Grafikoni i kemija. Algebra i harmonija u kemijskim primjenama

Proučavanje odnosa između svojstava tvari i njihove strukture jedan je od glavnih zadataka kemije. Velik doprinos njezinom rješenju dala je strukturna teorija organskih spojeva, među čijim je utemeljiteljima veliki ruski kemičar Aleksandar Mihajlovič Butlerov (1828.-1886.). On je prvi utvrdio da svojstva tvari ne ovise samo o njezinom sastavu (molekularnoj formuli), već io redoslijedu u kojem su atomi u molekuli međusobno povezani. Ovaj poredak je nazvan "kemijska struktura". Butlerov je predvidio da će kompozicija C 4 H 10 može odgovarati dvjema tvarima koje imaju različitu strukturu - butanu i izobutanu, i to je potvrdio sintetizirajući potonju tvar.

Ideja da je redoslijed povezivanja atoma od ključne važnosti za svojstva materije pokazala se vrlo plodnom. Temelji se na predstavljanju molekula pomoću grafova, u kojima atomi imaju ulogu vrhova, a kemijske veze između njih su bridovi koji spajaju vrhove. U grafičkom prikazu zanemaruju se duljine veza i kutovi između njih. Gore opisane C molekule 4 H 10 prikazani su u sljedećim stupcima:

Atomi vodika nisu naznačeni na takvim grafikonima, budući da se njihov položaj može nedvosmisleno odrediti iz strukture ugljikovog kostura. Podsjetimo se da je ugljik u organskim spojevima četverovalentan, stoga u odgovarajućim grafovima ne mogu odstupiti više od četiri ruba od svakog vrha.

Grafikoni su matematički objekti, pa se mogu karakterizirati pomoću brojeva. Iz toga je proizašla ideja da se struktura molekula izrazi brojevima koji su povezani sa strukturom molekularnih grafova. Ti se brojevi u kemiji nazivaju "topološki indeksi". Izračunavanjem nekog topološkog indeksa za veliki broj molekula, može se uspostaviti odnos između njegovih vrijednosti i svojstava tvari, a zatim koristiti taj odnos za predviđanje svojstava novih, još nesintetiziranih tvari. Do danas su kemičari i matematičari predložili stotine različitih pokazatelja koji karakteriziraju određena svojstva molekula.

Metode izračuna topoloških indeksa

Metode za izračunavanje topoloških indeksa mogu biti vrlo različite, ali sve one moraju zadovoljiti sasvim prirodne zahtjeve:

1) svaka molekula ima svoj, individualni indeks;

2) Molekule sličnih svojstava imaju slične indekse.

Pogledajmo kako se ova ideja provodi na primjeru zasićenih ugljikovodika - alkana. Ključ za konstruiranje mnogih indeksa je koncept "matrice udaljenosti" D. Ovo je naziv matrice čiji elementi pokazuju broj bridova koji odvajaju odgovarajuće vrhove molekularnog grafa. Konstruirajmo ovu matricu za tri izomerna ugljikovodika sastava C 5 H 12 . Da bismo to učinili, crtamo njihove molekularne grafove i ponovno numeriramo vrhove (proizvoljnim redoslijedom):

Dijagonalni elementi matrice udaljenosti za ugljikovodike jednaki su 0. U prvom stupcu vrh 1 je jednim bridom povezan s vrhom 2, pa je element matrice d 12 = 1. Slično, d 13 = 2, d 14 = 3, d 15 = 4. Prvi red u matrici udaljenosti normalnog pentana je: (0 1 2 3 4). Dovršite matrice udaljenosti za tri grafikona:

molekulska kemija topološki indeks

Udaljenost između vrhova ne ovisi o redoslijedu njihova nabrajanja, pa su matrice udaljenosti simetrične u odnosu na dijagonalu.

Wiener je 1947. predložio prvi topološki indeks koji odražava strukturu molekularnog grafa (G). Definira se kao zbroj dijagonalnih elemenata matrice udaljenosti plus polovica zbroja njezinih nedijagonalnih elemenata:

(1)

Za gornje grafove koji odgovaraju pentanima C 5 H 12 , Wienerov indeks ima vrijednosti 20, 18 i 16. Može se pretpostaviti da opisuje stupanj razgranatog ugljikovodika: najveće vrijednosti odgovaraju najmanje razgranatim ugljikovodicima. S povećanjem duljine ugljikovog kostura, Wienerov indeks raste, budući da ima više elemenata u matrici udaljenosti. Statistička analiza na primjeru nekoliko stotina ugljikovodika pokazala je da Wienerov indeks korelira s nekim fizikalnim svojstvima alkana: vrelištem, toplinom isparavanja, molarnim volumenom.

Drugi tip indeksa ne temelji se na udaljenostima između vrhova, već na broju najbližih susjeda za svaki vrh. Kao primjer, izračunajmo Randic indeks, koji je definiran na sljedeći način:

(2)

gdje je vja- stupanj i-tog vrha, odnosno broj bridova koji izlaze iz njega. Za gornje grafikone, Randic indeks je:

(3)

(4)

(5)

Ovaj se indeks također smanjuje s povećanjem stupnja grananja ugljikovog skeleta i može se koristiti za opisivanje fizikalnih svojstava alkana.

Alkani su najdosadnija vrsta organskih molekula s kemijskog gledišta, budući da ne sadrže nikakve "osobine" - dvostruke i trostruke veze ili atome elemenata osim vodika i ugljika (takvi elementi nazivaju se heteroatomi). Uvođenje heteroatoma u sastav molekule može radikalno promijeniti svojstva tvari. Dakle, dodavanje samo jednog atoma kisika pretvara prilično inertni plinoviti etan C 2 H 6 na tekući etanol C 2 H 5 OH, koji pokazuje prilično visoku kemijsku i biološku aktivnost.

Posljedično, u topološkim indeksima molekula složenijih od alkana, prisutnost višestrukih veza i heteroatoma mora se uzeti u obzir. To se postiže dodjeljivanjem određenih numeričkih koeficijenata - "težina" vrhovima i bridovima grafova. Na primjer, u matrici udaljenosti, dijagonalni elementi mogu se definirati u smislu nuklearnog naboja Zja(podsjetimo se da je za ugljik Z = 6):

(6)

Nedijagonalni elementi određeni su zbrajanjem preko bridova, a svaki brid povezuje atome s nabojem Zjai Zj, težina je dodijeljena

(7)

gdje je b jednak redu veza između atoma (1 za jednostruku vezu, 2 za dvostruku vezu, 3 za trostruku vezu). Za obične jednostruke veze ugljik-ugljik, k = 1. Usporedite propanske Wienerove indekse C 3 H 8 i tri tvari slične po sastavu koje sadrže kisik: propilni alkohol C 3 H 8 O, njegov izomerni izopropil alkohol C 3 H 8 O i aceton C 3 H 6 Oh

Da bismo to učinili, izračunavamo matrice udaljenosti prema navedenim pravilima. Na molekularnim grafovima označavamo sve atome osim atoma vodika 1) Propan

2) U molekuli propilnog alkohola, kisik je vezan na krajnji atom ugljika:

Za jednostruku C–O vezu, faktor težine je 36/(68) = 0,75. Dijagonalni element matrice koji odgovara kisiku:

d 44 = 1 – 6/8 = 0.25.

Za molekule koje sadrže heteroatome, Wienerov indeks prestaje biti cijeli broj. 3) U molekuli izopropilnog alkohola, kisik je vezan na srednji atom ugljika:

4) U acetonu je redoslijed povezivanja atoma isti kao u izopropilnom alkoholu, ali je veza između ugljika i kisika dvostruka:

Za C=O dvostruku vezu, faktor težine je 36/(268) = 0,375

Kao što se može vidjeti, dodavanje heteroatoma u strukturu alkana dovodi do povećanja Wienerova indeksa zbog povećanja veličine matrice udaljenosti. Dodavanje višestrukih veza i povećanje stupnja grananja molekule smanjuje ovaj indeks. Ova pravila vrijede i za složenije molekule. U početku su topološki indeksi razvijeni samo u svrhu predviđanja fizikalno-kemijskih svojstava tvari. Međutim, kasnije su se počeli koristiti za rješavanje drugih problema. Razmotrimo neke od njih. Jedna od primjena topoloških indeksa vezana je za klasifikaciju organskih spojeva i stvaranje organskih baza podataka. Problem je pronaći takav indeks koji jedan na jedan karakterizira kemijsku strukturu i iz kojeg se ta struktura može obnoviti. Traženi indeks mora imati dobru diskriminirajuću sposobnost, odnosno razlikovati među sobom čak i molekule bliske strukture. Ovaj zadatak je zastrašujući, budući da je već poznato više od 20 milijuna organskih struktura. Njegovo će se rješenje, po svemu sudeći, pronaći korištenjem kompozitnih topoloških indeksa.

Predgovor urednika prijevoda
Predgovor ruskom izdanju
Predgovor
TOPOLOGIJA SKUPA KONAČNIH TOČAKA I MOLEKULARNA STRUKTURA. R. Merrifield, X. Simmons
1. Uvod
2. Konačna topologija
2.1. Topološki graf
2.2. Kvalitativne karakteristike topologije grafa
2.3. Kvantitativne karakteristike topologije grafa: kombinatorika
3. Topologija alternativnih molekula
3.1. Složenost strukture
3.2. Povezivost i delokalizacija
4. Topologija nealternantnih molekula
4.1. Broj Duplex
4.2. duplex topologija
Književnost
STEREOKEMIJSKA TOPOLOGIJA. D. Volba
1. Uvod
2. Pristup sintezi topoloških stereoizomera temeljen na Möbiusovim trakama
2.1. Potpuna sinteza prve molekularne Möbiusove trake
3. Kriteriji za topološku stereoizomeriju
3.1. Topološka kiralnost
3.2. Topološka dijastereoizomerija
4. Reakcija rezanja i pristupi sintezi molekularnog trifoliatnog čvora
4.1. Puknuće stepenica Möbiusovih ljestava
4.2. Molekularni trolistni čvor
Književnost
KVALITATIVNA STEREOKEMIJA J. Dugundji
1. Uvod
2. Permutacijski izomeri
3. Grupa kemijskog identiteta
Književnost
TEORIJA MOLEKULARNE STRUKTURE. R. Bader
1. Pregled teorije
2. Neke aplikacije
Književnost
ALGEBARSKA I TOPOLOŠKA STRUKTURA KVANTNE KEMIJE, KEMIJSKA KINETIKA I VIZUALNA PRAVILA KOJA OMOGUĆUJU KVALITATIVNA PREDVIĐANJA ZA KEMIJSKU PRAKSU. O. Sinanoglu
1. Uvod
2. Mikrokemija ili kvalitativna kvantnokemijska pravila izvedena izravno iz strukturnih formula ili ORTEP dijagrama
2.1. Polje vektorskog prostora valencija Vn(R), koje postoji u euklidskom trodimenzionalnom prostoru (?)
2.2. Princip linearne kovarijance u kvantnoj kemiji
2.3. Neunitarna klasifikacija molekula
2.4. Od strukturnih formula molekula do detaljnijih strukturno-elektroničkih formula (i do grafikona)
2.5. "Strukturna i deformacijska kovarijanca" molekula i grafička pravila za dobivanje kvalitativnih kvantnokemijskih rezultata
3. Morfologija reakcijskih mehanizama, putovi sinteze i topološka "pravila koraka/spoja"
4. Značajke dobivanja kvantnih kvalitativnih karakteristika svakog reakcijskog stupnja reakcijskog mehanizma ili putanje
Književnost
REAKCIJSKA TOPOLOGIJA: TEORIJA RAZVODNIKA POTENCIJALNIH POVRŠINA I KVANTNO-KEMIJSKI DIZAJN SINTEZE. P. Mezhey
1. Uvod
2. Topološke mnogoznačnike, diferencijabilne mnogoznačnike i reakcijsku topologiju
3. Omjeri kritičnih točaka; grafovi presjeka u topološkom prostoru (M, Tc) i sheme kvantnih kemijskih reakcija
4. Računalni aspekti
5. Degenerirane kritične točke i kemijske strukture koje ne odgovaraju pravim PES minimumima
6. Zaključci
Književnost
TOPOLOGIJA VEZANJA U POLIEDARSKIM MOLEKULAMA. R. Kralj
1. Uvod
2. Osnova pojma
3. Vertex atomi
4. Poliedarski sustavi s lokaliziranim vezanjem
5. Sustavi s potpuno delokaliziranim vezanjem
6. Elektron-redundantni poliedarski sustavi
7. Poliedarski sustavi s nedostatkom elektrona
8. Anomalni vrhovi
9. Poliedri
10. Zaključci
Književnost
OBLICI SKUPINA ELEMENATA GLAVNIH PODSKUPINA: TOPOLOŠKI PRISTUP BROJANJU KOSTURA ELEKTRONA. M. McGlinchy, Y. Tal
1. Uvod
2. Grozdovi s potpuno delokaliziranim vezanjem
3. Grozdovi s veznom lokalizacijom na rubovima
3.1. Klasteri od šest atoma
3.2. Semiatomski klasteri
3.3. Klasteri od osam atoma
4. Kvantno-topološka utemeljenost poliedarskog modela
5. Zaključci
Književnost
TOPOLOŠKA SVOJSTVA BINARNIH SPOJEVA SUMPORA S DUŠIKOM. A. Turner
1. Uvod
2. Prototip molekule - tetrasumpor tetranitrid
3. Planarne cikličke molekule i ioni SnNm
4. Neplanarni sustavi - ekvivalentnost centara raspodjele naboja
5. Primjena teorije funkcionala elektronske gustoće
Književnost
TREBATE LI SE BAVITI IZRADI TOPOLOŠKIH INDEKSA? D. Rouvray
1. Uvod
2. Wienerov indeks
3. Izrada indeksa
4. Indeksi matrice udaljenosti
5. Indeksi matrice susjedstva
6. Centrični topološki indeksi
7. Informacijsko-teorijski indeksi
8. Kompozitni topološki indeksi
9. Neke matematičke relacije
10. Oblik i veličina molekula
11. Glavne primjene indeksa
12. Bibliografska klasifikacija spojeva
13. Određivanje fizikalno-kemijskih parametara
14. Razvoj farmaceutskih lijekova
15. Zaključci
Književnost
TOPOLOŠKI INDEKSI TEMELJENI NA OKOLNOJ SIMETRIJI: KEMIJSKE I BIOKEMIJSKE PRIMJENE. V. Magnuson, D. Harris, S. Beisak
1. Uvod
2. Informacijski sadržaj grafa
2.1. Definicije
2.2. Osnovne odredbe
2.3. Relacija ekvivalencije
2.4. Izračunavanje ostalih topoloških indeksa
3. Izračun indeksa
4. Primjene u kvantitativnim studijama korelacije strukture aktivnosti (QKSA).
4.1. Topljivost alkohola
4.2. Inhibicija mikrosomalne para-hidroksilacije anilina alkoholima
4.3. Toksičnost (LD50) barbiturata
Književnost
UREĐIVANJE GRAFOVA KAO PRISTUP PROUČAVANJU KORELACIJA STRUKTURA-AKTIVNOST. M. Randić, J. Kraus, B. Džonova-Jerman-Blazić
1. Uvod
2. Temeljni principi metode
3. Primjena na tvari s antimalarijskim djelovanjem
3.1. Izgradnja niza sklopova
3.2. Usporedba A-M molekula
4. Rasprava
Književnost
MATEMATIČKI MODEL MOLEKULARNE SLOŽENOSTI. S. Bertz
1. Traženje
2. Razvoj modela
2.1. Teorija grafova i molekularna topologija
2.2. Teorija informacija i molekularna simetrija
3. Validacija modela
3.1. Ograničenja modela
4. Pouzdanost modela
5. Zaključci
Književnost
MATRICA UDALJENOSTI ZA MOLEKULE KOJE SADRŽE HETERO-ATOME. M. Barish, J. Yashari, R. Lall, V. Srivastava, I. Trinaistich
1. Uvod
2. Odnos između matrice susjedstva i matrice udaljenosti
3. Matrica udaljenosti za heterosustave
Književnost
KANONIČKO NUMERACIJA I SUSTAV LINEARNE NOTACIJE KEMIJSKIH GRAFOVA. W. Herndon
1. Uvod
2. Kanonsko numeriranje
3. Jednovrijedna linearna notacija
4. Kanonsko nabrajanje regularnih grafova
5. Zaključci
Književnost
SIMETRIJA I SPEKTRI GRAFOVA. NJIHOVA PRIMJENA U KEMIJI. K. Balasubramanian
1. Uvod
2. Orezivanje stabala
3. Obrezivanje stabala i skupine simetrije stabala
4. Spektralni polinomi stabala dobiveni postupkom trimanja
5. Primjene u kemiji
Književnost
GRUPE AUTOMORFIZMA NEKIH KEMIJSKIH GRAFOVA. G. Jones, E. Lloyd
1. Uvod
2. Neki grafovi i njihove grupe
3. Reakcijski grafikoni
3.1. Primjer 1: Berry mehanizam
3.2. Primjer 2: 1,2 pomaka karbonijevih iona
3.3. Primjer 3: 1,2-pomaci u homotetraedranilnim kationima
3.4. Primjer 4: Digonalni zavoji u oktaedarskim kompleksima
3.5. Primjer 5: 1,3-pomaci u homotetraedranilnim kationima
4. Suborbitalni grafovi
5. Zaključci
Književnost
PROBLEM OBNOVE. W. Tutt
UPORABA RIEMANNOVIH POVRŠINA U TEORIJSKOJ REPREZENTACIJI GRAFOVA MÖBIUSOVIH SUSTAVA. A. Day, R. Mallion, M. Rigby
1. Uvod
2. Formalizam metode
3. Primjena
4. Zaključci
Književnost
GLOBALNA DINAMIKA NEKIH KLASA REAKCIJSKIH SUSTAVA. X. Mjerenje
1. Uvod
2. Teorijska formulacija grafova
2.1. Struktura upravljačkih jednadžbi
2.2. Neki pojmovi teorije grafova
2.3. Invarijante reakcije
2.4. Postojanje stacionarnih stanja
3. Mreže vođene vrhovima
3.1. Konstantni ulazni tokovi
3.2. Periodični ulazni tokovi
4. Zaključci
Književnost
"LOGIČKI OPIS" U USPOREDBI S "KONTINUIRANIM OPISOM" SUSTAVA KOJI SADRŽE POVRATNE PETLJE: ODNOS IZMEĐU VREMENSKIH KAŠNJENJA I PARAMETARA. R. Thomas
1. Uvod
2. Logički opis sustava koji sadrže povratne sprege
2.1. Odgode "uključeno" i "isključeno"
2.2. Logičke jednadžbe
2.3. Državni stolovi
2.4. Lanci (nizovi stanja)
2.5. Analiza stabilnosti
3. Kontinuirano opisivanje
3.1. Logička vremenska kašnjenja i kontinuirani parametri
Književnost
KVALITATIVNA DINAMIKA I STABILNOST KEMIJSKIH REAKCIJSKIH SUSTAVA. B. Clark
1. Uvod
2. Postavljanje kemijskog sustava
3. Vremenske skale - uklanjanje tvari koje reagiraju prebrzo i presporo
4. Teorija kemijskih mreža
5. Dinamika sustava
6. Mnogostrukost stacionarnih stanja
7. Jednostavni teoremi za analizu mreže
8. Dublja rasprava o stacionarnim stanjima i njihovom postojanju
9. Ispravnost
10. Jedinstvenost
11. Globalna privlačnost
12. Mreže u kojima mnogostrukost nije pravilna, jednoznačna i globalno atraktivna
13. Topologija i stabilnost mreže
14. Zaključna razmatranja
15. Primjena
15.1. Univerzalne funkcije
15.2. Funkcije za simboličku obradu i izračun strujne matrice
15.3. Funkcije za provjeru teorema i srodne funkcije
15.4. Individualne funkcije
Književnost
NAJVEĆI KAOS U JEDNOSTAVNIM REAKCIJSKIM SUSTAVIMA. O. Ressler, J. Hudson
1. Uvod
2. Metoda generiranja običnog kaosa
3. Metoda generiranja višeg kaosa
4. Rasprava
Književnost
ČUDNI ATRAKTORI U LINEARNIM PERIODIČKIM PRIJENOSNIM FUNKCIJAMA S PERIODIČKIM POREMEĆAJIMA. X. Degn
1. Uvod
2. Rezultati
Književnost
PRIMJENA ANALIZE OSJETLJIVOSTI U ODREĐIVANJU STRUKTURNE STABILNOSTI VIŠEPARAMETARSKIH OSCILATORA. R. Kasnije
1. Uvod
2. Metoda
2.1. Standardna teorija
2.2. Modificirana teorija
3. Rezultati
3.1. Početni uvjeti
3.2. Konstante brzine
3.3. Teže situacije
Književnost
PREDSTAVLJANJE n-DIMENZIONALNIH KEMIJSKIH RAZVODNIKA POMOĆU ELEKTRIČNIH MREŽA. L. Pusener
1. Uvod: topološka i geometrijska analiza kemijskih procesa
2. Osnovna geometrijska svojstva n-dimenzionalnih metričkih mnogoznačnika
3. Reprezentacija kao mreža
4. Primjer za dvodimenzionalni sustav
5. Optimalne staze
6. Primjer korištenja kemijske mreže za linearne prijelaze između više stanja
7. Varijacijske mreže
Primjena: analiza mreže
Književnost
LOGIKA KEMIJSKIH IDEJA. P. Plyat, E. Hass
1. Uvod
2. Topologija pericikličkih reakcija
3. Rešetke pericikličkih reakcija
4. Ortomodularne i Booleove reaktivne četverodimenzionalne rešetke
5. Zaključci
Književnost
VIŠEDIMENZIONALNI X-MODEL. TEORIJA GRAFOVA I ALGEBARSKI PRISTUP OPISU MEHANIZAMA SLOŽENIH KEMIJSKIH REAKCIJA. E. Hass, P. Plyat
1. Uvod
2. Jednoparametarski X-model
3. Multivarijatni X-model
3.1. Reakcijski putovi za -cikloadicije
4. Zaključci
Književnost
KLASIFIKACIJA MEHANIZAMA KEMIJSKIH REAKCIJA S GEOMETRIJSKOG GLEDIŠTA. P. Prodavači
1. Uvod
2. Milnerov primjer
3. Mehanizmi bez ciklusa
4. Ostali mehanizmi
5. Višestruke ukupne reakcije
6. Zaključci
Književnost
GRAFIKONI, MODELI POLIMERA, ISKLJUČENI VOLUMEN I KEMIJSKA STVARNOST. D. Klein, W. Seitz
1. Uvod
2. Izolirani linearni krugovi
3. Brojanje izomera
4. Konformacije razgranatih polimera
5. Teorija skaliranja
6. Prijenosne matrice
7. Samosličnost i renormalizacija
8. Rasprava
Književnost
FUNKCIJA VOLUMENA ZA VODU NA TEMELJU NASLUČAJNOG REŠETKASTOG PODGRAFSKOG MODELA. L. Quintas
1. Uvod i prethodne matematičke napomene
2. Model slučajnih grafova za vodu
3. Funkcija volumena za vodu
4. Podudarnost V(p) s numeričkim podacima
5. Zaključna razmatranja
Književnost
TOPOLOŠKI ASPEKTI PREPOZNAVANJA ENZIMA-SUPSTRATA. S. Swaminathan
1. Problem prepoznavanja enzim-supstrat
2. Edelstein-Rosenov model
3. Metoda fenomenološkog računa
4. Hilbertov prostor opisa
5. Postulati za dinamiku složenih sustava
6. Model prepoznavanja enzim-supstrat
7. Zaključna razmatranja
Književnost
DINAMIKA STVARANJA SEKUNDARNE STRUKTURE RNK. X. Martinets
1. Uvod
2. Metode minimizacije energije
3. Metoda modeliranja
4. Zaključci
Književnost
LISP PROGRAM ZA FUNKCIONALNO-FRAGMENTNO PRIKAZIVANJE MOLEKULA I NJIHOVE GEOMETRIJE. K. Trindle, R. Givan
1. Uvod
2. Lisp je nenumerički programski jezik
3. Predstavljanje molekula pomoću jezika Lisp
4. Neformalni algoritam za prepoznavanje fragmenata
5. Neki posebni problemi
6. Izrada matrice udaljenosti korištenjem baze podataka fragmenata
7. Faktorska analiza i Crippenov algoritam za određivanje geometrije kroz udaljenosti
8. Zaključci i perspektive
Književnost
Indeks predmeta

Specijalnost HAC RF02.00.03
Broj stranica 410

Naslov disertacije Doktor kemije Vonchev, Danail Georgiev

Prije pola stoljeća Paul Dirac iznio je mišljenje da je u načelu sva kemija sadržana u zakonima kvantne mehanike, no u stvarnosti se u praktičnim proračunima javljaju nepremostive matematičke poteškoće. Elektronička računalna tehnologija pomogla je smanjiti udaljenost između mogućnosti i implementacije kvantno mehaničkog pristupa. Ipak, izračuni molekula s velikim brojem elektrona su složeni i nedovoljno precizni, pa se za sada samo nekoliko molekularnih svojstava može izračunati na ovaj način. S druge strane, u organskoj kemiji postoje važni strukturni problemi koji nisu do kraja riješeni, a prije svega to je problem odnosa strukture i svojstava molekula. U teorijskoj kemiji postavlja se pitanje kvantificiranja osnovnih strukturnih karakteristika molekula - njihove razgranatosti i cikličnosti. Ovo je pitanje bitno jer se kvantitativna analiza općih zakonitosti u strukturi razgranatih i cikličkih molekula u velikoj mjeri može prenijeti i na njihova druga svojstva. Na taj bi način bilo moguće predvidjeti poredak skupine izomernih spojeva prema vrijednostima takvih svojstava kao što su stabilnost, reaktivnost, spektralna i termodinamička svojstva itd. To bi moglo olakšati predviđanje svojstava još nesintetiziranih spojeva. klase spojeva i potraga za strukturama "s unaprijed određenim svojstvima. Unatoč značajnim naporima još uvijek su otvorena i pitanja racionalnog kodiranja kemijskih informacija u svrhu njihove učinkovite pohrane i korištenja računalima. Optimalno rješenje ovog pitanja imalo bi utjecaj na poboljšanju klasifikacije i nomenklature i organskih spojeva i mehanizama kemijskih reakcija. Prije teorije Periodnog sustava 4 kemijskih elemenata također se postavlja pitanje holističkog i kvantitativnog tumačenja periodičnosti svojstava kemijskih elemenata na temelju na veličine koje bolje odražavaju elektroničku strukturu nego redni broj elementa.

Zbog toga je tijekom posljednjih desetljeća potaknut razvoj novih teorijskih metoda u kemiji, objedinjenih pod nazivom matematička kemija. Glavno mjesto u njemu zauzimaju topološke metode, koje odražavaju najopćenitija strukturna i geometrijska svojstva molekula. Jedna od grana topologije, teorija grafova, nudi kemičaru prikladan matematički jezik za opisivanje molekule, budući da su strukturne formule u biti kemijski grafovi. Prednosti koje nudi teorija grafova u kemijskim istraživanjima temelje se na mogućnosti izravne primjene njezinog matematičkog aparata bez uporabe računala, što je važno za eksperimentalne kemičare. Teorija grafova omogućuje jednostavno pronicanje u strukturne karakteristike molekula. Dobiveni rezultati su opći i mogu se formulirati kao teoremi ili pravila te se stoga mogu primijeniti na sve slične kemijske (i nekemijske) objekte.

Nakon objavljivanja temeljnih radova Shannona i Wienera iz teorije informacija i kibernetike, interes za informacijsko-teorijske metode istraživanja također je u stalnom porastu. Izvorno značenje pojma "informacije" povezuje se s informacijama, porukama i njihovim prijenosom. Ovaj koncept brzo je napustio okvire teorije komunikacije i kibernetike i prodro u razne znanosti o živoj i neživoj prirodi, društvu i spoznaji. Proces razvoja informacijsko-teorijskog pristupa u znanosti složeniji je od formalnog prijenosa kibernetičke kategorije informacija u druga područja znanja. Informacijski pristup nije samo prijevod s manje uobičajenih jezika na metajezik. Nudi drugačiji pogled na sustave i pojave i omogućuje dobivanje novih rezultata. Proširujući veze između, dakle, različitih znanstvenih disciplina, ova metoda omogućuje pronalaženje korisnih analogija i zajedničkih obrazaca između niša. Razvijajući se, moderna znanost teži sve većem stupnju generalizacije, jedinstvu. U tom smislu, teorija informacija jedno je od područja koje najviše obećava.

Važno mjesto u tom procesu zauzima primjena teorije informacija u kemiji i drugim prirodnim znanostima - fizici, biologiji i dr. U tim znanostima metode teorije informacija koriste se u proučavanju i opisivanju onih svojstava objekata i procesa. koji su povezani sa strukturom, uređenošću, organizacijskim sustavima „Korisnost informacijskog pristupa u kemiji prvenstveno je u tome što se nude nove mogućnosti kvantitativne analize različitih aspekata kemijskih struktura – atoma, molekula, kristala itd. slučajevima, koncepti "strukturne" informacije i "informacijskog sadržaja" atoma i molekula.

U vezi s navedenim, glavni cilj disertacije je pokazati plodotvornost graf-teorijskog i informacijsko-teorijskog pristupa strukturnim problemima u c. kemije, od atoma i molekula do polimera i kristala, postizanje ovog cilja uključuje, kao zasebne korake:

1. Definicija sustava veličina (informacijski i topološki indeksi; za kvantitativnu karakterizaciju atoma, molekula, polimera i kristala.

2. Razvoj na ovoj osnovi novog, općenitijeg pristupa pitanju korelacije između njihovih svojstava, geometrijske i elektronske strukture. Predviđanje svojstava nekih organskih spojeva, polimera i nesintetiziranih transaktinidnih nMx elemenata.

Izrada metoda za modeliranje rasta kristala i kristalnih praznina.

3. Generalizirana topološka karakterizacija molekula izražavanjem suštine njihovog grananja i cikličnosti u nizu matematički dokazanih strukturnih pravila, te proučavanje preslikavanja tih pravila različitim molekulskim svojstvima.

4. Stvaranje novih, učinkovitih metoda kodiranja kemijskih spojeva i mehanizama kemijskih reakcija u vezi s poboljšanjem njihove klasifikacije i nomenklature, a posebno u vezi s uporabom računala za obradu kemijskih informacija.

POGLAVLJE 2. METODA ISTRAŽIVANJA 2L. TEOREGIJSKO-INSTRUKCIJSKA METODA 2.1.1 "Uvod

Informacija je jedan od najtemeljnijih pojmova u modernoj znanosti, pojam koji nije ništa manje općenit od pojmova materije i energije. Ovo gledište nalazi opravdanje u samim definicijama informacije. Prema Wieneru, "informacija nije ni materija ni energija".

Ashby gleda na informacije kao na "mjeru raznolikosti u danom sustavu". Prema Gluškovu, "informacija je mjera nehomogenosti u raspodjeli prostora i vremena". Na temelju toga danas se sve više uviđa činjenica da objekti i pojave u prirodi i tehnici osim materijalne i energetske prirode imaju i informacijska svojstva. Neke prognoze idu i dalje, predviđajući da će se fokus znanstvenih istraživanja sve više pomicati prema informacijskoj prirodi procesa, koji će biti glavni predmet istraživanja u 21. stoljeću. Te se prognoze u biti temelje na mogućnosti optimalnog upravljanja sustavima i procesima putem informacija, što, zapravo? je glavna funkcija informacije u kibernetici. Ove ideje u budućnosti mogu dovesti do stvaranja tehnologija u kojima će svaki atom i molekula biti kontrolirani informacijama, što je mogućnost koja je do sada našla ostvarenje samo u živoj prirodi.

Pojava teorije informacija obično se odnosi na 1948. godinu, kada je Claude Shannon objavio svoje temeljno djelo. Ideja informacije, međutim, kao veličine povezane s entropijom, mnogo je starija. Još 1894. godine Boltzmann je utvrdio da je svaka informacija dobivena o danom sustavu povezana sa smanjenjem broja njegovih mogućih stanja i, prema tome, povećanje entropije znači "gubitak informacija". Godine 1929

Szilard je razvio ovu ideju za opći slučaj informacija u fizici. njezin CP

Kasnije je Vrilluin "generalizirao ideju odnosa između entropije i informacije u svom negentropijskom principu u obliku koji također pokriva informacijsku stranu fenomena. Pitanja o povezanosti teorije informacija i termodinamike, a posebno o odnosu entropije i informacije, još uvijek su predmet velike pozornosti (detaljan popis publikacija iz ovog područja dat je u pregledu 58). Od najnovijeg razvoja problematike posebno treba istaknuti Kobozevljev rad o termodinamici mišljenja, u kojem se potkrepljuje teza o antientropijskoj prirodi misaonih procesa.

Teorija informacije koja je nastala kao "posebna teorija komunikacije" brzo je prerasla svoje izvorne okvire i pronašla primjenu u raznim područjima znanosti i tehnologije: u kemiji, biologiji, medicini, lingvistici, psihologiji, estetici itd. Uloga informacije u priznata je prije svega biologija. Jeste li riješili važna pitanja u vezi s pohranjivanjem, obradom i prijenosom informacija u živim organizmima, uključujući kodiranje genetskih informacija 60-7? procjena mogućnosti spontanog spontanog nastanka života na Zemlji^, formuliranje temeljnih zakona biološke termodinamike^, analiza bioenergetskih pitanja itd. Informacijski sadržaj objekata korišten je kao kvantitativni kriterij

A A A evolucija ". Postavljeno je pitanje informacijske prirode procesa prehrane ^®^^.

Teorija informacija još uvijek polako prodire u kemiju i fiziku, iako je u tom području posljednjih godina došlo do određenog pomaka, pa se postavlja pitanje mogućeg postojanja informacijske ravnoteže kemijskih reakcija. Procijenjena je informacijska sposobnost bioorganskih molekula te je na temelju toga predložena nova klasifikacija ovih spojeva, a ocijenjena je i specifičnost kemijskih reakcija.

Levin, Bernstein i drugi primijenili su informacijsku teoriju na molekularnu dinamiku kako bi opisali ponašanje molekularnih sustava koji su daleko od ravnoteže. Bit ovog pristupa je koncept "iznenađenja", odstupanja od očekivanog na temelju mikrokanonske distribucije. Predložene su različite primjene, uključujući proučavanje performansi lasera, određivanje omjera grananja konkurentskih reakcijskih staza (uz pretpostavku da je staza koja odgovara maksimumu Shannonove funkcije najvjerojatnija), i tako dalje.

Dodel i dr. predložili su distribuciju prostora koji zauzima molekularni sustav u niz međusobno isključivih podprostora koji se nazivaju lože. Najbolje lože koje sadrže lokalizirane skupine elektrona pronalaze se minimiziranjem informacijske funkcije. Sears i dr. pronašli su vezu između kvantno mehaničkih kinetičkih energija i informacijskih veličina. Kao posljedica ovog rezultata, varijacijski princip kvantne mehanike može se formulirati kao princip minimalne informacije. op os

Kobozev i dr. povezuju selektivnost i aktivnost katalizatora s njihovim informacijskim sadržajem. Također su formulirali optimalne informacijske uvjete za karakterizaciju i predviđanje katalitičkih svojstava. Formiranje i rast krisa

jao rp oo visoki su smatrani informacijskim procesom”. Rakov je podvrgao informacijskoj analizi tretiranje površina katalizatora različitim kemijskim sredstvima.

U modernoj analitičkoj kemiji postoji sve veći trend prema optimalnom eksperimentiranju kako bi se dobio maksimum informacija iz minimalnog broja eksperimenata.

Ove nove ideje temelje se na teoriji informacija, teoriji igara i teoriji sustava. Drugi su autori primijenili informacijsku teoriju kako bi minimizirali pogrešku analize i vrijeme, kako bi postigli veću selektivnost, kako bi ocijenili učinkovitost analitičkih metoda i tako dalje. Istraživanja ove vrste također uključuju fizikalne metode u analitičkoj kemiji, uključujući plinsku kromatografiju, spektralnu analizu atomske emisije itd.

Informacijsko-teorijske metode također su se pokazale korisnima u geokemiji za karakterizaciju distribucije frekvencija kemijskih spojeva u geokemijskim sustavima,170 za procjenu stupnja složenosti i za klasifikaciju tih sustava.

U inženjerskoj kemiji informacijska analiza može se koristiti za rješavanje takvih problema kemijsko-tehnoloških sustava kao što su izbor optimalnih radnih uvjeta, uspostavljanje zahtjeva upravljanja itd.101.

Primjeri uspješne primjene teorije informacija u kemiji još jednom pokazuju da sustavi u prirodi i tehnologiji imaju i informacijsku prirodu. Također pokazuje da informacijski pristup djeluje kao univerzalni jezik za opisivanje sustava, a posebno kemijskih struktura bilo koje vrste, kojima se pridružuje određena informacijska funkcija i numerička mjera. Proširuje se. polje mogućih primjena teorije informacija u kemiji.

Korisnost informacijskog pristupa u kemiji prvenstveno je u tome što nudi mogućnost kvantitativne analize različitih aspekata kemijskih struktura. Stupanj složenosti ovih struktura, njihova organizacija i specifičnosti mogu se usporediti na jednoj kvantitativnoj ljestvici. To omogućuje proučavanje nekih od najopćenitijih svojstava kemijskih struktura, poput njihove grananja i cikličnosti, istraživanje i usporedbu stupnja organizacije u različitim klasama kemijskih spojeva, specifičnosti biološki aktivnih tvari i katalizatora, te omogućuje pristupiti pitanju stupnja sličnosti i razlike između dva kemijska objekta.

Informacijski pristup vrlo je pogodan za rješavanje osobnih problema klasifikacije. U tim je slučajevima moguće izvesti opće informacijske jednadžbe za glavne skupine objekata klasifikacije (skupine i razdoblja u periodnom sustavu kemijskih elemenata, homologne serije kemijskih spojeva, serije izomernih spojeva itd.) *

Velika sposobnost razlikovanja informacijskih metoda s obzirom na složene strukture (izomeri, izotopi, itd.) može se koristiti u kompjuteriziranoj obradi i pohranjivanju kemijskih informacija. Ove metode su korisne ne samo pri izboru između različitih struktura, već i između alternativnih hipoteza i aproksimacija, što je od interesa za kvantnu kemiju. Mogućnosti postavljanja novih hipoteza temeljenih na teoriji informacija ipak su ograničenije, jer ova teorija opisuje odnos između varijabli, ali ne opisuje ponašanje niti jedne od njih.

Problem. Odnos koji postoji između strukture i svojstava još je jedno područje uspješne primjene pristupa teorije informacija u kemiji. Učinkovitost ovog pristupa bit će prikazana u disertaciji za kvalitativno različite strukturne razine u kemiji - elektronske ljuske atoma, molekula, polimera, kristala pa čak i atomskih jezgri^»^. Može se implementirati u kvalitativnom i kvantitativnom pogledu. U prvom slučaju, na temelju informacija mogu se definirati različita strukturna pravila koja odražavaju međusobni utjecaj dvaju ili više strukturnih čimbenika. Također je moguće dobiti kvantitativne korelacije između informacijskih indeksa i svojstava?®. Istodobno, u načelu, informacijski indeksi pružaju bolju korelaciju u usporedbi s drugim indeksima, budući da potpunije odražavaju značajke kemijskih struktura. Uspješne korelacije moguće su ne samo s veličinama koje su izravno povezane s entropijom, već i s veličinama kao što je energija vezanja, čiji je odnos s informacijama daleko od očitog. Ovdje su uključena svojstva kao zasebne molekule ili atoma, ali i njihovi veliki agregati, tj. svojstva koja ovise o međudjelovanju između molekula i atoma, a ne samo o njihovoj unutarnjoj strukturi. Osim toga, procesi u kemiji također mogu biti predmet analize informacija na temelju promjena indeksa informacija tijekom interakcija.

Također treba imati na umu neka ograničenja informacijskog pristupa. Iako su .tona, kvantitativne mjere informacija su relativne, a ne apsolutne. One su također statističke karakteristike i odnose se na agregate, ali ne i na njihove pojedinačne elemente. Informacijski indeksi mogu se definirati za različita svojstva atoma i molekula, ali je odnos među njima često složen i implicitan.

S druge strane, postojanje više indeksa informacija za jednu strukturu može izazvati pomiješane osjećaje. Međutim, treba imati na umu da je svaki od ovih indeksa legalan. Ovdje je pravo pitanje koje su od ovih količina korisne i u kojoj mjeri.

U ovom poglavlju po prvi put se uvode informacijsko-teorijski pokazatelji:, / koji karakteriziraju elektroničku strukturu atoma, kao i novi informacijski pokazatelji o simetriji, topologiji i elektronskoj strukturi molekula. Primjena ovih strukturnih karakteristika raspravlja se u poglavlju III, odjeljci IV.2 i V 1.

2.1.2. Potrebne informacije iz teorije informacija

Teorija informacija nudi kvantitativne metode za proučavanje prikupljanja, pohrane, prijenosa, transformacije i korištenja informacija. Glavno mjesto u ovim metodama zauzima kvantitativno mjerenje informacija.Definicija pojma količine informacija zahtijeva odbacivanje raširenih, ali nejasnih ideja o informacijama kao agregatu, činjenicama, informacijama, znanju.

Koncept količine informacija usko je povezan s konceptom entropije kao mjere nesigurnosti. Godine 1923. Hartley je nesigurnost eksperimenta s n različitih ishoda okarakterizirao brojem ¿od n. U Shannonovoj statističkoj teoriji informacija, objavljenoj 1948., količina informacija definirana je kroz koncept vjerojatnosti. Poznato je da se ovaj koncept koristi za opisivanje situacije u kojoj postoji neizvjesnost povezana s izborom jednog ili više elemenata (ishoda) iz određenog skupa. Slijedeći Shannona, mjera nesigurnosti ishoda X/eksperimenta X s vjerojatnošću p(X¡) -¿Oy(X)) . Mjera prosječne nesigurnosti kompletnog eksperimenta X s Xt, X2, ♦ mogućim ishodima, s vjerojatnostima p(X4), p(X2), redom. chp(Xn), je količina

H(x) = - pcx,) Log p(Xi) cg>

U teoriji statističkih informacija H(X) se naziva entropija distribucije vjerojatnosti. Potonji, u slučaju /7 različitih ishoda, tvore konačnu probabilističku shemu, tj.

Pojam vjerojatnosti može se definirati na općenitiji način sa stajališta teorije skupova. Neka je konačan skup particija A u /T) klasu u kojoj su /\ disjunktni skupovi; nekom relacijom ekvivalencije X * Skup klasa ekvivalencije

R/X = (2.2; naziva se skup faktora R u X

Kolmogorovljeva funkcija vjerojatnosti (probabilistička korespondencija) p podložna je trima uvjetima:

Brojevni niz PfXf) , P(X2) , ., P(XGG)) naziva se distribucija particije A, a Shannonova funkcija H(X) iz jednadžbe (2.1) izražava entropiju particije X

Treba imati na umu da je pojam entropije u teoriji informacija općenitiji od termodinamičke entropije. Potonji, smatran mjerom nereda u atomsko-molekularnim gibanjima, poseban je slučaj općenitijeg koncepta entro-! FDI je mjera svakog poremećaja, nesigurnosti ili raznolikosti.

Količina informacije X izražava se vrijednošću odvojene nesigurnosti. Tada je prosječna entropija danog događaja s mnogo mogućih ishoda jednaka prosječnoj količini informacija potrebnih za odabir bilo kojeg događaja X iz skupa ^ ,X^,. i određuje se Shannonovom formulom (y-e 2.1):

I(x) = -K$Lp(x,-)logp(K) = Hw

Ovdje je K pozitivna konstanta koja određuje jedinice mjerenja informacija. Pod pretpostavkom K = 4, entropija (odnosno, informacija) se mjeri u decimalnim jedinicama. Najprikladniji mjerni sustav temelji se na binarnim jedinicama (bitovima). U ovom slučaju, K ~ W2 i logaritam wur-u(2.4) se uzima u bazi dva i \-! se kratko označava s t. Jedna binarna jedinica informacije (ili 1 bit) je količina informacije koja se dobije kada rezultat poznat je izbor između dvije jednako vjerojatne mogućnosti, au jedinicama entropije,¿ .dgasG\ faktor pretvorbe je Voltzmannova konstanta (1.38.10 yj.gra.d~podijeljeno s /a?Yu.

Dokazano je da izbor logaritamske funkcije za količinu informacija nije slučajan i da je to jedina funkcija koja zadovoljava uvjete aktivnosti i nenegativnosti informacije.

I pojedinačne i prosječne informacije uvijek su pozitivne. Ovo je svojstvo povezano s činjenicom da je vjerojatnost uvijek manja od jedan, a konstanta u jednadžbi (2.4) uvijek se uzima pozitivnom. E | & prsten ^ Y, dakle

13 p(x, -) = H(x, o c2.5) i ta nejednakost ostaje sačuvana i nakon usrednjavanja.

Prosječna količina informacija za određeni događaj (iskustvo) X doseže maksimum uz jednoliku raspodjelu vjerojatnosti p(X,) - p(X2) = . . .=p(Xn)* tj. za p(X)) za bilo koji P:

Za par slučajnih ovisnih događaja X i y, prosječna količina informacija također je izražena Shannonovom formulom:

1(xy> = - r(h, yj) № pix, yj) (2.7)

Jednadžba (2.7) može se generalizirati za bilo koji konačni skup, bez obzira na prirodu njegovih elemenata:

1(xy) = -Z Z. P(X,nYj) 16P(X-,nYj) (2.8) dva su skupa kvocijenata od P u odnosu na dvije različite relacije ekvivalencije x i y, a K/xy je faktor- skup odsječaka od X; i:

Zapisujući zajedničku vjerojatnost u jednadžbu (2.7) kao umnožak bezuvjetne i uvjetne vjerojatnosti p(x;, y^ = p(><¡)"P(Уj/x¡) , и представив логарифм в виде сумш»получается уравнение:

1(Xy) = 1(X) x - 1(y/X) (2.9) gdje je T(x/y) prosječna količina uvjetnih informacija sadržanih u y u odnosu na x, a daje se izrazom:

1(y/X) = -Y p(X, y1) 1B p(Y;/X-,) (2.10)

Definiranje funkcije:

1 (X, y.! = 1 (Y> - 1 (y / X) (2-Sh i zamjena u jednadžbi (2.9):

1(xy) - 1(X) + 1(y) -1(x, y) (2.12) postaje jasno da T(X, y) izražava odstupanje informacije o složenom događaju (X, y") od aditivnost informacija o pojedinim događajima (ishodima): x i y. Stoga je G (X, Y) mjera stupnja statističke ovisnosti (povezanosti) između X i y. odnos između x i y3 je simetričan.

U općem slučaju, za statistički odnos između x i y i prosječnu količinu bezuvjetnih informacija o X ili y, vrijede sljedeće nejednakosti:

Jednakost u snazi kada je drugi član u jednadžbi (2.11) jednak nuli, tj. kada svaki / odgovara I za koji je p(y. ¡X))=

Ako su veličine X i y neovisne, tj. ako je u jednadžbi (2.12) T (X, y) \u003d 0, tada

1(xy) =1(X)<2Л5>

Ova jednadžba izražava svojstvo aditivnosti količine informacija i generalizirana je za nezavisne slučajne varijable. padne na pamet:

1(xnx2,.,xn) = 11 1(x/) (2.16)

Poznati su i probabilistički pristupi kvantitativnom određivanju informacija. Ingarden i Urbanich predložili su aksiomatsku/sizvdelenie-Shein informaciju bez vjerojatnosti, u obliku funkcije konačnih Booleovih prstenova. Od velikog je interesa epsilon-entropija (kombinatorni pristup) koji je predložio Kolmogorov^^, a posebno algoritamsko određivanje količine informacija. Prema Kolmogorovu, količina informacija sadržana u jednom objektu (skupu) u odnosu na drugi objekt (set) smatra se "minimalnom duljinom" programa, napisanom kao niz nula i jedinica, i dopuštajući jedan-na-jedan transformacija; prvi objekt u drugom :: \u003d H (X / y) \u003d W "W I (R) (2-17)

Kolmogorovljev algoritamski pristup nudi nove

17 logičkih temelja teorije informacija temeljenih na konceptima složenosti i slijeda, takcha&Yn-koncepti "entropije" i "količine informacija" pokazali su se primjenjivima na pojedinačne objekte.

Nevjerojatne metode u informacijskoj teoriji proširuju sadržaj pojma količine informacija s količine smanjene nesigurnosti na količinu smanjene uniformnosti ili na količinu raznolikosti u skladu s Ashbyjevom interpretacijom. Bilo koji skup vjerojatnosti normaliziranih na jedinicu može se smatrati odgovarajućim određenom skupu elemenata koji posjeduju raznolikost. Raznolikost se shvaća kao karakteristika elemenata skupa, koja se sastoji u njihovoj različitosti, nepodudarnosti u odnosu na neki odnos ekvivalencije. Ovaj @ može biti skup "različitih elemenata, odnosa, odnosa, svojstava objekata. Najmanja jedinica informacije, malo, u ovom pristupu izražava minimalnu razliku, tj. razliku između dva objekta koji nisu identični, razlikuju se u nekim vlasništvo.

U tom su aspektu informacijsko-teorijske metode primjenjive na definiranje tzv. strukturna informacija je količina informacija sadržana u strukturi danog sustava. Struktura ovdje znači bilo koji konačni skup čiji su elementi raspoređeni po podskupovima (klasama ekvivalencije) ovisno o određenoj relaciji ekvivalencije.

Neka ova struktura sadrži A/ elemenata i oni su prema nekom kriteriju ekvivalentnosti raspoređeni u podskupove ekvivalentnih elemenata: . Ova distribucija odgovara konačnoj probabilističkoj shemi podskupa vjerojatnosti ^ pn p2> . . ?Rp elementi

2.18) gdje je ¿T - A/"u vjerojatnost da jedan (slučajno) odabrani element padne u / - onaj podskup za koji A/,-elementi. Entropija H distribucije vjerojatnosti elemenata ove strukture, određena jednadžbom (2.4), može se smatrati / kao mjera prosječne količine informacija, I, koja je sadržana u jednom elementu strukture: - p

1u P/ , bitovi po elementu (2.19)

Opći informacijski sadržaj strukture dan je jednadžbom derivacije (2.19):

1-M1-A//0/h-hnmm,<*.»>

U literaturi ne postoji konsenzus o tome kako imenovati veličine definirane s y-y (2.19) i (2.20). Neki ih autori radije nazivaju prosječnim, odnosno općeinformativnim sadržajem. Stoga, prema Moushowitzu, I nije mjera entropije u smislu u kojem se koristi u teoriji informacija, jer ne izražava prosječnu nesigurnost strukture koja se sastoji od /\/ elemenata u skupu svih mogućih struktura koje imaju isti: broj elemenata. I je prije informacijski sadržaj strukture koja se razmatra u odnosu na sustav transformacija koje ostavljaju sustav nepromjenjivim. Prema Remu iz jednadžbe (2.4) mjeri se količina informacija nakon eksperimenta, a prije njega H(x) je mjera entropije povezana s nesigurnošću eksperimenta. Po našem mišljenju, "eksperiment" koji smanjuje nesigurnost kemijskih struktura (atoma, molekula, itd.) sam je "proces formiranja tih struktura od njihovih nepovezanih elemenata. Informacija je ovdje u povezanom obliku, sadržana je u struktura, pa se stoga često koristi izraz "informacijski sadržaj" strukture.

Koncept strukturne informacije temeljen na danoj interpretaciji1 jednadžbi (2.19) i (2.20) dobro se slaže s Ashbyjevim idejama o količini informacija kao količini raznolikosti. Kada se sustav sastoji od istih elemenata, u njemu nema raznolikosti. U ovom slučaju, u y-s (2.19) i (2.20)/="/

Uz najveću raznolikost elemenata u strukturi, Λ £ = /, a informacijski sadržaj strukture je maksimalan:

4 "* -N16 u, T ^ ^ vi

2.1.3. Informacijsko-teorijski pokazatelji za karakterizaciju elektroničke strukture atoma kemijskih elemenata

Preporučeni popis disertacija u specijalnosti "Organska kemija", 02.00.03 VAK šifra

Asimptotski problemi teorije kombinatornog kodiranja i teorije informacija 2001, kandidat fizičkih i matematičkih znanosti Vilenkin, Pavel Alexandrovich2011, kandidat fizikalnih i matematičkih znanosti Shutkin, Yuri Sergeevich

Napominjemo da su gore predstavljeni znanstveni tekstovi objavljeni za pregled i dobiveni putem prepoznavanja originalnog teksta disertacije (OCR). S tim u vezi, mogu sadržavati pogreške povezane s nesavršenošću algoritama za prepoznavanje. U PDF datotekama disertacija i sažetaka koje isporučujemo nema takvih pogrešaka.

E. Babaev. Kandidat kemijskih znanosti.

Govoreći o matematizaciji znanosti, najčešće misle samo na čisto pragmatičnu upotrebu računalnih metoda, zaboravljajući prikladnu izjavu A. A. Lyubishcheva o matematici kao ne toliko sluškinji koliko kraljici svih znanosti. Razina matematizacije je ta koja dovodi ovu ili onu znanost u kategoriju egzaktnih ako pod tim ne mislimo na korištenje točnih kvantitativnih procjena, već na visoku razinu apstrakcije, slobodu da se operira s pojmovima povezanim s kategorijama ne- numerička matematika.
Među metodama takve kvalitativne matematike koje su našle učinkovitu primjenu u kemiji, glavna uloga pripada skupovima, grupama, algebrama, topološkim konstrukcijama i, prije svega, grafovima, najopćenitijoj metodi prikazivanja kemijskih struktura.

Uzmimo, na primjer, četiri točke proizvoljno smještene na ravnini ili u prostoru i spojimo ih s tri pravca. Bez obzira kako se te točke (nazivaju se vrhovi) nalaze i ma kako su međusobno povezane crticama (nazivamo se bridovima), dobit ćemo samo dvije moguće strukture grafa koje se međusobno razlikuju po međusobnom rasporedu veza: jedan graf , sličan slovima "P" ili "I", i još jedan graf koji izgleda kao slova "T", "E" ili "U". Ako umjesto četiri apstraktne točke uzmemo četiri atoma ugljika, a umjesto crtica kemijske veze između njih, tada će dva navedena grafa odgovarati dvama mogućim izomerima normalne i izostrukture butana.
Koji je razlog sve većeg zanimanja kemičara za teoriju grafova, ovaj bizaran, ali vrlo jednostavan jezik točkica i crtica?
Graf ima izvanrednu osobinu da ostaje nepromijenjen pod bilo kakvim deformacijama strukture koje nisu popraćene prekidom veza između njegovih elemenata. Struktura grafa može biti iskrivljena, potpuno ga lišavajući simetrije u uobičajenom smislu; ipak, graf će zadržati simetriju u topološkom smislu, određenu istovjetnošću, zamjenjivošću terminalnih vrhova. S obzirom na ovu skrivenu simetriju, može se, na primjer, predvidjeti broj različitih izomernih amina dobivenih iz struktura butana i izobutana zamjenom atoma ugljika s atomima dušika; Grafovi omogućuju korištenje jednostavnih fizičkih razmatranja za razumijevanje pravilnosti kao što je "svojstvo strukture".
Još jedna, pomalo neočekivana ideja da se strukturna svojstva grafova izraze brojevima (na primjer, stupanj njihovog grananja). Intuitivno osjećamo da je izobutan razgranatiji od normalnog butana; Kvantitativno se to može izraziti, recimo, činjenicom da se strukturni fragment propana ponavlja tri puta u molekuli izobutana, a samo dva puta u normalnom butanu. Ovaj strukturni broj (nazvan Wienerov topološki indeks) iznenađujuće dobro korelira sa karakteristikama zasićenih ugljikovodika kao što su vrelište ili toplina izgaranja. Nedavno se pojavila svojevrsna moda za izum raznih topoloških indeksa, već ih ima više od dvadeset; primamljiva jednostavnost čini ovu Pitagorinu metodu sve popularnijom * .
Upotreba teorije grafova u kemiji nije ograničena na strukturu molekula. Još je tridesetih godina A. A. Balandin, jedan od preteča moderne matematičke kemije, proglasio načelo izomorfne supstitucije, prema kojem isti graf nosi jedinstvenu informaciju o svojstvima najheterogenijih strukturiranih objekata; važno je samo jasno definirati koji se elementi biraju kao vrhovi i koji će odnosi između njih biti izraženi bridovima. Dakle, osim atoma i veza, faza i komponenti, izomera i reakcija, kao vrhovi i rubovi mogu se odabrati makromolekule i interakcije među njima. Može se primijetiti duboki topološki odnos između Gibbsovog faznog pravila, Horiuchijevog stehiometrijskog pravila i racionalne klasifikacije organskih spojeva prema njihovom stupnju nezasićenosti. Uz pomoć grafova uspješno se opisuju interakcije među elementarnim česticama, spajanje kristala, dioba stanica... U tom smislu teorija grafova služi kao vizualni, gotovo univerzalni jezik interdisciplinarne komunikacije.

Razvoj svake znanstvene ideje tradicionalno prolazi kroz faze: članak prikaz monografija udžbenik. Idejni cvat zvan matematička kemija već je prošao fazu recenzije, iako još nije dosegao status akademske discipline. Zbog raznolikosti pravaca, zbirke su danas glavni oblik publikacija na ovom području; nekoliko takvih zbirki objavljeno je 1987.-1988.
Prva zbirka koju je uredio R. King "Chemical Applications of Topology and Graph Theory" (M., "Mir", 1987.) sadrži prijevode izvješća međunarodnog simpozija na kojem su sudjelovali kemičari i matematičari iz različitih zemalja . Knjiga daje cjelovitu sliku šarene palete pristupa koji su se pojavili na sjecištu teorije grafova i kemije. Dotiče se vrlo širokog spektra pitanja, počevši od algebarske strukture kvantne kemije i stereokemije, čarobnih pravila elektroničkog brojanja, pa sve do strukture polimera i teorije otopina. Organske kemičare nedvojbeno će privući nova strategija za sintezu molekularnih čvorova kao što je trolist, eksperimentalna implementacija ideje Mobiusove molekularne trake. Posebno će biti zanimljivi pregledni članci o korištenju gore navedenih topoloških indeksa za procjenu i predviđanje najrazličitijih svojstava, sve do biološke aktivnosti molekula.
Prijevod ove knjige koristan je i utoliko što pitanja koja se u njoj postavljaju mogu pomoći u otklanjanju niza diskutabilnih problema na području metodologije kemijske znanosti. Tako je odbacivanje matematičke simbolike rezonancijskih formula od strane nekih kemičara u 50-ima zamijenjeno u 70-ima odbacivanjem samog koncepta kemijske strukture od strane pojedinih fizičara. U okviru matematičke kemije takve se proturječnosti mogu eliminirati, primjerice, uz pomoć kombinatorno-topološkog opisa klasičnih i kvantno-kemijskih sustava.
Iako radovi sovjetskih znanstvenika nisu predstavljeni u ovoj zbirci, zadovoljstvo je primijetiti povećani interes za probleme matematičke kemije u domaćoj znanosti. Primjer je prva radionica "Molekularni grafovi u kemijskim istraživanjima" (Odesa, 1987.), koja je okupila stotinjak stručnjaka iz cijele zemlje. U usporedbi sa inozemnim studijima, domaći radovi odlikuju se izraženijom primijenjenom prirodom, usmjerenošću na rješavanje problema računalne sinteze, stvaranje različitih banaka podataka. Unatoč visokoj razini izvješća, na sastanku je zabilježen nedopustiv zaostatak u školovanju specijalista matematičke kemije. Samo na sveučilištima u Moskvi i Novosibirsku održavaju se povremeni tečajevi o njegovim pojedinačnim pitanjima. Ujedno, vrijeme je da se ozbiljno postavi pitanje kakvu bi matematiku studenti kemije trebali učiti? Uostalom, čak iu sveučilišnim matematičkim programima kemijskih odjela, takvi dijelovi kao što su teorija grupa, kombinatorne metode, teorija grafova, topologija praktički nisu zastupljeni; zauzvrat, sveučilišni matematičari uopće ne studiraju kemiju. Uz problem obrazovanja, akutno je i pitanje znanstvenih komunikacija: potreban je svesavezni časopis o matematičkoj kemiji, koji bi izlazio barem jednom godišnje. Časopis "MATCH" (Mathematical Chemistry) već dugi niz godina izlazi u inozemstvu, a naše publikacije raspršene su po zbirkama i raznim časopisima.

Donedavno se sovjetski čitatelj mogao upoznati s matematičkom kemijom samo kroz knjigu V. I. Sokolova "Uvod u teorijsku stereokemiju" (M.: Nauka, 1979.) i I. S. , 1977.). Djelomično popunjavajući tu prazninu, sibirski ogranak izdavačke kuće "Nauka" objavio je prošle godine knjigu "Primjena teorije grafova u kemiji" (priredili N. S. Zefirov, S. I. Kuchanov). Knjiga se sastoji od tri dijela, od kojih se prvi bavi primjenom teorije grafova u strukturnoj kemiji; drugi dio bavi se reakcijskim grafovima; treći pokazuje kako se grafovi mogu koristiti za olakšavanje rješenja mnogih tradicionalnih problema u kemijskoj fizici polimera. Naravno, ova knjiga još nije udžbenik (veći dio razmatranih ideja izvorni su rezultati autora); ipak se prvi dio zbirke može u potpunosti preporučiti za početno upoznavanje s temom.
Još jedna zbirka zbornika seminara Kemijskog fakulteta Moskovskog državnog sveučilišta "Principi simetrije i dosljednosti u kemiji" (uredio N. F. Stepanov) objavljena je 1987. godine. Glavna tema zbornika su teorijske metode grupe, teorije grafova i sustava u kemiji. Raspon pitanja o kojima se raspravlja je nekonvencionalan, a odgovori na njih još su manje standardni. Čitatelj će doznati, primjerice, o razlozima trodimenzionalnosti prostora, o mogućem mehanizmu nastanka disimetrije u živoj prirodi, o principima izgradnje periodnog sustava molekula, o ravninama simetrije kemijskih reakcija. , o opisivanju molekularnih oblika bez korištenja geometrijskih parametara i još mnogo toga. Knjigu, nažalost, možete pronaći samo u znanstvenim knjižnicama, budući da nije bila široko dostupna u prodaji.
Budući da govorimo o načelima simetrije i dosljednosti u znanosti, ne možemo ne spomenuti još jednu neobičnu knjigu "Sustav. Simetrija. Harmonija" (M.: Misao, 1988.). Ova knjiga posvećena je jednoj od verzija takozvane opće teorije sustava (GTS) koju je predložio i razvio Yu.A. Početni principi Urmantseva GTS-a su koncepti sustava i kaosa, polimorfizma i izomorfizma, simetrije i asimetrije, kao i harmonije i disharmonije.
Čini se da bi Urmantsevljeva teorija trebala pobuditi najveću pozornost kemičara, makar samo zato što su u njoj tradicionalni kemijski koncepti sastava, izomerije, disimetrije uzdignuti na rang sustava. U knjizi se mogu pronaći upečatljivi analogi simetrije na primjer između izomera listova i molekularnih struktura **. Naravno, pri čitanju knjige ponegdje je potrebna određena razina profesionalne nepristranosti, recimo, kada je riječ o kemijsko-glazbenim paralelama ili obrazloženju zrcalno-simetričnog sustava elemenata. Ipak, knjiga je prožeta središnjom idejom da se pronađe univerzalni jezik koji izražava jedinstvo svemira, nalik na koji je možda kastalski jezik "Igre perlama" Hermanna Hessa.
Govoreći o matematičkim konstrukcijama moderne kemije, ne može se zanemariti prekrasna knjiga A. F. Bočkova i V. A. Smitha "Organska sinteza" (Moskva: Nauka, 1987.). Iako su njezini autori "čisti" kemičari, brojne ideje o kojima se raspravlja u knjizi vrlo su bliske gore postavljenim problemima. Ne zadržavajući se na briljantnom obliku izlaganja i dubini sadržaja ove knjige, nakon čijeg čitanja se želite baviti organskom sintezom, naglašavamo samo dvije točke. Prvo, razmatrajući organsku kemiju kroz prizmu njezina doprinosa svjetskoj znanosti i kulturi, autori povlače jasnu paralelu između kemije i matematike kao univerzalnih znanosti, uvlačeći u njih same predmete i probleme svojih istraživanja. Drugim riječima, tradicionalnom statusu matematike kao kraljice i sluškinje kemije, može se dodati i osebujna hipostaza njezine sestre. Drugo, uvjeravajući čitatelja da je organska sinteza egzaktna znanost, autori pozivaju na točnost i strogost kako same strukturne kemije tako i na savršenstvo logike kemijskih ideja.
Ako tako kažu eksperimentatori, može li uopće biti sumnje da je kucnuo čas matematičke kemije?

________________________
* Vidi "Chemistry and Life", 1988, br. 7, str.22.
** Vidi "Chemistry and Life", 1989, br. 2.

OPĆINSKA SAMOSTALNA OPĆE OBRAZOVNA USTANOVA SREDNJA OBRAZOVNA ŠKOLA № 2

Pripremljeno

Legkokonets Vladislav, učenik 10A

Praktična primjena teorije grafova

Nadglednik

L.I. Noskova, učiteljica matematike

st.Bryukhovetskaya

2011

1. Uvod………………………………………………………………………………………….3

2. Povijest nastanka teorije grafova………………………………………….………..4

3.Osnovne definicije i teoremi teorije grafova……………………………………………6

4. Zadaci riješeni uz pomoć grafikona……………………………..……………………..8

4.1 Poznati zadaci………………………………….………………………...8

4.2 Neki zanimljivi zadaci………………………………….……………..9

5. Primjena grafikona u različitim područjima života ljudi………………………………...11

6. Rješavanje problema………………………………………………………………………………...12

7. Zaključak………………….…………………………………………………………….13

8. Popis literature………….……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………….

9.Dodatak………………………………………………………………………………………15

Uvod

Rođena u rješavanju zagonetki i zabavnih igara, teorija grafova sada je postala jednostavan, pristupačan i moćan alat za rješavanje problema povezanih sa širokim rasponom problema. Grafikoni su doslovno sveprisutni. U obliku grafikona mogu se, primjerice, tumačiti dijagrami cesta i električnih krugova, geografske karte i molekule kemijskih spojeva, veze među ljudima i skupinama ljudi. Tijekom posljednja četiri desetljeća teorija grafova postala je jedna od grana matematike koja se najbrže razvija. To je potaknuto zahtjevima područja primjene koje se brzo širi. Koristi se u dizajnu integriranih krugova i upravljačkih krugova, u proučavanju automata, logičkih sklopova, dijagrama toka programa, u ekonomiji i statistici, kemiji i biologiji, u teoriji rasporeda. Zato relevantnost Tema je rezultat, s jedne strane, popularnosti grafova i srodnih istraživačkih metoda, as druge strane, nerazvijenog, cjelovitog sustava za njihovu primjenu.

Rješenje mnogih životnih problema zahtijeva duge proračune, a ponekad ti proračuni ne donose uspjeh. Ovo je ono što se sastoji problem istraživanja. Postavlja se pitanje je li moguće pronaći jednostavno, racionalno, kratko i elegantno rješenje za njihovo rješenje. Je li lakše rješavati probleme ako koristite grafikone? Odredilo je tema mog istraživanja: "Praktična primjena teorije grafova"

cilj istraživanja je uz pomoć grafova naučiti kako brzo riješiti praktične probleme.

Hipoteza istraživanja. Metoda grafova vrlo je važna i široko korištena u raznim područjima znanosti i ljudskog života.

Ciljevi istraživanja:

1. Proučiti literaturu i internetske izvore o ovoj temi.

2. Provjeriti učinkovitost metode grafova u rješavanju praktičnih problema.

3. Donesite zaključak.

Praktični značaj studije je da će rezultati nedvojbeno pobuditi interes mnogih ljudi. Zar nitko od vas nije pokušao napraviti obiteljsko stablo svoje obitelji? I kako to učiniti ispravno? Voditelj prijevozničke tvrtke vjerojatno mora riješiti problem isplativijeg korištenja prijevoza prilikom prijevoza robe od odredišta do nekoliko naselja. Svaki se učenik suočio s logičnim transfuzijskim zadacima. Ispada da se lako rješavaju uz pomoć grafikona.

U radu se koriste sljedeće metode: promatranje, traženje, selekcija, analiza.

Povijest nastanka teorije grafova

Matematičar Leonhard Euler (1707.-1783.) smatra se utemeljiteljem teorije grafova. Povijest nastanka ove teorije može se pratiti kroz korespondenciju velikog znanstvenika. Ovdje je prijevod latinskog teksta, koji je preuzet iz Eulerovog pisma talijanskom matematičaru i inženjeru Marinoniju, poslanog iz Petrograda 13. ožujka 1736. godine.

“Jednom sam dobio problem o otoku koji se nalazi u gradu Koenigsbergu i okružen je rijekom preko koje je prebačeno sedam mostova.

[Dodatak sl.1] Pitanje je može li ih itko u kontinuitetu obilaziti, prolazeći samo jednom kroz svaki most. A onda su me obavijestili da to još nitko nije uspio, ali nitko nije dokazao da je to nemoguće. Ovo pitanje, iako banalno, učinilo mi se ipak vrijednim pažnje jer za njegovo rješenje nisu dovoljni ni geometrija, ni algebra, ni kombinatorika. Nakon dugog razmišljanja pronašao sam jednostavno pravilo, temeljeno na prilično uvjerljivom dokazu, pomoću kojeg se u svim problemima ove vrste može odmah odrediti može li se takav krug napraviti kroz bilo koji broj i proizvoljno postavljenih mostova ili ne. Konigsberški mostovi su smješteni tako da se mogu prikazati na sljedećoj slici [Dodatak sl.2], gdje A označava otok, a B , C i D su dijelovi kontinenta odvojeni jedan od drugog riječnim rukavcima

O metodi koju je otkrio za rješavanje problema ove vrste, Euler je napisao:

„Čini se da ovo rješenje po svojoj prirodi ima malo veze s matematikom i nije mi jasno zašto se ovo rješenje očekuje od matematičara, a ne od bilo koje druge osobe, jer to rješenje podupire samo razum, a nema potrebe za uključivanjem u pronalaženje ovog rješenja, bilo kakvih zakona svojstvenih matematici. Dakle, ne znam kako ispada da će pitanja koja imaju vrlo malo veze s matematikom vjerojatnije riješiti matematičari nego drugi."

Dakle, je li moguće zaobići Königsberške mostove prolaskom samo jednom kroz svaki od ovih mostova? Kako bismo pronašli odgovor, nastavimo Eulerovo pismo Marinoniju:

"Pitanje je utvrditi je li moguće zaobići svih tih sedam mostova, prolazeći kroz svaki samo jednom, ili ne. Moje pravilo vodi do sljedećeg rješenja ovog pitanja. Prije svega, treba pogledati koliko dionica su odvojeni vodom - takvi , koji nemaju drugog prijelaza iz jednog u drugi, osim kroz most. U ovom primjeru, postoje četiri takva odjeljka - A, B, C, D. Zatim, trebate razlikovati je li broj mostova koji vode do tih pojedinih dionica je paran ili neparan. Dakle, u našem slučaju pet mostova vodi do dionice A, a tri mosta do ostalih, tj. broj mostova koji vode do pojedinih dionica je neparan, a već je ovaj dovoljan da riješiti problem. Kada se to utvrdi, primjenjujemo sljedeće pravilo: kada bi broj mostova koji vode do svake pojedine dionice bio paran, tada bi dotično obilaženje bilo moguće, au isto vrijeme bilo bi moguće započeti ovo obilaženje iz bilo kojeg odjeljka. bilo bi čudno, jer samo jedan može biti n ako ne može biti paran, onda bi se i tada prijelaz mogao izvršiti, kako je propisano, ali samo početak obilaznice svakako mora biti s jedne od one dvije dionice na koju vodi neparan broj mostova. Ako bi, konačno, postojalo više od dvije dionice do kojih vodi neparan broj mostova, onda je takvo kretanje uglavnom nemoguće ... ako bi se ovdje mogli navesti neki drugi, ozbiljniji problemi, ova metoda bi mogla biti još korisnija i ne bi trebala biti zanemaren " .

Osnovne definicije i teoremi teorije grafova

Teorija grafova je matematička disciplina nastala trudom matematičara, pa njezino izlaganje uključuje potrebne rigorozne definicije. Dakle, prijeđimo na organizirano upoznavanje osnovnih pojmova ove teorije.

Definicija 1. Graf je zbirka konačnog broja točaka, koje se nazivaju vrhovi grafa, i povezuju u paru neke od ovih vrhova linija, koje se nazivaju bridovi ili lukovi grafa.

Ova se definicija može drugačije formulirati: graf je neprazan skup točaka (vrhova) i segmenata (brdova), čija oba kraja pripadaju danom skupu točaka.

Ubuduće ćemo vrhove grafa označavati latiničnim slovima A, B, C, D. Ponekad će se graf kao cjelina označiti jednim velikim slovom.

Definicija 2. Vrhovi grafa koji ne pripadaju niti jednom bridu nazivaju se izolirani.

Definicija 3. Graf koji se sastoji samo od izoliranih vrhova naziva se nulti - računati .

Oznaka: O "– graf s vrhovima i bez rubova

Definicija 4. Graf u kojem je svaki par vrhova povezan bridom naziva se potpunim.

Oznaka: U" – graf koji se sastoji od n vrhova i bridova koji povezuju sve moguće parove tih vrhova. Takav se graf može prikazati kao n-kut u kojem su ucrtane sve dijagonale

Definicija 5. Stupanj vrha je broj bridova kojima vrh pripada.

Definicija 6. Graf čiji su stupnjevi svih k vrhova isti nazivamo homogenim grafom k stupnja .

Definicija 7. Komplement zadanog grafa je graf koji se sastoji od svih bridova i njihovih krajeva koji se moraju dodati izvornom grafu da bi se dobio potpuni graf.

Definicija 8. Graf koji se može prikazati u ravnini tako da mu se bridovi sijeku samo u vrhovima naziva se planarnim.

Definicija 9. Poligon planarnog grafa koji unutar sebe ne sadrži vrhove ili bridove grafa naziva se njegovim licem.

Pojmovi ravnog grafa i ploha grafa koriste se u rješavanju problema za "ispravno" bojanje raznih karata.

Definicija 10. Put od A do X je niz bridova koji vode od A do X tako da svaka dva susjedna brida imaju zajednički vrh i nijedan brid se ne pojavljuje više od jednom.

Definicija 11. Ciklus je staza na kojoj su početna i krajnja točka iste.

Definicija 12. Jednostavan ciklus je ciklus koji ne prolazi ni jednim vrhom grafa više od jednom.

Definicija 13. dug put , položen na petlju , je broj bridova ove staze.

Definicija 14. Dva vrha A i B u grafu nazivamo povezanima (nepovezanima) ako u njemu postoji (ne postoji) put koji vodi od A do B.

Definicija 15. Graf se naziva povezanim ako su svaka dva njegova vrha povezana; ako graf sadrži barem jedan par nepovezanih vrhova, tada se graf naziva nepovezanim.

Definicija 16. Stablo je povezani graf koji ne sadrži cikluse.

Trodimenzionalni model graf-stabla je, na primjer, stvarno stablo sa svojom zamršeno razgranatom krošnjom; rijeka i njezini pritoci također tvore stablo, ali već ravno - na površini zemlje.

Definicija 17. Nepovezani graf koji se sastoji samo od stabala naziva se šuma.

Definicija 18. Stablo čijih je svih n vrhova označeno brojevima od 1 do n naziva se stablo s prenumeriranim vrhovima.

Dakle, razmotrili smo glavne definicije teorije grafova, bez kojih bi bilo nemoguće dokazati teoreme, a time i riješiti probleme.

Zadaci riješeni pomoću grafikona

Poznati izazovi

Problem trgovačkog putnika

Problem trgovačkog putnika jedan je od poznatih problema u teoriji kombinatorike. Postavljena je 1934. godine, a najbolji matematičari su o nju lomili zube.

Izjava problema je sljedeća.
Putujući trgovački putnik (putujući trgovac) mora napustiti prvi grad, jednom posjetiti gradove 2,1,3..n nepoznatim redoslijedom i vratiti se u prvi grad. Poznate su udaljenosti između gradova. Kojim redom treba obilaziti gradove da zatvoreni put (obilazak) trgovačkog putnika bude najkraći?

Metoda rješavanja problema trgovačkog putnika

Pohlepni algoritam “idite do najbližeg (u koji još niste ušli) grada.”
Ovaj algoritam je nazvan "pohlepan" jer u posljednjim koracima morate skupo platiti pohlepu.
Razmotrimo na primjer mrežu na slici [aplikacija sl.3] predstavlja uski romb. Neka prodavač krene od grada 1. Algoritam "idi do najbližeg grada" odvest će ga u grad 2, zatim 3, zatim 4; na posljednjem koraku, morat ćete platiti za pohlepu, vraćajući se duž duge dijagonale romba. Rezultat nije najkraća, već najduža tura.

Problem königsberških mostova.

Zadatak je formuliran na sljedeći način.
Grad Konigsberg nalazi se na obalama rijeke Pregel i dva otoka. Različite dijelove grada povezivalo je sedam mostova. Nedjeljom su građani šetali gradom. Pitanje: je li moguće prošetati tako da se, izašavši iz kuće, vratite, prolazeći točno jednom preko svakog mosta.
Mostovi preko rijeke Pregel nalaze se kao na slici[Dodatak sl.1].

Razmotrimo graf koji odgovara shemi mosta [dodatak sl.2].

Za odgovor na pitanje problema dovoljno je saznati je li graf Eulerov. (Najmanje jedan vrh mora imati paran broj mostova). Nemoguće je, šetajući gradom, jednom proći sve mostove i vratiti se.

Nekoliko zanimljivih izazova

1. "Rute".

Zadatak 1

Kao što se sjećate, lovac na mrtve duše Čičikov je jednom posjetio poznate veleposjednike. Posjetio ih je sljedećim redom: Manilov, Korobochka, Nozdrev, Sobakevich, Plyushkin, Tentetnikov, general Betrishchev, Petukh, Konstanzholgo, pukovnik Koshkarev. Pronađen je dijagram na kojem je Čičikov skicirao međusobni položaj imanja i seoskih cesta koje ih povezuju. Odredite koji posjed kome pripada, ako Čičikov nijednom cestom nije prošao više puta [dodatak sl.4].

Odluka:

Prema karti puta vidljivo je da je Čičikov svoje putovanje započeo imanjem E, a završio imanjem O. Primjećujemo da do imanja B i C vode samo dvije ceste, pa je Čičikov morao voziti tim cestama. Označimo ih masnim crtama. Određene su dionice trase koje prolaze kroz A: AC i AB. Čičikov nije putovao cestama AE, AK i AM. Prekrižimo ih. Označimo debelom linijom ED ; prekriži DK . Prekriži MO i MN; označiti podebljanom crtom MF ; precrtati FO ; debelom crtom označavamo FH , NK i KO. Pronađimo jedinu moguću rutu pod zadanim uvjetom. I dobivamo: imanje E - pripada Manilovu, D - Korobochka, C - Nozdrev, A - Sobakevich, V - Plyushkin, M - Tentetnikov, F - Betrishchev, N - Petukh, K - Konstanzholgo, O - Koshkarev [aplikacija sl.5].

Zadatak 2

Na slici je prikazana karta područja [dodatak sl.6].

Možete se kretati samo u smjeru strelica. Svaka točka može se posjetiti najviše jednom. Na koliko načina možete doći od točke 1 do točke 9? Koja ruta je najkraća, a koja najduža.

Odluka:

Sekvencijalno "stratificirajte" shemu u stablo, počevši od vrha 1 [aplikacija sl.7]. Uzmimo drvo. Broj mogućih načina da se dođe od 1 do 9 jednak je broju "visećih" vrhova stabla (ima ih 14). Očito je najkraći put 1-5-9; najduža je 1-2-3-6-5-7-8-9.

2 "Grupe, spojevi"

Zadatak 1

Sudionici glazbenog festivala, nakon što su se upoznali, razmijenili su omotnice s adresama. Dokaži to:

a) ukupno je poslan paran broj koverti;

b) paran je broj sudionika koji su neparan broj puta izmijenili koverte.

Rješenje: Neka su sudionici festivala A 1 , A 2 , A 3 . . . , A n su vrhovi grafa, a bridovi povezuju parove vrhova koji predstavljaju tipove koji su razmijenili kuverte [Dodatak sl. 8]

Odluka:

a) stupanj svakog vrha A i pokazuje broj koverti koje je sudionik A i dao svojim prijateljima. Ukupan broj odaslanih ovojnica N jednak je zbroju stupnjeva svih vrhova grafa N = korak. Korak 1+. A 2 + + . . . + korak. I n -1 + korak. I n, N =2p, gdje je p broj rubova grafa, tj. N je paran. Stoga je poslan paran broj omotnica;

b) u jednakosti N = korak. Korak 1+. A 2 + + . . . + korak. I n -1 + korak. I n zbroj neparnih članova mora biti paran, a to može biti samo ako je broj neparnih članova paran. A to znači da je broj sudionika koji su razmijenili koverte neparan broj puta paran.

Zadatak 2

Jednom su se Andrej, Boris, Volodja, Daša i Galja dogovorili da navečer odu u kino. O izboru kina i terminu odlučili su se dogovoriti telefonski. Također je odlučeno da se odlazak u kino, ako se nekome ne može telefonirati, otkazuje. Navečer se nisu svi okupili u kinu, pa je otpao posjet kinu. Sutradan se počelo utvrđivati tko je koga zvao. Ispostavilo se da je Andrej nazvao Borisa i Volodju, Volodja Borisa i Dašu, Boris Andreja i Dašu, Daša Andreja i Volodju, a Galja Andreja, Volodju i Borisa. Tko nije mogao telefonirati i zbog toga nije došao na sastanak?

Odluka:

Nacrtajmo pet točaka i označimo ih slovima A, B, C, D, E. Ovo su prva slova imena. Spojimo te točkice koje odgovaraju imenima momaka koji su se međusobno zvali.

[aplikacija sl.9]

Na slici se vidi da su svi momci - Andrej, Boris i Volodja - telefonirali svima ostalima. Zato su ovi momci došli u kino. Ali Galya i Dasha nisu uspjele nazvati jedna drugu (točke D i D nisu spojene segmentom) i stoga, u skladu s dogovorom, nisu došle u kino.

Korištenje grafikona u raznim područjima života ljudi

Osim navedenih primjera, grafovi se široko koriste u građevinarstvu, elektrotehnici, menadžmentu, logistici, geografiji, strojarstvu, sociologiji, programiranju, automatizaciji tehnoloških procesa i industrija, psihologiji i oglašavanju. Dakle, iz svega navedenog nepobitno proizlazi praktična vrijednost teorije grafova, čije je dokazivanje i bio cilj ovog rada.

U bilo kojem području znanosti i tehnologije susrećete se s grafikonima. Grafovi su prekrasni matematički objekti s kojima možete rješavati matematičke, ekonomske i logičke probleme, razne zagonetke i pojednostaviti uvjete problema u fizici, kemiji, elektronici, automatizaciji. Mnoge matematičke činjenice zgodno je formulirati jezikom grafikona. Teorija grafova dio je mnogih znanosti. Teorija grafova jedna je od najljepših i najzornijih matematičkih teorija. U posljednje vrijeme teorija grafova nalazi sve više primjena u primijenjenim pitanjima. Pojavila se čak i računalna kemija - relativno mlado polje kemije koje se temelji na primjeni teorije grafova.

Molekularni grafovi, koji se koriste u stereokemiji i strukturnoj topologiji, kemiji klastera, polimera itd. su neusmjereni grafovi koji prikazuju strukturu molekula [aplikacija sl.10]. Vrhovi i rubovi ovih grafova odgovaraju odgovarajućim atomima i kemijskim vezama između njih.

Molekularni grafikoni i stabla: [aplikacija sl.10] a, b - multigrafi odn. etilen i formaldehid; in-mol. izomeri pentana (stabla 4, 5 su izomorfna stablu 2).

U stereokemiji organizama najviše često koriste molekularna stabla - glavna stabla molekularnih grafova, koja sadrže samo sve vrhove koji odgovaraju C atomima. stabala i uspostavljanje njihovog izomorfizma omogućuju određivanje pristaništa. strukture i pronaći ukupan broj izomera alkana, alkena i alkina

Proteinske mreže

Proteinske mreže - skupine proteina koji fizički međusobno djeluju i funkcioniraju u stanici zajednički i na koordiniran način, kontrolirajući međusobno povezane procese koji se odvijaju u tijelu [aplikacija sl. jedanaest].

Graf hijerarhijskog sustava zove stablo. Posebnost stabla je da postoji samo jedan put između bilo koja dva njegova vrha. Stablo ne sadrži cikluse i petlje.

Obično stablo koje predstavlja hijerarhijski sustav ima jedan glavni vrh, koji se naziva korijen stabla. Svaki vrh stabla (osim korijena) ima samo jednog pretka - objekt označen njime pripada jednoj klasi najviše razine. Svaki vrh stabla može generirati nekoliko potomaka - vrhova koji odgovaraju klasama niže razine.

Za svaki par vrhova stabla postoji jedinstvena staza koja ih povezuje. Ovo se svojstvo koristi kada se pronalaze svi preci, na primjer, po muškoj liniji, bilo koje osobe čije je obiteljsko stablo predstavljeno kao obiteljsko stablo, koje je također "stablo" u smislu teorije grafova.

Primjer mog obiteljskog stabla [dodatak sl.12].

Još jedan primjer. Slika prikazuje biblijsko obiteljsko stablo [dodatak sl.13].

Rješavanje problema

1. Prijevozni zadatak. Neka u gradu Krasnodaru bude baza sa sirovinama koje treba posaditi u gradovima Krimsk, Temrjuk, Slavjansk na Kubanu i Timaševsk u jednoj vožnji, uz što manje vremena i goriva i vraćanje nazad. u Krasnodar.

Odluka:

Prvo, napravimo grafikon svih mogućih ruta. [aplikacija sl.14], uzimajući u obzir realne prometnice između ovih naselja i njihovu udaljenost. Da bismo riješili ovaj problem, moramo napraviti još jedan graf, stablo [aplikacija sl.15].

Radi praktičnosti rješenja, gradove označavamo brojevima: Krasnodar - 1, Krymsk - 2, Temryuk - 3, Slavyansk - 4, Timashevsk - 5.

To je rezultiralo s 24 rješenja, ali su nam potrebni samo najkraći putovi. Od svih rješenja samo su dva zadovoljena, to su 350 km.

Slično tome, moguće je i, mislim, potrebno je izračunati stvarni prijevoz s jednog mjesta na drugo.

Logički zadatak za transfuziju. U kanti ima 8 litara vode, a tu su i dvije posude od 5 i 3 litre. potrebno je u šerpu od pet litara uliti 4 litre vode i ostaviti 4 litre u kanti, tj. vode jednako sipati u kantu i veliku šerpu.

Odluka:

Stanje se u svakom trenutku može opisati s tri brojke [dodatak sl.16].

Kao rezultat, dobivamo dva rješenja: jedno u 7 poteza, drugo u 8 poteza.

Zaključak

Dakle, da biste naučili rješavati probleme, morate razumjeti što su oni, kako su raspoređeni, od kojih se komponenti sastoje, koji su alati koji se koriste za rješavanje problema.

Rješavajući praktične probleme uz pomoć teorije grafova postalo je jasno da je na svakom koraku, u svakoj fazi njihova rješavanja potrebno primjenjivati kreativnost.

Od samog početka, u prvoj fazi, leži u činjenici da morate biti u stanju analizirati i kodirati stanje problema. Druga faza je shematski zapis, koji se sastoji u geometrijskom prikazu grafova, au ovoj fazi element kreativnosti je vrlo važan jer nije lako pronaći podudarnosti između elemenata uvjeta i odgovarajućih elemenata grafa. .

Prilikom rješavanja transportnog problema ili problema sastavljanja obiteljskog stabla zaključio sam da je metoda grafa svakako zanimljiva, lijepa i vizualna.

Bio sam uvjeren da se grafikoni široko koriste u ekonomiji, menadžmentu i tehnologiji. Teorija grafova se također koristi u programiranju, o čemu u ovom radu nije bilo riječi, ali mislim da je to samo pitanje vremena.

U ovom znanstvenom radu razmatraju se matematički grafovi, njihova područja primjene, uz pomoć grafova rješava se nekoliko problema. Poznavanje osnova teorije grafova potrebno je u raznim područjima vezanim uz upravljanje proizvodnjom, poslovanjem (na primjer, dijagram građevinske mreže, raspored dostave pošte). Osim toga, radeći na znanstvenom radu, savladao sam rad na računalu u uređivaču teksta WORD. Time su zadaće znanstvenog rada ispunjene.

Dakle, iz svega navedenog nepobitno proizlazi praktična vrijednost teorije grafova, čije je dokazivanje i bio cilj ovog rada.

Književnost

Berge K. Teorija grafova i njezine primjene. -M.: IIL, 1962.

Kemeny J., Snell J., Thompson J. Uvod u konačnu matematiku. -M.: IIL, 1963.

Ore O. Grafovi i njihova primjena. -M.: Mir, 1965.

Harary F. Teorija grafova. -M.: Mir, 1973.

Zykov A.A. Teorija konačnih grafova. -Novosibirsk: Nauka, 1969.

Berezina L.Yu. Grafovi i njihova primjena. -M .: Obrazovanje, 1979. -144 str.

"Soros Educational Journal" br. 11 1996 (članak "Flat Graphs");

Gardner M. "Matematička dokolica", M. "Mir", 1972 (poglavlje 35);

Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. "Stari zabavni problemi", M. "Nauka", 1988 (dio 2, odjeljak 8; dodatak 4);

Primjena