Leidke aritmeetilise progressiooni valemi erinevus. Aritmeetilise progressiooni summa
Kui iga naturaalarv n vaste reaalarvuga a n , siis nad ütlevad, et antud numbrijada :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Seega on numbriline jada loomuliku argumendi funktsioon.
Number a 1 helistas jada esimene liige , number a 2 — jada teine liige , number a 3 — kolmandaks ja nii edasi. Number a n helistas jada n-s liige ja naturaalarv n — tema number .
Kahelt naaberliikmelt a n Ja a n +1 liikmejärjestused a n +1 helistas järgnev ( suunas a n ), A a n — eelmine ( suunas a n +1 ).
Jada määramiseks tuleb määrata meetod, mis võimaldab leida suvalise numbriga jadaliikme.
Sageli on järjestus antud koos n-nda termini valemid , st valem, mis võimaldab määrata jadaliikme numbri järgi.
Näiteks,
positiivsete paaritute arvude jada saab anda valemiga
a n= 2n- 1,
ja vaheldumise järjekord 1 Ja -1 - valem
b n = (-1)n +1 . ◄
Järjestust saab määrata korduv valem, see tähendab valem, mis väljendab jada mis tahes liiget, alustades mõnest, läbi eelneva (ühe või mitme) liikme.
Näiteks,
Kui a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Kui a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , siis seatakse arvjada esimesed seitse liiget järgmiselt:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Jadad võivad olla lõplik Ja lõputu .
Jada nimetatakse ülim kui sellel on piiratud arv liikmeid. Jada nimetatakse lõputu kui sellel on lõpmatult palju liikmeid.
Näiteks,
kahekohaliste naturaalarvude jada:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
lõplik.
Algnumbrite jada:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
lõputu. ◄
Jada nimetatakse suureneb , kui iga selle liige, alates teisest, on suurem kui eelmine.
Jada nimetatakse kahanev , kui iga selle liige, alates teisest, on väiksem kui eelmine.
Näiteks,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . on tõusev jada;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . on kahanev jada. ◄
Nimetatakse jada, mille elemendid arvu suurenedes ei vähene või, vastupidi, ei suurene monotoonne jada .
Eelkõige on monotoonsed järjestused suurenevad ja kahanevad järjestused.
Aritmeetiline progressioon
Aritmeetiline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmisega, millele liidetakse sama arv.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .
on suvalise naturaalarvu aritmeetiline progressioon n tingimus on täidetud:
a n +1 = a n + d,
Kus d - mingi number.
Seega on erinevus antud aritmeetilise progressiooni järgmise ja eelmise liikme vahel alati konstantne:
a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.
Number d helistas aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja erinevuse määramisest.
Näiteks,
Kui a 1 = 3, d = 4 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Esimese liikmega aritmeetilise progressiooni jaoks a 1 ja erinevus d teda n
a n = a 1 + (n- 1)d.
Näiteks,
leida aritmeetilise progressiooni kolmekümnes liige
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)d,
a n= a 1 + (n- 1)d,
a n +1 = a 1 + nd,
siis ilmselgelt
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, on võrdne eelmise ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega.
arvud a, b ja c on mõne aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne kahe teise aritmeetilise keskmisega.
Näiteks,
a n = 2n- 7 , on aritmeetiline progressioon.
Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Seega
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Pange tähele, et n Aritmeetilise progressiooni -nda liige võib leida mitte ainult läbi a 1 , aga ka kõik varasemad a k
a n = a k + (n- k)d.
Näiteks,
Sest a 5 saab kirjutada
a 5 = a 1 + 4d,
a 5 = a 2 + 3d,
a 5 = a 3 + 2d,
a 5 = a 4 + d. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n+k - kd,
siis ilmselgelt
| a n=
| a n-k
+a n+k
|
| 2
|
iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdub poolega selle aritmeetilise progressiooni liikmete summast, mis on sellest võrdse vahega.
Lisaks kehtib mis tahes aritmeetilise progressiooni korral võrdsus:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Näiteks,
aritmeetilises progressioonis
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sest
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,
esiteks n aritmeetilise progressiooni liikmed on võrdne poolte äärmiste liikmete summa ja liikmete arvu korrutisega:
Eelkõige sellest järeldub, et kui on vaja tingimusi kokku võtta
a k, a k +1 , . . . , a n,
siis säilitab eelmine valem oma struktuuri:
Näiteks,
aritmeetilises progressioonis 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Kui on antud aritmeetiline progressioon, siis suurused a 1 , a n, d, n JaS n ühendatud kahe valemiga:
Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest kolme väärtused, määratakse ülejäänud kahe suuruse vastavad väärtused nendest valemistest, mis kombineeritakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.
Aritmeetiline progressioon on monotoonne jada. Kus:
- Kui d > 0 , siis see suureneb;
- Kui d < 0 , siis see väheneb;
- Kui d = 0 , siis on jada paigal.
Geomeetriline progressioon
geomeetriline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
on mis tahes naturaalarvu geomeetriline progressioon n tingimus on täidetud:
b n +1 = b n · q,
Kus q ≠ 0 - mingi number.
Seega on selle geomeetrilise progressiooni järgmise liikme ja eelmise liikme suhe konstantne arv:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Number q helistas geomeetrilise progressiooni nimetaja.
Geomeetrilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja nimetaja määramisest.
Näiteks,
Kui b 1 = 1, q = -3 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 ja nimetaja q teda n -nda termini saab leida valemiga:
b n = b 1 · q n -1 .
Näiteks,
leida geomeetrilise progressiooni seitsmes liige 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
siis ilmselgelt
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
geomeetrilise progressiooni iga liige, alates teisest, on võrdne eelmise ja järgnevate liikmete geomeetrilise keskmise (proportsionaalse) väärtusega.
Kuna ka vastupidine on tõsi, kehtib järgmine väide:
arvud a, b ja c on mingi geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui neist ühe ruut on võrdne kahe teise korrutisega, see tähendab, et üks arvudest on kahe ülejäänud geomeetriline keskmine.
Näiteks,
tõestame, et valemiga antud jada b n= -3 2 n , on geomeetriline progressioon. Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Seega
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
mis tõestab nõutavat väidet. ◄
Pange tähele, et n geomeetrilise progressiooni liiget võib leida mitte ainult läbi b 1 , aga ka mis tahes eelmist terminit b k , mille jaoks piisab valemi kasutamisest
b n = b k · q n - k.
Näiteks,
Sest b 5 saab kirjutada
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
siis ilmselgelt
b n 2 = b n - k· b n + k
geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme ruut alates teisest on võrdne sellest võrdsel kaugusel olevate liikmete korrutisega.
Lisaks kehtib mis tahes geomeetrilise progressiooni korral võrdsus:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Näiteks,
eksponentsiaalselt
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sest
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
esiteks n nimetajaga geomeetrilise progressiooni terminid q ≠ 0 arvutatakse valemiga:
Ja millal q = 1 - vastavalt valemile
S n= n.b. 1
Pange tähele, et kui meil on vaja tingimused kokku võtta
b k, b k +1 , . . . , b n,
siis kasutatakse valemit:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Näiteks,
eksponentsiaalselt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Kui on antud geomeetriline progressioon, siis suurused b 1 , b n, q, n Ja S n ühendatud kahe valemiga:
Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest mis tahes väärtused, määratakse ülejäänud kahe suuruse vastavad väärtused nendest valemistest, mis kombineeritakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.
Esimese liikmega geomeetrilise progressiooni jaoks b 1 ja nimetaja q toimuvad järgmised monotoonsuse omadused :
- progresseerumine suureneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
b 1 > 0 Ja q> 1;
b 1 < 0 Ja 0 < q< 1;
- Progressioon väheneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
b 1 > 0 Ja 0 < q< 1;
b 1 < 0 Ja q> 1.
Kui q< 0 , siis on geomeetriline progressioon märgi vahelduv: selle paaritutel liikmetel on sama märk kui esimesel liikmel ja paarisnumbritel on vastupidine märk. On selge, et vahelduv geomeetriline progressioon ei ole monotoonne.
Esimese toode n geomeetrilise progressiooni termineid saab arvutada järgmise valemiga:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Näiteks,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon
Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetatakse lõpmatuks geomeetriliseks progressiooniks, mille nimetaja moodul on väiksem kui 1 , see on
|q| < 1 .
Pange tähele, et lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ei pruugi olla kahanev jada. See sobib juhtumiga
1 < q< 0 .
Sellise nimetaja korral on jada märk-vahelduv. Näiteks,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa nimeta number, millele esimese summa n progresseerumise tingimustes koos arvu piiramatu suurenemisega n . See arv on alati lõplik ja seda väljendatakse valemiga
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Näiteks,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos
Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon on omavahel tihedalt seotud. Vaatleme ainult kahte näidet.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , See
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Näiteks,
1, 3, 5, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega 2 Ja
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon q , See
logi a b 1, logi a b 2, logi a b 3, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega logi aq .
Näiteks,
2, 12, 72, . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 6 Ja
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega lg 6 . ◄
Aritmeetilise progressiooni summa.
Aritmeetilise progressiooni summa on lihtne asi. Nii tähenduses kui valemis. Aga sellel teemal on igasuguseid ülesandeid. Algklassidest päris soliidseks.
Kõigepealt käsitleme summa tähendust ja valemit. Ja siis me otsustame. Enda rõõmuks.) Summa tähendus on sama lihtne kui madaldamine. Aritmeetilise progressiooni summa leidmiseks peate lihtsalt hoolikalt lisama kõik selle liikmed. Kui neid termineid on vähe, saate lisada ilma valemiteta. Aga kui on palju, või palju ... lisamine on tüütu.) Sel juhul valem päästab.
Summa valem on lihtne:
Mõelgem välja, millised tähed valemis sisalduvad. See selgitab palju.
S n on aritmeetilise progressiooni summa. Lisamise tulemus kõik liikmed, koos esiteks Kõrval viimane. See on tähtis. Lisage täpselt Kõik liikmed reas, ilma vahede ja hüpeteta. Ja täpselt, alates esiteks. Selliste probleemide korral nagu kolmanda ja kaheksanda liikme summa või viie kuni kahekümnenda liikmete summa leidmine valmistab valemi otsene rakendamine pettumuse.)
a 1 - esiteks progressi liige. Siin on kõik selge, see on lihtne esiteks rea number.
a n- viimane progressi liige. Rea viimane number. Pole just väga tuttav nimi, aga kogusele kandes sobib väga hästi. Siis näete ise.
n on viimase liikme number. Oluline on mõista, et valemis see arv ühtib lisandunud liikmete arvuga.
Määratleme mõiste viimane liige a n. Täiteküsimus: milline liige saab viimane, kui antakse lõputu aritmeetiline progressioon?
Et olla kindel, peate mõistma aritmeetilise progressiooni elementaarne tähendus ja ... lugege ülesanne hoolikalt läbi!)
Aritmeetilise progressiooni summa leidmise ülesandes ilmub alati (otseselt või kaudselt) viimane liige, mida tuleks piirata. Muidu lõplik, konkreetne summa lihtsalt ei eksisteeri. Lahenduse jaoks pole vahet, milline progressioon on antud: lõplik või lõpmatu. Pole tähtis, kuidas see on seatud: numbrite kõrval või n-nda liikme valem.
Kõige tähtsam on mõista, et valem toimib progressiooni esimesest liikmest numbriga liikmeni n. Tegelikult näeb valemi täisnimi välja selline: aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa. Nende päris esimeste liikmete arv, s.o. n, määrab ainult ülesanne. Ülesandes on kogu see väärtuslik teave sageli krüptitud, jah ... Kuid mitte midagi, allolevates näidetes avaldame need saladused.)
Näited ülesannetest aritmeetilise progressiooni summa jaoks.
Esiteks kasulik teave:
Aritmeetilise progressiooni summa ülesannete peamine raskus on valemi elementide õige määramine.
Ülesannete autorid krüpteerivad piiritu fantaasiaga just need elemendid.) Peaasi, et siin ei pea kartma. Elementide olemuse mõistmisel piisab nende dešifreerimisest. Vaatame mõnda näidet üksikasjalikumalt. Alustame ülesandega, mis põhineb tõelisel GIA-l.
1. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a n = 2n-3,5. Leidke esimese 10 liikme summa.
Tubli töö. Lihtne.) Mida me peame teadma, et määrata summa valemi järgi? Esimene liige a 1, viimane ametiaeg a n, jah viimase termini number n.
Kust saada viimane liikmenumber n? Jah, samas kohas, seisukorras! See ütleb, et leia summa esimesed 10 liiget. No mis number see saab olema viimane, kümnes liige?) Te ei usu seda, tema number on kümnes!) Seetõttu selle asemel a n asendame valemiga a 10, aga selle asemel n- kümme. Jällegi on viimase liikme arv sama, mis liikmete arv.
See jääb veel kindlaks teha a 1 Ja a 10. Seda saab hõlpsasti arvutada n-nda liikme valemiga, mis on antud ülesande avalduses. Ei tea, kuidas seda teha? Külastage eelmine õppetund, ilma selleta ei midagi.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10\u003d 2 10–3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Saime teada aritmeetilise progressiooni summa valemi kõigi elementide tähenduse. Jääb need asendada ja lugeda:
See on kõik. Vastus: 75.
Teine ülesanne, mis põhineb GIA-l. Natuke keerulisem:
2. Antud aritmeetiline progressioon (a n), mille erinevus on 3,7; a 1 \u003d 2,3. Leidke esimese 15 liikme summa.
Kirjutame kohe summa valemi:
See valem võimaldab meil leida mis tahes liikme väärtuse selle numbri järgi. Otsime lihtsat asendust:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Jääb vaid asendada kõik valemis olevad elemendid aritmeetilise progressiooni summaga ja arvutada vastus:
Vastus: 423.
Muide, kui summa valemis asemel a n lihtsalt asendades n-nda liikme valemi, saame:
Anname sarnased, saame aritmeetilise progressiooni liikmete summa jaoks uue valemi:
 |
Nagu näete, pole siin n-ndat liiget vaja. a n. Mõnes ülesandes aitab see valem palju, jah ... Selle valemi võite meeles pidada. Ja saate selle lihtsalt õigel ajal tagasi võtta, nagu siin. Summa valem ja n-nda liikme valem tuleb ju igati meeles pidada.)
Nüüd ülesanne lühikese krüptimise vormis):
3. Leidke kõigi positiivsete kahekohaliste arvude summa, mis on kolmekordsed.
Kuidas! Pole esimest liiget, pole viimast, ei mingit progressi... Kuidas elada!?
Peate mõtlema oma peaga ja võtma tingimusest välja kõik aritmeetilise progressiooni summa elemendid. Mis on kahekohalised numbrid - me teame. Need koosnevad kahest numbrist.) Milline kahekohaline arv esiteks? 10, arvatavasti.) viimane asi kahekohaline number? 99 muidugi! Kolmekohalised järgivad teda ...
Kolme kordsed... Hm... Need on arvud, mis jaguvad võrdselt kolmega, siin! Kümme ei jagu kolmega, 11 ei jagu... 12... jagub! Niisiis, midagi on ilmnemas. Saate juba kirjutada seeria vastavalt probleemi seisukorrale:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Kas see seeria on aritmeetiline progressioon? Kindlasti! Iga termin erineb eelmisest rangelt kolme võrra. Kui terminile lisada 2 või 4, siis ütleme, et tulemus, s.t. uut arvu enam 3-ga ei jagata. Saate kohe määrata kuhja aritmeetilise progressiooni erinevuse: d = 3. Kasulik!)
Seega võime julgelt üles kirjutada mõned edenemise parameetrid:
Mis saab numbriks n viimane liige? Kõik, kes arvavad, et 99, on saatuslikult eksinud... Numbrid - need lähevad alati järjest ja meie liikmed hüppavad üle esikolmiku. Need ei sobi kokku.
Siin on kaks lahendust. Üks võimalus on ülitöökatele. Saate maalida progressi, terve arvude jada ja lugeda näpuga liikmete arvu.) Teine võimalus on mõeldud mõtlikule. Vaja meeles pidada n-nda liikme valem. Kui valem kohaldada meie probleemi, saame, et 99 on progressiooni kolmekümnes liige. Need. n = 30.
Vaatame aritmeetilise progressiooni summa valemit:
Vaatame ja rõõmustame.) Tõmbasime probleemi seisukorrast välja kõik summa arvutamiseks vajaliku:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Alles jääb elementaarne aritmeetika. Asendage valemis olevad arvud ja arvutage:
Vastus: 1665
Teist tüüpi populaarsed mõistatused:
4. Antakse aritmeetiline progressioon:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Leidke terminite summa kahekümnendast kuni kolmekümne neljandani.
Vaatame summa valemit ja ... oleme ärritunud.) Lubage mul teile meelde tuletada, et valem arvutab summa esimesest liige. Ja ülesandes peate arvutama summa alates kahekümnendast... Valem ei tööta.
Muidugi saab värvida kogu käigu järjest ja panna liikmed 20-lt 34-le. Aga ... see tuleb kuidagi rumalalt ja pikalt välja, eks?)
On elegantsem lahendus. Jagame oma sarja kaheks osaks. Esimene osa saab esimesest ametiajast kuni üheksateistkümnendani. Teine osa - kakskümmend kuni kolmkümmend neli. On selge, et kui arvutame esimese osa tingimuste summa S 1-19, liidame selle teise osa liikmete summale S 20-34, saame esimesest liikmest kolmekümne neljandani progressiooni summa S 1-34. Nagu nii:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
See näitab, et leida summa S 20-34 saab teha lihtsa lahutamise teel
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Arvesse võetakse mõlemad paremal pool olevad summad esimesest liige, s.o. standardsumma valem on neile üsna rakendatav. Kas alustame?
Eraldame ülesande tingimusest edenemise parameetrid:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Esimese 19 ja esimese 34 liikme summade arvutamiseks vajame 19. ja 34. liiget. Loendame need n-nda liikme valemi järgi, nagu ülesandes 2:
a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Ei jää midagi järele. Lahutage 34 termini summast 19 termini summa:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Vastus: 262,5
Üks oluline märkus! Selle probleemi lahendamiseks on väga kasulik funktsioon. Otsese arvutamise asemel mida vajate (S 20-34), me loendasime mida, näib, pole vaja - S 1-19. Ja siis nad otsustasid S 20-34, jättes kogu tulemusest ebavajaliku kõrvale. Selline "kõrvade pettus" päästab sageli kurjade mõistatuste puhul.)
Selles õppetükis uurisime ülesandeid, mille puhul piisab aritmeetilise progressiooni summa tähenduse mõistmisest. Noh, sa pead teadma paari valemit.)
Praktilised nõuanded:
Mis tahes ülesande lahendamisel aritmeetilise progressiooni summa eest, soovitan sellest teemast kohe välja kirjutada kaks peamist valemit.
N-nda liikme valem:
Need valemid ütlevad kohe, mida otsida, millises suunas mõelda, et probleem lahendada. Aitab.
Ja nüüd iseseisva lahenduse ülesanded.
5. Leidke kõigi kahekohaliste arvude summa, mis ei jagu kolmega.
Lahe?) Vihje on peidetud märkuses ülesandele 4. Noh, ülesanne 3 aitab.
6. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke esimese 24 liikme summa.
Ebatavaline?) See on korduv valem. Saate selle kohta lugeda eelmises õppetükis.Ärge ignoreerige linki, selliseid mõistatusi leidub sageli GIA-s.
7. Vasya kogus puhkuseks raha. Koguni 4550 rubla! Ja otsustasin kinkida kõige armastatumale inimesele (endale) paar päeva õnne). Elage ilusti ilma endale midagi keelamata. Kulutage esimesel päeval 500 rubla ja igal järgmisel päeval kulutage 50 rubla rohkem kui eelmisel! Kuni raha saab otsa. Mitu päeva oli Vasjal õnnelik?
Kas see on raske?) Abiks on ülesande 2 lisavalem.
Vastused (segaselt): 7, 3240, 6.
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Matemaatikas on oma ilu, nagu ka maalil ja luulel.
Vene teadlane, mehaanik N.E. Žukovski
Matemaatika sisseastumiskatsetel on väga levinud ülesanded, mis on seotud aritmeetilise progressiooni mõistega. Selliste ülesannete edukaks lahendamiseks on vaja hästi tunda aritmeetilise progressiooni omadusi ja omada teatud oskusi nende rakendamisel.
Tuletame esmalt meelde aritmeetilise progressiooni põhiomadusi ja esitame olulisemad valemid, seotud selle kontseptsiooniga.
Definitsioon. Numbriline jada, milles iga järgnev termin erineb eelmisest sama numbri võrra, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Samal ajal numbernimetatakse progresseerumise erinevuseks.
Aritmeetilise progressiooni korral kehtivad valemid
, (1)
Kus. Valemit (1) nimetatakse aritmeetilise progressiooni üldliikme valemiks ja valem (2) on aritmeetilise progressiooni põhiomadus: progressiooni iga liige langeb kokku tema naaberliikmete aritmeetilise keskmise ja .
Pange tähele, et just selle omaduse tõttu nimetatakse vaadeldavat progressiooni "aritmeetiliseks".
Ülaltoodud valemid (1) ja (2) on kokku võetud järgmiselt:
(3)
Summa arvutamiseks esiteks aritmeetilise progressiooni liikmedtavaliselt kasutatakse valemit
(5) kus ja .
Kui võtame arvesse valemit (1), siis valem (5) tähendab
Kui me määrame
Kus. Kuna , siis on valemid (7) ja (8) vastavate valemite (5) ja (6) üldistus.
Eriti , valemist (5) järeldub, Mida
Enamikule õpilastele vähetuntud on aritmeetilise progressiooni omadus, mis on sõnastatud järgmise teoreemi abil.
Teoreem. Kui siis
Tõestus. Kui siis
Teoreem on tõestatud.
Näiteks , teoreemi kasutades, seda saab näidata
Liigume edasi probleemide lahendamise tüüpiliste näidete käsitlemisele teemal "Aritmeetiline progressioon".
Näide 1 Lase ja . Leia .
Lahendus. Rakendades valemit (6), saame . Alates ja , siis või .
Näide 2 Laske kolm korda rohkem ja jagatisega jagades selgub 2 ja jääk on 8. Määrake ja.
Lahendus. Võrrandisüsteem tuleneb näite tingimusest
Kuna , , ja , siis võrrandisüsteemist (10) saame
Selle võrrandisüsteemi lahendused on ja .
Näide 3 Otsige, kas ja.
Lahendus. Vastavalt valemile (5) on meil või . Kuid kasutades omadust (9), saame .
Alates ja , siis võrdsusest võrrand järgneb või .
Näide 4 Leia, kui.
Lahendus.Valemi (5) järgi on meil
Teoreemi kasutades saab aga kirjutada
Siit ja valemist (11) saame .
Näide 5. Arvestades: . Leia .
Lahendus. Sellest ajast . Siiski .
Näide 6 Laske , ja . Leia .
Lahendus. Kasutades valemit (9), saame . Seega, kui , siis või .
Alates ja siis siin on võrrandisüsteem
Mille lahendamisel saame ja .
Võrrandi loomulik juur on .
Näide 7 Otsige, kas ja.
Lahendus. Kuna valemi (3) järgi on meil see , siis ülesande tingimusest tuleneb võrrandisüsteem
Kui asendame väljendisüsteemi teise võrrandisse, siis saame või .
Ruutvõrrandi juured on Ja .
Vaatleme kahte juhtumit.
1. Laske siis . Alates ja , siis .
Sel juhul on meil valemi (6) kohaselt
2. Kui , siis , ja
Vastus: ja.
Näide 8 On teada, et ja Leia .
Lahendus. Võttes arvesse valemit (5) ja näite tingimust, kirjutame ja .
See tähendab võrrandisüsteemi
Kui me korrutame süsteemi esimese võrrandi 2-ga ja lisame selle seejärel teisele võrrandile, saame
Vastavalt valemile (9) on meil. Sellega seoses tuleneb punktist (12). või .
Alates ja , siis .
Vastus:.
Näide 9 Otsige, kas ja.
Lahendus. Alates , ja tingimuse järgi , siis või .
Valemist (5) on teada, Mida . Sellest ajast .
Seega, siin on lineaarvõrrandi süsteem
Siit saame ja . Võttes arvesse valemit (8), kirjutame .
Näide 10 Lahenda võrrand.
Lahendus. Antud võrrandist järeldub, et . Oletame, et , , ja . Sel juhul .
Valemi (1) järgi võime kirjutada või .
Kuna võrrandil (13) on ainulaadne sobiv juur .
Näide 11. Leidke maksimaalne väärtus tingimusel, et ja .
Lahendus. Alates , siis vaadeldav aritmeetiline progressioon väheneb. Sellega seoses saab avaldis maksimaalse väärtuse, kui see on progresseerumise minimaalse positiivse liikme arv.
Kasutame valemit (1) ja fakti, mis ja . Siis saame selle või .
Sest siis või . Küll aga selles ebavõrdsusessuurim naturaalarv, Sellepärast .
Kui väärtused ja asendatakse valemiga (6), siis saame .
Vastus:.
Näide 12. Leidke kõigi kahekohaliste naturaalarvude summa, mille 6-ga jagamisel jääb ülejääk 5.
Lahendus. Tähistage kõigi kaheväärtuslike naturaalarvude hulgaga, s.o. . Järgmisena konstrueerime alamhulga, mis koosneb nendest hulga elementidest (arvudest), mille jagamisel arvuga 6 saadakse jääk 5.
Lihtne paigaldada, Mida . Ilmselgelt, et hulga elemendidmoodustavad aritmeetilise progressiooni, milles ja .
Hulga kardinaalsuse (elementide arvu) määramiseks eeldame, et . Kuna ja , siis valem (1) tähendab või . Võttes arvesse valemit (5), saame .
Ülaltoodud näited probleemide lahendamisest ei saa mingil juhul väita, et need on ammendavad. See artikkel on kirjutatud antud teema tüüpiliste probleemide lahendamise kaasaegsete meetodite analüüsi põhjal. Aritmeetilise progressiooniga seotud ülesannete lahendamise meetodite põhjalikumaks uurimiseks on soovitatav tutvuda soovitatava kirjanduse loeteluga.
1. Matemaatika ülesannete kogu tehnikaülikooli sisseastujatele / Toim. M.I. Scanavi. - M .: Maailm ja haridus, 2013. - 608 lk.
2. Suprun V.P. Matemaatika gümnasistidele: kooli õppekava lisalõigud. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 lk.
3. Medynsky M.M. Algmatemaatika tervikkursus ülesannetes ja harjutustes. 2. raamat: Numbrite järjestused ja progressid. – M.: Editus, 2015. - 208 lk.
Kas teil on küsimusi?
Juhendaja abi saamiseks - registreeru.
saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")
Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga arv on sama palju suurem (või väiksem) kui eelmine.
See teema on sageli raske ja arusaamatu. Täheindeksid, progressiooni n-s liige, progressiooni erinevus - see kõik on kuidagi segane, jah ... Mõtleme välja aritmeetilise progressiooni tähenduse ja kõik saab kohe korda.)
Aritmeetilise progressiooni mõiste.
Aritmeetiline progressioon on väga lihtne ja selge mõiste. Kahtlus? Asjata.) Vaadake ise.
Kirjutan lõpetamata numbrite jada:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Kas saate seda rida pikendada? Millised numbrid lähevad pärast viit? Kõik ... uh ..., ühesõnaga, kõik saavad aru, et numbrid 6, 7, 8, 9 jne lähevad kaugemale.
Teeme ülesande keerulisemaks. Annan lõpetamata numbrite jada:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Saate püüda mustrit, laiendada seeriat ja nimetada seitsmes rea number?
Kui saite aru, et see number on 20 - õnnitlen teid! Sa mitte ainult ei tundnud aritmeetilise progressiooni põhipunktid, kuid kasutas neid edukalt ka äris! Kui te ei saa aru, lugege edasi.
Tõlgime nüüd aistingute põhipunktid matemaatikasse.)
Esimene võtmepunkt.
Aritmeetiline progressioon käsitleb arvujadasid. See tekitab alguses segadust. Oleme harjunud võrrandeid lahendama, graafikuid koostama ja kõike seda ... Ja siis laiendage seeriat, leidke seeria number ...
See on korras. Lihtsalt progressioonid on esimene tutvus uue matemaatikaharuga. Jaotis kannab nime "Seeria" ja töötab arvude ja avaldiste seeriatega. Harju sellega.)
Teine põhipunkt.
Aritmeetilises progressioonis erineb mis tahes arv eelmisest sama summa võrra.
Esimeses näites on see erinevus üks. Ükskõik, millise numbri te võtate, on see ühe võrra suurem kui eelmine. Teises - kolm. Iga arv on kolm korda suurem kui eelmine. Tegelikult annab see hetk meile võimaluse mustrit tabada ja järgnevaid numbreid arvutada.
Kolmas põhipunkt.
See hetk ei ole silmatorkav, jah... Aga väga-väga oluline. Siin ta on: iga edenemisnumber on omal kohal. On esimene number, on seitsmes, on neljakümne viies jne. Kui ajad need juhuslikult segi, kaob muster. Kaob ka aritmeetiline progressioon. See on lihtsalt numbrite jada.
See on kogu asja mõte.
Loomulikult ilmuvad uude teemasse uued terminid ja tähistus. Nad peavad teadma. Vastasel juhul ei saa te ülesandest aru. Näiteks peate otsustama midagi sellist:
Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.
Kas see inspireerib?) Tähed, mõned indeksid... Ja ülesanne, muide, ei saaks olla lihtsam. Peate lihtsalt mõistma terminite ja tähiste tähendust. Nüüd saame selle asja selgeks ja naaseme ülesande juurde.
Tingimused ja nimetused.
Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga number erineb eelmisest sama summa võrra.
Seda väärtust nimetatakse . Käsitleme seda kontseptsiooni üksikasjalikumalt.
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni erinevus on summa, mille võrra mis tahes edenemisarv rohkem eelmine.
Üks oluline punkt. Palun pöörake sõnale tähelepanu "rohkem". Matemaatiliselt tähendab see, et saadakse iga progressiooniarv lisades aritmeetilise progressiooni erinevus eelmisest arvust.
Arvutamiseks ütleme teiseks rea numbrid, on vaja esiteks number lisama just see aritmeetilise progressiooni erinevus. Arvutamiseks viies- vahe on vajalik lisama To neljas noh jne.
Aritmeetilise progressiooni erinevus Võib olla positiivne siis osutub iga seeria number tõeliseks rohkem kui eelmine. Seda progresseerumist nimetatakse suureneb. Näiteks:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Siin on iga number lisades positiivne arv, +5 eelmisele.
Erinevus võib olla negatiivne siis on seeria iga number vähem kui eelmine. Seda edenemist nimetatakse (te ei usu seda!) väheneb.
Näiteks:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Siin saadakse ka iga number lisades eelmisele, kuid juba negatiivsele arvule, -5.
Muide, progresseerumisega töötades on väga kasulik kohe kindlaks teha selle olemus - kas see suureneb või väheneb. See aitab palju otsuse tegemisel orienteeruda, avastada oma vead ja parandada need enne, kui on liiga hilja.
Aritmeetilise progressiooni erinevus tähistatakse tavaliselt tähega d.
Kuidas leida d? Väga lihtne. On vaja lahutada seeria suvalisest arvust eelmine number. Lahutage. Muide, lahutamise tulemust nimetatakse "erinevuseks".)
Defineerime näiteks d suureneva aritmeetilise progressiooni jaoks:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Võtame soovitud reast suvalise arvu, näiteks 11. Lahutame sellest eelmine number need. 8:
See on õige vastus. Selle aritmeetilise progressiooni puhul on erinevus kolm.
Võite lihtsalt võtta suvaline arv arenguid, sest konkreetse progresseerumise jaoks d-alati sama. Vähemalt kuskil rea alguses, vähemalt keskel, vähemalt igal pool. Te ei saa võtta ainult esimest numbrit. Just sellepärast, et kõige esimene number eelnevat pole.)
Muide, seda teades d=3, on selle progressi seitsmenda numbri leidmine väga lihtne. Viiendale numbrile liidame 3 - saame kuuenda, sellest saab 17. Kuuendale numbrile liidame kolm, saame seitsmenda numbri - kakskümmend.
Defineerime d kahaneva aritmeetilise progressiooni jaoks:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Tuletan teile meelde, et olenemata märkidest, määrata d vaja suvalisest numbrist võta eelmine ära. Valime suvalise arvu progressi, näiteks -7. Tema eelmine number on -2. Seejärel:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla mis tahes arv: täisarv, murdosa, irratsionaalne, ükskõik milline.
Muud terminid ja nimetused.
Iga seeria numbrit nimetatakse aritmeetilise progressiooni liige.
Iga progressi liige on tema number. Numbrid on rangelt korras, ilma igasuguste nippideta. Esimene, teine, kolmas, neljas jne. Näiteks progressioonis 2, 5, 8, 11, 14, ... kaks on esimene liige, viis on teine, üksteist on neljas, noh, saate aru ...) Palun saage selgelt aru - numbrid ise võib olla absoluutselt mis tahes, tervik, murdosa, negatiivne, mis iganes, kuid nummerdamine- rangelt korras!
Kuidas kirjutada progressi üldkujul? Pole probleemi! Iga seeria number on kirjutatud tähena. Aritmeetilise progressiooni tähistamiseks kasutatakse reeglina tähte a. Liikmenumbrit näitab all paremal asuv indeks. Liikmed eraldatakse komadega (või semikooloniga) järgmiselt:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 on esimene number a 3- kolmas jne. Ei midagi keerulist. Saate selle seeria lühidalt kirjutada järgmiselt: (a n).
On progresseerumine lõplik ja lõpmatu.
Ülim progressioonil on piiratud arv liikmeid. Viis, kolmkümmend kaheksa, mida iganes. Kuid see on lõplik arv.
Lõputu progressioon – sellel on lõpmatu arv liikmeid, nagu võite arvata.)
Saate kirjutada sellise seeria lõpliku edenemise, kõik liikmed ja punkt lõpus:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Või nii, kui liikmeid on palju:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Lühikirjes peate lisaks märkima liikmete arvu. Näiteks (kahekümnele liikmele) nii:
(a n), n = 20
Lõpmatu edenemise tunneb ära rea lõpus oleva ellipsi järgi, nagu selle õppetüki näidetes.
Nüüd saate juba ülesandeid lahendada. Ülesanded on lihtsad, ainult aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmiseks.
Aritmeetilise progressiooni ülesannete näited.
Vaatame ülaltoodud ülesannet lähemalt:
1. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.
Tõlgime ülesande arusaadavasse keelde. Antud on lõpmatu aritmeetiline progressioon. Selle edenemise teine number on teada: a 2 = 5. Teadaolev progresseerumise erinevus: d = -2,5. Peame leidma selle progressi esimese, kolmanda, neljanda, viienda ja kuuenda liikme.
Selguse huvides kirjutan üles seeria vastavalt probleemi seisukorrale. Esimesed kuus liiget, kus teine liige on viis:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,...
a 3 = a 2 + d
Asendame väljendis a 2 = 5 Ja d = -2,5. Ärge unustage miinust!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Kolmas tähtaeg on väiksem kui teine. Kõik on loogiline. Kui arv on suurem kui eelmine negatiivne väärtus, nii et number ise on väiksem kui eelmine. Progresseerumine väheneb. Olgu, võtame seda arvesse.) Me käsitleme oma sarja neljandat liiget:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Seega on terminid kolmandast kuuendani välja arvutatud. Selle tulemuseks oli seeria:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Jääb üle leida esimene termin a 1 teada-tuntud teise järgi. See on samm teises suunas, vasakule.) Seega aritmeetilise progressiooni erinevus d ei tohiks lisada a 2, A ära viima:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
See on kõik. Ülesande vastus:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Möödaminnes märgin, et saime selle ülesande lahendatud korduv tee. See kohutav sõna tähendab ainult progressi liikme otsimist eelmise (külgneva) numbri järgi. Teisi viise progresseerumisega töötamiseks arutatakse hiljem.
Sellest lihtsast ülesandest saab teha ühe olulise järelduse.
Pidage meeles:
Kui teame vähemalt ühte aritmeetilise progressiooni liiget ja erinevust, leiame selle progressiooni iga liikme.
Mäletad? See lihtne järeldus võimaldab meil lahendada enamiku selleteemaliste koolikursuste probleemidest. Kõik ülesanded on seotud kolme põhiparameetriga: aritmeetilise progressiooni liige, progressiooni erinevus, progressiooni liikme arv. Kõik.
Loomulikult ei tühistata kogu eelnevat algebrat.) Edastamisele on lisatud võrratused, võrrandid ja muud asjad. Aga vastavalt progresseerumisele- kõik keerleb kolme parameetri ümber.
Mõelge näiteks mõnele populaarsele ülesandele sellel teemal.
2. Kirjutage lõplik aritmeetiline progressioon seeriana, kui n=5, d=0,4 ja a 1=3,6.
Siin on kõik lihtne. Kõik on juba antud. Peate meeles pidama, kuidas aritmeetilise progressiooni liikmeid arvutatakse, loendatakse ja üles kirjutatakse. Soovitatav on mitte vahele jätta ülesande tingimuses olevaid sõnu: "lõplik" ja " n = 5". Et mitte arvestada enne, kui olete näost täiesti siniseks muutunud.) Selles protsessis on ainult 5 (viis) liiget:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 \u003d 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Jääb üle vastus kirja panna:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Teine ülesanne:
3. Tehke kindlaks, kas arv 7 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kui a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kes teab? Kuidas midagi defineerida?
Kuidas-kuidas ... Jah, kirjuta edasiminek seeria kujul üles ja vaata, kas tuleb seitse või mitte! Me usume:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Nüüd on selgelt näha, et meid on alles seitse lipsas läbi vahemikus 6,5 kuni 7,7! Seitse ei pääsenud meie numbrite seeriasse ja seetõttu ei kuulu seitse antud jadasse.
Vastus: ei.
Ja siin on ülesanne, mis põhineb GIA pärisversioonil:
4. Aritmeetilise progressiooni mitu järjestikust liiget kirjutatakse välja:
...; 15; X; 9; 6; ...
Siin on sari ilma lõpu ja alguseta. Pole liikmenumbreid, pole vahet d. See on korras. Ülesande lahendamiseks piisab aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmisest. Vaatame ja vaatame, mida saame teadma sellelt realt? Millised on kolme peamise parameetrid?
Liikmete numbrid? Siin pole ühtegi numbrit.
Aga seal on kolm numbrit ja – tähelepanu! - sõna "järjestikune" seisukorras. See tähendab, et numbrid on rangelt korras, ilma lünkadeta. Kas selles reas on kaks? naaber teadaolevad numbrid? Jah mul on! Need on 9 ja 6. Seega saame arvutada aritmeetilise progressiooni erinevuse! Me lahutame kuuest eelmine number, st. üheksa:
Jäänud on tühjad kohad. Mis number on x jaoks eelmine? Viisteist. Nii et x on lihtsa liitmise teel kergesti leitav. 15-le lisage aritmeetilise progressiooni erinevus:
See on kõik. Vastus: x=12
Järgmised probleemid lahendame ise. Märkus: need mõistatused ei ole valemite jaoks. Puhtalt aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmiseks.) Kirjutame lihtsalt numbrite-tähtede jada, vaatame ja mõtleme.
5. Leidke aritmeetilise progressiooni esimene positiivne liige, kui a 5 = -3; d = 1,1.
6. On teada, et arv 5,5 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 = 1,6; d = 1,3. Määrake selle liikme arv n.
7. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Leia 3.
8. Aritmeetilise progressiooni mitu järjestikust liiget kirjutatakse välja:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Leidke progressiooni liige, mida tähistatakse tähega x.
9. Rong hakkas jaamast liikuma, suurendades järk-järgult kiirust 30 meetrit minutis. Kui suur on rongi kiirus viie minuti pärast? Esitage oma vastus km/h.
10. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 5; a 6 = -5. Leia 1.
Vastused (segaselt): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Kõik õnnestus? Hämmastav! Aritmeetilist progressiooni saab õppida kõrgemal tasemel järgmistes tundides.
Kas kõik ei õnnestunud? Pole probleemi. Erijaotises 555 on kõik need pusled tükkhaaval jaotatud.) Ja loomulikult kirjeldatakse lihtsat praktilist tehnikat, mis toob selliste ülesannete lahendamise kohe selgelt, selgelt, nagu peopesal esile!
Muide, rongiga seotud mõistatuses on kaks probleemi, mille otsa inimesed sageli komistavad. Üks - puhtalt progresseerumise järgi ja teine - ühine kõikidele matemaatika ja ka füüsika ülesannetele. See on mõõtmete tõlge ühelt teisele. See näitab, kuidas need probleemid tuleks lahendada.
Selles õppetükis uurisime aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja selle peamisi parameetreid. Sellest piisab peaaegu kõigi selle teemaga seotud probleemide lahendamiseks. Lisama d numbrite juurde, kirjuta seeria, kõik otsustatakse.
Sõrmelahendus sobib hästi seeria väga lühikeste tükkide puhul, nagu selle õppetüki näidetes. Kui seeria on pikem, muutuvad arvutused keerulisemaks. Näiteks kui küsimuse ülesandes 9, asendage "viis minutit" peal "kolmkümmend viis minutit" probleem muutub palju hullemaks.)
Ja on ka ülesandeid, mis on olemuselt lihtsad, kuid arvutuslikult täiesti absurdsed, näiteks:
Antud aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.
Ja mis, me lisame 1/6 mitu-mitu korda?! Kas on võimalik ennast tappa!?
Saate.) Kui te ei tea lihtsat valemit, mille abil saate selliseid ülesandeid minutiga lahendada. See valem on järgmises õppetükis. Ja see probleem on seal lahendatud. Minuti pärast.)
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
