• Вітчизняна наука та медицина в XIX – початку XX ст Хімія 19 століття
• Що таке пептиди? Типи та види пептидів. Все про пептиди та антивікова косметика з пептидами Додаткові пептиди не утворюються
• Токсична дія на людину небезпечних хімічних речовин
• Радіоавтографія Метод авторадіографії у цитології
• Ідентифікація бактерій за антигенною структурою
• Органічні речовини у стічній воді Що таке органічні сполуки у воді
• Водневий показник (pH-фактор)
• Що таке pH води і чому важливо його знати
• Окисно-відновлювальний потенціал Окисно-відновлювальні системи
• Оборотна окислювально-відновна система Оборотні окислювально-відновлювальні системи

СИМЕТРІЯ КРИСТАЛІВ

СИМЕТРІЯ КРИСТАЛІВ

Властивість кристалів поєднуватися з собою при поворотах, відбиття, паралельних переносах або частини або комбінації цих операцій. Симетрія означає можливість перетворення об'єкта, що поєднує його із собою. Симетрія зовніш. форми (огранювання) кристала визначається симетрією його атомної будови, яка обумовлює також і симетрію фіз. властивостей кристала

Рис. 1. а - кристал кварцу: 3 - вісь симетрії 3-го, порядку, 2х, 2у, 2w-осі 2-го порядку; б – кристал водного мета-силікату натрію: m – площина симетрії.

На рис. 1, а зображений кристал кварцу. Зовніш. його форма така, що поворотом на 120° навколо осі 3 він може бути поєднаний сам із собою (сумісна рівність). Кристал метасиликата натрію (рис. 1, 6) перетворюється на відображенням у площині симетрії m (дзеркальна рівність).

Якщо F(xlx2.x3) – функція, що описує об'єкт, напр. форму кристала в тривимірному просторі або к.-л. його властивість, а операція g(x1, х2, х3) здійснює перетворення координат усіх точок об'єкта, g є операцією або перетворенням симетрії, a F - симетричним об'єктом, якщо виконуються умови:

У найбільш загальному формулюванні - незмінність (інваріантність) об'єктів і законів при нек-рих перетвореннях змінних, що їх описують. Кристали-об'єкти в тривимірному просторі, тому класич. теорія С. к.- теорія симетрич. перетворень у собі тривимірного простору з урахуванням те, що внутр. атомна структура кристалів - тривимірно-періодична, тобто описується як . При перетвореннях симетрії не деформується, а перетворюється як тверде ціле. Такі перетворення зв. ортогональними або ізометричними. Після частини об'єкта, що знаходилися в одному місці, збігаються з частинами, що знаходяться в іншому місці. Це означає, що у симетричному об'єкті є рівні частини (сумісні чи дзеркальні).

С. до. проявляється не тільки в їх структурі та властивостях у реальному тривимірному просторі, але також і при описі енергетич. спектра електронів кристала (див. ЗОННА ТЕОРІЯ) при аналізі процесів дифракції рентг. променів і електронів у кристалах у зворотному просторі (див. ЗВОРОТНА РЕШІТКА) і т.п.

Група симетрії кристалів. Кристалу може бути властива не одна, а дек. операцій симетрії. Так, кристал кварцу (рис. 1 а) поєднується з собою не тільки при повороті на 120° навколо осі 3 (операція g1), але і при повороті навколо осі 3 на 240° (операція g2), а також при поворотах на 180 ° навколо осей 2х, 2у, 2w (операції g3, g4, g5). Кожній може бути зіставлений елемент симетрії - пряма, площина або точка, щодо якої проводиться дана операція. Напр., вісь 3 або осі 2х, 2у, 2w є осями симетрії, площина m (рис. 1,6) - площиною дзеркальної симетрії і т. п. Сукупність операцій симетрії (g1, g2, . . утворює групу симетрії G у сенсі матем. теорії груп. Слідувати. Проведення двох операцій симетрії також є операцією симетрії. Завжди існує операція ідентичності g0, що нічого не змінює в кристалі, зв. ототожненням, що геометрично відповідає нерухомості об'єкта або повороту його на 360° навколо будь-якої осі. Число операцій, що утворюють групу G, зв. порядком групи.

Групи симетрії класифікують: за кількістю n вимірів простору, в яких брало вони визначені; за кількістю m вимірів простору, в яких брало об'єкт періодичний (їх відповідно позначають Gnm), і за деякими ін. ознаками. Для опису кристалів використовують разл. групи симетрії, з яких брало найважливішими є . G33, що описують атомну структуру кристалів, і точкові групи з і метрів і G30, що описують їх зовнішню форму. Останні зв. також кристалографічними класами.

Точкові групи симетрії. Операціями точкової симетрії є: повороти навколо осі симетрії порядку N на кут, що дорівнює 360°/N (рис. 2, а), відображення у площині симетрії ( ; рис. 2, б), інверсія Т (симетрія щодо точки; рис. 2 в), інверсійні повороти N = (комбінація повороту на кут 360 ° / N з одночасною інверсією; рис. 2, г).

Рис. 2. Найпростіші операції симетрії: а – поворот; б – відображення; в – інверсія; г – інверсійний поворот 4-го порядку; д - гвинтовий поворот 4-го порядку; е - ковзне відображення.

Замість інверсійних поворотів іноді розглядають дзеркальні повороти N=. Геометрично можливі поєднання цих операцій визначають ту чи іншу точкову групу симетрії, яка зображується зазвичай в стереографіч. проекції. При перетвореннях точкової симетрії принаймні одна точка об'єкта залишається нерухомою - перетворюється сама на себе. У ній перетинаються всі симетрії, і вона є центром стереографічн. проекції. Приклади кристалів, що належать до разл. точкових груп, дано на рис. 3.

Рис. 3. Приклади кристалів, що належать до різних точкових груп (кристалографічних класів): про - до класу m (одна площина симетрії); б - до класу з (центр симетрії); в - до класу 2 (одна вісь симетрії 2-го порядку); г – до класу 6 (одна інверсійно-поворотна вісь 6-го порядку).

Точкові перетворення симетрії g(x1, x2, х3)=х"1, х"2, х"3 описуються лінійними ур-нями:

тобто матрицею коеф, (aij). При повороті навколо осі х1 на кут a=360°/N коеф. має вигляд:

а при відображенні у площині х1, х2 вона має вигляд:

Число точкових груп Go нескінченне. Однак у кристалах через наявність христ. грати можливі тільки операції і відповідно осі симетрії до 6-го порядку (крім 5-го; в крист. решітці не може бути осі симетрії 5-го порядку, тому що за допомогою п'ятикутників не можна заповнити без проміжків), які позначаються символами: 1, 2, 3, 4, 6, а також інверсійні осі 1 (вона ж - центр симетрії), 2 (вона ж - площина симетрії), 3, 4, 6. Тому кількість точкових кристалографічних. груп симетрії, що описують зовніш. форму кристалів, обмежено, їх лише 32 (див. табл.). У міжнар. позначення точкових груп входять символи операцій симетрії, що їх породжують. Ці групи об'єднуються за симетрією форми елементарного осередку (з періодами про, b, з кутами a, b, g) в 7 сингоній.

Групи, що містять лише повороти, описують , що складаються лише з сумісно рівних частин (групи 1-го роду). Групи, що містять відображення або інверсійні повороти, описують кристали, в яких брало є дзеркально рівні частини (групи 2-го роду). Кристали, що описуються групами 1-го роду, можуть кристалізуватися в двох енантіоморфних формах («правої» і «лівої», кожна з яких не містить елементів симетрії 2-го роду), але дзеркально рівних один одному (див. ЕНАНТІОМОРФІЗМ).

Точкові групи описують симетрію як кристалів, але будь-яких кінцевих фігур. У живій природі часто спостерігається заборонена кристалографії симетрія з осями 5-го, 7-го порядку і вище. Напр., для опису регулярної структури сферич. вірусів, в оболонках яких дотримуються принципи щільного укладання молекул, виявилася важливою ікосаедрична 532 (див. БІОЛОГІЧНІ КРИСТАЛИ).

Граничні групи. Функції, які описують залежність разл. властивостей кристала від напрямку мають певну точкову симетрію, однозначно пов'язану з групою симетрії огранювання кристала. Вона або збігається з нею, або вище за неї за симетрією (Неймана принцип).

Багато властивостей кристалів, що належать до певних точкових груп симетрії, описуються т. КРИСТАЛОФІЗИКА).

Просторова симетрія атомної структури кристалів описується просторами. групами симетрії G33 (наз. також Федоровськими на честь того, що знайшов їх у 1890 Е. С. Федорова). Характерними для ґрат операціями є три некомпланарних а, b, с, зв. трансляціями, які задають тривимірну періодичність атомної структури кристалів. Зсув (перенесення) структури на вектори а, b, с або будь-який вектор t=р1a+p2b+p3c, де p1,p2, p3 - будь-які цілі позитивні чи негативні числа, поєднує структуру кристала із собою і, отже, є операцією симетрії ( трансляційна симетрія).

Внаслідок можливості комбінування у ґратах трансляцій та операцій точкової симетрії у групах G33 виникають операції та відповідні їм елементи симетрії з трансляц. компонентом - гвинтові осі разл. порядків та площини ковзного відображення (рис. 2, д, е). Загалом відомо 230 просторів. груп симетрії G33, будь-який кристал відноситься до однієї з цих груп. Трансляція. елементів мікросиметрії макроскопічно не виявляються, напр. гвинтова вісь в ограновуванні кристалів проявляється як відповідна по порядку проста поворотна вісь. Тому кожна з 230 груп G33 макроскопічно схожа (гомоморфна) з однією з 32 точкових груп. Напр., на точкову групу mmm гомоморфно відображаються 28 просторів. груп. Сукупність переносів, властивих цій просторовій групі, є її трансляційна підгрупа, або Браве ґрати; таких ґрат існує 14.

Симетрія шарів та ланцюгів. Для опису періодичних об'єктів в 1 або 2 напрямках, зокрема фрагментів структури кристалів, можуть бути використані групи G32 - двовимірно періодичні m G31 - одновимірно періодичні в тривимірному просторі. Ці групи відіграють важливу роль у вивченні біол. структур та молекул. наприклад, групи G | описують будову біол. мембран, групи G31 - ланцюгових молекул (рис. 5, а) паличкоподібних вірусів, трубчастих кристалів глобулярних білків (рис. 5, б), в яких брало покладені згідно спіральної (гвинтової) симетрії, можливої ​​в групах G31 (див. Біологічні кристали) ).

Рис. 5. Об'єкти зі спіральною симетрією: а – ДНК; б - трубчастий кристал білка фосфорилази (електронно-мікроскопічний знімок, збільшення 220 000).

Узагальнена симетрія. У основі визначення симетрії лежить поняття рівності (1, б) під час перетворення (1, а). Однак фізично (і математично) об'єкт може дорівнювати собі за одними ознаками і не дорівнює за іншими. Наприклад, ядер і електронів у кристалі антиферомагнетика можна описати за допомогою звичайного простору. симетрії, але з урахуванням ним магн. моментів (рис. 6), то звичайної», класичні. симетрії вже недостатньо. До подібного роду узагальнення симетрії відносяться антисиметрія та . В антисиметрії на додаток до трьох просторів. змінним x1, х2, x3 вводиться додаткова 4-а змінна x4=±1. Це можна витлумачити в такий спосіб, що з перетворенні (1, а) ф-ция F то, можливо як дорівнює собі, як і (1, б), а й «антирівна» - змінити знак. Умовно таку операцію можна зобразити зміною кольору (рис. 7).

Рис. 6. Розподіл магнітних моментів (стрілки) в елементарному осередку феримагнітного кристала, що описується за допомогою узагальненої симетрії.

Існує 58 груп точкової антисиметрії C30,а та 1651 просторів. антисиметрії G33,a (Ш у б н і к о в с к і х г р у п п). Якщо додаткова змінна набуває не два значення, а дек. (можливі числа 3, 4, 6, 8, . . ., 48), виникає кольорова симетрія Бєлова. Так, відома 81 точкова група G30, ц і 2942 групи С33, ц. Основні додатки узагальненої симетрії в кристалографії-опис магн. структур.

Рис. 7. Фігура, що описується точковою групою антисиметрії.

Др. узагальнення симетрії: симетрія подоби, коли рівність частин фігури замінюється їх подобою (рис. 8), криволінійна симетрія, статистич. симетрія, що вводиться при описі структури розпорядкованих кристалів, твердих розчинів, рідких кристалів та ін.

Фізичний енциклопедичний словник. - М: Радянська енциклопедія. Головний редактор А. М. Прохоров. 1983 .

СИМЕТРІЯ КРИСТАЛІВ

Властивість кристалів поєднуватися з собою при поворотах, відбиття, паралельних переносах або при частині або комбінації цих операцій. Симетрія зовніш. форми (огранювання) кристала визначається симетрією його атомної будови, яка обумовлює також і симетрію фіз. властивостей кристала.

Рис. 1. а – кристал кварцу; 3 - вісь симетрії 3-го порядку - осі 2-го порядку; б – кристал водного метасилікату натрію; m - площина симетрії.

На рис. 1 азображено кристал кварцу. Зовніш. його форма така, б) перетворюється на себе відображенням у площині симетрії m (дзеркальна рівність). Якщо - Функція, що описує об'єкт, напр. форму кристала в тривимірному просторі або к.-л. його властивість, а операція здійснює перетворення координат усіх точок об'єкта, то gє операцією, або перетворенням симетрії, а F - симетричним об'єктом,

У наиб. загальному формулюванню симетрія - незмінність (інваріантність) об'єктів і законів при нек-рих перетвореннях змінних, що їх описують. С. до. проявляється не тільки в їх структурі та властивостях у реальному тривимірному просторі, але також і при описі енергетич. спектра електронів кристала(див. Зонна теорія),при аналізі процесів дифракції рентгенівських променів, дифракції нейтроніві дифракції електронівв кристалах з використанням зворотного простору (див. Зворотні грати) Іт. п.

Група симетрії кристалів. Кристалу може бути притаманна не одна, анеск. операцій симетрії. Так, кристал кварцу (рис. 1, а) поєднується з собою не тільки при повороті на 120 ° навколо осі 3 (операція gi),але при повороті навколо осі 3 на 240 ° (операція g 2),&також при поворотах на 180 ° навколо осей 2 Х, 2 у, 2 W(операції g 3, g 4, g 5).Кожній операції симетрії може бути зіставлений елемент симетрії - пряма, 3 або осі 2 x , 2 у, 2 wє осями симетрії, площина т(Рис. 1, б) - площиною дзеркальної симетрії і т. п. Сукупність операцій симетрії (g 1, g 2, ..., g n)даного кристала утворює групу симетрії у сенсі матем. теорії груп.Слідувати. проведення двох операцій симетрії також є операцією симетрії. У теорії груп це позначають як добуток операцій: Завжди існує операція ідентичності g 0нічого незмінна в кристалі, зв. ототожненням, вона геометрично відповідає нерухомості об'єкта або повороту його на 360 ° навколо будь-якої осі. Число операцій, що утворюють групу G, зв. порядком групи.

Групи симетрії перетворень простору класифікують: за кількістю . вимірювань простору, в яких брало вони визначені; за кількістю . вимірювань простору, в яких брало об'єкт періодичний (їх відповідно позначають), і за деякими ін. ознаками. Для опису кристалів використовують різні групи симетрії, з яких брало найважливішими є, що описують зовніш. форму кристалів; їх зв. також кристалографічні. класами; просторові групи симетрії, що описують атомну структуру кристалів.

Точкові групи симетрії.Операціями точкової симетрії є: повороти навколо осі симетрії порядку Nна кут, рівний 360°/N(Рис.2, а); відображення у площині симетрії т(Дзеркальне відображення, б); інверсія (симетрія щодо точки, рис. 2, в); інверсійні повороти (комбінація повороту на кут 360°/N зодночасно. інверсією, рис.2, г). Замість інверсійних поворотів іноді розглядаються еквівалентні їм дзеркальні повороти Геометрично можливі поєднання операцій точкової симетрії визначають ту чи іншу точкову групу симетрії, яка зображується зазвичай в стереографіч.

Рис. 2. Приклади операцій симетрії: а – поворот; б – відображення; в-інверсія; г – інверсійний поворот 4-го порядку; д - гвинтовий поворот 4-го порядку; е - ковзне відображення.

Рис. 3. Приклади кристалів, що належать до різних точкових груп (кристалографічних класів): а - до класу m (одна площина симетрії); б - до класу (центр симетрії або центр інверсії); а - до класу 2 (одна вісь симетрії 2-го порядку); г – до класу (одна інверсійно-поворотна вісь 6-го порядку).

Точкові перетворення симетрії описуються лінійними ур-нями

або матрицею коефіцієнтів

наприклад, при повороті навколо осі х 1на кут -=360°/N матриця Dмає вигляд:

а при відображенні у площині х 1 х 2 Dмає вигляд:

Число точкових груп нескінченне. Однак у кристалах через наявність кристаліч. решітки можливі лише операції і відповідно осі симетрії до 6-го порядку (крім 5-го; в кристалич. решітці не може бути осі симетрії 5-го порядку, тому що за допомогою п'ятикутних фігур не можна заповнити простір без проміжків). Операції точкової симетрії та відповідні їм елементи симетрії позначаються символами: осі 1, 2, 3, 4, 6, інверсійні осі (центр симетрії або центр інверсії), (вона ж - площина симетрії т), (рис. 4).

Рис. 4. Графічні позначення елементів точкової симетрії: а - кружок - центр симетрії, осі симетрії, перпендикулярні площині креслення; б - вісь 2, паралельна площині креслення; в - осі симетрії, паралельні або косо розташовані до площини креслення; г - площина симетрії, перпендикулярна площині креслення; д – площини симетрії, паралельні площині креслення.

Для опису точкової групи симетрії достатньо задати одну або дек. Ь, з та кутами ) в 7 сингоній (табл. 1).

Групи, що містять окрім гол. осі Nплощині симетрії т,позначаються як N/m,якщо або Nm,якщо вісь лежить у площині т.Якщо група допоміг. осі має дек. симетрії, що проходять через неї площин, то вона позначається Nмм.

Табл. 1.- Точкові групи (класи) симетрії кристалів

Групи С. до. несуть у собі геом. зміст: кожній з операцій відповідає, напр., поворот навколо осі симетрії, відбиток у площині. у цій групі (але не їх геом. Смисл), виявляються однаковими, або ізоморфними один одному. Такі, наприклад, групи 4 і , тт2, 222. Усього є 18 абстрактних груп, ізоморфних однією або декільком з 32 точкових груп С. до.

Точкові групи описують симетрію як кристалів, але будь-яких кінцевих фігур. У живій природі часто спостерігається заборонена в кристалографії крапкова симетрія з осями 5-го, 7-го порядку і вище. Для опису регулярної структури сферич. вірусів, в оболонках яких дотримуються принципи щільної укладання молекул, і деяких неорганічних. молекул виявилися важливими ікосаедрич. (Див. Біологічний кристал).Ікосаедрич. симетрія спостерігається також у квазікристалах.

Граничні групи. Ф-ції, які описують залежність різних властивостей кристала від напрямку, мають певну точкову симетрію, однозначно пов'язану з групою симетрії обмеження кристала. Вона або збігається з нею, або вище за неї за симетрією ( Неймана принцип).

Щодо макроскопіч. властивостей кристал може описуватися як однорідне безперервне середовище. Тому багато з властивостей кристалів, що належать до тих чи інших точкових груп симетрії, описуються т.з. граничними точковими групами, що містять осі симетрії нескінченного порядку, що позначаються символом.

Рис. 5. Стереографічні проекції 32 кристалографічних та 2 ікосаедричних груп. Групи розташовані в колонки за сімействами, символи яких дано у верхньому ряду. У нижньому ряду вказана гранична група кожного сімейства і зображені фігури, що ілюструють граничну групу.

Просторові групи симетрії.Просторова симетрія атомної структури кристалів описується просторовими групами симетрії. Вони зв. також Федоровськими на честь що знайшов їх в 1890 Е. С. Федорова; ці групи були незалежно виведені в тому ж році А. Шенфлісом (A. Schoenflies). На противагу точковим групам, які були отримані як узагальнення закономірностей форм кристалліч. багатогранників (С. І. Гессель, 1830, А. Характерними для атомної структури кристалів операціями є 3некомпланарні трансляції а, b , з , к-рі і задають тривимірну періодичність кристаліч. грати. Кристалліч. грати розглядається як нескінченна у всіх трьох вимірах. Таке матем. реально, а, Ь, з або будь-який вектор де p 1 , p 2 , р 3 -будь-які цілі числа, Фіз. дискретність кристаліч. речовини виявляється у його атомному будові. - це групи перетворення тривимірного однорідного дискретного простору. Дискретність у тому, що всі точки такого простору симетрично рівні одна одній, напр. одного та атом ін. сорти, ядри електрони. Умови однорідності та дискретності визначає той факт, що просторові групи – тривимірно періодичні, тобто будь-яка група містить підгрупу трансляцій Т- Кристалліч. грати.

Внаслідок можливості комбінування в ґратах трансляцій та операцій точкової симетрії в групах крім операцій точкової симетрії виникають операції та відповідні елементи симетрії з трансляц. компонентом - гвинтові осі різних порядків та площини ковзного відображення (рис. 2, д, е).

Відповідно до точкової симетрії форми елементарного осередку (елементарного паралелепіпеда) просторові групи, як і точкові, поділяються на 7 кристалографічних сингоній(Табл. 2). Подальший їх підрозділ відповідає трансляціям. групам та відповідним їм Враве ґратами.Грати Браве 14, з них 7 - примітивні грати відповідних сингоній, Р (крім ромбоедричної R).Інші-7 центрирів. А (центрується грань bc),(грань ас), С(аb);об'ємноцентровані I, гранецентровані (по всіх 3 гранях) F.З урахуванням центрування до операції трансляцій tдодаються відповідні центру центруючі переноси t c.Якщо комбінувати один з одним ці операції t+ t зі з операціями точкових груп відповідної сингоній, то виходять просторові групи, зв. симморфні.

Табл. 2.-Просторові групи симетрії

На основі певних правил із симморфних просторових груп можна отримати нетривіальні підгрупи, що дає ще 157 несимморфних просторових груп. Усього просторових груп 230. Операції симетрії при перетворенні точки хв симетрично рівну їй (а отже, і всього простору в собі) записуються у вигляді: де D -точкові перетворення - компоненти гвинтового переносу або ковзного відображення - операції трансляц. групи Браве. Операції гвинтової симетрії та відповідні елементи симетрії - гвинтові осі мають кут. компоненту (N = 2, 3, 4, 6) та трансляційну t s = tq/N,де t-трансляція грати, поворот на відбувається одночасно з трансляцією вздовж осі Ж, q -індексгвинтового повороту. Загальний символ гвинтових осей N q(Рис.6). Гвинтові осі спрямовані вздовж гол. осей або діагоналей елементарної осередки. Осі 3 1 і 3 2 , 4 1 і 4 3 ,6 1 і 6 5 , 6 2 і 6 4 відповідають попарно правим і лівим гвинтовим поворотам. Крім операції дзеркальної симетрії в просторових групах можливі також площини ковзного відбиття, Ь, з:відображення поєднується з перенесенням на половину відповідного періоду ґрат. Перенесення на половину діагоналі грані осередку відповідає. н. клиноплощина ковзання n, крім того, в тетрагональних і кубич. d.

Рис. 6. а - Графічні позначення гвинтових осей, перпендикулярних площині рис.; б - гвинтова вісь, що лежить у площині рис.; в - площині ковзного відображення, перпендикулярні площині рис., де а, b, с - періоди елементарного осередку, вздовж осей якої відбувається ковзання (трансляційна компонента а/2), п - діагональна площина ковзного відображення [трансляційна компонента (а + b) / 2], d - алмазна площина ковзання; г - те саме у площині малюнка.

У табл. 2 дані міжнародні символи всіх 230 просторових груп відповідно до їх приналежністю до однієї з 7 сингоній і класу точкової симетрії.

Трансляція. компоненти операцій мікросиметрії просторових групмакроскопічно в точкових групах не виявляються; напр., гвинтова вісь в ограновуванні кристалів проявляється як відповідна по порядку проста поворотна вісь. Тому кожна з 230 груп макроскопічно схожа (гомоморфна) з однією з 32 точкових груп. наприклад, на точкову групу - тттГомоморфно відображаються 28 просторових груп.

Позначення Шенфліса просторових груп - це позначення відповідної точкової групи (напр., табл. 1), до-ром зверху приписаний прийнятий історично, . У міжнародних позначеннях вказується символ ґрат Браве і які породжують операції симетрії кожної групи - і т. д. Послідовність розташування просторових груп у табл.2 у міжнародних позначеннях відповідає номеру (верхньому індексу) в позначеннях Шонфліса.

На рис. 7 дано зображення просторів. групи - Рптазгідно з Міжнародними кристалографічними. таблиць. Операції (і відповідні їм елементи) симетрії кожної просторової групи

Рис. 7. Зображення групи -Рпта в Міжнародних таблицях.

Якщо задати всередині елементарного осередку к.-н. точку х (x 1 x 2 x 3),то операції симетрії перетворять їх у симетрично рівні їй крапки у всьому кристаллич. просторі; таких точок нескінченне. Але досить описати їх становище в одному елементарному осередку, і ця сукупність вже буде розмножуватися трансляціями грати. Сукупність точок, що виводяться з даною операціями g iгрупи G - х 1, x 2, ..., x n-1, зв. правильною системою точок (ПСТ). На рис. 7 праворуч дано розташування елементів симетрії групи, зліва - зображення ПСТ загального стану цієї групи. Точки загального положення - це такі точки, які не розташовані на елементі точкової симетрії просторової групи. Число (кратність) таких точок дорівнює порядку групи. у = 1/4 та 3/4. Якщо ж точка потрапляє на площину, то вона цією площиною не подвоюється, як у разі точок загального положення, Для кожної просторової групи є свої сукупності ПСТ. Правильна система точок загального стану кожної групи одна. Але деякі з ПСТ приватного становища можуть виявитися однаковими для різних груп. У міжнародних таблицях зазначені кратність ПСТ, їх симетрія і координати та інші характеристики кожної просторової групи. Важливість поняття ПСТ полягає в тому, що будь-який кристалліч. структурі, що належить даній просторовій групі,

Підгрупи груп симетрії кристалів.Якщо частина операції к.-л. сама утворює групу G r (g 1 ..., g m),,то остання зв. підгрупою першою. Напр., підгрупами точкової группы32 (рис. 1, а) є група 3 та група 2. Також і серед просторів. груп існує ієрархія підгруп. Просторові групи можуть мати як підгрупи точкові групи (таких просторових груп 217) і підгрупи, які є просторовими групами нижчого порядку. Відповідно, існує ієрархія підгруп.

Більшість просторових груп симетрії кристалів різні міжсобою і як абстрактні групи; число абстрактних груп ізоморфних просторових груп дорівнює 219. Абстрактно рівними виявляються 11 дзеркально-рівних (енантіоморфних) просторових груп - одна лише з правими, інші лівими гвинтовими осями. Такі, наприклад, P 3 1 21 P 3 2 21.Обидві ці просторові групи гомоморфно відображаються на точкову группу32, до якої належить , але кварц відповідно буває правий ілевий: симетрія просторової структури в цьому випадку виражається макроскопічно, Роль просторових груп симетрії кристалів.Просторові групи симетрії кристалів-основа теоретич. кристалографії,дифракційних та інших методів визначення атомної структури кристалів та опису кристалліч. Дифракційна картина, одержувана методом рентгенографії, нейтронографіїабо електронографії,дозволяє встановити симетрійні та геом. зворотної решітки кристала, а отже і самої структури кристала. Так визначають точкову групу кристала і елементарну комірку; по характерним згасанням (відсутність певних дифракційних рефлексів) визначають тип грати Браве та приналежність до тієї чи іншої просторової групи. Розміщення атомів в елементарному осередку знаходять за сукупністю інтенсивностей дифракційних рефлексів.

Велику роль відіграють просторові групи в кристалохімії.Визначено понад 100 тис. кристаліч. структур неорганіч., органіч. та біологіч. з'єднань. Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1, Р6тп. Теорія, що пояснює поширеність техніки інших просторових груп, враховує розміри складових структуру атомів, поняття щільної упаковки атомів або молекул, роль «пакувальних» елементів симетрії - площин ковзання і гвинтових осей.

У фізиці твердого тіла використовується теорія уявлень груп за допомогою матриць та спец. ф-цій, для просторових груп ці ф-ції періодичні. структурних фазових переходів 2-го роду просторова група симетрії менш симетричної (низькотемпературної) фази є підгрупою просторової групи більш симетричної фази і фазовий перехід пов'язаний з одним з ненаведених уявлень просторової групи високосиметричної фази. Теорія уявлень дозволяє вирішувати завдання динаміки кристалічної решітки,її електронної та магн. структур, низки фіз. властивостей. У теоретич. Симетрія проекцій, шарів та ланцюгів.Проекції кристаліч. Структурна площина описуються плоскими групами, їх число - 17. Для опису тривимірних об'єктів, періодичних в 1 або 2 напрямках, зокрема фрагментів структури кристалів, можуть бути використані групи - двомірно періодичні і - одномірно періодичні. Ці групи відіграють важливу роль у вивченні біологічних. описують будову біологіч. мембран, групи -ланцюгових молекул (рис. 8, а),паличкоподібних вірусів, трубчастих кристалів глобулярних білків (рис. 8, б),в яких брало покладені згідно спіральної (гвинтової) симетрії, можливої ​​в групах (див. Біологічний кристал).

Рис. 8. Об'єкти зі спіральною симетрією: а – молекула ДНК; б - трубчастий кристал білка фосфорилази (електронно-мікроскопічний знімок, збільшення 220 000).

Структура квазікристалів.Квазікристалю(Напр., А1 86 Мn 14) мають ікосаедрич. точкову симетрію (рис. 5), яка неможлива в кристаллнч. Узагальнена симетрія.В основі визначення симетрії лежить поняття рівності (1, б) при перетворенні (1, а). Однак фізично (і математично) об'єкт може дорівнювати собі за одними ознаками і не дорівнює за іншими. Напр., розподіл ядер та електронів у кристалі антиферомагнетикаможна описати за допомогою звичайної просторової симетрії, але якщо врахувати розподіл його магн. моментів (рис. 9), то «звичайний», класич. симетрії вже недостатньо.

Рис. 9. Розподіл магнітних моментів (стрілки) в елементарному осередку феримагнітного кристала, що описується за допомогою узагальненої симетрії.

В антисиметрії на додаток до трьох просторових змінних х 1 ,х 2, х 3вводиться додаткова, 4-а змінна. Це можна витлумачити таким чином, що при перетворенні (1,а) функція Fможе бути не тільки дорівнює собі, як і (1,б), а й «антирівна»- змінить знак. Існує 58 груп точкової антисиметрії та 1651 просторова група антисиметрії (шубнпківські групи).

Якщо додаткова змінна набуває не двох значень, а більше (можливі 3,4,6,8, ..., 48), то виникає т.з. кольорова симетрія Бєлова.

Так, відома 81 точкова група та 2942 групи. основ. додатки узагальненої симетрії в кристалографії - опис магн. Знайдені та ін групи антисиметрії (кратної та ін). Теоретично виведені всі точкові і просторові групи чотиривимірного простору і більш високих вимірювань. На основі розгляду симетрії (3+К)-мірного простору можна також описувати невідповідні у трьох напрямках модульувальників. Невідповідна структура).

Др. узагальнення симетрії - симетрія подоби, коли рівність частин фігури замінюється їх подобою (рис. 10), криволінійна симетрія, статистич. твердих розчинів, рідких кристалів та ін.

Рис. 10. Фігура, що має симетрію подоби.Великий Енциклопедичний словник

Закономірність атомної будови, зовнішньої форми та фізичних властивостей кристалів полягає в тому, що кристал може бути поєднаний із самим собою шляхом поворотів, відображень, паралельних переносів (трансляцій) та інших перетворень симетрії. Енциклопедичний словник

Властивість кристалів поєднуватися із собою у різних положеннях шляхом поворотів, відбитків, паралельних переносів чи частини чи комбінації цих операцій. Симетрія зовнішньої форми (огранювання) кристала визначається симетрією його атомного…

Закономірність атомної будови, зовніш. форми та фіз. властивостей кристалів, що полягає в тому, що кристал може бути поєднаний із самим собою шляхом поворотів, відбитків, паралельних переносів (трансляцій) та ін. перетворень симетрії, а також… Природознавство. Енциклопедичний словник

Симетрія кристалів- Властивість кристалів поєднуватися з собою поворотом, відображенням, паралельним переносом або комбінацією цих операцій. Симетрія зовнішньої форми (огранювання) визначається симетрією його атомної будови, яка обумовлює також і … Енциклопедичний словник з металургії

Симетрія (від грец. symmetria - пропорційність) в математиці, 1) симетрія (у вузькому сенсі), або відображення (дзеркальне) щодо площини a у просторі (щодо прямої а на площині), - перетворення простору (площини), при… Велика Радянська Енциклопедія

Харка молекули, яка визначається сукупністю можливих операцій точкової симетрії для її рівноважної конфігурації. Чотири операції точкової симетрії (обертання навколо осі на деякий кут, менший або рівний 360°; відображення від площини; інверсія… …) Фізична енциклопедія

I Симетрія (від грецьк. symmetria пропорційність) в математиці, 1) симетрія (у вузькому сенсі), або відображення (дзеркальне) щодо площини α у просторі (щодо прямої а на площині), перетворення простору… … Велика Радянська Енциклопедія

- (Від грец. Пропорційність), поняття, що характеризує перехід об'єктів у самих себе або один в одного при здійсненні над ними визна. перетворень (перетворень С.); у широкому значенні властивість незмінності (інваріантності) деяких ... Філософська енциклопедія

- (Від грец. Symmetria пропорційність) законів фізики. Якщо закони, що встановлюють співвідношення між величинами, що характеризують фіз. систему, або визначальні зміни цих величин з часом, не змінюються при певних операціях. Фізична енциклопедія, Є.С. Федоров. До видання увійшли класичні роботи Євграфа Степановича Федорова з кристалографії. Найбільше досягнення Є. З. Федорова - суворий висновок всіх потенційних просторових груп (1891 рік). Тим самим…

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІСНТИТУТ ЕЛЕКТРОННОЇ ТЕХНІКИ

(ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ)

"СТВЕРДЖУЮ"

Зав. кафедрою КФН

Горбацевич О.О.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 10

за курсом «ФТТ та ПП»

Опис склала:

Анфалова Є.С

МОСКВА, 2002

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1

ВИЗНАЧЕННЯ СТРУКТУРИ КРИСТАЛІВ ЗА ДОПОМОГОЮ ДИФРАКЦІЇ РЕНТГЕНІВСЬКИХ ПРОМІНЬ

Мета роботи:визначення структури кристала та постійної решітки за допомогою методу Дебая-Шерера.

1. Структура та симетрія кристалів.

Кристали - це тверді тіла, що характеризуються періодичним розташуванням атомів у просторі. Періодичність кристалів означає існування у них далекого ладу і відрізняє кристали від аморфних тіл, у яких є лише ближній порядок.

Періодичність - один із типів симетрії кристала. Симетрія означає можливість перетворення об'єкта, що поєднує його із собою. Кристали також можуть володіти симетрією по відношенню до обертань навколо виділених (періодично розташованих у просторі) осей обертання і відбиття в площинах відбиття. Просторове перетворення, що залишає кристал інваріантним, тобто перекладає кристал у собі, називається операцією симетрії. Обертання навколо осі, відображення в площині, а також інверсія щодо центру інверсії - точкові перетворення симетрії, оскільки вони залишають на місці хоча б одну точку кристала. Зміщення (або трансляція) кристала на період ґрат - те ж перетворення симетрії, але воно вже не відноситься до точкових перетворень. Точкові перетворення симетрії інакше називають власними перетвореннями. Є також невласні перетворення симетрії, що являють собою комбінацію обертання або відображення та трансляцію на відстань, кратну періоду решітки.

Кристали різного хімічного складу з погляду симетрії можуть бути еквівалентними, тобто можуть мати один і той же набор операцій симетрії. Ця обставина визначає можливість класифікації кристалів на кшталт їхньої симетрії. Різним кристалам можна поставити у відповідність одну і ту ж решітку, що має задану симетрію. Класифікація кристалів будується на основі ґрат Браве. Грати Браве можна визначити як безліч точок, координати яких задаються кінцями радіус вектора r .

де a 1 , a 2 , a 3 - Довільна трійка некомпланарних (не лежать в одній площині) векторів, n 1 , n 2 , n 3 - довільні цілі числа. Вектори a 1 , a 2 , a 3 називають векторами елементарних трансляцій. Грати перетворюється на трансляції на будь-який вектор, задовольняє співвідношенню (1). Слід зазначити, що з цієї решітки Браве вибір векторів елементарних трансляцій неоднозначний. З визначення ґрат Браве випливає, що вектор елементарної трансляції а 1 є найменший період решітки в заданому напрямку. Як елементарні трансляції можуть бути обрані будь-які три некомпланарних мінімальнихперіоду ґрат.

У кожній решітці Браве можна виділити мінімальний обсяг простору, який при всіх трансляціях виду (1) заповнює весь простір, не перекриваючись із собою та не залишаючи проміжків. Такий обсяг називається примітивним осередком. Якщо ж ми виберемо обсяг, що заповнює весь простір в результаті не всіх, а якогось підмножини трансляцій, то такий обсяг буде просто елементарним осередком. Таким чином, примітивний осередок є елементарним осередком мінімального обсягу. З визначення примітивного осередку випливає, що на неї припадає рівно один вузол ґрат Браве. Ця обставина може бути корисною для перевірки того, чи являє собою обраний об'єм примітивний осередок чи ні.

Вибір примітивного осередку, як і вибір векторів елементарних трансляцій, неоднозначний. Найпростішим прикладом примітивного осередку може бути паралелепіпед, пробудований на векторах елементарних трансляцій.

Важливу роль фізиці твердого тіла грає примітивна осередок Вигнера-Зейтца, яку визначають, як частину простору, розташовану до цієї точці решітки Браве ближче, ніж до інших точок решітки. Для побудови осередку Вигнера-Зейтца слід провести площини, перпендикулярні до відрізків прямих, що з'єднують точку решітки, обрану як центр, з іншими точками. Площини мають проходити через середини цих відрізків. Багатогранник, обмежений збудованими площинами, і буде осередком Вігнера-Зейтца. Істотно, що осередок Вигнера-Зейтца має всі елементи симетрії решітки Браве.

Кристал (кристалічну структуру) можна описати, якщо поставити йому у відповідність певні ґрати Браве і вказати розташування атомів в елементарному осередку. Сукупність цих атомів називається базисом. Базис може складатися з одного або кількох атомів. Так, у кремнії до складу базису входить два атоми Si, в кристалі GaAs - базис також двоатомний і представлений одним атомів Ga та одним атомів As. У складних органічних сполуках базис може включати кілька тисяч атомів. Взаємозв'язок між поняттями ґрат, базис, структура можна визначити так:

грати + базис = кристалічна структура.

Вимога періодичності трансляційної інваріантності накладає суттєві обмеження на можливі кристалі точкові операції симетрії. Так, ідеально періодичному кристалі можуть існувати осі симетрії тільки 2, 3, 4 і 6 порядків і заборонено існування осі 5 порядку.

Браве показав, що з площин відбиття, чотирьох типів осей обертання, інверсії та трансляцій можна утворити 14 різних комбінацій. Цим 14 комбінаціям відповідає 14 типів ґрат. З математичної точки зору кожна така комбінація є групою (групою симетрії). При цьому, оскільки в групі присутні як елементи симетрії трансляції, група називається просторовою групою симетрії. Якщо трансляцію прибрати, то елементи, що залишилися, утворюють точкову групу. Усього точкових груп симетрії решіток Браве 7. Грати, що належать до цієї точкової групи, утворюють сингонію або систему. До кубічної сингонії відносяться прості кубічні (ПК), об'ємноцентровані кубічні (ОЦК) і гранецентровані кубічні решітки (ГЦК); до тетрагональної - проста тетрагональна та центрована тетрагональна; до ромбічної - проста, базоцентрована, об'ємноцентрована та гранецентрована ромбічні грати; до моноклинної - проста та базоцентрована моноклінні решітки. Три сингонії, що залишилися, містять по одному типу однойменних з ними решіток - триклінну, тригональну і гексагональну.

МОУ «Середня загальноосвітня школа №24»

місто Подільськ

Московська область

Доповідь

« Симетрія кристалів»

Виконала:

Орлова

Ольга Романівна,

учениця 10 класу "Г"

Науковий керівник:

Єлющєв Олег Володимирович,

вчитель

математики

2012 рік.

План.

IВступ. Концепція симетрії.

IIОсновна частина.

1) рівні частини та фігури в геометрії та в кристалографії;

2)кристали та його будова;

3)елементарні осередки до кристалу;

4) симетрія та анізотропія кристалічних багатогранників;

5) симетрія та її елементи;

6) групи чи види симетрії;

7) сингонії кристалів;

9) симетрія реальних кристалів;

IIIВисновок. Симетрія як кристалофізичний метод дослідження.

Симетрія кристалів.

Грецьке слово "симетрія" у перекладі російською мовою означає "пропорційність". В цілому ж, симетрію можна визначити як здатність до закономірного повторення фігурою своїх частин. Уявлення про симетрію поширене у повсякденному житті. Симетричними називаються, наприклад, віночки квітів, крила метелика, снігові зірочки. Людство здавна користувалося поняттям про симетрію, застосовуючи його у найрізноманітніших сферах своєї діяльності. Проте математичну розробку вчення про симетрію було здійснено лише у другій половиніXIXстоліття.

Симетрична фігура повинна складатися з рівних частин, що закономірно повторюються. Тому в основі уявлення про симетричні фігури лежить поняття про рівні частини.

"Дві фігури називаються взаємно рівними, якщо для кожної точки однієї фігури є відповідна точка іншої фігури, причому відстань між двома будь-якими точками однієї фігури дорівнює відстані між двома відповідними точками іншої".

Поняття рівності фігур, згідно з цим визначенням, значно ширше за відповідне поняття, прийняте в елементарній геометрії. У елементарної геометрії рівними називаються зазвичай такі постаті, які за накладення одна на іншу збігаються усіма своїми точками. У кристалографії рівними вважаються як такі сумісно - рівні постаті, але й постаті, які стосуються друг до друга як і його дзеркальне відбиток.

Досі йшлося про геометричні постаті. Переходячи до кристалів, треба пам'ятати, що вони є реальними тілами і що рівні їх частини повинні бути не тільки геометрично рівними, а й фізично однаковими.

Загалом кристалами зазвичай називаються тверді тіла, що утворюються в природних або лабораторних умовах у вигляді багатогранників.

Поверхня таких багатогранників обмежена більш менш досконалими площинами - гранями, що перетинаються по прямих лініях - ребрах. Крапки перетину ребер утворюють вершини.

Геометрично правильна форма кристалів обумовлюється, передусім, їх закономірним внутрішнім будовою.

У всіх кристалічних структурах можна виділити безліч однакових атомів, розташованих на кшталт вузлів просторових ґрат. Щоб уявити такі ґрати, необхідно подумки заповнити простір без залишку безліччю рівних паралелепіпедів, паралельно орієнтованих і суміжних по цілих гранях. Найпростіший приклад подібних паралелепіпедальних систем є сукупністю кубиків або цеглинок, впритул прикладених один до одного. Якщо в таких уявних паралелепіпедах виділити відповідні точки, наприклад, їх центри або будь-які інші точки, можна отримати так звану просторову решітку. Виділені відповідні точки називаються вузлами. У реальних структурах кристалів місця вузлів просторових ґрат можуть займатися окремими атомами, іонами або групами атомів.

Гратчаста будова характерна для всіх кристалів без винятку.

Таким чином, найбільш повне визначення кристала звучатиме так: кристалами називаються всі тверді тіла, в яких частинки (атоми, іони, молекули) розташовані закономірно у вигляді вузлів просторових грат.

Тверді тіла, у яких частинки розташовуються безладно, називаються аморфними. Прикладами аморфних утворень є скла, пластмаси, смоли, клей. Аморфна речовина не є стійкою і виявляє з часом тенденцію до кристалізації. Так скло "закристалізовується", утворюючи агрегати дрібних кристалів.

Прикладами кристалів можуть бути кубики кухонної солі, загострені кінцях шестигранні призми гірського кришталю, восьмигранники алмазу, дванадцятигранники граната.

У сучасному описі мінералу обов'язково вказуються параметри його елементарного осередку - найменшої групи атомів, паралельним переміщенням якої можна побудувати всю структуру цієї речовини. Незважаючи на те, що кількість атомів в елементарному осередку та їх тип у кожного мінералу різні, у природних кристалах існує всього сім типів елементарних осередків, які, повторюючись мільйони разів у тривимірному просторі, утворюють різні кристали. Кожен тип осередку відповідає певній сингонії, що дозволяє розділити всі кристали на сім груп.

Зовнішність кристалів багато в чому залежить від форми елементарних осередків та їх розташування в просторі. З кубічних елементарних осередків можна одержати великі кубічні кристали. У той самий час ступінчасте розташування "кубиків" дозволяє створювати складніші форми.

Елементарні осередки завжди вибудовуються таким чином, що грані кристала, що росте, і утворювані ними кути розташовуються не випадково, а в правильному порядку. Кожен тип грані має певне положення щодо осі, площини або центру симетрії, якими має той чи інший мінерал. Кристалографія заснована на законах симетрії, відповідно до яких проводиться класифікація кристалів за певними сингоніями.

У природі, у наукових та заводських лабораторіях кристали ростуть у вигляді красивих, правильних багатогранників із плоскими гранями та прямими ребрами. Симетрія та правильність зовнішньої форми природних кристалічних багатогранників - відмінна риса кристалів, але не обов'язкова. У заводських і лабораторних умовах часто вирощують не багатогранні кристали, але їх властивості від цього не змінюються. З природних і штучно вирощених кристалів вирізають пластинки, призми, стрижні, лінзи, у яких немає слідів зовнішньої багатогранної форми кристала, але зберігається дивовижна симетрія структури і властивостей кристалічної речовини.

Досвід показує, що якщо помістити уламок або пластинку з кристала в розчин або розплав тієї ж речовини і дати можливість вільно рости, то знову виросте кристал у формі правильного, симетричного багатокутника. Це відбувається через те, що швидкість зростання кристалів у різних напрямках різна. Це лише один приклад анізотропії фізичних властивостей кристала.

Анізотропія та симетрія - характерні особливості кристалів, обумовлені закономірністю та симетрією їхньої внутрішньої будови. У кристалічному багатограннику та у вирізаній з нього платівці однаково закономірне, симетричне, періодичне розташування частинок. Частинки, у тому числі складені кристали, утворюють правильні, симетричні ряди, сітки, решітки.

Камені, метали, хімічні продукти - органічні та неорганічні, у тому числі такі складні, як волокна бавовни та штучного шовку, кістки людини та тварин, і, нарешті, такі складно організовані об'єкти, як віруси, гемоглобін, інсулін, ДНК та багато інших, мають закономірну внутрішню будову. Кожній кристалічній речовині притаманні певний порядок, характерний "візерунок" і симетрія в розташуванні частинок, що встановилися відстані між частинками, причому всі ці закономірності можна визначити якісно та кількісно.

Все сказане відноситься до ідеально розвинених кристалів. Але у природі рідко зустрічаються досконалі геометричні форми. Найчастіше кристали деформуються в результаті нерівномірного розвитку граней або мають уривчасті, вигнуті лінії, зберігаючи при цьому кути між різними гранями. Кристали можуть зростати у вигляді геометрично впорядкованих агрегатів або в повному безладді. Нерідко мінерали демонструють поєднання різних кристалографічних форм. Іноді зростанню кристала заважають певні перешкоди, через що внутрішня кристалічна структура не знаходить ідеального відображення у зовнішній формі, і мінерал утворює незакономірні зростки або щільні маси. Разом з тим, згідно із законом сталості гранних кутів, у кристалах певної речовини та величина граней, і форма їх можуть змінюватися, але кути між відповідними гранями залишаються постійними. Тому щодо симетрії і взагалі геометрії реальних кристалів необхідно грунтуватися на кутах між гранями.

Знайомлячись з даним розділом кристалографії, не обійтися без використання геометрично правильних багатогранників, що становлять ідеалізовані моделі тих чи інших кристалів.

Вчення про симетрію кристалів ґрунтується на геометрії. Проте своїм розвитком цей розділ науки завдячує головним образам вченим, які працювали в галузі кристалографії. Найбільш блискучі досягнення пов'язані з іменами кристалографів, серед яких виділяються прізвища двох російських академіків - А.В.Гадоліна та Є.С.Федорова.

Тепер необхідно розповісти про саму симетрію та її елементи. У визначенні симетрії згадувалося про закономірне повторення рівних частин фігур. Для уточнення поняття про вказану закономірність користуються уявними допоміжними образами (точками, прямими, площинами), щодо яких правильно повторюються рівні частини фігур. Такі образи звуться елементів симетрії.

Прикладами згаданих елементів є: центр інверсії, осі та площини симетрії.

Щоб охарактеризувати ту чи іншу вісь, необхідно з'ясувати величину найменшого кута повороту, що приводить фігуру у суміщення. Такий кут зветься елементарного кута повороту осі.

Елементарний кут повороту будь-якої осі симетрії міститься ціле число разів на 360°:

де n- ціле число, що називається порядком (найменуванням) осі.

Порядок осі симетрії відповідає числу, що показує скільки разів елементарний кут повороту міститься в 360°. Одночасно порядок осі дає кількість поєднань фігури самої із собою при повному повороті навколо цієї осі.

Кожній осі відповідає свій елементарний кут повороту:

при n=1 =360°

n=2 α=180°

n=3 α=120°

n=4 α=90°

n=5 α=72°

n=6 =60° і т.д.

У геометрії існує безліч осей різних цілих найменувань. Однак симетрія кристалів описується кінцевим набором осей. Їх кількість обмежується фактом існування просторових ґрат. Грати накладають заборону на реалізацію в кристалах осей п'ятого порядку і осей вище шостого порядку.

З іншого боку, існують звані інверсійні осі.

Подібний елемент симетрії представляє сукупність простої осі симетрії і центру інверсії, що діють не порізно, а разом. Беручи участь лише як складова інверсійної осі, центр інверсії може не виявлятися у вигляді самостійного елемента симетрії. На всіх моделях, де доводиться визначати інверсійні осі, центр інверсії немає.

У кристалографії сукупність елементів симетрії називають видом симетрії кристалічного багатогранника.

Усі групи (види) симетрії кристалів отримав 1820 р. німецький професор мінералогії І.Гессель. Їх виявилося 32. Однак його результати не були помічені науковою громадськістю частково через невдалий виклад, частково тому, що стаття Гесселя була опублікована в малодоступному виданні.

Незалежно від Гесселя висновок 32 груп (видів) симетрії кристалів здійснив 1867 року російський академік, професор Артилерійської академії, кристалограф - аматор, генерал А.В.Гадолін. Його робота була одразу високо оцінена фахівцями.

Групи симетрії кристалів або, як їх прийнято називати, види симетрії, зручно розділити на системи, що об'єднують групи зі схожими елементами симетрії. Таких систем шість - триклінна, моноклінна, ромбічна, тетрагональна, гексагональна та кубічна.

Кристалографи, що вивчають зовнішню форму кристалів та їх будову, часто виділяють із гексагональної системи тригональні кристали. Таким чином, всі кристали при цьому діляться на сім сингоній (від грецького "син" - разом, "гонія" - кут): триклінну, моноклінну, ромбічну, тригональну, тетрагональну, гексагональну та кубічну. У кристалографії сингонією називається група видів симетрії, що володіють одним або декількома подібними елементами симетрії при однаковій кількості одиничних напрямків. Істотно відзначити, що просторові решітки, що відносяться до кристалів однієї і тієї ж сингонії, повинні мати елементарні осередки з однаковою симетрією.

Назви сингоній пояснюються так: у кристалах триклінної сингонії всі три кути між ребрами паралелепіпеда є косими [клино (грец.) - Нахиляти]. У кристалах моноклинної сингонії між зазначеними ребрами є лише один косий кут (два інші – прямі). Ромбічна сингонія характеризується тим, що прості форми, що належать до неї, нерідко мають форму ромбів.

Назви "тригональна", "тетрагональна", "гексагональна" сингонії вказують на типову симетрію кристалів, що відносяться сюди. Тригональна сингонія часто називається ромбоедрической, оскільки більшість видів симетрії цієї сингонії характерна проста форма, звана ромбоэдром.

Кристалам кубічної сингонії властиві просторові грати, елементарні паралелепіпеди яких формою представляють куби.

Триклінна сингонія. Сингонія з найпримітивнішими кристалічними формами та дуже простою симетрією. Характерною формою триклінної сингонії є косокутна призма. Типові представники: бірюза та родоніт.

Моноклінна сингонія. Характерні призми з паралелограмом на підставі. До моноклінної сингонії належать кристали таких мінералів, як алебастр, малахіт, нефрит.

Ромбічна сингонія. Характерними формами є ромбічна призма, піраміда та біпіраміда. Серед типових мінералів цієї сингонії топаз, хризоберил, олівін.

Тригональна сингонія. Простими формами є тригональні призми, піраміди, біпіраміди, а також ромбоедри та скаленоедри. Прикладом мінералів тригональної сингонії є кальцит, кварц, турмалін.

Гексагональна сингонія. Типові форми: 6- або 12-гранні призми, піраміди та біпіраміди. У цій сингонії виділяються берил, ванадиніт (використовується як руда ванадію).

Тетрагональна сингонія. Простими формами є тетрагональні призми, піраміди та біпіраміди. У цій сингонії кристалізуються циркон та рутил.

Кубична сингонія. Прості форми: куб, октаедр, тетраедр. У кубічній сингонії кристалізуються флюорит, алмаз, пірит.

Сингонії, своєю чергою, групуються у три категорії: нижчу, середню, вищу.

Кристали нижчої категорії характеризуються наявністю кількох одиничних напрямків (єдине, що не повторюється в кристалі напрямок називається одиничним) і відсутністю осей симетрії порядку вище 2. Сюди відносяться три сингонії: триклінна, моноклінна та ромбічна.

Кристали середньої категорії мають один одиничний напрямок, що збігається з єдиною віссю порядку вище 2. Сюди також належать три сингонії: тригональна, тетрагональна і гексагональна.

У кристалах вищої категорії за відсутності одиничних напрямків завжди є кілька осей порядку вище 2. Сюди належить одна кубічна сингонія.

До цього часу розглядалися ідеалізовані моделі кристалічних багатогранників.

Значно важче визначати симетрію реальних кристалів. Вище зазначалося нерівномірний розвиток симетричних граней кристалів внаслідок неоднакового припливу до них живильного розчину. У зв'язку з цим куб реального кристала нерідко набуває форми сплощеного або витягнутого паралелепіпеда. Мало того, іноді спостерігається навіть часткова відсутність симетричних граней. Тому, виходячи із зовнішніх форм реальних кристалів, легко помилково знизити їхню дійсну симетрію.

На допомогу тут приходять точні виміри кутів між гранями, якими неважко відновити справжню симетрію багатогранника. Проте нерідко відбуваються й зворотні помилки, коли кристалам приписується вища симетрія проти дійсної.

Також цікаво, що ті самі речовини за різних умов можуть утворювати зовсім різні кристалічні структури, а отже, і різні мінерали. Яскравим прикладом служить вуглець: якщо він гексагональна сингонія, то утворюється графіт, якщо кубічна - алмаз.

Отже, симетрія, періодичність та закономірність структури – основні характеристики кристалічного стану речовини.

Те, як кристал влаштований зсередини, неминуче відбивається з його зовнішньому вигляді і з його формі. Форма кристала дозволяє припускати, як з'єдналися частки у його структурі. І звичайно, можна з великою впевненістю говорити, що в октаедричному кристалі флюориту, шестикутній пластинці графіту та пластинчастому кристалі бариту частинки розташовані по-різному. А ось у "кубиках" галіта та галеніту вони розміщуються дуже схоже, хоча ці мінерали мають різний хімічний склад.

Всі ці відмінності та подібності допомагає описати симетрію.

Однак симетрія не обмежується виявленням закономірностей у розташуванні частинок у просторових ґратах та у зовнішній формі кристалів. Крім того, всі фізичні властивості тісно пов'язані з симетрією. Вона визначає, якими фізичними властивостями може чи може мати той чи інший кристал. Вона диктує кількість незалежних величин, необхідні повної характеристики даного фізичного властивості, і напрями їх вимірів стосовно елементів симетрії, тобто. визначає характер анізотропії фізичних властивостей Понад те, виявилося можливим приписати симетрію математичним величинам - скалярам, ​​векторам, що описує фізичні властивості кристалів. І, нарешті, самим фізичним явищам у кристалах можна приписати ту чи іншу симетрію, яка збігається із симетрією математичних величин, які описують ці явища.

Список літератури

1. А.С.Сонін. "Курс макроскопічної кристалофізики", М., "Наука", 2006р.

2. М.П.Шаскольська. "Кристалографія", М., "Вища школа", 1984 р.

3.Г.М.Попов, І.І.Шафрановський. "Кристалографія", М., "Вища школа", 1972 р.

4. М.Аксенова, В.Володін. Енциклопедія для дітей Геологія, М., "Аванта+", 2006 р.

5.А.Жаркова. "Мінерали. Скарби землі", М., "Де Агостіні", 2009 р.

Пояснювальна записка.

Темою мого реферату є симетрія кристалів. Мета мого реферату – розповідь про симетрію кристалів. Завданнями моєї роботи є вивчення елементів симетрії, розповідь про значення симетрії у вивченні властивостей кристалів, узагальнення даних. Предметом мого дослідження є кристали. Під час проведення дослідження я скористалася різноманітною літературою. Однією з основних джерел була книга М.П.Шаскольской " Кристалографія " , що містила багато статей про будову кристалів і самої симетрії. Також я користувалася книгою Г.М.Попова, І.І.Шафрановського "Кристалографія", де знайшла велику кількість цікавої інформації. Для більш детального аналізу та розповіді про симетрію кристалів я використовувала іншу літературу, журнали та енциклопедії.

Тези.

Грецьке слово "симетрія" у перекладі російською мовою означає "пропорційність". В цілому ж, симетрію можна визначити як здатність до закономірного повторення фігурою своїх частин.

У кристалографії рівними вважаються як такі сумісно - рівні постаті, але й постаті, які стосуються друг до друга як і його дзеркальне відбиток.

Усі кристали побудовані з матеріальних частинок, геометрично правильно розміщених у просторі. Упорядкований розподіл атомів, іонів, молекул відрізняє кристалічний стан від некристалічного, де ступінь упорядкованості зовсім незначний.

Кристалами називаються всі тверді тіла, у яких частинки (атоми, іони, молекули) розташовані закономірно як вузлів просторових решіток.

У сучасному описі мінералу обов'язково вказуються параметри його елементарного осередку - найменшої групи атомів, паралельним переміщенням якої можна побудувати всю структуру цієї речовини.

Анізотропія та симетрія - характерні особливості кристалів, обумовлені закономірністю та симетрією їхньої внутрішньої будови.

Елементами симетрії називаються допоміжні геометричні образи (крапки, прямі, площини), за допомогою яких виявляється симетрія фігур.

Центром інверсії називається особлива точка всередині фігури, що характеризується тим, що будь-яка проведена через неї пряма по обидва боки від неї та на рівних відстанях зустрічає однакові (відповідні) точки фігури. Подібна точка у геометрії називається центром симетрії.

Площиною симетрії називається така площина, яка поділяє фігуру на дві дзеркально-рівні частини, розташовані відносно один одного як предмет та його дзеркальне відображення.

Осю симетрії називається пряма лінія, навколо якої кілька разів повторюються рівні частини фігури.

Інверсійною віссю називається така пряма лінія, при повороті навколо якої певний певний кут з наступним (або попереднім) відображенням в центральній точці фігури, як в центрі інверсії, фігура поєднується сама з собою.

Всі кристали при цьому діляться на сім сингоній (від грецького "син" - разом, "гонія" - кут): триклінну, моноклінну, ромбічну, тригональну, тетрагональну, гексагональну та кубічну. У кристалографії сингонією називається група видів симетрії, що володіють одним або декількома подібними елементами симетрії при однаковій кількості одиничних напрямків.

Одні й самі речовини за різних умов можуть утворювати зовсім різні кристалічні структури, отже, і мінерали. Яскравим прикладом служить вуглець: якщо він гексагональна сингонія, то утворюється графіт, якщо кубічна - алмаз.

Те, як кристал влаштований зсередини, неминуче відбивається з його зовнішньому вигляді і з його формі. Форма кристала дозволяє припускати, як з'єдналися частки у його структурі.

Крім того, всі фізичні властивості тісно пов'язані з симетрією. Вона визначає, якими фізичними властивостями може чи може мати той чи інший кристал. Вона диктує кількість незалежних величин, необхідні повної характеристики даного фізичного властивості, і напрями їх вимірів стосовно елементів симетрії, тобто. визначає характер анізотропії фізичних властивостей

Симетрія пронизує всю кристалофізику і постає як специфічний метод дослідження фізичних властивостей кристалів.

Тому основним методом кристалографії є ​​встановлення симетрії явищ, властивостей, структури та зовнішньої форми кристалів.

Додаток.

А. І. Сьомке,
, МОУ ЗОШ №11, Єйське УО, м. Єйськ, Краснодарський кр.

Симетрія кристалів

Цілі уроку: Освітня- Ознайомлення з симетрією кристалів; закріплення знань та умінь на тему «Властивості кристалів» Виховна- Виховання світоглядних понять (причинно-наслідкові зв'язки в навколишньому світі, пізнаваність навколишнього світу та людства); моральне виховання (виховання любові до природи, почуття товариської взаємовиручки, етики групової роботи) Розвиваюча– розвиток самостійності мислення, грамотного мовлення, навичок дослідницької, експериментальної, пошукової та практичної роботи.

Симетрія ... є тією ідеєю, за допомогою
якої людина протягом століть намагалася
осягнути порядок, красу та досконалість.
Герман Вейль

Фізичний словник

• Кристал – від грец. κρύσταλλος – буквально лід, гірський кришталь.
• Симетрія кристалів – закономірність атомної будови, зовнішньої форми та фізичних властивостей кристалів, яка полягає в тому, що кристал може бути поєднаний із самим собою шляхом поворотів, відображень, паралельних переносів (трансляцій) та інших перетворень симетрії, а також комбінацій цих перетворень.

Вступний етап

Симетрія кристалів - найбільш загальна закономірність, пов'язана з будовою та властивостями кристалічної речовини. Вона є одним із узагальнюючих фундаментальних понять фізики та природознавства загалом. Відповідно до визначення симетрії, даного Є.С. Федоровим, «симетрія є властивість геометричних постатей повторювати свої частини, чи, висловлюючись точніше, властивість в різних положеннях приходити у поєднання з початковим становищем». Таким чином, симетричним є такий об'єкт, який може бути поєднаний сам із собою певними перетвореннями: поворотами навколо осей симетрії або відбиття в площинах симетрії. Такі перетворення прийнято називати симетричними операціями. Після перетворення симетрії частини об'єкта, що знаходилися в одному місці, збігаються з частинами, що знаходяться в іншому місці, що означає, що в симетричному об'єкті є рівні частини (сумісні та дзеркальні). Внутрішня атомна структура кристалів – тривимірно-періодична, тобто вона описується як кристалічні ґрати. Симетрія зовнішньої форми (огранювання) кристала визначається симетрією його внутрішньої атомної будови, яка обумовлює також і симетрію фізичних властивостей кристала.

Дослідницька робота 1. Опис кристалів

Кристалічна решітка може мати різні види симетрії. Під симетрією кристалічної решітки розуміються властивості решітки збігатися з собою при деяких просторових переміщеннях. Якщо грати збігаються самі з собою при повороті деякої осі на кут 2π/ n, то ця вісь називається віссю симетрії n-го порядку.

Крім тривіальної осі 1-го порядку, можливі лише осі 2-го, 3-го, 4-го та 6-го порядків.

Для опису кристалів використовують різні групи симетрії, з яких найважливішими є просторові групи симетрії,описують структуру кристалів на атомарному рівні; точкові групи симетрії,описують їхню зовнішню форму. Останні називаються також кристалографічними класами. До позначення точкових груп входять символи основних властивих їм елементів симетрії. Ці групи об'єднуються за симетрією форми елементарного осередку кристала в сім кристалографічних сингоній – триклінну, моноклінну, ромбічну, тетрагональну, тригональну, гексагональну та кубічну. Приналежність кристала до тієї чи іншої групи симетрії та сингонії визначається вимірами кутів чи методом рентгеноструктурного аналізу.

У порядку зростаючої симетрії кристалографічні системи розташовуються наступним чином (позначення осей та кутів зрозумілі з малюнка):

Триклінна система.Характерна властивість: a ≠ b ≠ c;α ≠ β ≠ γ. Елементарний осередок має форму косокутного паралелепіпеда.

Моноклінна система.Характерна властивість: два кути прямі, третій відмінний від прямого. Отже, a ≠ b ≠ c; β = γ = 90 °, α ≠ 90 °. Елементарний осередок має форму паралелепіпеда з прямокутником у підставі.

Ромбічна система.Всі кути прямі, всі ребра різні: a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90 °. Елементарний осередок має форму прямокутного паралелепіпеда.

Тетрагональна система.Всі кути прямі, два ребра однакові: a = b ≠ c; α = β = γ = 90 °. Елементарний осередок має форму прямої призми з квадратною основою.

Ромбоедрична (тригональна) система.Всі ребра однакові, всі кути однакові і відмінні від прямого: a = b = c; α = β = γ ≠ 90 °. Елементарний осередок має форму куба, деформованого стисненням або розтягуванням вздовж діагоналі.

Гексагональна система.Ребра та кути між ними задовольняють умовам: a = b ≠ c; α = β = 90 °; γ = 120 °. Якщо скласти разом три елементарні осередки, виходить правильна шестигранна призма. гексагональну упаковку мають більше 30 елементів (З алотропної модифікації графіту, Be, Cd, Ti та ін).

Кубична система.Всі ребра однакові, всі кути прямі: a = b = c; α = β = γ = 90 °. Елементарний осередок має форму куба. У кубічній системі розрізняють три види так званих ґрат Браве: примітивну ( а), об'ємно-центровану ( б) та гранецентровану ( в).

Прикладом кубічної системи є кристали кухонної солі (NaCl, г). Найбільші іони хлору (світлі кульки) утворюють щільну кубічну упаковку, у вільних вузлах якої (у вершинах правильного октаедра) розташовані іони натрію (чорні кульки).

Ще один приклад кубічної системи – грати алмазу ( д). Вона є дві кубічні гранецентровані грати Браве, зсунуті на чверть довжини просторової діагоналі куба. Такі грати мають, наприклад, хімічні елементи кремній, германій, а також алотропна модифікація олова - сіре олово.

Експериментальна робота «Спостереження кристалічних тіл»

Обладнання:лупа або короткофокусна лінза в оправі, набір кристалічних тіл.

Порядок виконання

1. За допомогою лупи розгляньте кристалики кухонної солі. Всі вони мають форму кубиків. Одиночний кристал називають монокристалом(Має макроскопічно впорядковану кристалічну решітку). Основною властивістю кристалічних тіл є залежність фізичних властивостей кристала від напрямку анізотропія.
2. Розгляньте кристалики мідного купоросу, зверніть увагу на наявність плоских граней в окремих кристаликів, кути між гранями не дорівнюють 90 °.
3. Розгляньте кристалики слюди як тонких пластинок. Торець однієї із пластин слюди розщеплений на безліч тонких листочків. Платівку слюди важко розірвати, але легко розщепити на більш тонкі листочки по площинах. анізотропія міцності).
4. Розгляньте полікристалічні тіла (злам шматка заліза, чавуну або цинку). Зверніть увагу: на зламі можна розрізнити дрібні кристалики, з яких складається шматок металу. Більшість зустрічаються в природі і одержуваних у техніці твердих тіл є сукупністю хаотично орієнтованих маленьких кристаликів, що зрослися один з одним. На відміну від монокристалів полікристали ізотропні, тобто їх властивості однакові в усіх напрямках.

Дослідницька робота 2. Симетрія кристалів (кристалічні грати)

Кристали можуть мати форму різних призм, основою яких є правильний трикутник, квадрат, паралелограм і шестикутник. В основі класифікації кристалів та пояснення їх фізичних властивостей може лежати не лише форма елементарного осередку, а й інші види симетрії, наприклад, поворот навколо осі. Оссю симетрії називають пряму, при повороті навколо якої на 360 ° кристал (його грати) кілька разів поєднується сам із собою. Число цих поєднань називають порядком осі симетрії. Існують кристалічні решітки, що мають осі симетрії 2-го, 3-го, 4-го і 6-го порядку. Можлива симетрія кристалічних ґрат відносно площини симетрії, а також комбінації різних видів симетрії.

Російський вчений Є.С. Федоров встановив, що 230 різних просторових груп охоплюють усі можливі кристалічні структури, які у природі. Євграф Степанович Федоров (22 грудня 1853 – 21 травня 1919) – російський кристалограф, мінералог, математик. Найбільше досягнення Є.С. Федорова – суворий висновок всіх потенційних просторових груп 1890 р. Тим самим Федоров описав симетрії всього розмаїття кристалічних структур. У той же час він фактично вирішив відоме з давніх-давен завдання про можливі симетричні фігури. Крім того, Євграф Степанович створив універсальний прилад для кристалографічних вимірів – столик Федорова.

Експериментальна робота «Демонстрація кристалічних ґрат»

Обладнання:моделі кристалічних ґрат хлористого натрію, графіту, алмазу.

Порядок виконання

1. Зберіть модель кристала хлористого натрію ( наводиться малюнок). Звертаємо увагу, що кульки одного кольору імітують іони натрію, а іншого – іони хлору. Кожен іон у кристалі здійснює тепловий коливальний рух біля вузла кристалічних ґрат. Якщо з'єднати ці вузли прямими лініями, то утворюється кристалічні грати. Кожен іон натрію оточений шістьма іонами хлору, навпаки, кожен іон хлору – шістьма іонами натрію.
2. Виберіть напрямок уздовж одного з ребер ґрат. Зверніть увагу: білі та чорні кульки – іони натрію та хлору – чергуються.
3. Виберіть напрямок уздовж другого ребра: білі та чорні кульки – іони натрію та хлору – чергуються.
4. Виберіть напрямок уздовж третього ребра: білі та чорні кульки – іони натрію та хлору – чергуються.
5. Проведіть подумки пряму лінію по діагоналі куба, - на ній виявляться лише білі або тільки чорні кульки, тобто іони одного елемента. Це спостереження може бути основою пояснення явища анізотропії, властивому кристалічним тілам.
6. Розміри іонів у ґратах неоднакові: радіус іона натрію приблизно 2 разу більше радіуса іона хлору. В результаті цього в кристалі кухонної солі іони розташовані так, що положення ґрат стійке, тобто є мінімум потенційної енергії.
7. Зберіть модель кристалічних ґрат алмазу та графіту. Відмінність в упаковці атомів вуглецю в ґратах графіту та алмазу визначає суттєві відмінності їх фізичних властивостей. Такі речовини називають алотропними.
8. Зробіть висновок за результатами спостереження та схематично замалюйте види кристалів.

1. Альмандін. 2. Ісландський шпат. 3. Апатит. 4. Лід. 5. Поварена сіль. 6. Ставроліт (двійник). 7. Кальцит (двійник). 8. Золото.

Дослідницька робота 3. Отримання кристалів

Кристали ряду елементів і багатьох хімічних речовин мають чудові механічні, електричні, магнітні, оптичні властивості. Розвиток науки і техніки призвело до того, що багато кристали, що рідко зустрічаються в природі, стали дуже потрібні для виготовлення деталей приладів, машин, для виконання наукових досліджень. Виникло завдання розробки технології виготовлення монокристалів багатьох елементів та хімічних сполук. Як відомо, алмаз – це кристал вуглецю, рубін та сапфір – кристали оксиду алюмінію з різними домішками.

Найбільш поширеними способами вирощування монокристалів є кристалізація з розплаву та кристалізація з розчину. Кристали з розчину вирощують при повільному випаровуванні розчинника з насиченого розчину або повільному зниженні температури розчину.

Експериментальна робота «Вирощування кристалів»

Обладнання:насичені розчини кухонної солі, дворомокислого амонію, гідрохінону, хлористий амоній, предметне скло, скляна паличка, лупа або лінза в оправі.

Порядок виконання

1. Візьміть скляною паличкою невелику краплю насиченого розчину кухонної солі та перенесіть на предметне попередньо нагріте скло ( розчини готуються заздалегідь і зберігаються в невеликих колбочках або пробірках, закритих пробками).
2. Вода з теплого скла порівняно швидко випаровується, і розчину починають випадати кристали. Візьміть лупу та спостерігайте за процесом кристалізації.
3. Найбільш ефективно проходить досвід із дворомокислим амонієм. На краях, а потім по всій поверхні краплі з'являються золотаво-жовтогарячі гілки з тонкими голками, що утворюють химерний малюнок.
4. Добре можна бачити неоднакові швидкості зростання кристалів у різних напрямках – анізотропію зростання – у гідрохінону.
5. Зробіть висновок за результатами спостереження та схематично замалюйте види отриманих кристалів.

Дослідницька робота 4. Застосування кристалів

Кристали мають чудову властивість анізотропії (механічними, електричними, оптичними і т. д.). Сучасні виробництва неможливо уявити без використання кристалів.

Кристал		Приклад застосування
	Розвідка та видобуток корисних копалин	Бурові інструменти
	Ювелірна промисловість	Прикраси
	Контрольно-вимірювальні прилади	Морські хронометри – особливо точні прилади
	Обробна промисловість	Алмазні підшипники
	Приладобудування	Опорне каміння для годинника
	Хімічна промисловість	Фільєри для протягування волокна
	Наукові дослідження	Рубіновий лазер
	Ювелірна промисловість	Прикраси
Німеччина, кремній	Електронна промисловість	Напівпровідникові схеми та пристрої
Флюорит, турмалін, ісландський шпат	Оптоелектронна промисловість	Оптичні прилади
Кварц, слюда	Електронна промисловість	Електронні прилади (конденсатори тощо)
Сапфір, аметист	Ювелірна промисловість	Прикраси
	Обробна промисловість	Графітове мастило
	Машинобудування	Графітове мастило

Цікава інформація

Хто і коли відкрив рідкі кристали? Де використовуються РК?

Наприкінці ХІХ ст. німецький фізик О. Леман і австрійський ботанік Ф. Рейнітцер звернули увагу на те, що деякі аморфні та рідкі речовини відрізняються дуже впорядкованим паралельним укладанням подовжених формою молекул. Пізніше за рівнем структурної впорядкованості їх назвали рідкими кристалами(РК). Розрізняють смектичні кристали (з пошаровим укладанням молекул), нематичні (з хаотично паралельно зміщеними подовженими молекулами) і холестеричні (за структурою близькі до нематичним, але відрізняються більшою рухливістю молекул). Було відмічено, що з зовнішньому впливі, наприклад, малого за величиною електричного напруги, за зміни температури, напруженості магнітного поля змінюється оптична прозорість молекули ЖК. З'ясувалося, що відбувається за рахунок переорієнтації осей молекул у напрямку, перпендикулярному до початкового стану.

Рідкі кристали: а) Смоктичні; б) нематичні; в) холестеричні.
URL: http://www.superscreen.ru

Принцип роботи РК-індикатора:
ліворуч – електричне поле вимкнено, світло проходить через скло; праворуч – поле увімкнено, світло не проходить, видно чорні символи (URL той самий)

Чергова хвиля наукового інтересу до рідких кристалів піднялася у повоєнні роки. Серед дослідників-кристалографів вагоме слово сказав наш співвітчизник І.Г. Чистяків. Наприкінці 60-х років. минулого століття американська корпорація RСAпочала проводити перші серйозні дослідження щодо використання нематичних ЖК для візуального відображення інформації. Проте випередила всіх японська компанія Sharp, яка у 1973 р. запропонувала рідкокристалічну буквено-цифрову мозаїчну панель – РК-дисплей ( LCD – Liquid Crystal Display). Це були скромні за розмірами монохромні індикатори, де полісегментні електроди використовувалися переважно для нумерації чисел. «Індикаторна революція», що почалася, призвела практично до повної заміни стрілочних механізмів (у електровимірювальних приладах, наручному та стаціонарному годиннику, побутовій та промисловій радіоапаратурі) на засоби візуального відображення інформації в цифрі – більш точні, з безпомилковим відліком.

Рідкокристалічні екрани різного типу. URL: http://www.permvelikaya.ru; http://www.gio.gov.tw; http://www.radiokot.ru

Завдяки успіхам мікроелектроніки кишенькові та настільні калькулятори замінили арифмометри, лічильники, логарифмічні лінійки. Лавиноподібне зниження собівартості інтегральних мікросхем призвело навіть до явищ, що явно суперечать технічним тенденціям. Наприклад, сучасний цифровий наручний годинник помітно дешевший за пружинно-стрілочний, який, за інерцією мислення, зберігає популярність, перейшовши в категорію «престижних».

Від яких параметрів залежить форма сніжинок? Яка наука і з якою метою займається вивченням снігу, льоду, сніжинок?

Перший альбом із замальовками різних сніжинок, зроблених за допомогою мікроскопа, з'явився ще на початку ХІХ ст. в Японії . Його створив учений Дої Тишицура. Майже через сто років інший японський учений, Укісіро Накайя, створив класифікацію сніжинок. Його дослідження довели, що звичні нам гіллясті сніжинки шестикутної форми виникають лише за певної температури: 14–17 °С. При цьому вологість повітря має бути дуже високою. В інших випадках сніжинки можуть набувати найрізноманітніших форм.

Найпоширеніша форма сніжинок – дендрити (від грец. δέντρο – дерево). Промені цих кристалів схожі на гілки дерев.

Світом снігу та льоду займається наука гляціологія. Вона виникла у ХVII ст. після того, як швейцарський натураліст О. Соссюр опублікував книгу про альпійські льодовики. Гляціологія існує на стику багатьох інших наук, насамперед фізики, геології та гідрології. Вивчати лід та сніг потрібно для того, щоб знати, як запобігти сніговим лавинам та ожеледиці. Адже на боротьбу з їхніми наслідками у всьому світі щороку витрачаються мільйони доларів. Але якщо знати природу снігу та льоду, можна заощадити чимало грошей та врятувати безліч людських життів. А ще лід може розповісти про історію Землі. Наприклад, у 70-ті роки. гляціологи вивчали крижаний покрив Антарктиди, бурили свердловини та досліджували особливості льоду у різних шарах. Завдяки цьому вдалося дізнатися про безліч змін клімату, які відбувалися на планеті протягом 400 000 років.

Цікаві та нестандартні завдання(групова робота)

На березі Північної протоки, на північному сході острова Ірландія піднімаються невисокі гори Антрім. Вони складені чорними базальтами – слідами діяльності древніх вулканів, що височіли вздовж гігантського розлому, що відокремив 60 млн. років тому Ірландію від Великобританії. Потоки чорних лав, що вилилися з цих кратерів, утворили прибережні гори на ірландському узбережжі та на Гебрідських островах по той бік Північної протоки. Дивовижна порода цей базальт! Рідкий, легко текучий у розплавленому вигляді (по схилах вулканів базальтові потоки мчать часом зі швидкістю до 50 км/год), він при остиганні та затвердінні тріскається, утворюючи правильні шестигранні призми. Здалеку базальтові обриви нагадують величезні органи з сотнями чорних труб. А коли потік лави стікає у воду, виникають іноді такі химерні утворення, що важко не повірити в їхнє чарівне походження. Саме таке природне явище можна спостерігати біля підніжжя Антріма. Від вулканічного масиву відокремлюється тут своєрідна дорога в нікуди. Дамба підноситься над морем на 6 м і складається приблизно з 40 000 базальтових колон. Вона схожа на недобудований міст через протоку, задумана якимось казковим велетнем, і зветься «Мостова Гігантів».

Завдання.Про які властивості кристалічних тіл і рідин мова йде? Які відмінності між кристалічними твердими тілами та рідинами ви знаєте? ( Відповідь.Правильна геометрична форма є суттєвою зовнішньою ознакою будь-якого кристала в природних умовах.

Перший алмаз у Південній Африці знайшов у 1869 р. хлопчик-пастух. Через рік тут було засновано місто Кімберлі, за назвою якого корінна алмазоносна порода стала називатися кімберлітом. Зміст алмазів у кімберлітах дуже низький - не більше 0,000 007 3%, що еквівалентно 0,2 г (1 карату) на кожні 3 т кімберлітів. Нині одна з визначних пам'яток Кімберлі – величезний котлован завглибшки 400 м, викопаний видобутками алмазів.

Завдання.Де використовуються цінні властивості алмазів?

«Така сніговина (йдеться про сніжинку. – А. З.), шестигранна, правильна зірочка, впала Нержину на рукав старої фронтової рудої шинелі».

А.І. Солженіцин.У першому колі.

? Чому сніжинки мають правильну форму? ( Відповідь.Основна властивість кристалів – симетрія.

«Вікно брязнуло з шумом; скла, брязкаючи, вилетіли геть, і страшна свиняча пика виставилася, поводячи очима, ніби питаючи: «А що ви тут робите, добрі люди?»

Н.В. Гоголь.

? Чому скло розбивається навіть за невеликого навантаження? ( Відповідь.Скло відносять до тендітних тіл, у яких практично відсутня пластична деформація, так що пружна деформація безпосередньо завершується руйнуванням.

«Морозило сильніше, ніж із ранку; зате так було тихо, що скрип морозу під чоботами чувся за півверсти».

Н.В. Гоголь.Вечори на хуторі біля Диканьки.

? Чому в мороз сніг скрипить під ногами? ( Відповідь.Сніжинки – кристалики, під ногами вони руйнуються, внаслідок цього і з'являється звук.

Діамант алмазом ріжеться.

? Алмаз та графіт складаються з однакових атомів вуглецю. Чому ж відрізняються властивості алмазу та графіту? ( Відповідь.Ці речовини відрізняються кристалічною будовою. У алмазу міцні ковалентні зв'язки, у графіту – шарувата структура.

? Які речовини ви знаєте, які не поступаються алмазу за міцністю? ( Відповідь.Однією з таких речовин є нітрид бору. Дуже міцним ковалентним зв'язком зв'язуються атоми бору та азоту в кристалічній решітці нітриду бору. Нітрид бору по твердості не поступається алмазу, по міцності та термостійкості перевершує його.)

Тупий кінець, гострий різець: ріже листки, летять шматки. Що це? ( Відповідь.Алмаз.)

? Яка властивість відрізняє алмаз від інших речовин? ( Відповідь.Твердість.)

Найбільші кристали знайшли в печері Найка, в мексиканському штаті Чіуауа. Деякі з них у довжину досягають 13 м, а завширшки 1 м.

А.Є. Ферсман на початку XX ст. описав каменоломню на Південному Уралі, закладену одному гігантському кристалі польового шпату.

Висновок

На закінчення уроку хочу навести унікальний приклад використання симетрії. Медоносні бджоли повинні вміти рахувати та економити. Щоб виділити особливими залозами всього 60 г воску, їм треба з'їсти 1 кг меду з нектару та пилку, а на будівництво середніх розмірів гнізда потрібно близько 7 кг солодкої їжі. Осередки сотів в принципі можуть бути квадратними, але бджоли вибирають шестигранну форму: вона забезпечує саму щільну упаковку личинок, так що на спорудження стін йде мінімум дорогоцінного воску. Стільники вертикальні, осередки на них розташовані з обох боків, тобто дно у них загальне - ще економія. Вони спрямовані вгору під кутом 13 °, щоб не випливав мед. У таких стільниках міститься кілька кілограмів меду. Ось справжні дива природи.

Література

1. Арнольд В.І. Математичні методи класичної механіки. М.: Едиторіал УРСС, 2003.
2. Вейль Г. Симетрія: пров. з англ. М., 1968.
3. Гляціологічний словник/За ред. В.М. Котлякова. Л.: Гідрометеоздат, 1984.
4. Компанеєць О.С. Симетрія в мікро- та макросвіті. М: Наука, 1978.
5. Меркулов Д. Магія рідких кристалів // Наука життя й. 2004. № 12.
6. Федоров Є.С. Симетрія та структура кристалів. М., 1949.
7. Фізика: енц. для дітей. М: Аванта +, 2000.
8. Шубніков А.В., Копцик В.А. Симетрія в науці та мистецтві. Вид-е 2. М., 1972.

СИМЕТРІЯ КРИСТАЛІВ- властивість кристалів поєднуватися з собою при поворотах, відбиття, паралельних переносах або при частині або комбінації цих операцій. зовніш. форми (огранювання) кристала визначається симетрією його атомної будови, яка обумовлює також і симетрію фіз. властивостей кристала

Рис. 1. а – кристал кварцу; 3 - вісь симетрії 3-го порядку - осі 2-го порядку; б – кристал водного метасилікату натрію; m - площина симетрії.

На рис. 1 азображено кристал кварцу. Зовніш. його форма така, що поворотом на 120° навколо осі 3 він може бути поєднаний сам із собою (сумісна рівність). Кристал метасилікату натрію (рис. 1, б)перетворюється у собі відбитком у площині симетрії m (дзеркальне рівність). Якщо - Функція, що описує об'єкт, напр. форму кристала в тривимірному просторі або к-л. його властивість, а операція здійснює перетворення координат усіх точок об'єкта, то gє операцією, чи перетворенням симетрії, а F - симетричним об'єктом, якщо виконуються умови:

У наиб. загальному формулюванню симетрія - незмінність (інваріантність) об'єктів і законів при нек-рих перетвореннях змінних, що їх описують. Кристали - об'єкти в тривимірному просторі, тому класич. теорія С. к.- теорія симетричних перетворень у собі тривимірного простору з урахуванням того, що внутр. атомна структура кристалів дискретна, тривимірно-періодична. При перетвореннях симетрії простір не деформується, а перетворюється як тверде ціле. Такі перетворення паз. ортогональним або ізометричним і. Після перетворення симетрії частини об'єкта, що знаходилися в одному місці, збігаються з частинами, що знаходяться в іншому місці. Це означає, що у симетричному об'єкті є рівні частини (сумісні чи дзеркальні).

С. до. проявляється не тільки в їх структурі та властивостях у реальному тривимірному просторі, але також і при описі енергетич. спектра електронів кристала (див. Зонна теорія), при аналізі процесів дифракції рентгенівських променів, дифракції нейтроніві дифракції електроніву кристалах з використанням зворотного простору (див. Зворотні грати)і т.п.

Група симетрії кристалів. Кристалу може бути властива не одна, а дек. . Так, кристал кварцу (рис. 1, а)поєднується з собою не тільки при повороті на 120 ° навколо осі 3 (операція gi), але і при повороті навколо осі 3 на 240 ° (операція g 2), &також при поворотах на 180 ° навколо осей 2 Х, 2 у, 2 W(операції g 3, g 4, g 5). Кожній операції симетрії може бути зіставлений елемент симетрії - пряма, площина або точка, щодо якої проводиться дана операція. наприклад, вісь 3 або осі 2 x , 2 у, 2 wє осями симетрії, площина т(Рис. 1, б) - площиною дзеркальної симетрії і т. п. Сукупність операцій симетрії (g 1, g 2, ..., g n)даного кристала утворює групу симетрії у сенсі матем. теорії груп. Слідувати. Проведення двох операцій симетрії також є операцією симетрії. Теоретично груп це позначають як добуток операцій:. Завжди існує операція ідентичності g 0, що нічого не змінює в кристалі, зв. ототожненням, вона геометрично відповідає нерухомості об'єкта або повороту його на 360° навколо будь-якої осі. Число операцій, що утворюють групу G, зв. порядком групи.

Групи симетрії перетворень простору класифікують: за кількістю пвимірювань простору, в яких брало вони визначені; за кількістю твимірювань простору, в яких брало об'єкт періодичний (їх відповідно позначають), і за деякими ін. ознаками. Для опису кристалів використовують різні групи симетрії, з яких найважливіших є точкові групи симетрії, що описують зовніш. форму кристалів; їх зв. також кристалографічні. класами; просторові групи симетрії, що описують атомну структуру кристалів

Точкові групи симетрії. Операціями точкової симетрії є повороти навколо осі симетрії порядку Nна кут, рівний 360°/N(Рис. 2, а); відображення у площині симетрії т(Дзеркальне відображення, рис. 2, б);інверсія (симетрія щодо точки, рис. 2, в); інверсійні повороти (комбінація повороту на кут 360°/N зодночасно. інверсією, рис. 2, г). Замість інверсійних поворотів іноді розглядаються еквівалентні їм дзеркальні повороти Геометрично можливі поєднання операцій точкової симетрії визначають ту чи іншу точкову групу симетрії, яка зображується зазвичай в стереографіч. проекції. При перетвореннях точкової симетрії принаймні одна точка об'єкта залишається нерухомою - перетворюється сама на себе. У ній перетинаються всі елементи симетрії, і вона є центром стереографічн. проекції. Приклади кристалів, що належать до різних точкових груп, наведено на рис. 3.

Рис. 2. Приклади операцій симетрії: а – поворот; б – відображення; в – інверсія; г – інверсійний поворот 4-го порядку; д - гвинтовий поворот 4-го порядку; е - ковзне відображення.

Рис. 3. Приклади кристалів, що належать до різних точкових груп (кристалографічних класів): а - до класу m (одна площина симетрії); б - до класу (центр симетрії чи центр інверсії); а - до класу 2 (одна вісь симетрії 2-го порядку); г - до класу (одна інверсійно-поворотна вісь 6-го порядку).

Точкові перетворення симетрії описуються лінійними ур-нями

або матрицею коефіцієнтів

наприклад, при повороті навколо осі х 1на кут - = 360 ° / N матриця Dмає вигляд:

а при відображенні у площині х 1 х 2 Dмає вигляд:

Число точкових груп нескінченне. Однак у кристалах через наявність кристаліч. грати можливі тільки операції і відповідно осі симетрії до 6-го порядку (крім 5-го; в кристаліч. решітці не може бути осі симетрії 5-го порядку, тому що за допомогою п'ятикутних фігур не можна заповнити простір без проміжків). Операції точкової симетрії та відповідні їм елементи симетрії позначаються символами: осі 1, 2, 3, 4, 6, інверсійні осі (центр симетрії або центр інверсії) (вона ж - площина симетрії т) (рис. 4).

Рис. 4. Графічні позначення елементів точкової симетрії: а – кружок – центр симетрії, осі симетрії, перпендикулярні площині креслення; б - вісь 2, паралельна площині креслення; - осі симетрії, паралельні або косо розташовані до площини креслення; г - площина симетрії, перпендикулярна до площини креслення; д - площині симетрії, паралельні площині креслення.

Для опису точкової групи симетрії достатньо задати одну або дек. породжують її операцій симетрії, інші її операції (якщо є) виникнуть у результаті взаємодії породжують. Напр., для кварцу (рис. 1, а) операціями, що породжують, є 3 і одна з операцій 2, а всього операцій в цій групі 6. У міжнародні позначення груп входять символи що породжують операцій симетрії. Точкові групи об'єднуються за точковою симетрією форми елементарного осередку (з періодами а, Ь, зі кутами) до 7 сингоній (табл. 1).

Групи, що містять окрім гол. осі Nплощині симетрії т, позначаються як N/m, якщо або Nm, якщо вісь лежить у площині т. Якщо група крім гол. осі має дек. симетрії, що проходять через неї площин, то вона позначається Nmm.

Табл. 1.- Точкові групи (класи) симетрії кристалів

Групи, що містять лише повороти, описують кристали, що складаються лише з сумісно рівних частин (групи 1-го роду). Групи, що містять відображення або інверсійні повороти, описують кристали, в яких брало є дзеркально рівні частини (групи 2-го роду). Кристали, що описуються групами 1-го роду, можуть кристалізуватися в двох енантіоморфних формах («правої» і «лівої», кожна з яких не містить елементів симетрії 2-го роду), але дзеркально-рівних один одному (див. Енантіоморфізм).

Групи С. до. несуть у собі геом. зміст: кожній з операцій відповідає, напр., поворот навколо осі симетрії, відбиток у площині. Деякі точкові групи в сенсі теорії груп, що враховує лише правила взаємодії операцій у цій групі (але не їх геом. Смисл), виявляються однаковими, або ізоморфними один одному. Такі, наприклад, групи 4 і, тт2, 222. Усього є 18 абстрактних груп, ізоморфних однією або декільком з 32 точкових груп С. до.

Граничні групи. Ф-ції, які описують залежність різних властивостей кристала від напрямку, мають певну точкову симетрію, однозначно пов'язану з групою симетрії обмеження кристала. Вона або збігається з нею, або вище за неї за симетрією ( Неймана принцип).

Щодо макроскопіч. Властивостей кристал може описуватися як однорідне безперервне середовище. Тому багато властивостей кристалів, що належать до тих чи інших точкових груп симетрії, описуються т.з. граничними точковими групами, що містять осі симетрії нескінченного порядку, що позначаються символом. Наявність осі означає, що об'єкт поєднується з собою при повороті на будь-який, у т. ч. нескінченно малий кут. Таких груп 7 (рис. 5). Т. о. всього є 32 + 7 = 39 точкових груп, що описують симетрію властивостей кристалів. Знаючи групу симетрії кристалів, можна зазначити можливість наявності чи відсутності у ньому деяких фіз. властивостей (див. Кристалофізика).

Рис. 5. Стереографічні проекції 32 кристалографічних та 2 ікосаедричних груп. Групи розташовані в колонках по родинах, символи яких дано у верхньому ряду. У нижньому ряду вказано граничну групу кожного сімейства та зображено фігури, що ілюструють граничну групу.

Просторові групи симетрії. Просторова симетрія атомної структури кристалів описується просторовими групами симетрії. Вони зв. також Федоровським на честь знайшов їх в 1890 Є. С. Федорова; ці групи були незалежно виведені того ж року А. Шенфлісом (A. Schoenflies). На противагу точковим групам, які були отримані як узагальнення закономірностей форм кристалліч. багатогранників (С. І. Гессель, 1830, А. В. Гадолін, 1867), просторові групи стали продуктом математично-геом. теорії, що передбачила експерим. визначення структури кристалів з допомогою дифракції рентг. променів.

Характерними для атомної структури кристалів операціями є 3 некомпланарні трансляції а, b, с, які і задають тривимірну періодичність кристаліч. грати. Кристалліч. грати розглядаються як нескінченні у всіх трьох вимірах. Таке матем. наближення реальне, тому що число елементарних осередків у кристалах, що спостерігаються, дуже велике. Перенесення структури на вектори а, Ь, сабо будь-який вектор де p 1 , p 2 , р 3- будь-які цілі числа, що поєднує структуру кристала із собою і, отже, є операцією симетрії (трансляційна симетрія).

Фіз. дискретність кристаліч. речовини виявляється у його атомному будові. Просторові групи - це групи перетворення тривимірного однорідного дискретного простору. Дискретність у тому, що не всі точки такого простору симетрично рівні одна одній, напр. атом одного та атом ін. сорти, ядро ​​та електрони. Умови однорідності та дискретності визначає той факт, що просторові групи – тривимірно періодичні, тобто будь-яка група містить підгрупу трансляцій Т- Кристалліч. грати.

Внаслідок можливості комбінування у ґратах трансляцій та операцій точкової симетрії у групах крім операцій точкової симетрії виникають операції та відповідні їм елементи симетрії з трансляц. компонентом - гвинтові осі різних порядків та площини ковзного відображення (рис. 2, д, е).

Відповідно до точкової симетрії форми елементарного осередку (елементарного паралелепіпеда) просторові групи, як і точкові, поділяються на 7 кристалографічних сингоній(Табл. 2). Подальший їхній підрозділ відповідає трансляц. групам та відповідним їм Враве гратам. Грати Браве 14, з них 7 - примітивні грати відповідних сингоній, вони позначаються Р(крім ромбоедричної R). Інші-7 центрирів. ґрат: базо (боко) - центровані А(центрується грань bc), В(грань ас), С(аb);об'ємноцентровані I, гранецентровані (по всіх 3 гранях) F. З урахуванням центрування до операції трансляцій tдодаються відповідні центру центруючі переноси t c. Якщо комбінувати один з одним ці операції t + t зі з операціями точкових груп відповідної сингоній, то виходять 73 просторові групи, зв. симморфні.

Табл. 2.-Просторові групи симетрії

На основі певних правил із симморфних просторових груп можна витягти нетривіальні підгрупи, що дає ще 157 несимморфних просторових груп. Усього просторових груп 230. Операції симетрії при перетворенні точки хв симетрично рівну їй (а отже, і всього простору в собі) записуються у вигляді: , де D- точкові перетворення; - компоненти гвинтового перенесення або ковзного відображення; - операції трансляц. групи Браве. Операції гвинтової симетрії та відповідні їм елементи симетрії - гвинтові осі мають кут. компоненту (N = 2, 3, 4, 6) та трансляційну t s = tq/N, де t- трансляція решітки, поворот відбувається одночасно з трансляцією вздовж осі Ж, q- Індекс гвинтового повороту. Загальний символ гвинтових осей N q(Рис. 6). Гвинтові осі спрямовані вздовж гол. осей або діагоналей елементарного осередку. Осі 3 1 і 3 2 , 4 1 і 4 3 , 6 1 і 6 5 , 6 2 і 6 4 відповідають попарно правим і лівим гвинтовим поворотам. Крім операції дзеркальної симетрії у просторових групах можливі також площини ковзного відображення а, Ь, з:відображення поєднується з перенесенням на половину відповідного періоду ґрат. Перенесення на половину діагоналі грані осередку відповідає т.з. клиноплощина ковзання n, крім того, в тетрагональних і кубич. групах можливі «алмазні» площини d.

Рис. 6. а - Графічні позначення гвинтових осей, перпендикулярних до площини рис.; б - гвинтова вісь, що лежить у площині рис.; в - площині ковзного відбиття, перпендикулярні площині рис., де а, b, с - періоди елементарної комірки, вздовж осей якої відбувається ковзання (трансляційна компонента а/2), п - діагональна площина ковзного відбиття [трансляційна компонента (а + b)/ 2], d - алмазна площина ковзання; г - те саме в площині малюнка.

У табл. 2 дані міжнародні символи всіх 230 просторових груп відповідно до їх приналежності до однієї з 7 сингоній і класу точкової симетрії.

Трансляція. компоненти операцій мікросиметрії просторових груп макроскопічно у точкових групах не виявляються; напр., гвинтова вісь в ограновуванні кристалів проявляється як відповідна по порядку проста поворотна вісь. Тому кожна з 230 груп макроскопічно подібна (гомоморфна) з однією з 32 точкових груп. Напр., на точкову групу- тттГомоморфно відображаються 28 просторових груп.

Позначення Шенфліса просторових груп - це позначення відповідної точкової групи (напр., , табл. 1), який зверху приписаний прийнятий історично порядковий номер, напр. . У міжнародних позначеннях вказується символ ґрат Браве і симетрії кожної групи, що породжують операції, і т. д. Послідовність розташування просторових груп в табл. 2 у міжнародних позначеннях відповідає номеру (верхньому індексу) у позначеннях Шонфліса.

На рис. 7 дано зображення просторів. групи - Рптазгідно з Міжнародними кристалографічними. таблиць. Операції (і відповідні їм елементи) симетрії кожної просторової групи, що вказуються для елементарного осередку, діють на все кристалічне. простір, всю атомну структуру кристала та один на одного.

Рис. 7. Зображення групи-Рпта в Міжнародних таблицях.

Якщо задати всередині елементарного осередку к-н. точку х (x 1 x 2 x 3), то операції симетрії перетворять їх у симетрично рівні їй точки у всьому кристаллич. просторі; таких точок безліч. Але досить описати їхнє становище в одному елементарному осередку, і ця сукупність вже розмножуватиметься трансляціями грати. Сукупність точок, які виводяться з даною операціями g iгрупи G - х 1, x 2, ..., x n-1, зв. правильною системою точок (ПСТ). На рис. 7 праворуч дано розташування елементів симетрії групи, зліва - зображення ПСТ загального стану цієї групи. Точки загального положення - це такі точки, які не розташовані на елементі точкової симетрії просторової групи. Число (кратність) таких точок дорівнює порядку групи. Точки, розташовані на елементі (або елементах) точкової симетрії, утворюють ПСТ приватного положення і мають відповідну симетрію, кількість їх в ціле число разів менша за кратність ПСТ загального положення. На рис. 7 зліва кружками вказані точки загального положення, їх всередині елементарного осередку 8, символи «+» і «-», «1/2+» та «1/2-» означають відповідно координати +z, -z, 1/2 + z , 1/2 – z. Коми їх відсутність означають попарну дзеркальну рівність відповідних точок щодо площин симетрії т, що є в даній групі при у= 1/4 та 3/4. Якщо ж точка потрапляє на площину т, вона цією площиною не подвоюється, як у разі точок загального стану, і число (кратність) таких точок приватного положення 4, їх симетрія -m. Те саме має місце при попаданні точки до центрів симетрії.

Для кожної просторової групи є сукупність ПСТ. Правильна система точок загального стану кожної групи одна. Але деякі з ПСТ приватного становища можуть бути однаковими для різних груп. У Міжнародних таблицях зазначені кратність ПСТ, їх симетрія і координати та інші характеристики кожної просторової групи. Важливість поняття ПСТ у тому, що у будь-який кристаллич. структурі, що належить даній просторовій групі, атоми або центри молекул розташовуються за ПСТ (одною або декількома). При структурному аналізі розподіл атомів по одній або дек. ПСТ цієї просторової групи виробляється з урахуванням хім. ф-ли кристала та даних дифракції. експерименту, дозволяє знаходити координати точок приватних або загальних положень, в яких брало розташовані атоми. Оскільки кожна ПСТ складається з однієї або кратної кількості ґрат Браве, то й розташування атомів можна уявляти як сукупність «всунутих один в одного» ґрат Браво. Таке уявлення еквівалентно тому, що просторова група містить як підгрупу трансляц. групу Браве.

Підгрупи груп симетрії кристалів. Якщо частина операції до - л. групи сама утворює групу G r (g 1 ..., g m),, то остання зв. підгрупою першою. Напр., підгрупами точкової групи 32 (рис. 1 а) є група 3 та група 2 . Також серед просторів. груп існує ієрархія підгруп. Просторові групи можуть мати як підгрупи точкові групи (таких просторових груп 217) і підгрупи, які є просторовими групами нижчого порядку. Відповідно, існує ієрархія підгруп.

Більшість просторових груп симетрії кристалів різні між собою як абстрактні групи; число абстрактних груп ізоморфних 230 просторових груп дорівнює 219. Абстрактно рівними виявляються 11 дзеркально-рівних (енантіоморфних) просторових груп - одна лише з правими, інші з лівими гвинтовими осями. Такі, наприклад, P 3 1 21 P 3 2 21. Обидві ці просторові групи гомоморфно відображаються на точкову групу 32, до якої належить кварц, але кварц відповідно буває правий і лівий: симетрія просторової структури в цьому випадку виражається макроскопічно, але точкова група в обох випадках та ж.

Роль просторових груп симетрії кристалів. Просторові групи симетрії кристалів-основа теоретич. кристалографії, дифракційних та інших методів визначення атомної структури кристалів та опису кристалліч. структур.

Дифракційна картина, одержувана методом рентгенографії, нейтронографіїабо електронографії,дозволяє встановити симетрійні та геом. Характеристики зворотних ґраткристала, а отже і самої структури кристала. Так визначають точкову групу кристала та елементарну комірку; за характерними згасаннями (відсутність певних дифракційних рефлексів) визначають тип грати Браве та приналежність до тієї чи іншої просторової групи. Розміщення атомів в елементарному осередку знаходять за сукупністю інтенсивностей дифракційних рефлексів.

Велику роль відіграють просторові групи в кристалохімії. Визначено понад 100 тис. кристаліч. структур неорганіч., органіч. та біологіч. з'єднань. Будь-який кристал відноситься до однієї з 230 просторових груп. Виявилося, майже всі просторові групи реалізовані у світі кристалів, хоча одні їх зустрічаються частіше, інші рідше. Є статистика поширеності просторових груп з різних видів хімічних. з'єднань. Поки не знайдено серед досліджених структур лише 4 групи: Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1, Р6тп. Теорія, що пояснює поширеність тих пли інших просторових груп, враховує розміри складових структуру атомів, поняття щільної упаковки атомів або молекул, роль «пакувальних» елементів симетрії - площин ковзання і гвинтових осей.

У фізиці твердого тіла використовується теорія уявлень груп за допомогою матриць та спец. ф-цій, для просторових груп ці ф-ції періодичні. Так, у теорії структурних фазових переходів 2-го роду просторова група симетрії менш симетричної (низькотемпературної) фази є підгрупою просторової групи більш симетричної фази і фазовий перехід пов'язаний з одним з ненаведених уявлень просторової групи високосиметричної фази. Теорія уявлень дозволяє вирішувати завдання динаміки кристалічних ґрат, Її електронної та магн. структур, низки фіз. властивостей. У теоретич. Просторові групи кристалографії дозволяють розвинути теорію розбиття простору на рівні області, зокрема поліедричні.

Симетрія проекцій, шарів та ланцюгів. Проекції кристаліч. структур на площину описуються плоскими групами, їх число - 17. Для опису тривимірних об'єктів, періодичних в 1 або 2 напрямках, зокрема фрагментів структури кристалів, можуть бути використані групи - двомірно періодичні та - одномірно періодичні. Ці групи відіграють важливу роль у вивченні біологічних. структур та молекул. Напр., групи описують будову біологічної. мембран, групи - ланцюгових молекул (рис. 8, а), паличкоподібних вірусів, трубчастих кристалів глобулярних білків (рис. 8, б), в яких брало молекули укладені відповідно до спіральної (гвинтової) симетрії, можливої ​​в групах (див. Біологічний кристал).

Рис. 8. Об'єкти зі спіральною симетрією: а – молекула ДНК; б - трубчастий кристал білка фосфорилази (електронно-мікроскопічний знімок, збільшення 220 000).

Структура квазікристалів. Квазікристалю(Напр., А1 86 Мn 14) мають ікосаедрич. точкову симетрію (рис. 5), яка неможлива в кристаллнч. ґратах. Далекий порядок у квазікристалах - квазіперіодичний, що описується на основі теорії майже періодич. ф-цій. Структура квазікристалів може бути представлена ​​як проекція на тривимірний простір шестивимірної періодичності. кубіч. ґрати з осями 5-го порядку. Квазікристали з п'ятивимірною симетрією у вищому вимірі можуть мати 3 типи ґрат Браве (примітивну, об'ємноцентровану та гранецентровану) та 11 просторових груп. Др. можливі типи квазікристалів - укладання в стопку двовимірних сіток атомів з осями 5-, 7-, 8-, 10-, 12-го... порядків, з періодичністю вздовж третього перпендикулярного сіткам напрямку.

Узагальнена симетрія. У основі визначення симетрії лежить поняття рівності (1,б) під час перетворення (1,а). Однак фізично (і математично) об'єкт може дорівнювати собі за одними ознаками і не дорівнює за іншими. Напр., розподіл ядер та електронів у кристалі антиферомагнетикаможна описати з допомогою звичайної просторової симетрії, але з урахуванням розподіл у ньому магн. моментів (рис. 9), то «звичайний», класич. симетрії вже недостатньо. До подібного роду узагальнень симетрії відносяться ан тис і метр і кольорова сніметрія.

Рис. 9. Розподіл магнітних моментів (стрілки) в елементарному осередку феримагнітного кристала, що описується за допомогою узагальненої симетрії.

В антисиметрії на додаток до трьох просторових змінних х 1 , х 2, х 3вводиться додаткова, 4-а змінна. Це можна витлумачити таким чином, що при перетворенні (1,а) функція Fто, можливо не лише дорівнює собі, як і (1,б), а й «антирівна» - змінить знак. Існує 58 груп точкової антисиметрії та 1651 просторова група антисиметрії (шубнпківські групи).

Якщо додаткова змінна набуває не двох значень, а більше (можливі 3,4,6,8, ..., 48) , то виникає т.з. кольорова симетрія Бєлова.

Так, відома 81 точкова група та 2942 групи. основ. додатки узагальненої симетрії в кристалографії - опис магн. структур.

Знайдені та ін групи антисиметрії (кратної та ін). Теоретично виведені і всі точкові та просторові групи чотиривимірного простору та вищих вимірів. На основі розгляду симетрії (3+К)-вимірного простору можна також описувати невідповідні в трьох напрямках модулірів. структури (див. Невідповідна структура).

Др. узагальнення симетрії - симетрія подоби, коли рівність частин фігури замінюється їх подобою (рис. 10), криволінійна симетрія, статистич. симетрія, що вводиться при описі структури розпоряджених кристалів, твердих розчинів, рідких кристалівта ін.

Рис. 10. Фігура, що має симетрію подоби.

Літ.:Шубніков А. Ст, Копцік Ст Ст, Симетрія в науці та мистецтві, 2 видавництва, М., 1972; Федоров E.С., Симетрія та структура кристалів, М., 1949; Шубніков А. Ст, Симетрія та антисиметрія кінцевих фігур, М., 1951; Міжнародні таблиці для X-ray кришталографії, v. 1 - Symmetry groups, Birmingham, 1952; Ковальов О. Ст, Ненаведені уявлення просторових груп, До., 1961; Вейл Г., Симетрія, пров. з англ., М., 1968; Сучасна кристалографія, т. 1 – Вайнштейн Б. К., Симетрія кристалів. Методи структурної кристалографії, М., 1979; Галіун Р. Ст, Кристалографічна геометрія, М., 1984; International tables for crystallography, v. A - Space group symmetry, Dordrecht -, 1987. Б. До. Вайнштейн.

• Діяльність та педагогічні погляди вона амоса коменського
• Константа швидкості обчислюється за формулою Значення константи швидкості
• Фазові діаграми двокомпонентних систем "полімер - розчинник" Фазові діаграми двокомпонентних систем "полімер - розчинник"
• Тонка та надтонка структура оптичних спектрів
• Як вивчити хімію самостійно з нуля: ефективні способи
• Властивості та характеристика алкенів
• Характеристика студента з місця проходження практики
• Характеристика на студента, який проходив практику на підприємстві: правила написання
• Біографія фарадея. Великі вчені. Майкл Фарадей. відкриття електромагнітного обертання
• Сучасні інновації в освіті

• Заступники у бензольному кільці поділяються на дві групи Реакції бензольного кільця
• Типи хімічних реакцій в органічній хімії Реакції електрофільного приєднання
• Способи поділу неоднорідних сумішей
• Поліметакрилова кислота
• Загальна характеристика елементів підгрупи VI A Елементи 6 а підгрупи
• Теоретичні основи фізики
• Теорія графів у хімії. Граф теорія. Основні визначення та теореми теорії графів
• Алгебра та гармонія у хімічних додатках
• Тести з курсу «Екологія та природокористування
• Директор WWF Росії Ігор Честін: Якутія серед лідерів Я знаю, що Ви багато подорожуєте… Навіщо Вам це