Finden Sie die Differenz einer arithmetischen Progressionsformel. Die Summe einer arithmetischen Folge
Wenn jede natürliche Zahl N einer reellen Zahl entsprechen ein , dann sagen sie das gegeben Zahlenfolge :
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein , . . . .
Eine Zahlenfolge ist also eine Funktion eines natürlichen Arguments.
Nummer A 1 angerufen das erste Mitglied der Sequenz , Nummer A 2 — das zweite Mitglied der Sequenz , Nummer A 3 — dritte usw. Nummer ein angerufen n-tes Mitglied der Sequenz und die natürliche Zahl N — seine Nummer .
Von zwei benachbarten Mitgliedern ein Und ein +1 Mitgliedersequenzen ein +1 angerufen anschließend (in Richtung ein ), A ein — vorherige (in Richtung ein +1 ).
Um eine Sequenz anzugeben, müssen Sie eine Methode angeben, mit der Sie ein Sequenzmitglied mit einer beliebigen Nummer finden können.
Oft wird die Reihenfolge mit angegeben n-te Termformeln , also eine Formel, mit der Sie ein Sequenzelement anhand seiner Nummer bestimmen können.
Zum Beispiel,
Die Folge positiver ungerader Zahlen kann durch die Formel angegeben werden
ein= 2N- 1,
und die Reihenfolge des Wechselns 1 Und -1 - Formel
B N = (-1)N +1 . ◄
Die Reihenfolge kann bestimmt werden wiederkehrende Formel, Das heißt, eine Formel, die jedes Mitglied der Sequenz ausdrückt, beginnend mit einigen, bis hin zu den vorherigen (einem oder mehreren) Mitgliedern.
Zum Beispiel,
Wenn A 1 = 1 , A ein +1 = ein + 5
A 1 = 1,
A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Wenn eine 1= 1, eine 2 = 1, ein +2 = ein + ein +1 , dann werden die ersten sieben Mitglieder der Zahlenfolge wie folgt gesetzt:
eine 1 = 1,
eine 2 = 1,
eine 3 = eine 1 + eine 2 = 1 + 1 = 2,
eine 4 = eine 2 + eine 3 = 1 + 2 = 3,
eine 5 = eine 3 + eine 4 = 2 + 3 = 5,
A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,
A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sequenzen können sein Finale Und endlos .
Die Sequenz wird aufgerufen ultimativ wenn es eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat. Die Sequenz wird aufgerufen endlos wenn es unendlich viele Mitglieder hat.
Zum Beispiel,
Folge zweistelliger natürlicher Zahlen:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
Finale.
Primzahlenfolge:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
endlos. ◄
Die Sequenz wird aufgerufen zunehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, größer als das vorherige ist.
Die Sequenz wird aufgerufen abnehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, kleiner als das vorherige ist.
Zum Beispiel,
2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . ist eine aufsteigende Folge;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . ist eine absteigende Folge. ◄
Eine Folge, deren Elemente mit zunehmender Anzahl nicht abnehmen oder umgekehrt nicht zunehmen, heißt monotone Abfolge .
Insbesondere monotone Folgen sind steigende Folgen und fallende Folgen.
Arithmetische Folge
Arithmetische Folge Es wird eine Sequenz aufgerufen, deren jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, dem vorherigen gleich ist, zu dem die gleiche Zahl hinzugefügt wird.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein, . . .
ist eine arithmetische Folge für jede natürliche Zahl N Bedingung ist erfüllt:
ein +1 = ein + D,
Wo D - eine Nummer.
Somit ist die Differenz zwischen dem nächsten und dem vorherigen Glied einer gegebenen arithmetischen Folge immer konstant:
eine 2 - A 1 = eine 3 - A 2 = . . . = ein +1 - ein = D.
Nummer D angerufen die Differenz einer arithmetischen Folge.
Um eine arithmetische Folge festzulegen, reicht es aus, ihren ersten Term und ihre Differenz anzugeben.
Zum Beispiel,
Wenn A 1 = 3, D = 4 , dann werden die ersten fünf Terme der Folge wie folgt gefunden:
eine 1 =3,
eine 2 = eine 1 + D = 3 + 4 = 7,
eine 3 = eine 2 + D= 7 + 4 = 11,
eine 4 = eine 3 + D= 11 + 4 = 15,
A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄
Für eine arithmetische Folge mit dem ersten Term A 1 und Unterschied D ihr N
ein = eine 1 + (N- 1)D.
Zum Beispiel,
Finden Sie das dreißigste Glied einer arithmetischen Folge
1, 4, 7, 10, . . .
eine 1 =1, D = 3,
ein 30 = eine 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
ein n-1 = eine 1 + (N- 2)D,
ein= eine 1 + (N- 1)D,
ein +1 = A 1 + nd,
dann offensichtlich
| ein=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
jedes Mitglied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem arithmetischen Mittel der vorherigen und nachfolgenden Mitglieder.
Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Mitglieder einer arithmetischen Folge, wenn eine von ihnen gleich dem arithmetischen Mittel der anderen beiden ist.
Zum Beispiel,
ein = 2N- 7 ist eine arithmetische Folge.
Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:
ein = 2N- 7,
ein n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,
ein n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.
Somit,
| ein n+1 + ein n-1
| =
| 2N- 5 + 2N- 9
| = 2N- 7 = ein,
|
| 2
| 2
|
◄
Beachten Sie, dass N Das -te Glied einer arithmetischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden A 1 , aber auch alle vorherigen ein k
ein = ein k + (N- k)D.
Zum Beispiel,
Für A 5 kann geschrieben werden
eine 5 = eine 1 + 4D,
eine 5 = eine 2 + 3D,
eine 5 = eine 3 + 2D,
eine 5 = eine 4 + D. ◄
ein = a n-k + kd,
ein = ein n+k - kd,
dann offensichtlich
| ein=
| A n-k
+a n+k
|
| 2
|
Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich der Hälfte der Summe der Mitglieder dieser arithmetischen Folge, die gleich weit von ihr entfernt sind.
Darüber hinaus gilt für jede arithmetische Folge die Gleichheit:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Zum Beispiel,
in der arithmetischen Folge
1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;
2) 28 = eine 10 = eine 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) eine 10= 28 = (19 + 37)/2 = (eine 7 + eine 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, als
eine 2 + eine 12= 4 + 34 = 38,
eine 5 + eine 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ein,
Erste N Mitglieder einer arithmetischen Folge ist gleich dem Produkt der halben Summe der Extremterme mal der Anzahl der Terme:
Daraus folgt insbesondere, dass ggf. die Terme summiert werden müssen
ein k, ein k +1 , . . . , ein,
dann behält die vorherige Formel ihre Struktur:
Zum Beispiel,
in der arithmetischen Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Wenn eine arithmetische Folge angegeben ist, dann die Mengen A 1 , ein, D, N UndS N durch zwei Formeln verknüpft:
Wenn also die Werte von drei dieser Größen angegeben sind, dann werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt, die zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zusammengefasst sind.
Eine arithmetische Folge ist eine monotone Folge. Dabei:
- Wenn D > 0 , dann nimmt es zu;
- Wenn D < 0 , dann nimmt es ab;
- Wenn D = 0 , dann ist die Folge stationär.
Geometrischer Verlauf
geometrischer Verlauf Es wird eine Folge aufgerufen, deren jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl.
B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .
ist eine geometrische Folge für jede natürliche Zahl N Bedingung ist erfüllt:
b n +1 = b n · Q,
Wo Q ≠ 0 - eine Nummer.
Somit ist das Verhältnis des nächsten Termes dieser geometrischen Folge zum vorherigen eine konstante Zahl:
B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.
Nummer Q angerufen Nenner einer geometrischen Folge.
Um eine geometrische Folge festzulegen, reicht es aus, ihren ersten Term und Nenner anzugeben.
Zum Beispiel,
Wenn B 1 = 1, Q = -3 , dann werden die ersten fünf Terme der Folge wie folgt gefunden:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,
B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄
B 1 und Nenner Q ihr N Der -te Term kann durch die Formel gefunden werden:
b n = B 1 · q n -1 .
Zum Beispiel,
Finden Sie den siebten Term einer geometrischen Folge 1, 2, 4, . . .
B 1 = 1, Q = 2,
B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = B 1 · q n,
dann offensichtlich
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
Jedes Mitglied der geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem geometrischen Mittel (proportional) des vorherigen und nachfolgenden Mitglieds.
Da auch das Umgekehrte gilt, gilt folgende Aussage:
Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Mitglieder einer geometrischen Folge, wenn das Quadrat einer von ihnen gleich dem Produkt der anderen beiden ist, d. h. eine der Zahlen ist das geometrische Mittel der anderen beiden.
Zum Beispiel,
Lassen Sie uns beweisen, dass die durch die Formel gegebene Folge ist b n= -3 2 N ist eine geometrische Folge. Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:
b n= -3 2 N,
b n -1 = -3 2 N -1 ,
b n +1 = -3 2 N +1 .
Somit,
b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
was die geforderte Behauptung beweist. ◄
Beachten Sie, dass N Der Term einer geometrischen Progression kann nicht nur durch gefunden werden B 1 , sondern auch jeder vorherige Begriff b k , wofür es genügt, die Formel zu verwenden
b n = b k · q n - k.
Zum Beispiel,
Für B 5 kann geschrieben werden
b 5 = b 1 · Q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · Q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
dann offensichtlich
b n 2 = b n - k· b n + k
Das Quadrat jedes Mitglieds einer geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem Produkt der von ihm gleich weit entfernten Mitglieder dieser Folge.
Darüber hinaus gilt für jede geometrische Folge die Gleichheit:
b m· b n= b k· b l,
M+ N= k+ l.
Zum Beispiel,
exponentiell
1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;
2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;
4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , als
B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,
B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n
Erste N Begriffe einer geometrischen Folge mit einem Nenner Q ≠ 0 berechnet nach der Formel:
Und wann Q = 1 - nach der Formel
S n= n.b. 1
Beachten Sie, dass wir die Terme summieren müssen
b k, b k +1 , . . . , b n,
dann wird die Formel verwendet:
| S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - Q
|
Zum Beispiel,
exponentiell 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Wenn ein geometrischer Verlauf gegeben ist, dann die Mengen B 1 , b n, Q, N Und S n durch zwei Formeln verknüpft:
Wenn also die Werte von drei beliebigen dieser Größen angegeben sind, werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt, die zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zusammengefasst sind.
Für eine geometrische Folge mit dem ersten Term B 1 und Nenner Q Folgendes geschieht Monotonieeigenschaften :
- die Progression nimmt zu, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
B 1 > 0 Und Q> 1;
B 1 < 0 Und 0 < Q< 1;
- Eine Progression ist abnehmend, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
B 1 > 0 Und 0 < Q< 1;
B 1 < 0 Und Q> 1.
Wenn Q< 0 , dann ist die geometrische Folge vorzeichenalternierend: Ihre ungeradzahligen Terme haben das gleiche Vorzeichen wie ihr erster Term, und gerade nummerierte Terme haben das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist klar, dass ein alternierender geometrischer Verlauf nicht monoton ist.
Produkt der ersten N Terme einer geometrischen Progression können nach der Formel berechnet werden:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .
Zum Beispiel,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf
Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf heißt eine unendliche geometrische Folge, deren Nennermodul kleiner ist als 1 , also
|Q| < 1 .
Beachten Sie, dass eine unendlich abnehmende geometrische Folge möglicherweise keine abnehmende Folge ist. Das passt in den Fall
1 < Q< 0 .
Bei einem solchen Nenner ist die Folge vorzeichenwechselnd. Zum Beispiel,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression Nennen Sie die Zahl, zu der sich die Summe der ersten ergibt N Bedingungen der Progression mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl N . Diese Zahl ist immer endlich und wird durch die Formel ausgedrückt
| S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . = | B 1
| . |
| 1 - Q
|
Zum Beispiel,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Zusammenhang zwischen arithmetischen und geometrischen Verläufen
Arithmetische und geometrische Verläufe sind eng miteinander verbunden. Betrachten wir nur zwei Beispiele.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , Das
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Zum Beispiel,
1, 3, 5, . . . — arithmetische Folge mit Differenz 2 Und
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner 7 2 . ◄
B 1 , B 2 , B 3 , . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner Q , Das
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — arithmetische Folge mit Differenz log aQ .
Zum Beispiel,
2, 12, 72, . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner 6 Und
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — arithmetische Folge mit Differenz lg 6 . ◄
Die Summe einer arithmetischen Folge.
Die Summe einer arithmetischen Folge ist eine einfache Sache. Sowohl in der Bedeutung als auch in der Formel. Aber zu diesem Thema gibt es allerhand Aufgaben. Von einfach bis ziemlich solide.
Befassen wir uns zunächst mit der Bedeutung und Formel der Summe. Und dann werden wir entscheiden. Zu Ihrem eigenen Vergnügen.) Die Bedeutung der Summe ist so einfach wie „Rufen“. Um die Summe einer arithmetischen Folge zu ermitteln, müssen Sie lediglich alle Mitglieder sorgfältig addieren. Wenn es nur wenige Begriffe gibt, können Sie diese ohne Formeln hinzufügen. Aber wenn es viel ist, oder viel ... Addition ist nervig.) In diesem Fall speichert die Formel.
Die Summenformel ist einfach:
Lassen Sie uns herausfinden, welche Buchstaben in der Formel enthalten sind. Das wird einiges aufklären.
S n ist die Summe einer arithmetischen Folge. Additionsergebnis alle Mitglieder, mit Erste Von zuletzt. Es ist wichtig. Addieren Sie genau Alle Mitglieder hintereinander, ohne Lücken und Sprünge. Und genau ab Erste. Bei Problemen wie der Ermittlung der Summe des dritten und achten Termes oder der Summe der Terme fünf bis zwanzig wird die direkte Anwendung der Formel enttäuschend sein.)
eine 1 - Erste Mitglied der Progression. Hier ist alles klar, es ist einfach Erste Zeilennummer.
ein- zuletzt Mitglied der Progression. Die letzte Zahl der Zeile. Kein sehr bekannter Name, aber bezogen auf die Menge sehr passend. Dann werden Sie es selbst sehen.
N ist die Nummer des letzten Mitglieds. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Zahl in der Formel enthalten ist stimmt mit der Anzahl der hinzugefügten Begriffe überein.
Lassen Sie uns das Konzept definieren zuletzt Mitglied ein. Füllfrage: Was für ein Mitglied wird das sein? zuletzt, wenn gegeben endlos arithmetische Folge?
Natürlich müssen Sie es verstehen elementare Bedeutung der arithmetischen Folge und ... lesen Sie die Aufgabe sorgfältig durch!)
Bei der Aufgabe, die Summe einer arithmetischen Folge zu ermitteln, erscheint immer der letzte Term (direkt oder indirekt), was begrenzt sein sollte. Ansonsten ein endlicher, bestimmter Betrag existiert einfach nicht. Für die Lösung spielt es keine Rolle, welche Art von Verlauf gegeben ist: endlich oder unendlich. Es spielt keine Rolle, wie es eingestellt ist: neben den Zahlen oder die Formel des n-ten Termes.
Das Wichtigste ist zu verstehen, dass die Formel vom ersten Term der Progression bis zum Term mit der Zahl funktioniert N. Tatsächlich sieht der vollständige Name der Formel so aus: die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge. Die Anzahl dieser allerersten Mitglieder, d.h. N, wird allein durch die Aufgabe bestimmt. In der Aufgabe werden all diese wertvollen Informationen oft verschlüsselt, ja ... Aber nichts, in den folgenden Beispielen werden wir diese Geheimnisse enthüllen.)
Beispiele für Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge.
Zunächst einmal nützliche Informationen:
Die Hauptschwierigkeit bei Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge besteht in der korrekten Bestimmung der Elemente der Formel.
Die Autoren der Aufgaben verschlüsseln genau diese Elemente mit grenzenloser Fantasie.) Hier kommt es vor allem darauf an, keine Angst zu haben. Um das Wesen der Elemente zu verstehen, genügt es, sie zu entschlüsseln. Schauen wir uns einige Beispiele im Detail an. Beginnen wir mit einer Aufgabe, die auf einem echten GIA basiert.
1. Die arithmetische Folge ist durch die Bedingung gegeben: a n = 2n-3,5. Ermitteln Sie die Summe der ersten 10 Terme.
Gute Arbeit. Ganz einfach.) Was müssen wir wissen, um die Menge gemäß der Formel zu bestimmen? Erstes Mitglied eine 1, das letzte Semester ein, ja die Nummer des letzten Begriffs N.
Wo bekomme ich die letzte Mitgliedsnummer? N? Ja, da, im Zustand! Es heißt „Finde die Summe“. ersten 10 Mitglieder. Nun, welche Nummer wird es sein zuletzt, zehntes Mitglied?) Sie werden es nicht glauben, seine Nummer ist das zehnte!) Daher statt ein wir werden es in die Formel einsetzen eine 10, aber stattdessen N- zehn. Auch hier ist die Nummer des letzten Mitglieds gleich der Anzahl der Mitglieder.
Es bleibt abzuwarten eine 1 Und eine 10. Dies lässt sich leicht mit der Formel des n-ten Termes berechnen, die in der Problemstellung angegeben ist. Sie wissen nicht, wie es geht? Besuchen vorherige Lektion, ohne es nichts.
eine 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
eine 10\u003d 2 · 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Wir haben die Bedeutung aller Elemente der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge herausgefunden. Es bleibt, sie zu ersetzen und zu zählen:
Das ist alles dazu. Antwort: 75.
Eine weitere Aufgabe basierend auf dem GIA. Etwas komplizierter:
2. Gegeben sei eine arithmetische Folge (a n), deren Differenz 3,7 beträgt; a 1 \u003d 2,3. Ermitteln Sie die Summe der ersten 15 Terme.
Wir schreiben sofort die Summenformel:
Mit dieser Formel können wir den Wert eines beliebigen Elements anhand seiner Nummer ermitteln. Wir suchen eine einfache Substitution:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Es bleibt noch, alle Elemente in der Formel durch die Summe einer arithmetischen Folge zu ersetzen und die Antwort zu berechnen:
Antwort: 423.
Übrigens, wenn in der Summenformel statt ein Ersetzen Sie einfach die Formel des n-ten Termes und wir erhalten:
Geben wir ähnliche an, erhalten wir eine neue Formel für die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge:
 |
Wie Sie sehen, ist der n-te Term hier nicht erforderlich. ein. Bei manchen Aufgaben hilft diese Formel sehr, ja ... Sie können sich diese Formel merken. Und Sie können es einfach zum richtigen Zeitpunkt zurückziehen, wie hier. Schließlich muss man sich die Formel für die Summe und die Formel für den n-ten Term unbedingt merken.)
Nun die Aufgabe in Form einer kurzen Verschlüsselung):
3. Ermitteln Sie die Summe aller positiven zweistelligen Zahlen, die ein Vielfaches von drei sind.
Wie! Kein erstes Mitglied, kein letztes, überhaupt kein Fortschritt ... Wie lebt man!?
Sie müssen mit dem Kopf denken und alle Elemente der Summe einer arithmetischen Folge aus der Bedingung herausziehen. Was zweistellige Zahlen sind – wir wissen es. Sie bestehen aus zwei Zahlen.) Welche zweistellige Zahl wird Erste? 10, vermutlich.) letztes Ding zweistellige Zahl? 99, natürlich! Die Dreistelligen werden ihm folgen ...
Vielfache von drei ... Hm ... Das sind hier Zahlen, die gleichmäßig durch drei teilbar sind! Zehn ist nicht durch drei teilbar, 11 ist nicht teilbar... 12... ist teilbar! Es entsteht also etwas. Sie können bereits eine Reihe entsprechend dem Zustand des Problems schreiben:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Wird diese Serie eine arithmetische Folge sein? Sicherlich! Jeder Begriff unterscheidet sich deutlich um drei vom vorherigen. Wenn dem Term beispielsweise 2 oder 4 hinzugefügt wird, ergibt sich das Ergebnis, d. h. Eine neue Zahl wird nicht mehr durch 3 geteilt. Sie können den Unterschied der arithmetischen Folge zum Heap sofort ermitteln: d = 3. Nützlich!)
Daher können wir einige Fortschrittsparameter sicher aufschreiben:
Wie wird die Nummer sein? N letztes Mitglied? Wer denkt, dass 99 ist, irrt sich gewaltig ... Zahlen – sie stehen immer in einer Reihe, und unsere Mitglieder springen über die ersten drei hinaus. Sie passen nicht zusammen.
Hier gibt es zwei Lösungen. Eine Möglichkeit ist für die Superfleißigen. Sie können den Verlauf, die gesamte Zahlenreihe, aufmalen und die Anzahl der Begriffe mit Ihrem Finger zählen.) Der zweite Weg ist für Nachdenkliche. Muss man sich merken Formel des n-ten Termes. Wenn die Formel auf unser Problem anwenden, Wir erhalten, dass 99 das dreißigste Glied der Progression ist. Diese. n = 30.
Wir schauen uns die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge an:
Wir schauen und freuen uns.) Wir haben aus dem Zustand des Problems alles Notwendige herausgezogen, um den Betrag zu berechnen:
eine 1= 12.
ein 30= 99.
S n = S 30.
Übrig bleibt die elementare Arithmetik. Setzen Sie die Zahlen in die Formel ein und berechnen Sie:
Antwort: 1665
Eine andere Art beliebter Rätsel:
4. Eine arithmetische Folge ist gegeben:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Finden Sie die Summe der Terme vom zwanzigsten bis zum vierunddreißigsten.
Wir schauen uns die Summenformel an und ... wir sind verärgert.) Die Formel berechnet, ich möchte Sie daran erinnern, die Summe vom ersten Mitglied. Und in der Aufgabe müssen Sie die Summe berechnen seit dem zwanzigsten... Die Formel wird nicht funktionieren.
Sie können natürlich die gesamte Progression hintereinander zeichnen und die Mitglieder von 20 auf 34 setzen. Aber ... irgendwie stellt sich das dumm und für lange Zeit heraus, oder?)
Es gibt eine elegantere Lösung. Teilen wir unsere Serie in zwei Teile. Der erste Teil wird vom ersten Semester bis zum neunzehnten. Zweiter Teil - zwanzig bis vierunddreißig. Das ist klar, wenn wir die Summe der Terme des ersten Teils berechnen S 1-19, addieren wir es zur Summe der Mitglieder des zweiten Teils S 20-34 erhalten wir die Summe der Progression vom ersten bis zum vierunddreißigsten Term S 1-34. So:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Dies zeigt, dass die Summe ermittelt werden muss S 20-34 kann durch einfache Subtraktion erfolgen
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Es werden beide Summen auf der rechten Seite berücksichtigt vom ersten Mitglied, d.h. Die Standardsummenformel ist auf sie durchaus anwendbar. Fangen wir an?
Wir extrahieren die Fortschrittsparameter aus der Aufgabenbedingung:
d = 1,5.
eine 1= -21,5.
Um die Summen der ersten 19 und der ersten 34 Terme zu berechnen, benötigen wir den 19. und den 34. Term. Wir zählen sie nach der Formel des n-ten Termes, wie in Aufgabe 2:
ein 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
eine 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Da ist nichts mehr übrig. Subtrahieren Sie die Summe von 19 Termen von der Summe von 34 Termen:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Antwort: 262,5
Ein wichtiger Hinweis! Es gibt eine sehr nützliche Funktion zur Lösung dieses Problems. Statt direkter Berechnung was Sie brauchen (S 20-34), wir haben gezählt was scheinbar nicht nötig ist - S 1-19. Und dann haben sie entschieden S 20-34, wobei das Unnötige aus dem Gesamtergebnis verworfen wird. Eine solche „Finte mit den Ohren“ rettet oft bei bösen Rätseln.)
In dieser Lektion haben wir Probleme untersucht, bei denen es ausreicht, die Bedeutung der Summe einer arithmetischen Folge zu verstehen. Nun, Sie müssen ein paar Formeln kennen.)
Praktische Ratschläge:
Wenn Sie ein Problem für die Summe einer arithmetischen Folge lösen, empfehle ich, sofort die beiden Hauptformeln aus diesem Thema aufzuschreiben.
Formel des n-ten Termes:
Diese Formeln verraten Ihnen sofort, worauf Sie achten müssen und in welche Richtung Sie denken müssen, um das Problem zu lösen. Hilft.
Und nun die Aufgaben zur eigenständigen Lösung.
5. Ermitteln Sie die Summe aller zweistelligen Zahlen, die nicht durch drei teilbar sind.
Cool?) Der Hinweis ist in der Notiz zu Problem 4 versteckt. Nun, Problem 3 wird helfen.
6. Der arithmetische Fortschritt ist durch die Bedingung gegeben: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Finden Sie die Summe der ersten 24 Terme.
Ungewöhnlich?) Dies ist eine wiederkehrende Formel. Sie können darüber lesen in der vorherigen Lektion. Ignorieren Sie den Link nicht, solche Rätsel findet man oft im GIA.
7. Vasya hat Geld für die Feiertage gespart. Bis zu 4550 Rubel! Und ich beschloss, der liebsten Person (mir selbst) ein paar Tage Glück zu schenken. Lebe schön, ohne dir etwas zu verweigern. Geben Sie am ersten Tag 500 Rubel aus und geben Sie an jedem weiteren Tag 50 Rubel mehr aus als am vorherigen! Bis das Geld ausgeht. Wie viele glückliche Tage hatte Vasya?
Ist es schwierig?) Eine zusätzliche Formel aus Aufgabe 2 hilft.
Antworten (in Unordnung): 7, 3240, 6.
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Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.
Mathematik hat ihre eigene Schönheit, ebenso wie Malerei und Poesie.
Russischer Wissenschaftler, Mechaniker N.E. Schukowski
Sehr häufige Aufgaben in den Aufnahmetests in Mathematik sind Aufgaben, die sich auf das Konzept einer arithmetischen Progression beziehen. Um solche Probleme erfolgreich lösen zu können, ist es notwendig, die Eigenschaften einer arithmetischen Folge gut zu kennen und über bestimmte Fähigkeiten in deren Anwendung zu verfügen.
Erinnern wir uns zunächst an die wesentlichen Eigenschaften einer arithmetischen Folge und stellen die wichtigsten Formeln vor, mit diesem Konzept verbunden.
Definition. Numerische Reihenfolge, wobei sich jeder nachfolgende Begriff vom vorherigen um die gleiche Nummer unterscheidet, eine sogenannte arithmetische Folge. Gleichzeitig ist die Zahlwird Progressionsdifferenz genannt.
Für eine arithmetische Folge gelten die Formeln
, (1)
Wo . Formel (1) wird als Formel des gemeinsamen Termes einer arithmetischen Folge bezeichnet, und Formel (2) ist die Haupteigenschaft einer arithmetischen Folge: Jedes Mitglied der Folge stimmt mit dem arithmetischen Mittel seiner benachbarten Mitglieder überein und .
Beachten Sie, dass die betrachtete Folge gerade wegen dieser Eigenschaft als „Arithmetik“ bezeichnet wird.
Die obigen Formeln (1) und (2) lassen sich wie folgt zusammenfassen:
(3)
Um die Summe zu berechnen Erste Mitglieder einer arithmetischen FolgeDie Formel wird normalerweise verwendet
(5) wo und .
Wenn wir die Formel (1), dann impliziert Formel (5).
Wenn wir benennen
Wo . Da sind die Formeln (7) und (8) eine Verallgemeinerung der entsprechenden Formeln (5) und (6).
Insbesondere , aus Formel (5) folgt, Was
Zu den den meisten Studierenden wenig bekannten Eigenschaften gehört die Eigenschaft einer arithmetischen Folge, die mit dem folgenden Satz formuliert wird.
Satz. Wenn, dann
Nachweisen. Wenn, dann
Der Satz ist bewiesen.
Zum Beispiel , unter Verwendung des Satzes, das lässt sich zeigen
Kommen wir zur Betrachtung typischer Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema „Arithmetische Progression“.
Beispiel 1 Lass und . Finden .
Lösung. Unter Anwendung der Formel (6) erhalten wir . Seit und , dann oder .
Beispiel 2 Lassen Sie es dreimal so, und wenn Sie durch den Quotienten dividieren, erhalten Sie 2 und der Rest ist 8. Bestimmen Sie und.
Lösung. Das Gleichungssystem folgt aus der Bedingung des Beispiels
Da , , und , dann erhalten wir aus dem Gleichungssystem (10).
Die Lösung dieses Gleichungssystems sind und .
Beispiel 3 Finden Sie, ob und .
Lösung. Nach Formel (5) haben wir oder . Mit Eigenschaft (9) erhalten wir jedoch .
Da und , dann aus der Gleichheit die Gleichung folgt oder .
Beispiel 4 Finden Sie, ob .
Lösung.Nach Formel (5) haben wir
Mit dem Satz kann man jedoch schreiben
Von hier und aus Formel (11) erhalten wir .
Beispiel 5. Gegeben: . Finden .
Lösung. Seit damals . Aber deshalb .
Beispiel 6 Lass , und . Finden .
Lösung. Mit Formel (9) erhalten wir . Also wenn , dann oder .
Seit und dann haben wir hier ein Gleichungssystem
Lösen wir welches, erhalten wir und .
Natürliche Wurzel der Gleichung Ist .
Beispiel 7 Finden Sie, ob und .
Lösung. Da nach Formel (3) das gilt, folgt das Gleichungssystem aus der Problemstellung
Wenn wir den Ausdruck ersetzenin die zweite Gleichung des Systems ein, dann erhalten wir oder .
Die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind Und .
Betrachten wir zwei Fälle.
1. Lassen Sie dann. Seit und , dann .
In diesem Fall gilt gemäß Formel (6).
2. Wenn, dann und
Antwort: und.
Beispiel 8 Es ist bekannt, dass und Finden .
Lösung. Unter Berücksichtigung der Formel (5) und der Bedingung des Beispiels schreiben wir und .
Dies impliziert das Gleichungssystem
Wenn wir die erste Gleichung des Systems mit 2 multiplizieren und sie dann zur zweiten Gleichung addieren, erhalten wir
Nach Formel (9) haben wir. In diesem Zusammenhang folgt aus (12). oder .
Seit und , dann .
Antwort: .
Beispiel 9 Finden Sie, ob und .
Lösung. Da und nach Bedingung dann oder .
Aus Formel (5) ist es bekannt, Was . Seit damals .
Somit , Hier haben wir ein System linearer Gleichungen
Von hier aus erhalten wir und . Unter Berücksichtigung der Formel (8) schreiben wir .
Beispiel 10 Löse die Gleichung.
Lösung. Aus der gegebenen Gleichung folgt, dass . Nehmen wir an, dass , und . In diesem Fall .
Nach Formel (1) können wir schreiben oder .
Da Gleichung (13) eine eindeutige geeignete Wurzel hat.
Beispiel 11. Finden Sie den Maximalwert, sofern und .
Lösung. Da ist die betrachtete arithmetische Folge abnehmend. In dieser Hinsicht nimmt der Ausdruck einen Maximalwert an, wenn es sich um die Zahl des minimalen positiven Glieds der Progression handelt.
Wir verwenden Formel (1) und die Tatsache, welche und . Dann bekommen wir das oder .
Weil , dann oder . Allerdings in dieser Ungleichheitgrößte natürliche Zahl, Deshalb .
Wenn die Werte , und in Formel (6) eingesetzt werden, erhalten wir .
Antwort: .
Beispiel 12. Ermitteln Sie die Summe aller zweistelligen natürlichen Zahlen, die bei Division durch 6 einen Rest von 5 haben.
Lösung. Bezeichne mit der Menge aller zweiwertigen natürlichen Zahlen, d.h. . Als nächstes konstruieren wir eine Teilmenge, die aus den Elementen (Zahlen) der Menge besteht, die bei Division durch die Zahl 6 einen Rest von 5 ergeben.
Einfach zu installieren, Was . Offensichtlich , dass die Elemente der Mengeeine arithmetische Folge bilden, in dem und .
Um die Kardinalität (Anzahl der Elemente) der Menge zu bestimmen, gehen wir davon aus, dass . Da und impliziert Formel (1) oder . Unter Berücksichtigung der Formel (5) erhalten wir .
Die oben genannten Lösungsbeispiele erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Dieser Artikel basiert auf einer Analyse moderner Methoden zur Lösung typischer Probleme zu einem bestimmten Thema. Für ein tieferes Studium der Methoden zur Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der arithmetischen Progression empfiehlt es sich, auf die Liste der empfohlenen Literatur zu verweisen.
1. Aufgabensammlung Mathematik für Bewerber an technischen Hochschulen / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Welt und Bildung, 2013. - 608 S.
2. Suprun V.P. Mathematik für Oberstufenschüler: zusätzliche Abschnitte des Schullehrplans. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 S.
3. Medynsky M.M. Ein vollständiger Kurs der elementaren Mathematik in Aufgaben und Übungen. Buch 2: Zahlenfolgen und -folgen. – M.: Editus, 2015. - 208 S.
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Eine arithmetische Folge ist eine Reihe von Zahlen, bei der jede Zahl um den gleichen Betrag größer (oder kleiner) als die vorherige ist.
Dieses Thema ist oft schwierig und unverständlich. Buchstabenindizes, das n-te Glied der Progression, die Differenz der Progression – das alles ist irgendwie verwirrend, ja ... Lassen Sie uns die Bedeutung der arithmetischen Progression herausfinden und alles wird sofort klappen.)
Das Konzept der arithmetischen Progression.
Die arithmetische Progression ist ein sehr einfaches und klares Konzept. Zweifeln? Vergebens.) Überzeugen Sie sich selbst.
Ich schreibe eine unvollendete Zahlenreihe:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Können Sie diese Zeile erweitern? Welche Zahlen kommen als nächstes nach der Fünf? Jeder ... äh ..., kurz gesagt, jeder wird herausfinden, dass die Zahlen 6, 7, 8, 9 usw. weitergehen.
Machen wir die Aufgabe komplizierter. Ich gebe eine unvollendete Zahlenreihe:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Sie können das Muster erfassen, die Serie erweitern und benennen siebte Zeilennummer?
Wenn Sie herausgefunden haben, dass diese Zahl 20 ist, gratuliere ich Ihnen! Du hast nicht nur gefühlt Schlüsselpunkte einer arithmetischen Folge, sondern auch erfolgreich im Geschäftsleben eingesetzt! Wenn Sie es nicht verstehen, lesen Sie weiter.
Lassen Sie uns nun die wichtigsten Punkte aus den Empfindungen in die Mathematik übersetzen.)
Erster wichtiger Punkt.
Die arithmetische Progression beschäftigt sich mit Zahlenreihen. Das ist zunächst verwirrend. Wir sind es gewohnt, Gleichungen zu lösen, Graphen zu erstellen und all das ... Und dann die Reihe erweitern, die Nummer der Reihe finden ...
Macht nichts. Es ist nur so, dass Progressionen die erste Bekanntschaft mit einem neuen Zweig der Mathematik sind. Der Abschnitt heißt „Reihe“ und arbeitet mit Reihen von Zahlen und Ausdrücken. An etwas gewöhnen.)
Zweiter wichtiger Punkt.
In einer arithmetischen Folge unterscheidet sich jede Zahl von der vorherigen um den gleichen Betrag.
Im ersten Beispiel ist dieser Unterschied eins. Welche Zahl Sie auch nehmen, es ist eins mehr als die vorherige. Im zweiten - drei. Jede Zahl ist dreimal größer als die vorherige. Tatsächlich ist es dieser Moment, der uns die Möglichkeit gibt, das Muster zu erkennen und die nachfolgenden Zahlen zu berechnen.
Dritter wichtiger Punkt.
Dieser Moment ist nicht auffällig, ja ... Aber sehr, sehr wichtig. Da ist er: Jede Fortschrittsnummer ist an ihrer Stelle. Es gibt die erste Zahl, es gibt die siebte, es gibt die fünfundvierzigste und so weiter. Wenn Sie sie willkürlich verwechseln, verschwindet das Muster. Auch die arithmetische Folge wird verschwinden. Es ist nur eine Reihe von Zahlen.
Das ist der springende Punkt.
Natürlich tauchen im neuen Thema auch neue Begriffe und Notationen auf. Sie müssen es wissen. Sonst verstehst du die Aufgabe nicht. Sie müssen zum Beispiel etwas entscheiden wie:
Schreiben Sie die ersten sechs Terme der arithmetischen Folge (a n) auf, wenn a 2 = 5, d = -2,5.
Inspiriert es?) Briefe, einige Register ... Und die Aufgabe könnte übrigens nicht einfacher sein. Sie müssen lediglich die Bedeutung der Begriffe und die Notation verstehen. Jetzt werden wir diese Angelegenheit meistern und zur Aufgabe zurückkehren.
Begriffe und Bezeichnungen.
Arithmetische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der sich jede Zahl von der vorherigen unterscheidet um den gleichen Betrag.
Dieser Wert wird aufgerufen . Schauen wir uns dieses Konzept genauer an.
Arithmetischer Fortschrittsunterschied.
Arithmetischer Fortschrittsunterschied ist der Betrag, um den jede Fortschrittszahl mehr Der vorherige.
Ein wichtiger Punkt. Bitte achten Sie auf das Wort "mehr". Mathematisch bedeutet dies, dass jede Fortschrittszahl erhalten wird hinzufügen die Differenz einer arithmetischen Folge zur vorherigen Zahl.
Zum Berechnen sagen wir mal zweite Zahlen der Zeile, ist es notwendig Erste Nummer hinzufügen genau dieser Unterschied einer arithmetischen Folge. Zur Berechnung fünfte- Der Unterschied ist notwendig hinzufügen Zu vierte na ja, usw.
Arithmetischer Fortschrittsunterschied kann sein positiv dann wird sich herausstellen, dass jede Zahl der Reihe echt ist mehr als der vorherige. Dieser Fortschritt wird aufgerufen zunehmend. Zum Beispiel:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Hier steht jede Zahl hinzufügen positive Zahl, +5 zur vorherigen.
Der Unterschied kann sein Negativ dann wird jede Zahl in der Reihe sein weniger als der vorherige. Dieser Fortschritt heißt (Sie werden es nicht glauben!) abnehmend.
Zum Beispiel:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Auch hier wird jede Zahl ermittelt hinzufügen zur vorherigen, aber bereits negativen Zahl, -5.
Übrigens ist es bei der Arbeit mit einer Progression sehr nützlich, sofort deren Natur zu bestimmen – ob sie zu- oder abnimmt. Es hilft sehr, sich bei der Entscheidung zurechtzufinden, Fehler zu erkennen und zu korrigieren, bevor es zu spät ist.
Arithmetischer Fortschrittsunterschied normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet D.
Wie findet man D? Sehr einfach. Es ist notwendig, von jeder beliebigen Zahl der Reihe zu subtrahieren vorherige Nummer. Subtrahieren. Das Ergebnis der Subtraktion heißt übrigens „Differenz“.)
Definieren wir zum Beispiel: D für eine aufsteigende arithmetische Folge:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Wir nehmen eine beliebige Zahl der gewünschten Zeile, zum Beispiel 11. Subtrahieren Sie davon die vorherige Nummer diese. 8:
Das ist die richtige Antwort. Für diese arithmetische Folge beträgt die Differenz drei.
Du kannst es einfach nehmen beliebig viele Verläufe, Weil für einen bestimmten Verlauf D-immer gleich. Zumindest irgendwo am Anfang der Reihe, zumindest in der Mitte, zumindest irgendwo. Sie können nicht nur die allererste Zahl nehmen. Nur weil die allererste Zahl Keine vorherige.)
Übrigens, das weiß ich d=3, ist es sehr einfach, die siebte Zahl dieser Folge zu finden. Wir addieren 3 zur fünften Zahl – wir erhalten die sechste, es wird 17 sein. Wir addieren drei zur sechsten Zahl, wir erhalten die siebte Zahl – zwanzig.
Definieren wir D für eine abnehmende arithmetische Folge:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ich erinnere Sie daran, unabhängig von den Anzeichen, zu bestimmen D benötigt von einer beliebigen Nummer nimm den vorherigen weg. Wir wählen eine beliebige Progressionszahl, zum Beispiel -7. Seine bisherige Zahl ist -2. Dann:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Die Differenz einer arithmetischen Folge kann eine beliebige Zahl sein: ganzzahlig, gebrochen, irrational, beliebig.
Andere Begriffe und Bezeichnungen.
Jede Zahl in der Reihe wird aufgerufen Mitglied einer arithmetischen Folge.
Jedes Mitglied der Progression hat seine Nummer. Die Zahlen sind streng geordnet, ohne Tricks. Erster, zweiter, dritter, vierter usw. Zum Beispiel ist in der Folge 2, 5, 8, 11, 14, ... zwei das erste Glied, fünf das zweite, elf das vierte, nun, Sie verstehen ...) Bitte verstehen Sie es klar - die Zahlen selbst kann absolut beliebig sein, ganz, gebrochen, negativ, was auch immer, aber Nummerierung- unbedingt in Ordnung!
Wie schreibe ich eine Progression in allgemeiner Form? Kein Problem! Jede Zahl in der Reihe wird als Buchstabe geschrieben. Zur Bezeichnung einer arithmetischen Folge wird in der Regel der Buchstabe verwendet A. Die Mitgliedsnummer wird durch den Index unten rechts angezeigt. Mitglieder werden durch Kommas (oder Semikolons) getrennt geschrieben, etwa so:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
eine 1 ist die erste Zahl eine 3- Dritter usw. Nichts Schwieriges. Sie können diese Serie kurz so schreiben: (ein).
Es gibt Fortschritte endlich und unendlich.
ultimativ Die Progression hat eine begrenzte Anzahl von Mitgliedern. Fünf, achtunddreißig, was auch immer. Aber es ist eine endliche Zahl.
Endlos Progression – hat, wie Sie vielleicht vermuten, eine unendliche Anzahl von Mitgliedern.)
Sie können einen abschließenden Fortschritt durch eine Serie wie folgt schreiben, alle Mitglieder und einen Punkt am Ende:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Oder so, wenn es viele Mitglieder gibt:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Bei einem Kurzeintrag müssen Sie zusätzlich die Anzahl der Mitglieder angeben. Zum Beispiel (für zwanzig Mitglieder) so:
(a n), n = 20
Eine unendliche Folge erkennt man an den Auslassungspunkten am Ende der Zeile, wie in den Beispielen dieser Lektion.
Jetzt können Sie bereits Aufgaben lösen. Die Aufgaben sind einfach und dienen lediglich dem Verständnis der Bedeutung der arithmetischen Folge.
Beispiele für Aufgaben zur Rechenprogression.
Schauen wir uns die obige Aufgabe genauer an:
1. Notieren Sie die ersten sechs Mitglieder der arithmetischen Folge (a n), wenn a 2 = 5, d = -2,5.
Wir übersetzen die Aufgabe in eine verständliche Sprache. Gegeben sei eine unendliche arithmetische Folge. Die zweite Zahl dieser Progression ist bekannt: ein 2 = 5. Bekannter Verlaufsunterschied: d = -2,5. Wir müssen das erste, dritte, vierte, fünfte und sechste Mitglied dieser Progression finden.
Der Übersichtlichkeit halber werde ich eine Reihe entsprechend dem Zustand des Problems aufschreiben. Die ersten sechs Mitglieder, wobei das zweite Mitglied fünf ist:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
eine 3 = eine 2 + D
Wir ersetzen im Ausdruck ein 2 = 5 Und d=-2,5. Vergessen Sie nicht das Minus!
eine 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Der dritte Term ist kleiner als der zweite. Alles ist logisch. Wenn die Zahl größer als die vorherige ist Negativ Wert, sodass die Zahl selbst kleiner als die vorherige sein wird. Der Fortschritt nimmt ab. Okay, berücksichtigen wir es.) Wir betrachten das vierte Mitglied unserer Serie:
eine 4 = eine 3 + D
eine 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
eine 5 = eine 4 + D
eine 5=0+(-2,5)= - 2,5
eine 6 = eine 5 + D
eine 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Somit wurden die Terme vom dritten bis zum sechsten berechnet. Daraus entstand eine Serie:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Es bleibt der erste Begriff zu finden eine 1 nach dem bekannten zweiten. Dies ist ein Schritt in die andere Richtung, nach links.) Daher der Unterschied der arithmetischen Folge D sollte nicht hinzugefügt werden eine 2, A wegbringen:
eine 1 = eine 2 - D
eine 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Das ist alles dazu. Aufgabenantwort:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Nebenbei stelle ich fest, dass wir diese Aufgabe gelöst haben wiederkehrend Weg. Dieses schreckliche Wort bedeutet nur die Suche nach einem Mitglied der Progression durch die vorherige (benachbarte) Nummer. Andere Möglichkeiten, mit der Progression zu arbeiten, werden später besprochen.
Aus dieser einfachen Aufgabe lässt sich eine wichtige Schlussfolgerung ziehen.
Erinnern:
Wenn wir mindestens ein Glied und die Differenz einer arithmetischen Folge kennen, können wir jedes Glied dieser Folge finden.
Erinnern? Mit dieser einfachen Schlussfolgerung können wir die meisten Probleme des Schulkurses zu diesem Thema lösen. Alle Aufgaben drehen sich um drei Hauptparameter: Glied einer arithmetischen Folge, Differenz einer Folge, Zahl eines Glieds einer Folge. Alle.
Natürlich wird nicht die gesamte vorherige Algebra aufgehoben.) Ungleichungen, Gleichungen und andere Dinge sind mit der Progression verbunden. Aber entsprechend dem Verlauf- Alles dreht sich um drei Parameter.
Betrachten Sie beispielsweise einige beliebte Aufgaben zu diesem Thema.
2. Schreiben Sie die endgültige arithmetische Folge als Reihe, wenn n=5, d=0,4 und a 1=3,6.
Hier ist alles einfach. Alles ist bereits gegeben. Sie müssen sich daran erinnern, wie die Mitglieder einer arithmetischen Folge berechnet, gezählt und aufgeschrieben werden. Es ist ratsam, die Wörter in der Aufgabenbedingung nicht zu überspringen: „final“ und „ n=5". Um nicht zu zählen, bis Sie völlig blau im Gesicht sind.) Es gibt nur 5 (fünf) Mitglieder in dieser Progression:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
eine 4 = eine 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
eine 5 = eine 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Es bleibt die Antwort aufzuschreiben:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Eine weitere Aufgabe:
3. Bestimmen Sie, ob die Zahl 7 ein Mitglied einer arithmetischen Folge (a n) sein wird, wenn a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Wer weiß? Wie definiert man etwas?
Wie-wie ... Ja, schreiben Sie den Verlauf in Form einer Reihe auf und sehen Sie, ob es eine Sieben gibt oder nicht! Wir glauben:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
eine 4 = eine 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Nun ist deutlich zu erkennen, dass wir erst sieben sind durchgerutscht zwischen 6,5 und 7,7! Die Sieben sind nicht in unsere Zahlenreihe aufgenommen worden und daher wird die Sieben kein Mitglied der gegebenen Reihe sein.
Antwort: Nein.
Und hier ist eine Aufgabe, die auf einer echten Version des GIA basiert:
4. Mehrere aufeinanderfolgende Mitglieder der arithmetischen Folge werden ausgeschrieben:
...; 15; X; 9; 6; ...
Hier ist eine Serie ohne Ende und Anfang. Keine Mitgliedsnummern, kein Unterschied D. Macht nichts. Um das Problem zu lösen, reicht es aus, die Bedeutung einer arithmetischen Folge zu verstehen. Mal sehen und sehen, was wir können wissen aus dieser Zeile? Was sind die Parameter der drei Hauptparameter?
Mitgliedsnummern? Hier gibt es keine einzige Zahl.
Aber es gibt drei Zahlen und – Achtung! - Wort "aufeinanderfolgenden" im Zustand. Das bedeutet, dass die Zahlen streng geordnet und lückenlos sind. Gibt es zwei in dieser Reihe? benachbart bekannte Zahlen? Ja, gibt es! Das sind 9 und 6. Damit können wir die Differenz einer arithmetischen Folge berechnen! Wir subtrahieren von der Sechs vorherige Zahl, d.h. neun:
Es sind noch freie Plätze übrig. Welche Zahl wird die vorherige für x sein? Fünfzehn. x kann also leicht durch einfache Addition gefunden werden. Addiere zu 15 die Differenz einer arithmetischen Folge:
Das ist alles. Antwort: x=12
Wir lösen die folgenden Probleme selbst. Hinweis: Bei diesen Rätseln handelt es sich nicht um Formeln. Nur um die Bedeutung einer arithmetischen Folge zu verstehen.) Wir schreiben einfach eine Reihe von Zahlen-Buchstaben auf, schauen und denken.
5. Finden Sie den ersten positiven Term der arithmetischen Folge, wenn a 5 = -3; d = 1,1.
6. Es ist bekannt, dass die Zahl 5,5 ein Mitglied der arithmetischen Folge (a n) ist, wobei a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestimmen Sie die Anzahl n dieses Mitglieds.
7. Es ist bekannt, dass in einer arithmetischen Folge a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Finden Sie eine 3.
8. Mehrere aufeinanderfolgende Mitglieder der arithmetischen Folge werden ausgeschrieben:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Finden Sie den Term der Progression, der mit dem Buchstaben x bezeichnet wird.
9. Der Zug setzte sich vom Bahnhof in Bewegung und erhöhte seine Geschwindigkeit schrittweise um 30 Meter pro Minute. Wie schnell wird der Zug in fünf Minuten sein? Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
10. Es ist bekannt, dass in einer arithmetischen Folge a 2 = 5; a 6 = -5. Finden Sie eine 1.
Antworten (in Unordnung): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Es hat alles geklappt? Toll! In den folgenden Lektionen können Sie das Rechnen auf einem höheren Niveau erlernen.
Hat nicht alles geklappt? Kein Problem. Im Sonderteil 555 werden alle diese Rätsel Stück für Stück aufgelöst.) Und natürlich wird eine einfache praktische Technik beschrieben, die die Lösung solcher Aufgaben sofort klar, deutlich, wie in der Handfläche, hervorhebt!
Übrigens gibt es beim Rätsel um den Zug zwei Probleme, über die man oft stolpert. Eines – rein durch Progression, und das zweite – gemeinsam für alle Aufgaben in der Mathematik und auch in der Physik. Dies ist eine Übersetzung von Dimensionen von einer in eine andere. Es zeigt, wie diese Probleme gelöst werden sollten.
In dieser Lektion haben wir die elementare Bedeutung einer arithmetischen Folge und ihrer Hauptparameter untersucht. Dies reicht aus, um fast alle Probleme zu diesem Thema zu lösen. Hinzufügen D zu den Zahlen, schreibe eine Serie, alles wird entschieden.
Die Fingerlösung eignet sich gut für sehr kurze Teile der Serie, wie in den Beispielen dieser Lektion. Je länger die Reihe ist, desto komplizierter werden die Berechnungen. Wenn beispielsweise Problem 9 in der Frage steht, ersetzen Sie "fünf Minuten" An „fünfunddreißig Minuten“ das Problem wird noch viel schlimmer.)
Und es gibt auch Aufgaben, die im Kern einfach, aber rechnerisch völlig absurd sind, zum Beispiel:
Gegeben sei eine arithmetische Folge (a n). Finden Sie eine 121, wenn a 1 =3 und d=1/6.
Und was, wir werden viele, viele Male 1/6 hinzufügen?! Kann man sich umbringen!?
Sie können.) Wenn Sie keine einfache Formel kennen, mit der Sie solche Aufgaben in einer Minute lösen können. Diese Formel finden Sie in der nächsten Lektion. Und dieses Problem ist dort gelöst. In einer Minute.)
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