamkeit wert, weil weder Geometrie noch Algebra noch kombinatorische Kunst zu ihrer Lösung ausreichen. Nach langem Überlegen habe ich auf der Grundlage eines recht überzeugenden Beweises eine einfache Regel gefunden, mit der man bei allen Problemen dieser Art sofort feststellen kann, ob eine solche Runde durch beliebig viele und beliebig angeordnete Brücken gemacht werden kann oder nicht. Die Königsberger Brücken sind so angeordnet, dass sie in der folgenden Abbildung dargestellt werden können [Anhang Abb.2], wobei A eine Insel bezeichnet und B , C und D Teile des Kontinents sind, die durch Flussarme voneinander getrennt sind

Über die von ihm entdeckte Methode zur Lösung solcher Probleme schrieb Euler:

„Diese Lösung scheint ihrer Natur nach wenig mit Mathematik zu tun zu haben, und es ist mir nicht klar, warum diese Lösung eher von einem Mathematiker als von irgendeiner anderen Person erwartet werden sollte, denn diese Lösung wird allein durch die Vernunft gestützt, und Um diese Lösung zu finden, müssen keine der Mathematik innewohnenden Gesetze einbezogen werden. Ich weiß also nicht, wie es ausgeht, dass Fragen, die sehr wenig mit Mathematik zu tun haben, eher von Mathematikern als von anderen gelöst werden. "

Ist es also möglich, die Königsberger Brücken zu umgehen, indem man jede dieser Brücken nur einmal passiert? Um die Antwort zu finden, setzen wir Eulers Brief an Marinoni fort:

„Die Frage ist, ob es möglich ist, alle diese sieben Brücken zu umgehen und jede nur einmal zu passieren, oder nicht. Meine Regel führt zu der folgenden Lösung dieser Frage. Zunächst müssen Sie sich ansehen, wie viele Abschnitte sind durch Wasser getrennt - solche , die keinen anderen Übergang von einem zum anderen haben, außer durch die Brücke. In diesem Beispiel gibt es vier solcher Abschnitte - A, B, C, D. Als nächstes müssen Sie unterscheiden, ob die Anzahl von Brücken, die zu diesen einzelnen Abschnitten führen, ist gerade oder ungerade, also führen in unserem Fall fünf Brücken zu Abschnitt A und drei Brücken zu den restlichen, d.h. die Anzahl der Brücken, die zu einzelnen Abschnitten führen, ist ungerade, und diese eine reicht schon dazu Lösung des Problems. Wenn dies festgestellt ist, wenden wir die folgende Regel an: Wenn die Anzahl der Brücken, die zu jedem einzelnen Abschnitt führen, gerade wäre, wäre die betreffende Umleitung möglich, und gleichzeitig wäre es möglich, diese Umleitung zu beginnen aus irgendeiner Sektion wäre seltsam, denn nur eine wäre n wenn es nicht gerade sein kann, dann könnte auch dann der Übergang wie vorgeschrieben erfolgen, aber nur der Anfang des Umwegs muss sicher von einem der beiden Abschnitte genommen werden, zu denen eine ungerade Anzahl von Brücken führt. Wenn es schließlich mehr als zwei Abschnitte gäbe, zu denen eine ungerade Anzahl von Brücken führt, dann ist eine solche Bewegung im Allgemeinen unmöglich ... wenn andere, schwerwiegendere Probleme hier angeführt werden könnten, könnte diese Methode noch nützlicher sein und sollte es nicht vernachlässigt werden“.

Grundlegende Definitionen und Theoreme der Graphentheorie

Die Graphentheorie ist eine mathematische Disziplin, die durch die Bemühungen von Mathematikern geschaffen wurde, daher enthält ihre Präsentation die notwendigen strengen Definitionen. Fahren wir also mit der organisierten Einführung der Grundkonzepte dieser Theorie fort.

Bestimmung 1. Ein Graph ist eine Sammlung einer endlichen Anzahl von Punkten, die Scheitelpunkte des Graphen genannt werden, und einige dieser Scheitelpunkte von Linien paarweise verbindet, die Kanten oder Bögen des Graphen genannt werden.

Diese Definition kann anders formuliert werden: Ein Graph ist eine nicht leere Menge von Punkten (Knoten) und Segmenten (Kanten), deren beide Enden zu einer gegebenen Menge von Punkten gehören

In Zukunft werden wir die Eckpunkte des Graphen mit den lateinischen Buchstaben A, B, C, D bezeichnen. Manchmal wird der Graph als Ganzes durch einen einzigen Großbuchstaben gekennzeichnet.

Bestimmung 2. Die Ecken des Graphen, die zu keiner Kante gehören, heißen isoliert.

Bestimmung 3. Ein Graph, der nur aus isolierten Knoten besteht, heißt Null - Anzahl .

Notation: O "– ein Graph mit Ecken und ohne Kanten

Bestimmung 4. Ein Graph, in dem jedes Knotenpaar durch eine Kante verbunden ist, heißt vollständig.

Bezeichnung: U" – ein Graph, der aus n Scheitelpunkten und Kanten besteht, die alle möglichen Paare dieser Scheitelpunkte verbinden. Ein solcher Graph kann als n-Eck dargestellt werden, in dem alle Diagonalen eingezeichnet sind

Bestimmung 5. Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, zu denen der Knoten gehört.

Bestimmung 6. Ein Graph, dessen Grad aller k Knoten gleich sind, heißt homogener Graph vom Grad k .

Bestimmung 7. Das Komplement eines gegebenen Graphen ist ein Graph, der aus allen Kanten und ihren Enden besteht, die zu dem ursprünglichen Graphen hinzugefügt werden müssen, um einen vollständigen Graphen zu erhalten.

Bestimmung 8. Ein Graph, der in einer Ebene so dargestellt werden kann, dass sich seine Kanten nur an den Ecken schneiden, heißt planar.

Bestimmung 9. Ein Polygon eines planaren Graphen, das keine Ecken oder Kanten des Graphen enthält, wird als Fläche bezeichnet.

Die Konzepte eines ebenen Graphen und Graphflächen werden verwendet, um Probleme für die "korrekte" Färbung verschiedener Karten zu lösen.

Bestimmung 10. Ein Pfad von A nach X ist eine Folge von Kanten, die von A nach X führen, sodass jeweils zwei benachbarte Kanten einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben und keine Kante mehr als einmal vorkommt.

Bestimmung 11. Ein Zyklus ist ein Pfad, bei dem Anfangs- und Endpunkt gleich sind.

Bestimmung 12. Ein einfacher Zyklus ist ein Zyklus, der keinen der Scheitelpunkte des Graphen mehr als einmal durchläuft.

Bestimmung 13. langer Weg , auf eine Schlaufe gelegt , ist die Anzahl der Kanten dieses Pfades.

Bestimmung 14. Zwei Knoten A und B in einem Graphen heißen verbunden (nicht verbunden), wenn es (nicht existiert) einen Pfad gibt, der in ihm von A nach B führt.

Bestimmung 15. Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn alle zwei seiner Ecken zusammenhängend sind; Wenn der Graph mindestens ein Paar nicht verbundener Knoten enthält, wird der Graph als nicht verbunden bezeichnet.

Bestimmung 16. Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph, der keine Zyklen enthält.

Ein dreidimensionales Modell eines Graphenbaums ist beispielsweise ein echter Baum mit seiner fein verzweigten Krone; Der Fluss und seine Nebenflüsse bilden ebenfalls einen Baum, aber bereits flach - auf der Erdoberfläche.

Bestimmung 17. Ein nicht zusammenhängender Graph, der ausschließlich aus Bäumen besteht, wird als Wald bezeichnet.

Bestimmung 18. Ein Baum, dessen n Ecken alle von 1 bis n nummeriert sind, heißt Baum mit umnummerierten Ecken.

Wir haben also die Hauptdefinitionen der Graphentheorie betrachtet, ohne die es unmöglich wäre, Theoreme zu beweisen und folglich Probleme zu lösen.

Probleme gelöst mit Graphen

Berühmte Herausforderungen

Das Problem des Handlungsreisenden

Das Problem des Handlungsreisenden ist eines der bekanntesten Probleme in der Theorie der Kombinatorik. Es wurde 1934 aufgestellt, und die besten Mathematiker haben sich darüber die Zähne ausgebrochen.

Die Problemstellung ist die folgende.
Der Handelsreisende (reisender Kaufmann) muss die erste Stadt verlassen, die Städte 2,1,3..n einmal in unbekannter Reihenfolge besuchen und in die erste Stadt zurückkehren. Entfernungen zwischen den Städten sind bekannt. In welcher Reihenfolge sollen die Städte durchfahren werden, damit der geschlossene Weg (Tour) des Handlungsreisenden am kürzesten ist?

Methode zur Lösung des Problems des Handlungsreisenden

Gieriger Algorithmus „Geh in die nächste (die du noch nicht betreten hast) Stadt.“
„Greedy“ nennt sich dieser Algorithmus, weil man Gier in den letzten Schritten teuer bezahlen muss.
Betrachten Sie zum Beispiel das Netzwerk in Abbildung [App Abb. 3] eine schmale Raute darstellt. Lassen Sie den Verkäufer bei Stadt 1 beginnen. Der Algorithmus „Zur nächsten Stadt gehen“ bringt ihn zu Stadt 2, dann 3, dann 4; Auf dem letzten Schritt müssen Sie für die Gier bezahlen und entlang der langen Diagonale der Raute zurückkehren. Das Ergebnis ist nicht die kürzeste, sondern die längste Tour.

Das Problem der Königsberger Brücken.

Die Aufgabenstellung ist wie folgt formuliert.
Die Stadt Königsberg liegt am Ufer des Flusses Pregel und zweier Inseln. Verschiedene Teile der Stadt wurden durch sieben Brücken verbunden. Sonntags machten die Bürger Spaziergänge durch die Stadt. Frage: Ist es möglich, einen Spaziergang so zu machen, dass man, nachdem man das Haus verlassen hat, zurückkommt und genau einmal über jede Brücke geht?
Brücken über den Fluss Pregel befinden sich wie auf dem Bild[Anhang Abb.1].

Betrachten Sie einen Graphen, der dem Brückenschema entspricht [Anhang Abb.2].

Um die Frage des Problems zu beantworten, genügt es herauszufinden, ob der Graph Euler ist. (Mindestens ein Knoten muss eine gerade Anzahl von Brücken haben). Wenn man durch die Stadt läuft, ist es unmöglich, alle Brücken einmal zu durchqueren und wieder zurückzukommen.

Mehrere interessante Herausforderungen

1. „Routen“.

Aufgabe 1

Wie Sie sich erinnern, besuchte der Seelenjäger Tschitschikow je einmal berühmte Landbesitzer. Er besuchte sie in der folgenden Reihenfolge: Manilow, Korobochka, Nozdrev, Sobakevich, Plyushkin, Tentetnikov, General Betrishchev, Petukh, Konstanzholgo, Oberst Koshkarev. Es wurde ein Diagramm gefunden, auf dem Chichikov die relative Lage der Ländereien und die sie verbindenden Landstraßen skizzierte. Stellen Sie fest, welches Anwesen wem gehört, wenn Chichikov keine der Straßen mehr als einmal passiert hat [Anhang Abb.4].

Entscheidung:

Aus der Straßenkarte geht hervor, dass Chichikov seine Reise mit dem Anwesen E begann und mit dem Anwesen O endete.Wir stellen fest, dass nur zwei Straßen zu den Anwesen B und C führen, also musste Chichikov diese Straßen entlangfahren. Markieren wir sie mit fetten Linien. Die durch A verlaufenden Streckenabschnitte sind festgelegt: AC und AB. Chichikov fuhr nicht auf den Straßen AE, AK und AM. Streichen wir sie durch. Markieren wir mit einer dicken Linie ED ; DK streichen. MO und MN durchstreichen; markieren Sie mit einer fetten Linie MF ; durchstreichen FO ; wir markieren FH , NK und KO mit einer dicken Linie. Lassen Sie uns die einzig mögliche Route unter der gegebenen Bedingung finden. Und wir bekommen: Das Anwesen E - gehört Manilov, D - Korobochka, C - Nozdrev, A - Sobakevich, V - Plyushkin, M - Tentetnikov, F - Betrishchev, N - Petukh, K - Konstanzholgo, O - Koshkarev [App Abb.5].

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt eine Karte des Gebiets [Anhang Abb.6].

Sie können sich nur in Pfeilrichtung bewegen. Jeder Punkt kann höchstens einmal besucht werden. Auf wie viele Arten kommt man von Punkt 1 nach Punkt 9? Welche Strecke ist die kürzeste und welche die längste.

Entscheidung:

„Schichten“ Sie das Schema sequentiell in einen Baum, beginnend bei Scheitelpunkt 1 [App Abb.7]. Holen wir uns einen Baum. Die Anzahl der möglichen Wege, um von 1 bis 9 zu gelangen, ist gleich der Anzahl der "hängenden" Knoten des Baums (es gibt 14 davon). Offensichtlich ist der kürzeste Weg 1-5-9; die längste ist 1-2-3-6-5-7-8-9.

2 "Gruppen, Dating"

Aufgabe 1

Teilnehmer des Musikfestivals, nachdem sie sich getroffen hatten, tauschten Umschläge mit Adressen aus. Beweise das:

a) insgesamt wurde eine gerade Anzahl von Umschlägen verschickt;

b) die Anzahl der Teilnehmer, die ungerade oft Umschläge getauscht haben, gerade ist.

Lösung: Die Festivalteilnehmer seien A 1 , A 2 , A 3 . . . , Und n sind die Eckpunkte des Graphen, und die Kanten verbinden Eckpunktpaare, die Typen darstellen, die Umschläge ausgetauscht haben [Anhang Abb.8]

Entscheidung:

a) Der Grad jedes Knotens A i zeigt die Anzahl der Umschläge, die Teilnehmer A i seinen Freunden gegeben hat. Die Gesamtzahl der übertragenen Hüllkurven N ist gleich der Summe der Grade aller Eckpunkte des Graphen N = step. Ein 1 + Schritt. A 2 + + . . . + Schritt. Und n -1 + Schritt. Und n , N =2p , wobei p die Anzahl der Graphkanten ist, d.h. N ist gerade. Daher wurde eine gerade Anzahl von Umschlägen verschickt;

b) in der Gleichheit N = Schritt. Ein 1 + Schritt. A 2 + + . . . + Schritt. Und n -1 + Schritt. Und n muss die Summe der ungeraden Terme gerade sein, und dies kann nur sein, wenn die Anzahl der ungeraden Terme gerade ist. Und das bedeutet, dass die Anzahl der Teilnehmer, die ungerade oft Umschläge getauscht haben, gerade ist.

Aufgabe 2

Einmal einigten sich Andrei, Boris, Volodya, Dasha und Galya darauf, abends ins Kino zu gehen. Sie beschlossen, die Wahl des Kinos und der Sitzung telefonisch abzustimmen. Es wurde auch beschlossen, dass der Kinobesuch abgesagt wird, wenn niemand telefonisch erreichbar ist. Am Abend versammelten sich nicht alle im Kino, und somit fiel der Kinobesuch aus. Am nächsten Tag begannen sie herauszufinden, wer wen angerufen hatte. Es stellte sich heraus, dass Andrey Boris und Volodya hieß, Volodya Boris und Dasha hieß, Boris Andrey und Dasha hieß, Dasha Andrey und Volodya hieß und Galya Andrey, Volodya und Boris hieß. Wer konnte nicht telefonieren und kam deshalb nicht zum Treffen?

Entscheidung:

Zeichnen wir fünf Punkte und bezeichnen sie mit den Buchstaben A, B, C, D, E. Dies sind die Anfangsbuchstaben der Namen. Lassen Sie uns die Punkte verbinden, die den Namen der Jungs entsprechen, die sich gegenseitig angerufen haben.

[App Abb.9]

Auf dem Bild ist zu sehen, dass jeder der Jungs - Andrey, Boris und Volodya - alle anderen angerufen hat. Deshalb kamen diese Typen ins Kino. Aber Galya und Dasha haben sich nicht angerufen (Punkte D und D sind nicht durch ein Segment verbunden) und sind daher gemäß der Vereinbarung nicht ins Kino gekommen.

Die Verwendung von Graphen in verschiedenen Bereichen des Lebens von Menschen

Zusätzlich zu den angegebenen Beispielen werden Graphen häufig in Bauwesen, Elektrotechnik, Management, Logistik, Geographie, Maschinenbau, Soziologie, Programmierung, Automatisierung technologischer Prozesse und Industrien, Psychologie und Werbung verwendet. Aus alledem ergibt sich also unwiderlegbar der praktische Wert der Graphentheorie, dessen Nachweis das Ziel dieser Studie war.

In jedem Bereich der Wissenschaft und Technologie trifft man auf Graphen. Graphen sind wunderbare mathematische Objekte, mit denen Sie mathematische, wirtschaftliche und logische Probleme lösen, verschiedene Rätsel lösen und die Bedingungen von Problemen in Physik, Chemie, Elektronik und Automatisierung vereinfachen können. Es ist bequem, viele mathematische Fakten in der Sprache der Graphen zu formulieren. Die Graphentheorie ist Teil vieler Wissenschaften. Die Graphentheorie ist eine der schönsten und anschaulichsten mathematischen Theorien. In letzter Zeit hat die Graphentheorie immer mehr Anwendungen in angewandten Fragestellungen gefunden. Sogar die Computerchemie ist entstanden - ein relativ junges Gebiet der Chemie, das auf der Anwendung der Graphentheorie basiert.

Molekulare Graphen, die in der Stereochemie und strukturellen Topologie, der Chemie von Clustern, Polymeren usw. verwendet werden, sind ungerichtete Graphen, die die Struktur von Molekülen darstellen [App Abb. 10]. Die Ecken und Kanten dieser Graphen entsprechen den entsprechenden Atomen und den chemischen Bindungen zwischen ihnen.

Molekulare Graphen und Bäume: [App Abb. 10] a, b - Multigraphen bzw. Ethylen und Formaldehyd; Mol. Isomere von Pentan (Bäume 4, 5 sind isomorph zu Baum 2).

In der Stereochemie von Organismen am meisten verwenden häufig molekulare Bäume - die Hauptbäume von molekularen Graphen, die nur alle Knoten enthalten, die C-Atomen entsprechen. Bäume und die Feststellung ihrer Isomorphie ermöglichen es Ihnen, den Pier zu bestimmen. Strukturen und finden Sie die Gesamtzahl der Isomere von Alkanen, Alkenen und Alkinen

Proteinnetzwerke

Proteinnetzwerke - Gruppen von physikalisch interagierenden Proteinen, die in einer Zelle gemeinsam und koordiniert funktionieren und die miteinander verbundenen Prozesse steuern, die im Körper ablaufen [App Abb. elf].

Hierarchischer Systemgraph einen Baum genannt. Ein charakteristisches Merkmal eines Baums ist, dass es zwischen zwei beliebigen seiner Eckpunkte nur einen Pfad gibt. Der Baum enthält keine Zyklen und Schleifen.

Normalerweise hat ein Baum, der ein hierarchisches System darstellt, einen Hauptknoten, der als Wurzel des Baums bezeichnet wird. Jeder Scheitelpunkt des Baums (mit Ausnahme der Wurzel) hat nur einen Vorfahren – das von ihm bezeichnete Objekt gehört zu einer Klasse der obersten Ebene. Jeder Knoten des Baums kann mehrere Nachkommen erzeugen – Knoten, die Klassen auf niedrigerer Ebene entsprechen.

Für jedes Paar von Baumknoten gibt es einen eindeutigen Pfad, der sie verbindet. Diese Eigenschaft wird verwendet, um alle Vorfahren, beispielsweise in männlicher Linie, einer Person zu finden, deren Stammbaum als Stammbaum dargestellt wird, was auch ein „Baum“ im Sinne der Graphentheorie ist.

Ein Beispiel für meinen Stammbaum [Anhang Abb.12].

Noch ein Beispiel. Die Abbildung zeigt den biblischen Stammbaum [Anhang Abb.13].

Probleme lösen

1. Transportaufgabe. Lassen Sie es in der Stadt Krasnodar eine Basis mit Rohstoffen geben, die in einem Durchgang in den Städten Krymsk, Temryuk, Slavyansk-on-Kuban und Timashevsk gepflanzt werden muss, während Sie so wenig Zeit und Treibstoff wie möglich aufwenden und zurückkehren müssen nach Krasnodar.

Entscheidung:

Lassen Sie uns zunächst ein Diagramm aller möglichen Routen erstellen. [App Abb.14], unter Berücksichtigung der realen Straßen zwischen diesen Siedlungen und der Entfernung zwischen ihnen. Um dieses Problem zu lösen, müssen wir einen weiteren Graphen, einen Baum, erstellen [App Abb.15].

Zur Vereinfachung der Lösung bezeichnen wir die Städte mit Zahlen: Krasnodar - 1, Krymsk - 2, Temryuk - 3, Slavyansk - 4, Timashevsk - 5.

Das ergab 24 Lösungen, aber wir brauchen nur kürzeste Wege. Von allen Lösungen sind nur zwei zufrieden, das sind 350 km.

Ebenso ist es möglich und meiner Meinung nach notwendig, den tatsächlichen Transport von einem Ort zum anderen zu berechnen.

Logische Aufgabe zur Transfusion. In einem Eimer befinden sich 8 Liter Wasser und es gibt zwei Töpfe mit einem Fassungsvermögen von 5 und 3 Litern. Es ist erforderlich, 4 Liter Wasser in einen Fünf-Liter-Topf zu gießen und 4 Liter in einem Eimer zu lassen, d. H. Wasser zu gleichen Teilen in einen Eimer und einen großen Topf zu gießen.

Entscheidung:

Die Situation zu jedem Zeitpunkt kann durch drei Zahlen beschrieben werden [Anhang Abb.16].

Als Ergebnis erhalten wir zwei Lösungen: eine in 7 Zügen, die andere in 8 Zügen.

Fazit

Um also zu lernen, wie man Probleme löst, muss man verstehen, was sie sind, wie sie angeordnet sind, aus welchen Komponenten sie bestehen und welche Werkzeuge zur Lösung von Problemen verwendet werden.

Bei der Lösung praktischer Probleme mit Hilfe der Graphentheorie wurde deutlich, dass bei jedem Schritt, in jeder Phase ihrer Lösung, Kreativität erforderlich ist.

Von Anfang an, in der ersten Phase, liegt es darin, dass Sie in der Lage sein müssen, die Problemsituation zu analysieren und zu codieren. Die zweite Stufe ist eine schematische Notation, die in der geometrischen Darstellung von Graphen besteht, und in dieser Stufe ist das Element der Kreativität sehr wichtig, da es alles andere als einfach ist, Entsprechungen zwischen den Elementen der Bedingung und den entsprechenden Elementen des Graphen zu finden .

Bei der Lösung eines Transportproblems oder eines Problems bei der Erstellung eines Stammbaums kam ich zu dem Schluss, dass die Diagrammmethode sicherlich interessant, schön und visuell ist.

Ich war davon überzeugt, dass Graphen in Wirtschaft, Management und Technologie weit verbreitet sind. Die Graphentheorie wird auch in der Programmierung verwendet, was in diesem Beitrag nicht diskutiert wurde, aber ich denke, dass dies nur eine Frage der Zeit ist.

In dieser wissenschaftlichen Arbeit werden mathematische Graphen, ihre Anwendungsgebiete betrachtet, mehrere Probleme werden mit Hilfe von Graphen gelöst. Kenntnisse der Grundlagen der Graphentheorie sind in verschiedenen Bereichen des Produktionsmanagements, der Wirtschaft (z. B. Baunetzdiagramm, Postzustellungspläne) erforderlich. Darüber hinaus habe ich während der Arbeit an einer wissenschaftlichen Arbeit das Arbeiten am Computer in einem WORD-Texteditor gemeistert. Damit sind die Aufgaben des wissenschaftlichen Arbeitens erfüllt.

Aus alledem folgt also unwiderlegbar der praktische Wert der Graphentheorie, dessen Beweis das Ziel dieser Arbeit war.

Literatur

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Kemeny J., Snell J., Thompson J. Einführung in die endliche Mathematik. -M.: IIL, 1963.

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Zykov A.A. Theorie endlicher Graphen. -Nowosibirsk: Nauka, 1969.

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„Soros Educational Journal“ Nr. 11 1996 (Artikel „Flat Graphs“);

Gardner M. "Mathematical Leisure", M. "Mir", 1972 (Kapitel 35);

Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. "Alte unterhaltsame Probleme", M. "Nauka", 1988 (Teil 2, Abschnitt 8; Anhang 4);

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