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Fein- und Hyperfeinstruktur optischer Spektren. Theoretische Einführung




, Moleküle und Ionen und dementsprechend Spektrallinien aufgrund der Wechselwirkung des magnetischen Moments des Kerns mit dem Magnetfeld der Elektronen . Die Energie dieser Wechselwirkung hängt von den möglichen gegenseitigen Orientierungen der Kernspins und Elektronenspins ab.

Beziehungsweise, Hyperfeinspaltung- Aufspaltung von Energieniveaus (und Spektrallinien) in mehrere Unterniveaus, verursacht durch eine solche Wechselwirkung.

Nach klassischen Vorstellungen hat ein Elektron, das sich um den Kern dreht, wie jedes geladene Teilchen, das sich auf einer Kreisbahn bewegt, ein magnetisches Dipolmoment. Ähnlich erzeugt in der Quantenmechanik der Bahndrehimpuls eines Elektrons ein bestimmtes magnetisches Moment. Die Wechselwirkung dieses magnetischen Moments mit dem magnetischen Moment des Kerns (aufgrund des Kernspins) führt zu einer Hyperfeinaufspaltung (dh es entsteht eine Hyperfeinstruktur). Allerdings hat das Elektron auch einen Spin, der zu seinem magnetischen Moment beiträgt. Daher gibt es auch für Terme mit Bahndrehimpuls Null eine Hyperfeinaufspaltung.

Der Abstand zwischen den Unterebenen der Hyperfeinstruktur ist größenordnungsmäßig 1000-mal kleiner als zwischen den Ebenen der Feinstruktur (diese Größenordnung ergibt sich im Wesentlichen aus dem Verhältnis der Masse des Elektrons zur Masse des Kerns).

Anomale Hyperfeinstruktur aufgrund der Wechselwirkung von Elektronen mit dem elektrischen Quadrupolmoment des Kerns.

Geschichte

Die Hyperfeinaufspaltung wurde 1881 von A. A. Michelson beobachtet, aber erst erklärt, nachdem V. Pauli 1924 das Vorhandensein eines magnetischen Moments in Atomkernen vorgeschlagen hatte.

Schreiben Sie eine Rezension zum Artikel "Hyperfeinstruktur"

Literatur

  • Landau L.D., Lifshits E.M. Theoretische Physik . Band 3. Quantenmechanik (nichtrelativistische Theorie).
  • Shpolsky E.V. Atomphysik. -M.: Nauka, 1974.

Ein Ausschnitt, der die Hyperfeinstruktur charakterisiert

„Es gibt nichts, um Spaß zu haben“, antwortete Bolkonsky.
Während Prinz Andrei sich mit Nesvitsky und Zherkov traf, befanden sich auf der anderen Seite des Korridors Strauch, ein österreichischer General, der sich im Hauptquartier von Kutuzov aufhielt, um die Verpflegung der russischen Armee zu überwachen, und ein Mitglied des Hofkriegsrats, der am Vortag eingetroffen war auf sie zugehen. Entlang des breiten Korridors war genügend Platz, damit sich die Generäle mit drei Offizieren frei verteilen konnten; aber Zherkov, der Nesvitsky mit seiner Hand wegstieß, sagte mit atemloser Stimme:
- Sie kommen! ... sie kommen! ... weg, die Straße! bitte weg!
Die Generäle verabschiedeten sich mit dem Wunsch, beunruhigende Ehrungen loszuwerden. Auf dem Gesicht des Jokers drückte Zherkov plötzlich ein dummes Lächeln der Freude aus, das er anscheinend nicht zurückhalten konnte.
„Exzellenz“, sagte er auf Deutsch, ging weiter und wandte sich an den österreichischen General. Ich habe die Ehre, Ihnen zu gratulieren.
Er senkte den Kopf und fing an, unbeholfen, wie Kinder, die tanzen lernen, das eine oder andere Bein zu kratzen.
Der General, ein Mitglied des Hofkriegsrates, sah ihn streng an; die Ernsthaftigkeit des dümmlichen Lächelns nicht bemerkend, konnte er keinen Moment der Aufmerksamkeit ablehnen. Er kniff die Augen zusammen, um zu zeigen, dass er zuhörte.
„Ich habe die Ehre, Ihnen zu gratulieren, General Mack ist bei bester Gesundheit angekommen, nur ein wenig verletzt hier“, fügte er hinzu, strahlte mit einem Lächeln und zeigte auf seinen Kopf.
Der General runzelte die Stirn, wandte sich ab und ging weiter.
Gott, wie naiv! [Mein Gott, wie einfach er ist!] – sagte er wütend und entfernte sich ein paar Schritte.
Nesvitsky umarmte Prinz Andrei mit Lachen, aber Bolkonsky, der noch blasser wurde, mit einem bösen Ausdruck auf seinem Gesicht, stieß ihn weg und wandte sich Zherkov zu. Jene nervöse Gereiztheit, in die ihn der Anblick Macks, die Nachricht von seiner Niederlage und der Gedanke an das, was die russische Armee erwartete, gebracht hatte, fand ihren Ausdruck in Bitterkeit über Scherkows unangemessenen Witz.
„Wenn Sie, sehr geehrter Herr“, sprach er mit einem leichten Zittern des Unterkiefers durchdringend, „ein Narr sein wollen, dann kann ich Sie nicht daran hindern; aber ich kündige dir an, wenn du es wagst, ein anderes Mal in meiner Gegenwart Aufhebens zu machen, dann werde ich dich lehren, wie man sich benimmt.
Nesvitsky und Zherkov waren von diesem Trick so überrascht, dass sie Bolkonsky schweigend mit weit geöffneten Augen ansahen.
"Nun, ich habe Ihnen nur gratuliert", sagte Zherkov.
- Ich scherze nicht mit Ihnen, bitte schweigen Sie! - rief Bolkonsky und nahm Nesvitsky an der Hand und ging von Zherkov weg, der keine Antwort finden konnte.
"Nun, was bist du, Bruder", sagte Nesvitsky beruhigend.

9. Vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit dem theoretischen Wert, der unter Verwendung der universellen Konstanten berechnet wurde.

Der Bericht muss enthalten:

1. Optischer Aufbau eines Spektrometers mit einem Prisma und einem rotierenden Prisma;

2. Tabelle der Messungen der Abweichungswinkel von Linien - Quecksilber-Benchmarks und ihre Durchschnittswerte;

3. Tabelle der Messungen der Abweichungswinkel von Wasserstofflinien und ihrer Mittelwerte;

4. Die Werte der gefundenen Frequenzen der Wasserstofflinien und die für die Berechnungen verwendeten Interpolationsformeln;

5. Gleichungssysteme zur Bestimmung der Rydberg-Konstante nach der Methode der kleinsten Quadrate;

6. Der resultierende Wert der Rydberg-Konstante und ihr aus den universellen Konstanten berechneter Wert.

3.5.2. Spektroskopische Bestimmung von Kernmomenten

3.5.2.1. Experimentelle Bestimmung der Parameter der Hyperfeinaufspaltung von Spektrallinien.

Um die Hyperfeinstruktur von Spektrallinien zu messen, ist es notwendig, hochauflösende Spektralinstrumente zu verwenden, daher verwenden wir in dieser Arbeit ein Kreuzdispersions-Spektralinstrument, bei dem das Fabry-Perot-Interferometer in einem Prismenspektrografen platziert ist (siehe Abb 3.5.1 und Abschnitt 2.4.3.2,

Reis. 2.4.11).

Die Dispersion eines Prismenspektrographen reicht aus, um die spektralen Emissionslinien aufgrund von Übergängen des Valenzelektrons in einem Alkalimetallatom zu trennen, ist jedoch völlig unzureichend, um die Hyperfeinstruktur jeder dieser Linien aufzulösen. Allein mit einem Prismenspektrografen würden wir daher auf einer Fotoplatte ein gewöhnliches Emissionsspektrum erhalten, in dem die Hyperfeinstrukturkomponenten zu einer Linie verschmelzen würden, deren spektrale Breite nur durch das Auflösungsvermögen des ICP51 bestimmt wird.

Das Fabry-Perot-Interferometer ermöglicht es, innerhalb jeder Spektrallinie ein Interferenzmuster zu erhalten, das eine Folge von Interferenzringen ist. Der Winkeldurchmesser dieser Ringe θ wird, wie aus der Theorie des FabryPerot-Interferometers bekannt, durch das Verhältnis der Dicke der Luftschicht des Normals t und der Wellenlänge λ bestimmt:

θk = k

wobei k die Interferenzordnung für den gegebenen Ring ist.

Jede Spektrallinie ist also nicht nur ein geometrisches Bild des Eintrittsspalts, den das optische System des Spektrographen in der Ebene der Fotoplatte aufgebaut hat, jedes dieser Bilder erweist sich nun als von Segmenten von Interferenzringen durchzogen. Wenn es keine Hyperfeinaufspaltung gibt, dann wird innerhalb einer gegebenen Spektrallinie ein Ringsystem beobachtet, das verschiedenen Interferenzordnungen entspricht.

Wenn jedoch innerhalb einer bestimmten Spektrallinie zwei Komponenten mit unterschiedlichen Wellenlängen vorhanden sind (Hyperfeinaufspaltung), dann besteht das Interferenzmuster aus zwei Ringsystemen für die Wellenlängen λ und λ ", die in Abb. 3.5.2 durch durchgezogene und gepunktete Linien dargestellt sind , beziehungsweise.

Reis. 3.5.2. Interferenzstruktur einer aus zwei nahen Komponenten bestehenden Spektrallinie.

Der lineare Durchmesser der Interferenzringe d in der Kleinwinkelnäherung hängt mit dem Winkeldurchmesser θ durch die Beziehung zusammen:

d = θ × F 2 ,

wobei F 2 die Brennweite des Kameraobjektivs des Spektrographen ist.

Lassen Sie uns Ausdrücke erhalten, die die Winkel- und linearen Durchmesser der Interferenzringe mit der Wellenlänge der Strahlung in Beziehung setzen, die das Interferenzmuster im Fabry-Perot-Interferometer bildet.

In der Kleinwinkelnäherung cos θ 2 k ≈ 1− θ 8 k und für zwei Längen

Wellen λ und λ ", die Bedingungen für das Interferenzmaximum der k-ten Ordnung werden jeweils geschrieben:

4λ"

θk = 8

-k

θ"k = 8

-k

Daraus ergibt sich für die Differenz der Wellenlängen der beiden Komponenten:

dλ = λ" −λ =

(θk 2

− θ" k 2 )

Der Winkeldurchmesser der (k+1)-ten Ordnung der Wellenlänge wird bestimmt

Verhältnis:

8 − (k+1)

k+ 1

Aus (3.5.9) und (3.5.11) erhalten wir:

= θ2

− θ2

k+ 1

ohne t

aus (3.5.10)-(3.5.12) erhalten wir:

d λ =

θk 2 − θ"k 2

k θ2 − θ2

k+ 1

Bei kleinen Winkeln ist die Interferenzordnung gegeben durch

k = 2 λ t (siehe (3.5.8)), sodass Gleichheit (3.5.13) die Form annimmt:

d λ =

θk 2 − θ"k 2

2 t θ 2

− θ2

k+ 1

Übergang zu den Wellenzahlen ν =

Wir bekommen:

1 d k 2 − d "k 2

dv =

− d2

k+ 1

Um nun d ~ ν zu bestimmen, müssen wir die linearen Durchmesser von zwei Systemen von Interferenzringen für zwei Komponenten der Hyperfeinstruktur innerhalb der untersuchten Spektrallinie messen. Um die Genauigkeit der Bestimmung von d ~ ν zu verbessern, ist es sinnvoll, die Durchmesser der Ringe zu messen, beginnend mit dem zweiten und endend mit dem fünften. Weitere Ringe liegen eng beieinander und der Fehler bei der Bestimmung der Differenz in den Quadraten der Durchmesser der Ringe wächst sehr schnell. Sie können die gesamte rechte Seite (3.5.16) mitteln oder Zähler und Nenner separat bilden.

3.5.2.2. Bestimmung des kernmagnetischen Moments

In dieser Arbeit schlagen wir vor, die Aufspaltung des Grundzustands 52 S 1 2 des stabilen Isotops Rb 87 über zu bestimmen

Kapitel 10

SUPERFEINE SPALTUNG IN WASSERSTOFF


§ 1. Grundzustände für ein System aus zwei Teilchen mit Spin 1/2

§2. Hamiltonoperator des Grundzustands von Wasserstoff

§ 3. Energieniveaus

§ 6. Projektionsmatrix für Spin 1


§ 1. Grundzustände für ein System aus zwei Teilchen mit Spin 1 / 2

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der „Hyperfeinspaltung“ von Wasserstoff, einem interessanten Beispiel dafür, was wir mit Hilfe der Quantenmechanik bereits können. Hier werden wir nicht mehr zwei Zustände haben, sondern mehr. Dieses Beispiel ist insofern aufschlussreich, als es uns in die Methoden der Quantenmechanik einführt, die auf komplexere Probleme angewendet werden. Dieses Beispiel an sich ist ziemlich kompliziert, und wenn Sie einmal verstanden haben, wie Sie damit umgehen, wird Ihnen sofort klar, wie Sie es auf andere mögliche Probleme verallgemeinern können.

Das Wasserstoffatom besteht bekanntlich aus einem Elektron und einem Proton; Das Elektron sitzt nahe am Proton und kann in einem von vielen diskreten Energiezuständen existieren, in denen sein Bewegungsmuster unterschiedlich ist. Somit liegt der erste angeregte Zustand auf 3/4 Rydberg oder 10 ev,über dem Grundzustand. Aber auch der sogenannte Grundzustand von Wasserstoff ist eigentlich kein eigener Zustand mit einer bestimmten Energie, denn das Elektron und das Proton haben Spins. Diese Spins sind für die „Hyperfeinstruktur“ in Energieniveaus verantwortlich, die alle Energieniveaus in mehrere nahezu identische Niveaus aufteilt.

Der Spin eines Elektrons kann entweder oben oder unten sein; das Proton auch sein eigenes Spin kann nach oben oder unten schauen. Daher gibt es für jeden dynamischen Zustand des Atoms vier mögliche Spinzustände. Mit anderen Worten, wenn ein Physiker vom „Grundzustand“ des Wasserstoffs spricht, meint er wirklich die „vier Grundzustände“ und nicht nur den niedrigsten davon. Die vier Spinzustände haben nicht genau die gleiche Energie; es gibt geringfügige Verschiebungen in Bezug auf das, was ohne Spins beobachtet würde. Diese Verschiebungen sind jedoch um ein Vielfaches kleiner als diese 10 ev, die zwischen dem Grundzustand und dem nächsthöheren Zustand liegen.

Infolgedessen wird die Energie jedes dynamischen Zustands in eine Reihe sehr enger Ebenen aufgeteilt - dies ist die sogenannte Superfeine Spaltung.

Die Energiedifferenzen der vier Spinzustände wollen wir in diesem Kapitel berechnen. Die Hyperfeinaufspaltung wird durch die Wechselwirkung der magnetischen Momente von Elektron und Proton verursacht; Dies führt zu leicht unterschiedlichen magnetischen Energien für jeden Spinzustand. Diese Energieverschiebungen betragen nur etwa das Zehnmillionstel eines Elektronenvolts, was in der Tat viel weniger als 10 ist ev!

Gerade wegen einer so großen Lücke kann der Grundzustand von Wasserstoff als „Vier-Niveau-System“ betrachtet werden, ohne sich darum zu kümmern, dass es tatsächlich viel mehr Zustände bei höheren Energien gibt. Wir wollen uns hier auf die Untersuchung der Hyperfeinstruktur nur des Grundzustands des Wasserstoffatoms beschränken.

Für unsere Zwecke interessieren uns die verschiedenen Details nicht. Lage Elektron und Proton, weil sie sozusagen alle bereits vom Atom ausgearbeitet wurden, stellten sich alle von selbst heraus, als das Atom in den Grundzustand kam. Es reicht aus, nur zu wissen, dass das Elektron und das Proton in einer bestimmten räumlichen Beziehung nicht weit voneinander entfernt sind. Darüber hinaus können sie alle möglichen gegenseitigen Ausrichtungen der Spins haben. Und wir wollen nur Spineffekte betrachten.

Die erste zu beantwortende Frage ist, was Grundzustände für dieses System? Aber diese Frage ist falsch gestellt. So etwas wie der Einzige Basis existiert nicht, und jedes von Ihnen gewählte System von Basiszuständen wird nicht eindeutig sein. Es ist immer möglich, neue Systeme aus Linearkombinationen des alten zusammenzusetzen. Es gibt immer viele Möglichkeiten für Primärzustände, und sie sind alle gleichermaßen gültig.

Wir müssen also fragen: nicht „was ist die Grundlage?“, sondern „was für eine Art von kann wählen?". Und Sie haben das Recht zu wählen, was Sie möchten, solange es für Sie bequem ist.

Es ist normalerweise am besten, mit einer Basis zu beginnen physisch Der offensichtlichste. Es muss kein Problem lösen oder sein direkt irgendwie wichtig, nein, es soll generell nur das Verständnis erleichtern.

Wir wählen folgende Grundzustände:

Zustand 1. Sowohl das Elektron als auch das Proton haben ihre Rückseite nach oben.

Zustand 2. Der Spin eines Elektrons ist oben, während der eines Protons unten ist.

Zustand 3. Bei einem Elektron schaut der Spin nach unten und bei einem Proton -

Zustand 4. Sowohl das Elektron als auch das Proton haben Spins

Um diese vier Zustände kurz zu schreiben, führen wir die folgende Notation ein:

Zustand 1:|+ +>; Das Elektron hat einen Spin hoch, Das Proton hat einen Spin hoch.

Zustand 2:| + ->; Das Elektron hat einen Spin hoch,

Das Proton hat einen Spin Nieder.

Zustand 3:|- + >; Das Elektron hat einen Spin Nieder, Das Proton hat einen Spin hoch.

Zustand 4:|- - >; Das Elektron hat einen Spin Nieder, Das Proton hat einen Spin Nieder. (10.1)

erinnere dich daran Erste das Plus- oder Minuszeichen bezieht sich auf ein Elektron, Sekunde - zum Proton. Um diese Notationen griffbereit zu haben, sind sie in Abb. 10.1.


Feige. 10.1. Satz von Grundzuständen

für den Grundzustand des Wasserstoffatoms.

Diese Zustände bezeichnen wir mit | + +>, | + ->> |- +>.

Manchmal ist es bequemer, diese Zustände als |1>, |2>, |3> und |4> zu bezeichnen.

Sie könnten sagen: „Aber die Teilchen interagieren, und vielleicht sind diese Zustände überhaupt nicht die richtigen Grundzustände. Es ist, als würden Sie beide Teilchen unabhängig voneinander betrachten." Ja in der Tat! Interaktion wirft die Frage auf: was Hamiltonian Systeme? Aber die Frage ist wie beschreiben System, betrifft nicht die Interaktion. Was wir als Grundlage wählen, hat nichts mit dem zu tun, was danach passiert. Es kann sich herausstellen, dass das Atom dazu nicht in der Lage ist bleibe in einem dieser Grundzustände, auch wenn alles damit angefangen hat. Aber das ist eine andere Sache. Hier geht es darum, wie sich die Amplituden in einer gewählten (festen) Basis über die Zeit verändern. Indem wir Basiszustände wählen, wählen wir einfach "Einheitsvektoren" für unsere Beschreibung.

Da wir dies bereits angesprochen haben, werfen wir einen Blick auf das allgemeine Problem, eine Menge von Grundzuständen zu finden, wenn es nicht ein Teilchen gibt, sondern mehrere. Sie kennen die Grundzustände für ein Teilchen. Ein Elektron zum Beispiel wird im wirklichen Leben (nicht in unseren vereinfachten Fällen, aber im wirklichen Leben) vollständig beschrieben, indem die Amplituden des Seins in einem der folgenden Zustände festgelegt werden:

| Elektron dreht sich mit Impuls hoch p> oder

| Elektron spin down mit Impuls p>.

Es gibt tatsächlich zwei unendliche Mengen von Zuständen, eine für jeden Wert von p. Man kann also sagen, dass der elektronische Zustand |y> nur dann vollständig beschrieben ist, wenn man alle Amplituden kennt

wobei + und - die Drehimpulskomponenten entlang einer Achse darstellen, normalerweise der Achse z, a p ist der Impulsvektor. Daher muss es für jeden denkbaren Impuls zwei Amplituden geben (eine doppelt unendliche Menge von Grundzuständen). Das ist alles, was man braucht, um ein einzelnes Teilchen zu beschreiben.

Auf die gleiche Weise können die Grundzustände geschrieben werden, wenn es mehr als ein Teilchen gibt. Wenn es zum Beispiel notwendig wäre, ein Elektron und ein Proton in einem komplexeren Fall als unserem zu betrachten, dann könnten die Grundzustände wie folgt aussehen: Ein Elektron mit Impuls p 1 dreht sich hoch, und das Proton mit Impuls R 2 rückwärts bewegen. Und so weiter für andere Spin-Kombinationen. Wenn es mehr als zwei Teilchen gibt, bleibt die Idee dieselbe. So sehen Sie, was Sie malen müssen möglich Grundzustände ist eigentlich sehr einfach. Die Frage ist nur, was der Hamiltonoperator ist.

Um den Grundzustand von Wasserstoff zu untersuchen, müssen wir nicht die vollständigen Sätze von Basiszuständen für verschiedene Impulse anwenden. Wir legen bestimmte Impulszustände des Protons und des Elektrons fest, wenn wir die Worte "Grundzustand" aussprechen. Die Details der Konfiguration – die Amplituden für alle Impulsbasiszustände – können berechnet werden, aber das ist eine andere Aufgabe. Da es uns jetzt nur noch um den Einfluss des Spins geht, beschränken wir uns auf nur vier Grundzustände (10.1). Die nächste Frage ist: Was ist der Hamiltonoperator für diese Menge von Zuständen?

§ 2. Hamiltonoperator des Grundzustandes von Wasserstoff

Du wirst es in einer Minute wissen. Aber zuerst möchte ich Sie an eines erinnern: irgendein ein Zustand kann immer als lineare Kombination von Grundzuständen dargestellt werden. Für jeden Zustand |y|> kann man schreiben

Denken Sie daran, dass volle Klammern nur komplexe Zahlen sind, sodass sie auf die übliche Weise mit bezeichnet werden können Mit ich, wo ich=1, 2, 3 oder 4, und schreibe (10.2) als

Quad-Amplitudenspezifikation Mit ich beschreibt den Spinzustand |y> vollständig. Wenn sich dieses Quadrupel mit der Zeit ändert (wie es tatsächlich der Fall sein wird), dann wird die zeitliche Änderungsrate vom Operator angegeben H^. Die Aufgabe besteht darin, diesen Operator H^ zu finden.

Es gibt keine allgemeine Regel, wie man den Hamilton-Operator eines atomaren Systems schreibt, und das Finden der richtigen Formel erfordert mehr Geschick als das Finden eines Systems von Basiszuständen. Wir konnten Ihnen eine allgemeine Regel geben, wie Sie das System der Grundzustände für jedes Problem mit einem Proton und einem Elektron aufschreiben können, aber es ist zu schwierig, den allgemeinen Hamiltonoperator einer solchen Kombination auf dieser Ebene zu beschreiben. Stattdessen bringen wir Sie durch einige heuristische Überlegungen zum Hamilton-Operator, und Sie müssen ihn als richtig akzeptieren, da die Ergebnisse mit experimentellen Beobachtungen übereinstimmen.

Erinnern Sie sich daran, dass wir im vorigen Kapitel den Hamilton-Operator eines einzelnen Teilchens mit Spin 1/2 unter Verwendung von Sigma-Matrizen oder exakt äquivalenten Sigma-Operatoren beschreiben konnten. Die Eigenschaften der Operatoren sind in Tabelle zusammengefasst. 10.1. Diese Operatoren, die nur eine bequeme Kurzform sind, um sich die Matrixelemente eines Typs zu merken, waren nützlich, um das Verhalten zu beschreiben einzeln Teilchen mit Spin 1/2. Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, ein ähnliches Mittel zur Beschreibung eines Systems mit zwei Spins zu finden. Ja, und es ist ganz einfach. Schau hier. Wir erfinden etwas, das wir „Elektron-Sigma“ nennen und das wir als Vektoroperator s e mit den drei Komponenten s e x , s e y und s e z darstellen. Des Weiteren Lassen Sie uns zustimmen dass, wenn einer von ihnen arbeitet

Tabelle 10.1· EIGENSCHAFTEN VON SIGMA-OPERATOREN

auf einige unserer vier Grundzustände des Wasserstoffatoms, dann wirkt es allein auf den Spin des Elektrons, im Übrigen so, als ob das Elektron allein wäre. Beispiel: was ist s y e|-+>? Da s y , das auf ein Elektron mit einem Spin-down wirkt, ergibt - ich multipliziert mit dem Zustand mit einem Elektron, dessen Spin oben ist, dann

s e y |-+>=- ich|++>.

(Wenn y e auf den kombinierten Zustand einwirkt, dreht es das Elektron um, ohne das Proton zu beeinflussen, und multipliziert das Ergebnis mit - ich.) Einwirkung auf andere Staaten, s e bei wird geben

Erinnern Sie sich noch einmal daran, dass der Operator s e nur auf wirkt Erste Spin-Symbol, also pro Spin Elektron.

Definieren wir nun den entsprechenden Proton-Sigma-Operator für den Protonenspin. Seine drei Komponenten s p x , s p y, s p z , verhalten sich wie s e, aber nur on Protonenspin. Wenn zum Beispiel s p x auf jeden der vier Grundzustände einwirkt, dann ergibt sich (wieder unter Verwendung von Tabelle 10.1)

Wie Sie sehen, nichts Schwieriges. Im allgemeinen Fall können die Dinge komplizierter sein. Zum Beispiel das Produkt der Operatoren s e y s p z . Wenn es ein solches Produkt gibt, dann wird zuerst das gemacht, was der rechte Bediener will, und dann das, was der linke verlangt. Zum Beispiel,

Beachten Sie, dass diese Zahlenoperatoren nichts tun; Wir haben dies verwendet, als wir s e x (-1)=(-1) s e x geschrieben haben. Wir sagen, dass Operatoren mit Zahlen „kommutieren“, oder dass Zahlen durch einen Operator „gezogen“ werden können. Üben und zeigen Sie, dass das Produkt s e X s p z liefert für vier Zustände folgendes Ergebnis:

Wenn Sie alle gültigen Operatoren nacheinander durchgehen, gibt es insgesamt 16 Möglichkeiten. Ja, sechzehn, wenn wir auch den "einfachen Operator" 1 mit einbeziehen. Zuerst gibt es ein Tripel s e X, s e j, s e z, dann das Tripel s p x , s p y , s p z , also insgesamt sechs. Hinzu kommen neun Produkte der Form s e X s p y , für insgesamt 15. Und einen einzigen Operator, der alle Zustände intakt lässt. Das ist alles sechzehn!

Beachten Sie nun, dass die Hamilton-Matrix für ein System mit vier Zuständen eine 4x4-Koeffizientenmatrix mit 16 Zahlen wäre. Es ist leicht zu zeigen, dass jede 4X4-Matrix und insbesondere die Hamilton-Matrix als lineare Kombination von sechzehn Doppelspin-Matrizen geschrieben werden kann, was dem System von Operatoren entspricht, das wir gerade zusammengestellt haben. Daher können wir für eine Wechselwirkung zwischen einem Proton und einem Elektron, an der nur ihre Spins beteiligt sind, erwarten, dass der Hamilton-Operator als Linearkombination derselben 16 Operatoren geschrieben werden kann. Die Frage ist nur wie.

Aber zunächst wissen wir, dass die Wechselwirkung nicht von unserer Wahl der Achsen für das Koordinatensystem abhängt. Wenn es keine äußere Störung gibt – so etwas wie ein Magnetfeld, das eine Richtung im Raum auswählt – dann kann der Hamilton-Operator nicht von unserer Wahl der Achsenrichtungen abhängen x, y und z. Das bedeutet, dass der Hamiltonoperator keine Begriffe wie s e x allein haben kann. Es würde lächerlich aussehen, weil jemand in einem anderen Koordinatensystem zu anderen Ergebnissen gekommen wäre.

Es ist nur ein Term mit einer Identitätsmatrix möglich, sagen wir eine Konstante a(multipliziert mit 1^) und eine Kombination von Sigmas, die nicht von Koordinaten abhängt, eine "invariante" Kombination. das einzige Skalar Die unveränderliche Kombination zweier Vektoren ist ihr Skalarprodukt, das für unsere Sigmas die Form hat

Dieser Operator ist unveränderlich gegenüber jeder Drehung des Koordinatensystems. Die einzige Möglichkeit für einen Hamilton-Operator mit geeigneter Symmetrie im Raum ist also eine Konstante multipliziert mit der Identitätsmatrix plus eine Konstante multipliziert mit diesem Skalarprodukt, d.h.

Das ist unser Hamiltonoperator. Dies ist das einzige, was aufgrund der Symmetrie im Raum gleich sein kann, solange kein externes Feld vorhanden ist. Ein ständiges Mitglied wird uns nicht viel sagen; es hängt einfach von der Ebene ab, die wir gewählt haben, um die Energien zu lesen. Könnte man genauso gut nehmen E 0 = 0. Und der zweite Term wird uns alles sagen, was wir brauchen, um die Aufspaltung der Niveaus in Wasserstoff zu finden.

Wenn Sie möchten, können Sie sich den Hamiltonian auch anders vorstellen. Wenn zwei Magnete mit den magnetischen Momenten m e und m p nahe beieinander liegen, dann hängt ihre gegenseitige Energie unter anderem davon ab m e · m R. Und wir, wie Sie sich erinnern, fanden heraus, dass das Ding, das wir in der klassischen Physik nannten m e, taucht in der Quantenmechanik unter dem Namen m e s e auf. Ebenso stellt sich heraus, was in der klassischen Physik wie m p aussieht, in der Quantenmechanik normalerweise gleich m p s p ist (wobei m p das magnetische Moment des Protons ist, das fast 1000-mal kleiner als m e ist und das entgegengesetzte Vorzeichen hat). (10.5) besagt also, dass die Wechselwirkungsenergie der Wechselwirkung zweier Magnete ähnlich ist, aber nicht vollständig, da die Wechselwirkung zweier Magnete vom Abstand zwischen ihnen abhängt. Aber (10.5) kann betrachtet werden (und tatsächlich ist ein) Art von Interaktion im Mittelfeld. Das Elektron bewegt sich irgendwie innerhalb des Atoms, und unser Hamiltonoperator gibt nur die durchschnittliche Wechselwirkungsenergie an. All dies legt im Allgemeinen nahe, dass für die vorgeschriebene Anordnung von Elektron und Proton im Raum eine Energie proportional zum Kosinus des Winkels zwischen den beiden magnetischen Momenten (klassisch gesprochen) vorhanden ist. Solch ein klassisches qualitatives Bild kann Ihnen helfen zu verstehen, woher alles kommt, aber das Einzige, was zählt, ist, dass (10.5) die richtige quantenmechanische Formel ist.

Die Größenordnung der klassischen Wechselwirkung zwischen zwei Magneten müsste durch das Produkt der beiden magnetischen Momente dividiert durch die Kubikzahl ihres Abstandes gegeben sein. Der Abstand zwischen einem Elektron und einem Proton in einem Wasserstoffatom ist grob gesagt gleich dem halben Atomradius, also 0,5 A. Daher können wir die Konstante grob abschätzen UND muss gleich dem Produkt der magnetischen Momente m e und m p dividiert durch die dritte Potenz von einem halben Angström sein. Ein solches Nullsetzen führt zu Zahlen, die genau in den richtigen Bereich fallen. Aber es stellt sich heraus UND kann genauer berechnet werden, sobald wir die vollständige Theorie des Wasserstoffatoms verstehen, wozu wir noch nicht in der Lage sind. Tatsächlich UND auf 30 Millionstel genau berechnet. Wie Sie sehen können, im Gegensatz zum ständigen Flip UND Ammoniakmolekül, das theoretisch nicht gut berechnet werden kann, unsere Konstante UND für Wasserstoff kann sein berechnet aus einer detaillierteren Theorie. Aber es ist nichts zu machen, für unsere jetzigen Zwecke müssen wir rechnen UND Zahl, die aus Erfahrung bestimmt werden kann, und analysieren Sie die Physik der Materie.

Unter Verwendung des Hamilton-Operators (10.5) können wir ihn in die Gleichung einsetzen

und sehen Sie, was die Spin-Wechselwirkung mit den Energieniveaus macht. Dazu müssen Sie sechzehn Matrixelemente zählen H ij = ich| H|j> entsprechend zwei beliebigen der vier Grundzustände (10.1).

Beginnen wir damit, zu berechnen, was gleich ist H^ |j> für jeden der vier Grundzustände. Z.B,

Unter Verwendung der etwas früher beschriebenen Methode (erinnern Sie sich an Tabelle 10.1, sie macht die Dinge sehr einfach) finden wir heraus, was jedes Paar von a mit |+ +>· macht. Die Antwort lautet:

Damit wird (10.7) zu


Tabelle 10.2 Spinoperatoren FÜR DAS WASSERSTOFFATOM

Und da alle unsere vier Grundzustände orthogonal sind, führt dies sofort zu

Denken Sie daran, dass H| ich>=<.i>|H|j>* können wir sofort eine Differentialgleichung für die Amplitude schreiben Mit 1:

Das ist alles! Nur ein Mitglied.

Um nun die verbleibenden Hamilton-Gleichungen zu erhalten, müssen wir geduldig die gleichen Prozeduren mit durchlaufen H^, wirkt auf andere Staaten. Üben Sie zunächst, zu prüfen, ob alle Sigma-Produkte in Tabelle. 10.2 richtig geschrieben sind. Verwenden Sie sie dann, um zu erhalten

Und dann, indem wir sie alle der Reihe nach von links mit allen anderen Zustandsvektoren multiplizieren, erhalten wir die folgende Hamilton-Matrix H ij :

Dies bedeutet natürlich, dass die Differentialgleichungen für die vier Amplituden Mit ich aussehen

Aber bevor Sie mit der Lösung fortfahren, ist es schwer, Ihnen nicht eine clevere Regel zu verraten, die Dirac abgeleitet hat. Es wird Ihnen helfen zu spüren, wie viel Sie bereits wissen, obwohl wir es in unserer Arbeit nicht brauchen werden. Aus den Gleichungen (10.9) und (10.12) haben wir

„Schau mal“, sagte Dirac, „ich kann auch die erste und letzte Gleichung in die Form schreiben

und dann werden sie alle gleich sein. Jetzt werde ich mir einen neuen Operator einfallen lassen, den ich bezeichnen werde R drehen. Austausch und welche Definition, wird die folgenden Eigenschaften haben:

Wie Sie sehen, tauscht dieser Operator nur die Spinrichtungen zweier Teilchen aus. Dann kann ich das ganze Gleichungssystem (10.15) als eine einfache Operatorgleichung schreiben:

Das ist die Dirac-Formel. Der Spin-Exchange-Operator gibt eine praktische Regel, an die man sich erinnern sollte s e s p. (Wie Sie sehen können, wissen Sie bereits, wie man alles macht. Alle Türen stehen Ihnen offen.)

§ 3. Energieniveaus

Wir sind nun bereit, die Energieniveaus des Grundzustands von Wasserstoff zu berechnen, indem wir die Hamilton-Gleichungen (10.14) lösen. Wir wollen die Energien der stationären Zustände finden. Das bedeutet, dass wir diejenigen speziellen Zustände |y> finden müssen, für die jede der Amplituden zu |y> gehört C ich=i|y> hat die gleiche Zeitabhängigkeit, nämlich e - w t . Dann wird der Staat Energie haben E=hw. Wir suchen also nach einer Menge von Amplituden, für die

wo das Vierfache der Koeffizienten a ich ist nicht zeitabhängig. Um zu sehen, ob wir diese Amplituden erhalten können, setzen wir (10.17) in (10.14) ein und sehen, was passiert. Jeder ihdC ich /dt in (10.14) geht ein EU ich . Und nach dem Reduzieren um einen gemeinsamen Exponentialfaktor, jeweils Mit ich wird sich verwandeln a ich; wir bekommen

Dies ist, was getan werden muss, um zu finden a 1 , a 2 , a 3 und a 4 . Tatsächlich ist es an der ersten Gleichung sehr schön, dass sie nicht von den anderen abhängt, was bedeutet, dass eine Lösung sofort sichtbar ist. Wenn wählen E=A, dann

a 1=1, a 2 =a 3 =a 4 =0

wird eine Lösung geben. (Natürlich, wenn wir alle akzeptieren a gleich Null, dann ist dies auch eine Lösung, aber es gibt keinen Zustand!) Wir betrachten unsere erste Lösung als Zustand | ich>:

Seine Energie

E ich =A.

All dies gibt sofort einen Hinweis auf die zweite Lösung, die sich aus der letzten Gleichung in (10.18) ergibt:

a 1 =a 2 =a 3 =0, a 4 =1, E=A.

Wir nennen diese Entscheidung den Zustand | II>:

|//> = |4> = |-->,(10.20)

E (ein 2 + a 3 ) = A(ein 2 + a 3 ). (10.21)

Subtrahieren, haben wir

Wenn wir uns umsehen und uns an das Ammoniak erinnern, das wir bereits kennen, sehen wir, dass es hier zwei Lösungen gibt:

Dies sind Mischungen von Zuständen | 2 > und | 3 >. Bezeichnet sie | III> und | IV> und Einsetzen des Faktors 1/T2 zur korrekten Normalisierung haben wir

E III =A(10.24)

Wir haben vier stationäre Zustände und ihre Energien gefunden. Beachten Sie übrigens, dass unsere vier Zustände orthogonal zueinander sind, sodass sie auf Wunsch auch als Grundzustände betrachtet werden können. Unser Problem ist vollständig gelöst.

Die drei Zustände haben Energie gleich UND, und der letzte hat HINTER. Der Mittelwert ist Null, was bedeutet, dass wir in (10.5) gewählt haben E 0 = 0, Daher haben wir uns entschieden, alle Energien von ihrem Durchschnittswert aus zu zählen. Das Energieniveaudiagramm des Grundzustands von Wasserstoff wird wie in Abb. 10.2.

Feige. 10.2. Energieniveaudiagramm des Grundzustands von atomarem Wasserstoff.

Der Energieunterschied zwischen dem Staat | IV> und alle anderen sind 4 EIN. Ein Atom, das sich zufällig im Zustand | befindet ich>, kann von dort auf den Zustand | fallen IV>und emittieren Licht: kein optisches Licht, weil die Energie sehr klein ist, sondern ein Mikrowellenquant. Oder wenn wir Wasserstoffgas mit Mikrowellen beleuchten, bemerken wir die Energieabsorption, weil sich die Atome im Zustand | befinden IV>wird es abfangen und sich in einen der höheren Zustände bewegen, aber all dies ist nur bei einer Frequenz von w=4 EIN/h. Diese Frequenz wurde experimentell gemessen; Das beste Ergebnis, das vor relativ kurzer Zeit erzielt wurde, lautet wie folgt:

Der Fehler beträgt nur dreihundertmilliardstel! Wahrscheinlich ist keine der grundlegenden physikalischen Größen besser messbar als diese; Dies ist eine der herausragendsten Messungen in der Physik in Bezug auf die Genauigkeit. Die Theoretiker waren sehr glücklich, als sie die Energie auf 3·10 -5 genau berechnen konnten; aber zu diesem Zeitpunkt war es mit einer Genauigkeit von 2·10 -11 gemessen worden, d.h. eine Million Mal genauer als in der Theorie. Die Experimentatoren sind also den Theoretikern weit voraus. In der Theorie des Grundzustands des Wasserstoffatoms und Sie, und wir sind in der gleichen Position. Sie können auch den Wert übernehmen UND aus Erfahrung - und am Ende müssen alle das Gleiche tun.

Wahrscheinlich haben Sie schon einmal von der „21-cm-Linie“ von Wasserstoff gehört. Dies ist die Wellenlänge der Spektrallinie bei 1420 MHz zwischen Hyperfeinzuständen. Strahlung mit dieser Wellenlänge wird von atomarem Wasserstoffgas in Galaxien emittiert oder absorbiert. Das bedeutet, dass mit Hilfe von Radioteleskopen auf Wellen 21 abgestimmt wird cm(oder um 1420 MHz), man kann die Geschwindigkeiten und die Anordnung der atomaren Wasserstoffkonzentrationen beobachten. Indem Sie die Intensität messen, können Sie ihre Menge abschätzen. Durch Messung der durch den Doppler-Effekt verursachten Frequenzverschiebung kann die Gasbewegung in der Galaxie bestimmt werden. Dies ist eines der großen Radioastronomie-Programme. Also, worüber wir jetzt sprechen, ist etwas sehr Reales, es ist überhaupt keine künstliche Aufgabe.

§ 4. Zeeman-Spaltung

Obwohl wir die Aufgabe, die Energieniveaus des Grundzustands von Wasserstoff zu finden, bewältigt haben, werden wir unsere Untersuchung dieses interessanten Systems dennoch fortsetzen. Etwas anderes dazu sagen, zum Beispiel die Geschwindigkeit berechnen, mit der ein Wasserstoffatom Radiowellen der Länge 21 absorbiert oder aussendet cm, Sie müssen wissen, was mit ihm passiert, wenn er empört ist. Wir müssen das tun, was wir mit dem Ammoniakmolekül gemacht haben – nachdem wir die Energieniveaus gefunden hatten, gingen wir weiter und fanden heraus, was passiert, wenn sich das Molekül in einem elektrischen Feld befindet. Und danach war es nicht schwer, sich den Einfluss des elektrischen Feldes der Radiowelle vorzustellen. Im Falle eines Wasserstoffatoms macht das elektrische Feld nichts mit den Niveaus, außer dass es sie alle um einen konstanten Wert proportional zum Feldquadrat verschiebt, und das interessiert uns nicht, weil sich das nicht ändert Unterschiede Energien. Diesmal ist es wichtig magnetisch Gebiet. Der nächste Schritt besteht also darin, den Hamilton-Operator für den komplizierteren Fall zu schreiben, in dem das Atom in einem externen Magnetfeld sitzt.

Was ist dieser Hamiltonoperator? Wir sagen Ihnen nur die Antwort, weil wir Ihnen keinen anderen "Beweis" geben können, als zu sagen, dass das Atom so funktioniert.

Der Hamiltonoperator hat die Form

Jetzt besteht es aus drei Teilen. Erstes Mitglied UND(s e s p) stellt die magnetische Wechselwirkung zwischen einem Elektron und einem Proton dar; es ist dasselbe, als gäbe es kein Magnetfeld. Der Einfluss des äußeren Magnetfeldes manifestiert sich in den beiden anderen Termen. Zweite Amtszeit (-m e s e · BEI) ist die Energie, die ein Elektron in einem Magnetfeld hätte, wenn es allein dort wäre. Ebenso ist der letzte Term (-m p s R · BEI) wäre die Energie eines einzelnen Protons. Nach der klassischen Physik wäre die Energie von beiden zusammen die Summe ihrer Energien; nach der Quantenmechanik ist das auch richtig. Die durch das Vorhandensein eines Magnetfelds entstehende Wechselwirkungsenergie ist einfach die Summe der Wechselwirkungsenergien eines Elektrons mit einem Magnetfeld und eines Protons mit demselben Feld, ausgedrückt in Form von Sigma-Operatoren. In der Quantenmechanik sind diese Begriffe nicht wirklich Energien, aber die Bezugnahme auf die klassischen Formeln für Energie hilft, sich die Regeln zum Schreiben des Hamilton-Operators zu merken. Als ob. (10.27) ist jedoch der richtige Hamiltonoperator.

Jetzt müssen Sie zum Anfang zurückkehren und das ganze Problem erneut lösen. Aber die meiste Arbeit ist bereits erledigt, wir müssen nur noch die Effekte hinzufügen, die von den neuen Mitgliedern aufgerufen werden. Wir nehmen an, dass das Magnetfeld B konstant und entlang gerichtet ist z. Dann zu unserem alten Hamilton-Operator H^ zwei neue Stücke müssen hinzugefügt werden; Lassen Sie uns sie bezeichnen H^":

Tabelle verwenden. 10.1 bekommen wir sofort

Sehen Sie, wie bequem! Operator H", auf jeden Zustand wirkt, ergibt einfach eine Zahl multipliziert mit demselben Zustand. In der Matrix i|H"|j> steht also nur Diagonale Elemente, und man kann einfach die Koeffizienten aus (10.28) zu den entsprechenden Diagonaltermen in (10.13) addieren, so dass die Hamilton-Gleichungen (10.14) werden

Die Form der Gleichungen hat sich nicht geändert, nur die Koeffizienten haben sich geändert. Und während BEI sich im Laufe der Zeit nicht ändert, können Sie alles genauso machen wie bisher.

Ersetzen

, wir bekommen

Glücklicherweise sind die erste und die vierte Gleichung immer noch unabhängig von den anderen, sodass die gleiche Technik wieder ins Spiel kommt. Eine Lösung ist der Zustand | ich> wofür

Eine andere Lösung

Die anderen beiden Gleichungen erfordern mehr Arbeit, da die Koeffizienten bei a 2 und 3 sind nicht mehr gleich. Aber andererseits sind sie dem Gleichungspaar sehr ähnlich, das wir für das Ammoniakmolekül geschrieben haben. Wenn wir auf die Gleichungen (7.20) und (7.21) zurückblicken, können wir die folgende Analogie ziehen (denken Sie daran, dass die Indizes 1 und 2 dort den Indizes 2 und 3 hier entsprechen):

Früher wurden die Energien durch die Formel (7.25) angegeben, die die Form hatte

Setzen wir hier (10.33) ein, erhalten wir für die Energie

In Kap. 7 nannten wir diese Energien früher E ich und E II , jetzt werden wir sie beschriften E III und E IV :

Wir haben also die Energien der vier stationären Zustände des Wasserstoffatoms in einem konstanten Magnetfeld gefunden. Lassen Sie uns unsere Berechnungen überprüfen, die wir anstreben BEI auf Null und sehen, ob wir die gleichen Energien wie im vorherigen Absatz erhalten. Sie können sehen, dass das Gewicht in Ordnung ist. Bei B= 0 Energie E ich , E II und E III auf + drehen UND, a E IV - in - HINTER. Sogar unsere Nummerierung der Staaten stimmt mit der vorherigen überein. Aber wenn wir das Magnetfeld einschalten, beginnt sich jede Energie auf ihre eigene Weise zu verändern. Mal sehen, wie es geht.

Zunächst erinnern wir uns, dass m e für ein Elektron negativ und fast 1000-mal größer ist als m p , was positiv ist. Daher sind sowohl m e +mp als auch me – m p beide negativ und nahezu gleich. Nennen wir sie -m und -m":

(Sowohl m als auch m" sind positiv und stimmen in ihrer Größe fast mit me überein, was ungefähr einem Bohr-Magneton entspricht.) Unsere vier Energien werden dann zu

Energie E ich zunächst gleich UND und steigt linear mit an BEI mit Geschwindigkeit m. Energie E II ist auch gleich am anfang EIN, aber mit Wachstum BEI linear sinkt die Steigung seiner Kurve ist -m . Ändern Sie diese Ebenen aus BEI in FIG. 10.3. Die Abbildung zeigt auch die Energiekurven E III und E IV . Ihre Abhängigkeit von BEI anders. Bei klein BEI sie sind abhängig von BEI quadratisch; Zuerst ist ihre Neigung gleich Null, und dann beginnen sie sich zu biegen, und bei großes B gerade Linien mit einer Steigung von ±m" nahe an der Steigung anfahren e ich und E II

Die Verschiebung der Energieniveaus eines Atoms, die durch die Einwirkung eines Magnetfelds verursacht wird, wird als der Zeeman-Effekt. Wir sagen, dass die Kurven in Abb. 10.3 zeigen Zeeman-Spaltung Grundzustand von Wasserstoff.

Feige. 10.3. Energieniveaus im Grundzustand

Wasserstoff in einem MagnetfeldBEI .

Kurven E III und E IV nähern Sie sich den gepunkteten Linien

A ± m "B.

Wenn kein Magnetfeld vorhanden ist, erhält man einfach eine Spektrallinie aus der Hyperfeinstruktur von Wasserstoff. Zustandsübergänge | IV> und alle anderen drei treten bei der Absorption oder Emission eines Photons mit einer Frequenz von 1420 auf MHz:1/h, multipliziert mit der Energiedifferenz 44. Aber wenn das Atom in einem Magnetfeld B ist, dann gibt es viel mehr Linien. Übergänge zwischen zwei beliebigen der vier Zustände können auftreten. Wenn wir also Atome in allen vier Zuständen haben, dann kann Energie in jedem der sechs in Abb. 10.4 vertikale Pfeile.

Feige. 10.4. Übergänge zwischen Energieniveaus des Grundzustands von Wasserstoff in einem bestimmten MagnetfeldBEI.

Viele dieser Übergänge können mit der Rabi-Molekularstrahltechnik beobachtet werden, die wir in Kap. 35, § 3 (Ausgabe 7).

Was ist der Grund für die Übergänge? Sie entstehen, wenn zusammen mit einem starken Gleichfeld B Legen Sie ein kleines störendes Magnetfeld an, das sich mit der Zeit ändert. Dasselbe beobachteten wir bei der Einwirkung eines elektrischen Wechselfeldes auf ein Ammoniakmolekül. Nur hier ist der Übeltäter der Übergänge das Magnetfeld, das auf die magnetischen Momente wirkt. Aber die theoretischen Berechnungen sind die gleichen wie im Fall von Ammoniak. Am leichtesten erhält man sie, wenn man ein in der Ebene rotierendes Störmagnetfeld nimmt hu, obwohl dasselbe von jedem oszillierenden horizontalen Feld sein wird. Setzt man dieses Störfeld als zusätzlichen Term in den Hamiltonoperator ein, erhält man Lösungen, bei denen sich die Amplituden mit der Zeit ändern, wie es beim Ammoniakmolekül der Fall war. Dies bedeutet, dass Sie die Wahrscheinlichkeit des Übergangs von einem Zustand in einen anderen einfach und genau berechnen können. Und Sie werden feststellen, dass alles mit der Erfahrung übereinstimmt.

§ 5. Zustände in einem Magnetfeld

Beschäftigen wir uns nun mit der Form der Kurven in Abb. 10.3. Erstens, wenn wir über große Felder sprechen, dann ist die Abhängigkeit der Energie vom Feld sehr interessant und leicht zu erklären. Für ausreichend groß BEI(nämlich wann mB/A>>1) in Formeln (10.37) kann man vernachlässigt werden. Die vier Energien nehmen die Form an

Dies sind die Gleichungen der vier Linien in Abb. 10.3. Diese Formeln können physikalisch wie folgt verstanden werden. Die Natur stationärer Zustände in Null das Feld wird vollständig durch die Wechselwirkung zweier magnetischer Momente bestimmt. Mischen von Primärzuständen | + -> und | - +> in stationären Zuständen |III> und | IV>durch diese Interaktion verursacht. Allerdings kann man kaum erwarten, dass jedes unserer Teilchen (sowohl Proton als auch Elektron) in starkes Äußeres Felder werden durch das Feld eines anderen Teilchens beeinflusst; jedes wird so tun, als wäre es allein im äußeren Feld. Dann wird (wie wir schon oft gesehen haben) der Spin des Elektrons entlang des äußeren Magnetfelds (entlang oder dagegen) gerichtet.

Der Spin des Elektrons sei nach oben gerichtet, d.h. längs des Feldes; seine Energie wird -m e sein B. Dabei kann das Proton unterschiedlich stehen. Wenn sein Spin auch nach oben gerichtet ist, dann ist seine Energie -m p b. Ihre Summe ist -(m e + m p) B=mB. Und genau das ist es E ich , und das ist sehr schön, denn wir beschreiben den Zustand |+ +>=| ich>. Es gibt auch ein kleines zusätzliches Mitglied UND(jetzt m B>>EIN), die die Wechselwirkungsenergie eines Protons und eines Elektrons darstellt, wenn ihre Spins parallel sind. (Wir dachten von Anfang an UND positiv, weil es nach der fraglichen Theorie so hätte sein müssen; dasselbe ergibt sich im Experiment.) Der Spin des Protons kann aber auch nach unten gerichtet sein. Dann verwandelt sich seine Energie im äußeren Feld in +m Р B, und zusammen mit dem Elektron wird ihre Energie - (m e -m p) B= m BEI. Und die Interaktionsenergie verwandelt sich in - UND. Ihre Summe wird Energie geben E III , in (10.38). Also Staat | III>in starken Feldern wird der Zustand |+ ->.

Nun sei der Spin des Elektrons nach unten gerichtet. Seine Energie im äußeren Feld ist gleich m e BEI. Wenn das Proton auch nach unten schaut, dann ist seine Gesamtenergie (m e + m p) B = - m Plus Wechselwirkungsenergie UND(die Rücken sind jetzt parallel). Es führt gerade noch rechtzeitig zu Energie E II in (10.38) und entspricht dem Zustand |- ->=| II>, was sehr schön ist. Und schließlich, wenn der Spin eines Elektrons nach unten und der eines Protons nach oben gerichtet ist, dann erhalten wir die Energie (m e -m p )В-А (minus A weil die Spins entgegengesetzt sind), d.h. E IV . Und der Staat antwortet |- +>.

„Moment mal“, sagst du wahrscheinlich Krank>und | IV>- es ist nicht Staaten | + - > und | -+>; sie sind sie Mischungen." Stimmt, aber die Mischung ist hier kaum wahrnehmbar. Tatsächlich sind sie bei 5=0 Mischungen, aber wir haben noch nicht herausgefunden, was im Großen und Ganzen passiert BEI. Als wir die Analogie zwischen (10.33) und den Formeln von Kap. 7, dann war es gleichzeitig möglich, die Amplituden von dort zu nehmen. Sie erhält man aus (7.23):

Attitüde a 2 /a 3 - natürlich diesmal C 2 /C 3 Durch Einsetzen ähnlicher Größen aus (10.33) erhalten wir

wo statt E Sie müssen die richtige Energie nehmen (bzw E III , oder E IV ). Zum Beispiel für den Zustand | III>wir haben

Also für groß BEI y Zustand | ///> Mit 2 >>C 3 ;Staat wird fast vollständig zum Staat | 2>= |+ ->. Ebenso, wenn wir in (10.39) substituieren e iv , dann stellt sich heraus, dass (С 2 /С 3) IV> einfach in den Zustand |3> übergeht = |- +>. Sie sehen, dass die Koeffizienten in den Linearkombinationen unserer Basiszustände, die die stationären Zustände selbst bilden, davon abhängen BEI.

Den Zustand nennen wir | III>, bei sehr schwachen Feldern ist es eine Mischung aus |+ -> und |- +> im Verhältnis 1:1, bei starken Feldern verschiebt es sich aber ganz nach |+ ->. Ebenso der Zustand | IV>, das bei schwachen Feldern auch eine Mischung aus |+ -> und |- +> im Verhältnis 1:1 (mit umgekehrtem Vorzeichen) ist, geht in den Zustand | über - +), wenn die Spins durch ein starkes äußeres Feld nicht mehr miteinander verbunden sind.

Ich möchte Ihre Aufmerksamkeit insbesondere auf das lenken, was in passiert sehr schwach Magnetfelder. Es gibt eine Energie ( -3A), welcher ändert sich nicht wenn ein schwaches Magnetfeld eingeschaltet wird. Und es gibt eine andere Energie +A), die sich, wenn ein schwaches Magnetfeld eingeschaltet wird, in drei verschiedene Energieniveaus aufspaltet. In schwachen Energiefeldern mit zunehmender BEIändern, wie in Abb. 10.5. Nehmen wir an, wir haben einen irgendwie ausgewählten Satz von Wasserstoffatomen, die alle eine Energie haben, die gleich ist - 3A. Wenn wir sie durch ein Stern-Gerlach-Gerät (mit nicht sehr starken Feldern) führen, werden wir feststellen, dass sie einfach vollständig durchgehen. (Weil ihre Energie nicht davon abhängt BEI, dann erzeugt der Gradient des Magnetfelds gemäß dem Prinzip der virtuellen Arbeit keine Kraft, die von ihnen gefühlt würde.) Nehmen wir andererseits an, wir würden eine Gruppe von Atomen mit der Energie + auswählen UND und leitete sie durch das Stern-Gerlach-Gerät, sagen wir durch das Gerät S.(Auch hier sollten die Felder im Apparat nicht so stark sein, dass sie das Innere des Atoms zerstören; es versteht sich, dass die Felder klein genug sind, dass die Energien als linear abhängig betrachtet werden können BEI.) Wir hätten erhalten drei Bündel. Auf Staaten | ich> und | II>gegensätzliche Kräfte wirken, ihre Energien ändern sich entsprechend BEI linear mit Steigung ±m, so dass Stärkeähneln den auf einen Dipol wirkenden Kräften, bei denen m z = ±m , und Zustand | III> geht direkt durch. Wir sind zurück bei Kap. 3. Ein Wasserstoffatom mit der Energie +A ist ein Teilchen mit Spin 1. Dieser Energiezustand ist ein "Teilchen", für das j=1, und kann (in Bezug auf ein Achsensystem im Raum) durch die Basiszustände |+ beschrieben werden S>, | 0S> und |- S>, die wir in Kap. 3. Andererseits, wenn das Wasserstoffatom eine Energie von -3 hat UND, es ist ein Teilchen ohne Spin. (Wir erinnern daran, dass streng genommen alles, was gesagt wurde, nur für unendlich kleine Magnetfelder gilt.) Daher können die Zustände von Wasserstoff in einem Null-Magnetfeld wie folgt gruppiert werden:

In Kap. 35 (Ausgabe 7) haben wir gesagt, dass für jedes Teilchen die Komponenten des Drehimpulses entlang jeder Achse nur bestimmte Werte annehmen können, die sich immer um unterscheiden h. Also die z-Komponente des Drehimpulses J z kann gleich sein jh,(j-1) h, (j- 2)h,..., (-j)h, wo j ist der Spin des Teilchens (der ganzzahlig oder halbzahlig sein kann). Normalerweise schreiben

J z =mh,(10.43)

wo t steht anstelle einer der Zahlen j, j-1, j- 2, . . .,-j(damals haben wir das nicht erwähnt). Daher findet man in Büchern oft die Nummerierung der vier Grundzustände mit Hilfe der sog Quantenzahlen j und m[oft auch als „Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses“ bezeichnet ( j) und "magnetische Quantenzahl" (m)]. Anstelle unserer Statussymbole | ich>, |II> usw. Viele schreiben Zustände oft in der Form | j, m>. Unsere Zustandstabelle für den Nullkörper in (10.41) und (10.42) hätten sie in Form einer Tabelle dargestellt. 10.3. Hier gibt es keine neue Physik, es ist nur eine Frage der Notation.

Tabelle 10.3 STAATEN DES WASSERSTOFFATOMS IN EINEM NULLFELD

§ 6. Projektionsmatrix für Spin 1

Nun möchten wir unser Wissen über das Wasserstoffatom auf ein spezielles Problem anwenden. In Kap. 3 sprachen wir über das Teilchen mit Drehung 1, befindet sich in einem der Grundzustände (+, 0, -) in Bezug auf das Stern-Gerlach-Gerät mit einer bestimmten Ausrichtung (z. B. in Bezug auf das Gerät). S), wird eine bestimmte Amplitude haben, um in Bezug auf das Gerät in einem von drei Zuständen zu bleiben T, unterschiedlich im Raum orientiert. Es gibt neun solche Amplituden jT|iS> , die zusammen eine Projektionsmatrix bilden. In Kap. 3, § 7 haben wir ohne Beweis die Elemente dieser Matrix für verschiedene Orientierungen ausgeschrieben T gegenüber S. Jetzt wollen wir Ihnen eine der Möglichkeiten zeigen, sie anzuzeigen.

Im Wasserstoffatom haben wir ein System mit Spin 1 gefunden, das aus zwei Teilchen mit Spin 1/2 besteht. In Kap. 4 haben wir bereits gelernt, wie man die Amplituden für Spin 1/2 transformiert. Dieses Wissen kann angewendet werden, um eine Transformation für Spin 1 zu erhalten. So wird es gemacht: Es gibt ein System (ein Wasserstoffatom mit der Energie + UND) mit Spin 1. Lassen Sie es uns durch den Filter passieren S Stern - Gerlach, so dass wir jetzt wissen, dass es sich in Bezug auf einen der Primärzustände befindet S, Sagen Sie in |+ S). Wie groß ist die Tatsache, dass es sich in einem der Grundzustände befinden wird, sagen wir |+ T), bezogen auf das Gerät T? Wenn Sie das Koordinatensystem des Instruments benennen S System x, y, z, dann der Zustand |+ S> - dies wurde kürzlich als |+ +>-Zustand bezeichnet. Aber stellen Sie sich vor, ein Kumpel von Ihnen hätte seine Achse verbraucht z entlang der Achse T. Er wird seine Zustände einem System zuordnen x", y", z". Seine "oben"- und "unten"-Zustände für das Elektron und das Proton würden sich von Ihren unterscheiden. Ihm"plus - plus" Zustand, der aufgeschrieben werden kann | +"+">, das "Schraffieren" des Systems beachtend, gibt es einen Zustand |+ T> Teilchen mit Spin 1. Interessieren Sie sich für T|+ S> dass es nur eine andere Möglichkeit gibt, die Amplitude zu schreiben.

Die Amplitude kann wie folgt ermittelt werden. BEI dein Spin-System Elektron außer Landes | + +> ist nach oben gerichtet. Dies bedeutet, dass er eine gewisse Amplitude e hat, um im Spin-up-System Ihres Kumpels zu sein, und eine gewisse Amplitude e, um in diesem Spin-down-System zu sein. Ebenfalls, Proton können + + Bei hat Spin-Up in Ihrem Frame und die Amplituden p und p erweisen sich als Spin-Up oder Spin-Down im "grundierten" Frame. Da es sich um zwei verschiedene Teilchen handelt, ist die Amplitude von alle beide Partikel zusammen in ihm das System wird sich als Spin-Up herausstellen, ist gleich dem Produkt der Amplituden

Wir setzen die Zeichen e und p unter die Amplituden, damit klar ist, was wir tun. Aber beide sind nur Transformationsamplituden für ein Teilchen mit Spin 1/2, also sind sie tatsächlich die gleichen Zahlen. Tatsächlich sind dies dieselben Amplituden, die wir in Kap. 4 genannt T|+ S quoted1 > > und die wir in der Tabelle angegeben haben. 4.1 und 4.2.

Nun aber droht uns eine Notationsverwirrung. Man muss die Amplitude T|+ unterscheiden können S) für das Teilchen mit Spin 1/2 von dem, was wir sind gleich genannt T|+ S> aber für der Rücken 1-sie haben nichts gemeinsam! Ich hoffe, es wird Sie nicht zu sehr verwirren, wenn wir auf Zeit Wir führen eine andere Notation für die Amplituden für den Spin 1 / 2 ein. Sie sind in der Tabelle angegeben. 10.4. Für Spin-1-Teilchenzustände verwenden wir weiterhin die Notation | + S, | 0S> und |- S>.

Tabelle 10.4 AMPLITUDEN für SPIN 1 / 2

In unserer neuen Notation wird (10.44) einfach zu

Dies ist nur die Amplitude T|+ S> für Spin 1. Nehmen wir nun zum Beispiel an, Ihr Buddy hat ein Koordinatensystem, also eine „schraffierte“ Halterung T, umgedreht dein Achsen z im Winkel j; dann aus Tabelle. 4.2 stellt sich heraus

Daher wird nach (10.44) die Amplitude für Spin 1 gleich sein

Jetzt verstehen Sie, wie wir weiter vorgehen werden.

Aber es wäre gut, Berechnungen im allgemeinen Fall für alle Zustände durchzuführen. Wenn ein Proton und ein Elektron drin sind unsere System (system S) beide nachschlagen, dann werden die Amplituden dessen, was im anderen System ist (system T) sie befinden sich in einem von vier möglichen Zuständen,

Wir können den Zustand |+ +> dann als folgende Linearkombination schreiben:

Aber jetzt stellen wir fest, dass |+ "+"> ein Zustand von |+ ist T>, dass (| + "-">+|-"+">) nur C2 ist, multipliziert Zustand |0 T> [siehe (10.41)] und dass | - "-">= |- T>. Mit anderen Worten, (10.47) wird umgeschrieben als

Es ist genauso einfach, das zu zeigen

C |0 S> die Sache ist etwas komplizierter, weil

Aber jeder der Staaten | + - > und | - +> kann in Form von "schraffierten" Zuständen ausgedrückt und in die Summe eingesetzt werden:

Wenn wir die Summe (10,50) und (10,51) mit 1/C2 multiplizieren, erhalten wir

dies impliziert

Jetzt haben wir alle notwendigen Amplituden. Die Koeffizienten in (10.48), (10.49) und (10.52) sind die Matrixelemente

jТ| ist>. Fassen wir sie in einer Matrix zusammen:

Wir haben die Spin-1-Transformation in Bezug auf die Amplituden ausgedrückt a, b, mit und d Spin 1 / 2 Transformationen.

Wenn zum Beispiel das System T zugewandt S unter einem Winkel a um die Achse bei(siehe Abb. 3.6, S. 64), dann die Amplituden in Tabelle. 10.4 sind nur Matrixelemente R j(a) in der Tabelle. 4.2:

Setzen wir sie in (10.53) ein, so erhalten wir Formeln (3.38), die auf Seite 80 ohne Beweis angegeben sind.

Aber was ist mit dem Staat passiert | IV)?! Dies ist ein Spin-Zero-System; es bedeutet, dass es nur einen Zustand hat - es in allen Koordinatensystemen gleich. Dass alles so funktioniert, können Sie überprüfen, wenn Sie die Differenz zwischen (10.50) und (10.51) bilden; wir bekommen

Aber (ad-bc)- die Determinante der Matrix für Spin 1 / 2 ist, sie ist gerade gleich eins. Es stellt sich heraus

|IV">=|IV> für eine beliebige relative Orientierung der beiden Koordinatensysteme.

* An diejenigen, die über ch gesprungen sind. 4, müssen Sie diesen Absatz überspringen.

* Denken Sie daran, dass klassischerweise U= -m·B ist, also ist die Energie am niedrigsten, wenn der Moment im Feld ist. Bei positiv geladenen Teilchen ist das magnetische Moment parallel zum Spin, bei negativ geladenen umgekehrt. Also in (10.27) m R eine positive Zahl ist und (m e - negativ.

*Crampton, Kleppner, Ramsey, Physical Review Letters, 11, 338 (1963).

*Eigentlich ist der Staat

aber wie üblich werden wir die Zustände mit konstanten Vektoren identifizieren, die bei t=0 mit den reellen Vektoren zusammenfallen.

* Dieser Operator wird jetzt Spin-Exchange-Operator genannt.

* Für diese Operatoren stellt sich jedoch heraus, dass nichts von ihrer Bestellung abhängt.

Obwohl wir die Aufgabe, die Energieniveaus des Grundzustands von Wasserstoff zu finden, bewältigt haben, werden wir unsere Untersuchung dieses interessanten Systems dennoch fortsetzen. Etwas anderes dazu sagen, zum Beispiel die Geschwindigkeit berechnen, mit der ein Wasserstoffatom Radiowellen der Länge 21 absorbiert oder aussendet cm, Sie müssen wissen, was mit ihm passiert, wenn er empört ist. Wir müssen das tun, was wir mit dem Ammoniakmolekül gemacht haben – nachdem wir die Energieniveaus gefunden hatten, gingen wir weiter und fanden heraus, was passiert, wenn sich das Molekül in einem elektrischen Feld befindet. Und danach war es nicht schwer, sich den Einfluss des elektrischen Feldes der Radiowelle vorzustellen. Im Falle eines Wasserstoffatoms macht das elektrische Feld nichts mit den Niveaus, außer dass es sie alle um einen konstanten Wert proportional zum Feldquadrat verschiebt, und das interessiert uns nicht, weil sich das nicht ändert Unterschiede Energien. Diesmal ist es wichtig Magnetkein E Gebiet. Der nächste Schritt besteht also darin, den Hamilton-Operator für den komplizierteren Fall zu schreiben, in dem das Atom in einem externen Magnetfeld sitzt.

Was ist dieser Hamiltonoperator? Wir sagen Ihnen nur die Antwort, weil wir Ihnen keinen anderen "Beweis" geben können, als zu sagen, dass das Atom so funktioniert.

Der Hamiltonoperator hat die Form

Jetzt besteht es aus drei Teilen. Erstes Mitglied UND(σ e ·σ p) stellt die magnetische Wechselwirkung zwischen einem Elektron und einem Proton dar; es ist dasselbe, als gäbe es kein Magnetfeld. Der Einfluss des äußeren Magnetfeldes manifestiert sich in den beiden anderen Termen. Der zweite Begriff (- μ e σ e B) ist die Energie, die ein Elektron in einem Magnetfeld haben würde, wenn es allein dort wäre. Genauso wäre der letzte Term (- μ r σ r ·B) die Energie eines einzelnen Protons. Nach der klassischen Physik wäre die Energie von beiden zusammen die Summe ihrer Energien; nach der Quantenmechanik ist das auch richtig. Die durch das Vorhandensein eines Magnetfelds entstehende Wechselwirkungsenergie ist einfach die Summe der Wechselwirkungsenergien eines Elektrons mit einem Magnetfeld und eines Protons mit demselben Feld, ausgedrückt in Form von Sigma-Operatoren. In der Quantenmechanik sind diese Begriffe nicht wirklich Energien, aber die Bezugnahme auf die klassischen Formeln für Energie hilft, sich die Regeln zum Schreiben des Hamilton-Operators zu merken. Wie dem auch sei, (10.27) ist der richtige Hamiltonoperator.

Jetzt müssen Sie zum Anfang zurückkehren und das ganze Problem erneut lösen. Aber die meiste Arbeit ist bereits erledigt, wir müssen nur noch die Effekte hinzufügen, die von den neuen Mitgliedern aufgerufen werden. Wir nehmen an, dass das Magnetfeld B konstant und entlang gerichtet ist z. Dann zu unserem alten Hamilton-Operator H zwei neue Stücke müssen hinzugefügt werden; Lassen Sie uns sie bezeichnen H':

Sehen Sie, wie bequem! Der Operator H , der auf jeden Zustand wirkt, gibt einfach eine Zahl multipliziert mit demselben Zustand an. In der Matrix<¡|H′| j>existieren also nur Diagonale Elemente, und man kann einfach die Koeffizienten aus (10.28) zu den entsprechenden Diagonaltermen in (10.13) addieren, so dass die Hamilton-Gleichungen (10.14) werden

Die Form der Gleichungen hat sich nicht geändert, nur die Koeffizienten haben sich geändert. Und während BEI sich im Laufe der Zeit nicht ändert, können Sie alles genauso machen wie bisher.
Ersetzen MIT= ein l e-(/h)Et, wir bekommen

Glücklicherweise sind die erste und die vierte Gleichung immer noch unabhängig von den anderen, sodass die gleiche Technik wieder ins Spiel kommt. Eine Lösung ist der Zustand |/>, für den

Die anderen beiden Gleichungen erfordern mehr Arbeit, da die Koeffizienten für a 2 und eine 3 sind einander nicht mehr gleich. Aber andererseits sind sie dem Gleichungspaar sehr ähnlich, das wir für das Ammoniakmolekül geschrieben haben. Wenn wir auf die Gleichungen (7.20) und (7.21) zurückblicken, können wir die folgende Analogie ziehen (denken Sie daran, dass die Indizes 1 und 2 dort den Indizes 2 und 3 hier entsprechen):

Früher wurden die Energien durch die Formel (7.25) angegeben, die die Form hatte

In Kapitel 7 nannten wir diese Energien E ich und E II, werden wir sie jetzt beschriften E III und EIV

Wir haben also die Energien der vier stationären Zustände des Wasserstoffatoms in einem konstanten Magnetfeld gefunden. Lassen Sie uns unsere Berechnungen überprüfen, die wir anstreben BEI auf Null und sehen, ob wir die gleichen Energien wie im vorherigen Absatz erhalten. Sie sehen, dass alles in Ordnung ist. Bei B=0 Energie E ich, E II und E III gelten +A, a EIV - in - 3A. Sogar unsere Nummerierung der Staaten stimmt mit der vorherigen überein. Aber wenn wir das Magnetfeld einschalten, beginnt sich jede Energie auf ihre eigene Weise zu verändern. Mal sehen, wie es geht.

Zunächst erinnern wir uns, dass das Elektron μe negativ und fast 1000 mal mehr μ p, was positiv ist. Daher sind sowohl μ e + μ r als auch μ e – μ r beide negativ und nahezu gleich. Nennen wir sie -μ und -μ′:

(UND μ , und μ′ sind positiv und fallen betragsmäßig fast mit μ zusammen e, was ungefähr einem Bohr-Magneton entspricht.) Unsere vier Energien werden sich dann verwandeln in

Energie E ich zunächst gleich UND und steigt linear mit an BEI mit Geschwindigkeit μ. Energie EII ist auch gleich am anfang UND, aber mit wachstum BEI linear sinkt die Steigung seiner Kurve ist - μ . Ändern Sie diese Ebenen aus BEI gezeigt in Abb.10.3. Die Abbildung zeigt auch die Energiekurven E III und EIV. Ihre Abhängigkeit von BEI anders. Bei klein BEI sie sind abhängig von BEI quadratisch; Zuerst ist ihre Neigung gleich Null, und dann beginnen sie sich zu biegen, und bei großes B Nähern Sie sich geraden Linien mit einer Steigung von ± μ ' in der Nähe der Piste E ich und EII.

Die Verschiebung der Energieniveaus eines Atoms, die durch die Einwirkung eines Magnetfelds verursacht wird, wird als der Zeeman-Effekt. Wir sagen, dass die Kurven in Abb. 10.3 zeigen Zeeman-Spaltung Grundzustand von Wasserstoff. Wenn kein Magnetfeld vorhanden ist, erhält man einfach eine Spektrallinie aus der Hyperfeinstruktur von Wasserstoff. Zustandsübergänge | IV> und alle anderen drei treten bei der Absorption oder Emission eines Photons auf, dessen Frequenz 1420 beträgt MHz:1/Std, multipliziert mit der Energiedifferenz 4A. Aber wenn sich das Atom in einem Magnetfeld B befindet, dann gibt es viel mehr Linien. Übergänge zwischen zwei beliebigen der vier Zustände können auftreten. Wenn wir also Atome in allen vier Zuständen haben, dann kann Energie in jedem der sechs in Abb. 10.4 vertikale Pfeile. Viele dieser Übergänge können mit der Rabi-Molekularstrahltechnik beobachtet werden, die wir in Kap. 35, § 3 (Ausgabe 7).

Was ist der Grund für die Übergänge? Sie entstehen, wenn zusammen mit einem starken Gleichfeld BEI Legen Sie ein kleines störendes Magnetfeld an, das sich mit der Zeit ändert. Dasselbe beobachteten wir bei der Einwirkung eines elektrischen Wechselfeldes auf ein Ammoniakmolekül. Nur hier ist der Übeltäter der Übergänge das Magnetfeld, das auf die magnetischen Momente wirkt. Aber die theoretischen Berechnungen sind die gleichen wie im Fall von Ammoniak. Am leichtesten erhält man sie, wenn man ein in der Ebene rotierendes Störmagnetfeld nimmt hu, obwohl dasselbe von jedem oszillierenden horizontalen Feld sein wird. Setzt man dieses Störfeld als zusätzlichen Term in den Hamiltonoperator ein, erhält man Lösungen, bei denen sich die Amplituden mit der Zeit ändern, wie es beim Ammoniakmolekül der Fall war. Dies bedeutet, dass Sie die Wahrscheinlichkeit des Übergangs von einem Zustand in einen anderen einfach und genau berechnen können. Und Sie werden feststellen, dass alles mit der Erfahrung übereinstimmt.

Bisher haben wir über die Merkmale der Struktur der Spektren gesprochen, die durch die Eigenschaften der Elektronenwolke des Atoms erklärt werden.

Details in der Struktur der Spektren, die aus dieser Sicht nicht erklärt werden können, sind jedoch seit langem bekannt. Dazu gehören die komplexe Struktur einzelner Quecksilberlinien und die Doppelstruktur jeder der beiden gelben Natriumlinien, die 1928 von L. N. Dobretsov und A. N. Terenin entdeckt wurden. Im letzteren Fall betrug der Abstand zwischen den Komponenten nur 0,02 Å, was 25-mal kleiner ist als der Radius des Wasserstoffatoms. Diese Details der Struktur des Spektrums nennt man Hyperfeinstruktur (Abb. 266).

Reis. 266. Hyperfeinstruktur der Natriumlinie.

Für seine Untersuchung werden normalerweise der Fabry-Perot-Standard und andere Geräte mit hoher Auflösung verwendet. Die geringste Ausdehnung von Spektrallinien, verursacht durch die Wechselwirkung von Atomen untereinander oder durch ihre thermische Bewegung, führt zur Verschmelzung der Bestandteile der Hyperfeinstruktur. Daher wird die Methode der Molekularstrahlen, die zuerst von L. N. Dobretsov und A. N. Terenin vorgeschlagen wurde, derzeit weit verbreitet verwendet. Bei dieser Methode wird das Leuchten oder die Absorption eines im Vakuum fliegenden Atomstrahls beobachtet.

1924 unternahm der japanische Physiker Nagaoka den ersten Versuch, die Hyperfeinstruktur mit der Rolle des Atomkerns in Spektren in Verbindung zu bringen. Dieser Versuch wurde in einer sehr wenig überzeugenden Form unternommen und sorgte bei Bekannten für völlig spöttische Kritik

Spektroskopiker I. Runge. Er ordnete jedem Buchstaben des Nagaoka-Nachnamens seine Ordnungszahl im Alphabet zu und zeigte, dass eine willkürliche Kombination dieser Zahlen untereinander die gleiche gute Übereinstimmung mit den experimentellen Daten ergibt wie Nagaokas Theorie.

Pauli stellte jedoch bald fest, dass in Nagaokas Ideen ein Körnchen Wahrheit steckte und dass die Hyperfeinstruktur tatsächlich in direktem Zusammenhang mit den Eigenschaften des Atomkerns stand.

Es sollten zwei Arten von Hyperfeinstrukturen unterschieden werden. Der erste Typ entspricht einer Hyperfeinstruktur, die gleiche Anzahl von Komponenten für alle Linien des Spektrums eines bestimmten Elements. Das Auftreten dieser Hyperfeinstruktur ist mit dem Vorhandensein von Isotopen verbunden. Bei der Untersuchung des Spektrums eines isolierten Isotops bleibt nur eine Komponente der Hyperfeinstruktur dieses Typs übrig. Bei leichten Elementen lässt sich das Auftreten einer solchen Hyperfeinstruktur durch einfache mechanische Überlegungen erklären. In § 58 betrachteten wir beim Wasserstoffatom den Kern als bewegungslos. Tatsächlich kreisen Kern und Elektron um einen gemeinsamen Massenmittelpunkt (Abb. 267). Der Abstand vom Kern zum Massenmittelpunkt ist sehr klein, er ist ungefähr gleich dem Abstand zum Elektron, der Masse des Elektrons, der Masse des Kerns.

Reis. 267. Rotation von Kern und Elektron um einen gemeinsamen Schwerpunkt.

Dadurch erhält die Energie des Atoms einen etwas anderen Wert, was zu einer Änderung der Rydberg-Konstante führt

wobei der Wert der Rydberg-Konstante dem festen Kern entspricht

Der letztgenannte Umstand diente als Grundlage für die spektroskopische Entdeckung des schweren Wasserstoffs 1932 entdeckten Urey, Maffey und Brickwid schwache Begleiter der Linie der Balmer-Reihe in der Wasserstoffspektrum.

Unter der Annahme, dass diese Satelliten Linien eines schweren Wasserstoffisotops mit einem Atomgewicht von zwei entsprechen, berechneten sie mit (1) die Wellenlängen und verglichen sie mit experimentellen Daten.

Nach Formel (1) sollte der Isotopeneffekt für Elemente mit mittleren und großen Atomgewichten verschwindend klein sein.

Diese Schlussfolgerung wird experimentell für Elemente mit mittlerem Gewicht bestätigt, steht aber seltsamerweise in scharfem Widerspruch zu den Daten für schwere Elemente. Schwere Elemente weisen deutlich eine isotopische Hyperfeinstruktur auf. Nach der vorliegenden Theorie spielt in diesem Fall nicht mehr die Masse eine Rolle, sondern die endlichen Dimensionen des Kerns.

Die Definition des Meters im SI-System (GOST 9867-61) berücksichtigt die Rolle der Hyperfeinstruktur, indem sie das Isotop von Krypton angibt: „Der Meter ist eine Länge gleich 1650763,73 Wellenlängen im Vakuum der Strahlung, die dem Übergang entspricht zwischen den Ebenen des Kryptonatoms 86".

Die zweite Art von Hyperfeinstruktur ist nicht mit dem Vorhandensein einer Mischung von Isotopen verbunden; insbesondere wird eine solche Hyperfeinstruktur bei Wismut beobachtet, das nur ein Isotop aufweist.

Der zweite Typ von Hyperfeinstruktur hat eine unterschiedliche Form für verschiedene Spektrallinien desselben Elements. Die zweite Art der Hyperfeinstruktur wurde von Pauli erklärt, der dem Kern sein eigenes mechanisches Drehmoment (Spin) zuschrieb, ein Vielfaches von

Reis. 268. Ursprung der Hyperfeinstruktur der gelben Natriumlinien.

Das gesamte Rotationsmoment eines Atoms ist gleich der Vektorsumme aus dem Kernmoment und dem Moment der Elektronenhülle. Das Gesamtdrehmoment muss wie alle atomaren Momente quantisiert werden. Daher entsteht wieder eine räumliche Quantisierung – nur bestimmte Orientierungen des Kerndrehmoments in Bezug auf das Drehmoment der Elektronenhülle sind erlaubt. Jede Orientierung entspricht einer bestimmten Unterebene der Atomenergie.Wie bei Multipletts entsprechen hier verschiedene Unterebenen einer unterschiedlichen Mengean magnetischer Energie des Atoms. Aber die Masse des Kerns ist tausendmal größer als die Masse des Elektrons, und daher ist das magnetische Moment des Kerns ungefähr genauso oft kleiner als das magnetische Moment des Elektrons. Daher sollten Änderungen in der Orientierung des Kernmoments nur sehr kleine Energieänderungen verursachen, die sich in der Hyperfeinstruktur der Linien zeigen. Auf Abb. 268 zeigt Diagramme der Hyperfeinstruktur von Natrium. Rechts neben jedem Energieniveau steht eine Zahl, die das Gesamtdrehmoment kennzeichnet. Der Spin des Atomkerns von Natrium erwies sich als gleich

Wie aus der Abbildung ersichtlich, besteht jede der gelben Natriumlinien aus einer Vielzahl von Komponenten, die bei ungenügender Auflösung wie zwei schmale Dubletts aussehen. Es stellte sich heraus, dass die aus der Analyse der Hyperfeinstruktur (insbesondere für Stickstoff) bestimmten Rotationsmomente der Kerne im Widerspruch zu der Hypothese der Existenz von Elektronen in der Zusammensetzung des Kerns standen, die von D. D. Ivanenko verwendet wurde, um dies zu behaupten die Kerne bestehen aus Protonen und Neutronen (§ 86).

Anschließend (seit 1939) wurde die viel genauere radiospektrographische Rabi-Methode zur Bestimmung von Kernmomenten eingesetzt.

Rabis radiospektroskopisches Schema zur Bestimmung kernmagnetischer Momente ist sozusagen zwei in Reihe geschaltete Stern-Gerlach-Anlagen (S. 317) mit einander entgegengesetzten Richtungen inhomogener Magnetfelder. Der Molekularstrahl durchdringt nacheinander beide Anlagen. Wird der Molekularstrahl im ersten Aufbau beispielsweise nach rechts abgelenkt, so wird er im zweiten Aufbau nach links abgelenkt. Der Effekt einer Einstellung kompensiert den Effekt einer anderen. Zwischen diesen beiden Einstellungen befindet sich ein Gerät, das die Kompensation verletzt. Es besteht aus einem Elektromagneten, der ein gleichmäßiges Magnetfeld erzeugt, und Elektroden, die mit einem Generator für hochfrequente Schwingungen verbunden sind. Das homogene Magnetfeld ist parallel zum Magnetfeld der ersten Stern-Gerlach-Anlage ausgerichtet.

Ein Teilchen mit einem schräg zur Feldrichtung gerichteten magnetischen Moment hat potentielle Energie (Bd. II, § 58). Derselbe Winkel bestimmt den Betrag der Strahlablenkung im ersten Stern-Gerlach-Aufbau. Unter Einwirkung eines Hochfrequenzfeldes kann sich die Orientierung des magnetischen Moments ändern und die magnetische Energie wird gleich, diese Änderung der magnetischen Energie muss gleich der Energie des Photons sein, das den Übergang verursacht hat (Absorption oder erzwungener Übergang, § 73):

Mögliche Werte werden durch das räumliche Quantisierungsgesetz bestimmt. Die Strahlablenkung in der zweiten Anordnung hängt vom Winkel ab Da der Winkel nicht gleich dem Winkel ist, ist diese Ablenkung nicht gleich der Ablenkung in der ersten Anordnung und die Kompensation wird verletzt. Eine Verletzung der Abweichungskompensation wird nur bei Frequenzen beobachtet, die das angegebene Verhältnis erfüllen; mit anderen Worten, der beobachtete Effekt ist ein Resonanzeffekt, der die Genauigkeit des Verfahrens stark verbessert. Aus den gemessenen Frequenzen werden die magnetischen Momente der Kerne mit hoher Genauigkeit berechnet.

Die herkömmliche optische Spektroskopie behält jedoch ihren vollen Wert für die Untersuchung von Isotopeneffekten, wo Radiospektroskopie grundsätzlich nicht anwendbar ist. Isotopeneffekte sind von besonderem Interesse für die Theorie der Kernkräfte und intranuklearen Prozesse.

In den letzten Jahren sind Spektroskopiker wieder zu einer gründlichen Untersuchung des Spektrums von Wasserstoff zurückgekehrt. Das Spektrum des Wasserstoffs erwies sich als buchstäblich unerschöpfliche Quelle für neue Entdeckungen.

In § 59 wurde bereits gesagt, dass sich bei der Untersuchung mit hochauflösenden Geräten jede Linie des Wasserstoffspektrums als doppelt erweist. Es wurde lange geglaubt, dass die Theorie dieser subtilen Details des Wasserstoffspektrums in ausgezeichneter Übereinstimmung mit experimentellen Daten steht. Aber ab 1934 begannen Spektroskopiker, vorsichtig auf die Existenz kleiner Diskrepanzen zwischen Theorie und Erfahrung hinzuweisen. Die Abweichungen lagen innerhalb der Messgenauigkeit. Die Geringfügigkeit der Effekte lässt sich anhand folgender Zahlen beurteilen: Nach der Theorie müsste die Linie im Grunde aus zwei Linien mit folgenden Wellenzahlen bestehen: 15233,423 und Die theoretische Differenz der Wellenzahlen beträgt jeweils nur ein Tausendstel Prozent Wellennummer. Das Experiment ergab einen Wert für diesen Unterschied, etwa 2% weniger Michelson sagte einmal, dass "wir unsere zukünftigen Entdeckungen in der sechsten Dezimalstelle suchen sollten". Wir sprechen hier von der Diskrepanz in der achten Dezimalstelle. 1947 wandten sich Lamb und Riserford wieder demselben Problem zu, nutzten jedoch die neuesten Fortschritte in der Technologie physikalischer Experimente. Die alte Theorie führte zu einem Schema niedrigerer Energieniveaus für die Linie in Abb. 269.