Симметрия кристаллов. Атомная структура твердых тел Экспериментальная работа «Выращивание кристаллов»

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

Свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо части или комбинации этих операций. Симметрия означает возможность преобразования объекта, совмещающего его с собой. Симметрия внеш. формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, к-рая обусловливает также и симметрию физ. свойств кристалла.

Рис. 1. а - кристалл кварца: 3 - ось симметрии 3-го, порядка, 2х, 2у, 2w- оси 2-го порядка; б - кристалл водного мета-силиката натрия: m - плоскость симметрии.

На рис. 1, а изображён кристалл кварца. Внеш. его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3 он может быть совмещён сам с собой (совместимое равенство). Кристалл метасиликата натрия (рис. 1, 6) преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальное равенство).

Если F(xlx2.x3) - функция, описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространстве или к.-л. его свойство, а операция g(x1, х2, х3) осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g является операцией или преобразованием симметрии, a F - симметричным объектом, если выполняются условия:

В наиболее общей формулировке - неизменность (инвариантность) объектов и законов при нек-рых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы -объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классич. теория С. к.- теория симметрич. преобразований в себя трёхмерного пространства с учётом того, что внутр. атомная структура кристаллов - трёхмерно-периодическая, т. е. описывается как . При преобразованиях симметрии не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое. Такие преобразования наз. ортогональными или изометрическими. После части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также и при описании энергетич. спектра электронов кристалла (см. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ), при анализе процессов дифракции рентг. лучей и электронов в кристаллах в обратном пространстве (см. ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА) и т. п.

Группа симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, а неск. операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис. 1, а) совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция g1), но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g2), a также при поворотах на 180° вокруг осей 2х, 2у, 2w (операции g3, g4, g5). Каждой может быть сопоставлен элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно к-рой производится данная операция. Напр., ось 3 или оси 2х, 2у, 2w являются осями симметрии, плоскость m (рис. 1,6) - плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии (g1, g2, . . ., gn) данного кристалла образует группу симметрии G в смысле матем. теории групп. Последоват. проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. Всегда существует операция идентичности g0, ничего не изменяющая в кристалле, наз. отождествлением, геометрически соответствующая неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии классифицируют: по числу n измерений пространства, в к-рых они определены; по числу m измерений пространства, в к-рых объект периодичен (их соответственно обозначают Gnm), и по нек-рым др. признакам. Для описания кристаллов используют разл. группы симметрии, из к-рых важнейшими являются . G33, описывающие атомную структуру кристаллов, и точечные группы с и м м е т р и и G30, описывающие их внешнюю форму. Последние наз. также кристаллографическими классами.

Точечные группы симметрии. Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на угол, равный 360°/N (рис. 2, а), отражение в плоскости симметрии ( ; рис. 2, б), инверсия Т (симметрия относительно точки; рис. 2, в), инверсионные повороты N= (комбинация поворота на угол 360°/N с одновременной инверсией; рис. 2, г).

Рис. 2. Простейшие операции симметрии: а - поворот; б - отражение; в - инверсия; г - инверсионный поворот 4-го порядка; д - винтовой поворот 4-го порядка; е - скользящее отражение.

Вместо инверсионных поворотов иногда рассматривают зеркальные повороты N=. Геометрически возможные сочетания этих операций определяют ту или иную точечную группу симметрии, к-рая изображается обычно в стереографич. проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все симметрии, и она является центром стереографич. проекции. Примеры кристаллов, относящихся к разл. точечным группам, даны на рис. 3.

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точечным группам (кристаллографическим классам): о - к классу m (одна плоскость симметрии); б - к классу с (центр симметрии); в - к классу 2 (одна ось симметрии 2-го порядка); г - к классу 6 (одна инверсионно-поворотная ось 6-го порядка).

Точечные преобразования симметрии g(x1, x2, х3)=х"1, х"2, х"3 описываются линейными ур-ниями:

т. е. матрицей коэфф, (aij). Напр., при повороте вокруг оси х1 на угол a=360°/N коэфф. имеет вид:

а при отражении в плоскости х1, х2 она имеет вид:

Число точечных групп Go бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия крист. решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го; в крист. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольников нельзя заполнить без промежутков), к-рые обозначаются символами: 1, 2, 3, 4, 6, а также инверсионные оси 1 (она же - центр симметрии), 2 (она же - плоскость симметрии), 3, 4, 6. Поэтому количество точечных кристаллографич. групп симметрии, описывающих внеш. форму кристаллов, ограничено, их всего 32 (см. табл.). В междунар. обозначения точечных групп входят символы порождающих их операций симметрии. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки (с периодами о, b, с и углами a, b, g) в 7 сингоний.

Группы, содержащие лишь повороты, описывают , состоящие только из совместимо равных частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие отражения или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в к-рых есть зеркально равные части (группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах («правой» и «левой», каждая из к-рых не содержит элементов симметрии 2-го рода), но зеркально равных друг другу (см. ЭНАНТИОМОРФИЗМ).

Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещённая в кристаллографии симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Напр., для описания регулярной структуры сферич. вирусов, в оболочках к-рых соблюдаются принципы плотной укладки молекул, оказалась важной икосаэдрическая 532 (см. БИОЛОГИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ).

Предельные группы. Функции, к-рые описывают зависимость разл. свойств кристалла от направления, имеют определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше неё по симметрии (Неймана принцип).

Многие из свойств кристаллов, принадлежащих к определённым точечным группам симметрии, описываются т. КРИСТАЛЛОФИЗИКА).

Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов описывается пространств. группами симметрии G33 (наз. также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова). Характерными для решётки операциями являются три некомпланарных а, b, с, наз. трансляциями, к-рые задают трёхмерную периодичность атомной структуры кристаллов. Сдвиг (перенос) структуры на векторы а, b, с или любой вектор t=р1a+p2b+p3c, где p1,p2, p3 - любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру кристалла с собой и, следовательно, является операцией симметрии (трансляционная симметрия).

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах G33 возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляц. компонентой - винтовые оси разл. порядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д, е). Всего известно 230 пространств. групп симметрии G33, любой кристалл относится к одной из этих групп. Трансляц. элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, напр. винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 групп G33 макроскопически сходственна (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп. Напр., на точечную группу mmm гомоморфно отображаются 28 пространств. групп. Совокупность переносов, присущих данной пространственной группе, есть её трансляционная подгруппа, или Браве решетка; таких решёток существует 14.

Симметрия слоев и цепей. Для описания объектов периодических в 1 или 2 направлениях, в частности фрагментов структуры кристаллов, могут быть использованы группы G32 - двумерно периодические m G31 - одномерно периодические в трёхмерном пространстве. Эти группы играют важную роль в изучении биол. структур и молекул. Напр., группы G| описывают строение биол. мембран, группы G31- цепных молекул (рис. 5, а) палочкообразных вирусов, трубчатых кристаллов глобулярных белков (рис. 5, б), в к-рых уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах G31 (см. БИОЛОГИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ).

Рис. 5. Объекты со спиральной симметрией: а - ДНК; б - трубчатый кристалл белка фосфорилазы (электронно-микроскопический снимок, увеличение 220000).

Обобщённая симметрия. В основе определения симметрии лежит понятие равенства (1, б) при преобразовании (1, а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Напр., ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространств. симметрии, но если учесть нём магн. моментов (рис. 6), то обычной», классич. симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относятся антисимметрия и . В антисимметрии в дополнение к трём пространств. переменным x1, х2, x3 вводится добавочная 4-я переменная x4=±1. Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1, а) ф-ция F может быть не только равна себе, как в (1, б), но и «антиравна» - изменить знак. Условно такую операцию можно изобразить изменением цвета (рис. 7).

Рис. 6. Распределение магнитных моментов (стрелки) в элементарной ячейке ферримагнитного кристалла, описываемое с помощью обобщённой симметрии.

Существует 58 групп точечной антисимметрии C30,а и 1651 пространств. антисимметрии G33,a (Ш у б н и к о в с к и х г р у п п). Если добавочная переменная приобретает не два значения, а неск. (возможны числа 3, 4, 6, 8, . . ., 48), то возникает цветная симметрия Белова. Так, известна 81 точечная группа G30,ц и 2942 группы С33,ц. Основные приложения обобщённой симметрии в кристаллографии- описание магн. структур.

Рис. 7. Фигура, описываемая точечной группой антисимметрии.

Др. обобщения симметрии: симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием (рис. 8), криволинейная симметрия, статистич. симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твёрдых растворов, жидких кристаллов, и др.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

Свойство кристаллов совмещаться с собойпри поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинацииэтих операций. Симметрия внеш. формы (огранки) кристалла определяется симметриейего атомного строения, к-рая обусловливает также и симметрию физ. свойствкристалла.

Рис. 1. а - кристалл кварца; 3 - ось симметрии 3-го порядка,- оси 2-го порядка; б - кристалл водного метасиликата натрия; m - плоскостьсимметрии.

На рис. 1 а изображён кристалл кварца. Внеш. его форма такова, б)преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальноеравенство). Если - функция, описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространствеили к.-л. его свойство, а операция осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g являетсяоперацией, или преобразованием симметрии, а F - симметричным объектом,

В наиб. общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность)объектов и законов при нек-рых преобразованиях описывающих их переменных. С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерномпространстве, но также и при описании энергетич. спектра электронов кристалла(см. Зонная теория), при анализе процессов дифракции рентгеновскихлучей, дифракции нейтронов и дифракции электронов в кристаллахс использованием обратного пространства (см. Обратная решётка )ит. п.

Группы симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, анеск. операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис. 1, а )совмещаетсяс собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция gi), нои при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g 2),& также при поворотах на 180° вокруг осей 2 Х, 2 у,2 W (операции g 3 , g 4 , g 5 ).Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии - прямая, 3 или оси 2 x , 2 у, 2 w являютсяосями симметрии, плоскость т (рис. 1,б) - плоскостью зеркальнойсимметрии и т. п. Совокупность операций симметрии {g 1 , g 2 ,..., g n } данного кристалла образует группу симметрии в смысле матем. теории групп. Последоват. проведение двух операцийсимметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначаюткак произведение операций:.Всегда существует операция идентичности g 0 , ничего неизменяющая в кристалле, наз. отождествлением, она геометрически соответствуетнеподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Числоопераций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии преобразований пространства классифицируют: по числу . измерений пространства, в к-рых они определены; по числу . измеренийпространства, в к-рых объект периодичен (их соответственно обозначают ),и по нек-рым др. признакам. Для описания кристаллов используют различныегруппы симметрии, из к-рых важнейшими являются ,описывающие внеш. форму кристаллов; их наз. также кристаллографич. классами;пространственные группы симметрии ,описывающие атомную структуру кристаллов.

Точечные группы симметрии. Операциями точечной симметрии являются:повороты вокруг оси симметрии порядка N на угол, равный 360°/N (рис.2, а); отражение в плоскости симметрии т (зеркальное отражение , б); инверсия (симметрия относительно точки, рис. 2, в); инверсионные повороты (комбинация поворота на угол 360°/N с одноврем. инверсией, рис.2, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматриваются эквивалентныеим зеркальные повороты Геометрически возможные сочетания операций точечной симметрии определяютту или иную точечную группу симметрии, к-рая изображается обычно в стереографич.

Рис. 2. Примеры операций симметрии: а - поворот; б - отражение; в- инверсия; г - инверсионный поворот 4-го порядка; д - винтовой поворот4-го порядка; е - скользящее отражение.

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точечным группам(кристаллографическим классам): а - к классу m (одна плоскость симметрии);б - к классу (центр симметрии или центр инверсии); а - к классу 2 (одна ось симметрии2-го порядка); г - к классу (одна инверсионно-поворотная ось 6-го порядка).

Точечные преобразования симметрии описываются линейными ур-ниями

или матрицей коэффициентов

Напр., при повороте вокруг оси х 1 на угол -=360°/N матрица D имеет вид:

а при отражении в плоскости х 1 х 2 D имеетвид:

Число точечных групп бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллич. решётки возможнытолько операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го;в кристаллич. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. спомощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков).Операции точечной симметрии и соответствующие им элементы симметрии обозначаютсясимволами: оси 1, 2, 3, 4, 6, инверсионные оси (центрсимметрии или центр инверсии), (она же - плоскость симметрии т), (рис. 4).

Рис. 4. Графические обозначения элементов точечной симметрии: а -кружок - центр симметрии, оси симметрии, перпендикулярные плоскости чертежа;б - ось 2, параллельная плоскости чертежа; в - оси симметрии, параллельныеили косо расположенные к плоскости чертежа; г - плоскость симметрии, перпендикулярнаяплоскости чертежа; д - плоскости симметрии, параллельные плоскости чертежа.

Для описания точечной группы симметрии достаточно задать одну или неск. Ь, с и углами ) в 7 сингоний (табл. 1).

Группы, содержащие кроме гл. оси N плоскости симметрии т, обозначаются как N/m, если или Nm, если ось лежит в плоскости т. Если группа помимогл. оси имеет неск. проходящих через неё плоскостей симметрии, то она обозначается Nmm.

Табл. 1.- Точечные группы (классы) симметрии кристаллов

Группы С. к. несут в себе геом. смысл: каждой из операций соответствует, напр., поворот вокруг оси симметрии, отражение в плоскости. в данной группе (но не их геом. смысл), оказываются одинаковыми, или изоморфнымидруг другу. Таковы, напр., группы 4 и , тт2, 222. Всего имеется 18 абстрактных групп, изоморфных одной илинескольким из 32 точечных групп С. к.

Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечныхфигур. В живой природе часто наблюдается запрещённая в кристаллографииточечная симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Для описания регулярнойструктуры сферич. вирусов, в оболочках к-рых соблюдаются принципы плотнойукладки молекул, и нек-рых неорганич. молекул оказались важными икосаэдрич. (см. Биологический кристалл). Икосаэдрич. симметрия наблюдаетсятакже в квазикристаллах.

Предельные группы. Ф-ции, к-рые описывают зависимость различных свойствкристалла от направления, имеют определённую точечную симметрию, однозначносвязанную с группой симметрии огра-нения кристалла. Она либо совпадаетс ней, либо выше неё по симметрии (Неймана принцип).

Рис. 5. Стереографические проекции 32 кристаллографических и 2 икосаэдрическихгрупп. Группы расположены в колонки по семействам, символы которых даныв верхнем ряду. В нижнем ряду указана предельная группа каждого семействаи изображены фигуры, иллюстрирующие предельную группу.

Пространственные группы симметрии. Пространственная симметрияатомной структуры кристаллов описывается пространственными группами симметрии . Они наз. также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова;эти группы были независимо выведены в том же году А. Шёнфлисом (A. Schoenflies).В противоположность точечным группам, к-рые были получены как обобщениезакономерностей форм кристаллич. многогранников (С. И. Гессель, 1830, А. Характерными для атомной структуры кристаллов операциями являются 3некомпланарные трансляции а, b, с , к-рые и задают трёхмернуюпериодичность кристаллич. решётки. Кристаллич. решётка рассматриваетсякак бесконечная во всех трёх измерениях. Такое матем. реально, а, Ь, с или любой вектор где p 1 , p 2 , р 3 - любые целые числа, Физ. дискретность кристаллич. вещества выражается в его атомном строении. - это группы преобразования в себя трёхмерного однородного дискретногопространства. Дискретность заключается в том, что не все точки такого пространствасимметрически равны друг другу, напр. одного и атом др. сорта, ядрои электроны. Условия однородности и дискретности определяет тот факт, чтопространственные группы - трёхмерно периодические, т. е. любая группа содержит подгруппу трансляций Т - кристаллич. решётку.

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операцийточечной симметрии в группах кроме операций точечной симметрии возникают операции и соответствующиеим элементы симметрии с трансляц. компонентой - винтовые оси различныхпорядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д, е).

В соответствии с точечной симметрией формы элементарной ячейки (элементарногопараллелепипеда) пространственные группы, как и точечные, подразделяютсяна 7 кристаллографических сингоний (табл. 2). Дальнейшее их подразделениесоответствует трансляц. группам и соответствующим им Враве решёткам. Решёток Браве 14, из них 7 - примитивные решётки соответствующих сингоний, Р (кроме ромбоэдрической R). Другие-7 центриров. А (центрируется грань bc),В (грань ас), С (аb); объёмноцентрнрованные I, гранецентрированные(по всем 3 граням) F. С учётом центрировки к оперирации трансляций t добавляются соответствующие центру центрирующие переносы t c . Если комбинировать друг с другом эти операции t + t с и с операциями точечных групп соответствующей сингоний, то получаются 73пространственные группы, наз. симморфными.

Табл. 2.-Пространственные группы симметрии

На основе определённых правил из симморфных пространственных групп можноизвлечь нетривиальные подгруппы, что даёт ещё 157 несимморфных пространственныхгрупп. Всего пространственных групп 230. Операции симметрии при преобразованииточки х в симметрично равную ей (а значит. и всего пространства в себя) записываются в виде:, где D - точечные преобразования,- компоненты винтового переноса или скользящего отражения,- операции трансляц. группы Браве. Операции винтовой симметрии и соответствующиеим элементы симметрии - винтовые оси имеют угл. компоненту (N = 2, 3, 4, 6) и трансляционную t s = tq/N, где t- трансляция решётки, поворот на происходит одновременно с трансляцией вдоль оси Ж, q - индексвинтового поворота. Общий символ винтовых осей N q (рис.6). Винтовые оси направлены вдоль гл. осей или диагоналей элементарнойячейки. Оси 3 1 и 3 2 , 4 1 и 4 3 ,6 1 и 6 5 , 6 2 и 6 4 соответствуютпопарно правым и левым винтовым поворотам. Кроме операции зеркальной симметриив пространственных группах возможны также плоскости скользящего отраженияа, Ь, с: отражение сочетается с переносом на половину соответствующегопериода решётки. Переносу на половину диагонали грани ячейки соответствуетт. н. клиноплоскость скольжения n, кроме того, в тетрагональных и кубич. d.

Рис. 6. а - Графические обозначения винтовых осей, перпендикулярныхплоскости рис.; б - винтовая ось, лежащая в плоскости рис.; в - плоскостискользящего отражения, перпендикулярные плоскости рис., где а, b, с - периодыэлементарной ячейки, вдоль осей которой происходит скольжение (трансляционнаякомпонента а/2), п - диагональная плоскость скользящего отражения [трансляционнаякомпонента (а + b)/2], d - алмазная плоскость скольжения ; г - то же в плоскости рисунка.

В табл. 2 даны интернациональные символы всех 230 пространственных группв соответствии с их принадлежностью к одной из 7 сингоний и классу точечнойсимметрии.

Трансляц. компоненты операций микросимметрии пространственных группмакроскопически в точечных группах не проявляются; напр., винтовая осьв огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простаяповоротная ось. Поэтому каждая из 230 групп макроскопическисходственна (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп. Напр., на точечнуюгруппу - ттт гомоморфно отображаются 28 пространственных групп.

Обозначения Шёнфлиса пространственных групп - это обозначение соответственнойточечной группы (напр.,, табл. 1), к-рому сверху приписан принятый исторически , . В международныхобозначениях указывается символ решётки Браве и порождающие операции симметриикаждой группы -и т. д. Последовательность расположения пространственных групп в табл.2 в международных обозначениях соответствует номеру (верхнему индексу)в обозначениях Шёнфлиса.

Рис. 7. Изображение группы -Рпта в Интернациональных таблицах.

Если задать внутри элементарной ячейки к.-н. точку х (x 1 x 2 x 3), то операции симметрии преобразуют её в симметрично равные ей точкиво всём кристаллич. пространстве; таких точек бесконечное . Нодостаточно описать их положение в одной элементарной ячейке, и эта совокупностьуже будет размножаться трансляциями решётки. Совокупность точек, выводимыхиз данной операциями g i группы G - х 1 ,x 2 ,...,x n-1 , наз. правильной системой точек (ПСТ).На рис. 7 справа дано расположение элементов симметрии группы ,слева - изображение ПСТ общего положения этой группы. Точки общего положения- это такие точки, к-рые не расположены на элементе точечной симметриипространственной группы. Число (кратность) таких точек равно порядку группы. у= 1/4 и 3/4. Если же точка попадает на плоскостьт, то она этой плоскостью не удваивается, как в случае точек общего положения, Для каждой пространственной группы имеются свои совокупности ПСТ. Правильнаясистема точек общего положения для каждой группы одна. Но нек-рые из ПСТчастного положения могут оказаться одинаковыми для различных групп. В Интернациональныхтаблицах указаны кратность ПСТ, их симметрия и координаты и все др. характеристикикаждой пространственной группы. Важность понятия ПСТ состоит в том, чтов любой кристаллич. структуре, принадлежащей данной пространственной группе,

Подгруппы групп симметрии кристаллов. Если часть операции к.-л. сама образует группу G r (g 1 ,...,g m),, то последняя наз. подгруппой первой. Напр., подгруппами точечной группы32 (рис. 1, а) являются группа 3 и группа 2. Также и средипространств. групп существует иерархия подгрупп. Пространственные группымогут иметь в качестве подгрупп точечные группы (таких пространственныхгрупп 217) и подгруппы, к-рые являются пространственными группами болеенизкого порядка. Соответственно существует иерархия подгрупп.

Большинство пространственных групп симметрии кристаллов различны междусобой и как абстрактные группы; число абстрактных групп изоморфных 230пространственным группам равно 219. Абстрактно равными оказываются 11 зеркально-равных(энантиоморфных) пространственных групп - одна лишь с правыми, другие слевыми винтовыми осями. Таковы, напр., P 3 1 21 и P 3 2 21.Обе эти пространственные группы гомоморфно отображаются на точечную группу32, к к-рой принадлежит , но кварц соответственно бывает правый илевый: симметрия пространственной структуры в этом случае выражается макроскопически, Роль пространственных групп симметрии кристаллов. Пространственныегруппы симметрии кристаллов- основа теоретич. кристаллографии, дифракционныхи иных методов определения атомной структуры кристаллов и описания кристаллич. Дифракционная картина, получаемая методом рентгенографии, нейтронографии или электронографии, позволяет установить симметрийные и геом. обратной решётки кристалла, а следовательно и самойструктуры кристалла. Так определяют точечную группу кристалла и элементарнуюячейку; по характерным погасаниям (отсутствие определённых дифракционныхрефлексов) определяют тип решётки Браве и принадлежность к той или инойпространственной группе. Размещение атомов в элементарной ячейке находятпо совокупности интенсивностей дифракционных рефлексов.

Большую роль играют пространственные группы в кристаллохимии. Определеноболее 100 тыс. кристаллич. структур неорганич., органич. и биологич. соединений. Рсс2, P4 2 cm,P4nc 1 , Р6тп. Теория, объясняющая распространённость техпли иных пространственных групп, учитывает размеры составляющих структуруатомов, понятия плотной упаковки атомов или молекул, роль «упаковочных»элементов симметрии - плоскостей скольжения и винтовых осей.

В физике твёрдого тела используется теория представлений групп с помощьюматриц и спец. ф-ций, для пространственных групп эти ф-ции периодичны. структурных фазовых переходов2-го рода пространственнаягруппа симметрии менее симметричной (низкотемпературной) фазы являетсяподгруппой пространственной группы более симметричной фазы и фазовый переходсвязан с одним из неприводимых представлений пространственной группы высокосимметричнойфазы. Теория представлений позволяет также решать задачи динамики кристаллическойрешётки, её электронной и магн. структур, ряда физ. свойств. В теоретич. Симметрия проекций, слоев и цепей. Проекции кристаллич. структурна плоскость описываются плоскими группами ,их число - 17. Для описания трёхмерных объектов, периодических в 1 или2 направлениях, в частности фрагментов структуры кристаллов, могут бытьиспользованы группы - двумерно периодические и - одномерно периодические. Эти группы играют важную роль в изучении биологич. описываютстроение биологич. мембран, группы -цепных молекул (рис. 8, а), палочкообразных вирусов, трубчатых кристалловглобулярных белков (рис. 8, б), в к-рых уложены согласноспиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах (см. Биологический кристалл).

Рис. 8. Объекты со спиральной симметрией: а - молекула ДНК; б - трубчатыйкристалл белка фосфорилазы (электронно-микроскопический снимок, увеличение220 000).

Структура квазикристаллов. Квазикристалля (напр., А1 86 Мn 14)имеют икосаэдрич. точечную симметрию (рис. 5), к-рая невозможна в кристаллнч. Обобщённая симметрия. В основе определения симметрии лежит понятиеравенства (1,б) при преобразовании (1,а). Однако физически (и математически)объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Напр.,распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можноописать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределениев нём магн. моментов (рис. 9), то «обычной», классич. симметрии уже недостаточно.

Рис. 9. Распределение магнитных моментов (стрелки) в элементарнойячейке ферримагнитного кристалла, описываемое с помощью обобщённой симметрии.

В антисимметрии в дополнение к трём пространственным переменным х 1 ,х 2 , х 3 вводится добавочная, 4-я переменная . Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1,а) функция F может быть не только равна себе, как в (1,б), но и «антиравна»- изменит знак. Существует 58 групп точечной антисимметрии и 1651 пространственная группа антисимметрии (шубнпковскиегруппы).

Если добавочная переменная приобретает не два значения, а больше (возможны 3,4,6,8, ..., 48), то возникает т. н. цветная симметрия Белова.

Так, известна 81 точечная группа и 2942 группы . Осн. приложения обобщённой симметрии в кристаллографии - описание магн. Найдены и др. группы антисимметрии (кратной и др.). Теоретически выведеныи все точечные и пространственные группы четырёхмерного пространства иболее высоких измерений. На основе рассмотрения симметрии (3 + К)-мерногопространства можно также описывать несоразмерные в трёх направлениях модулиров. Несоразмерная структура).

Др. обобщение симметрии - симметрия подобия, когда равенство частейфигуры заменяется их подобием (рис. 10), криволинейная симметрия, статистич. твёрдых растворов, жидких кристаллов и др.

Рис. 10. Фигура, обладающая симметрией подобия. Большой Энциклопедический словарь

Закономерность атомного строения, внешней формы и физических свойств кристаллов, заключающаяся в том, что кристалл может быть совмещён с самим собой путём поворотов, отражений, параллельных переносов (трансляций) и других преобразований симметрии … Энциклопедический словарь

Свойство кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов либо части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного… …

Закономерность атомного строения, внеш. формы и физ. свойств кристаллов, заключающаяся в том, что кристалл может быть совмещён с самим собой путём поворотов, отражений, параллельных переносов (трансляций) и др. преобразований симметрии, а также… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Симметрия кристаллов - свойство кристаллов совмещаться с собой поворотом, отражением, параллельным переносом или комбинацией этих операций. Симметрия внешней формы (огранки) определяется симметрией его атомного строения, которая обусловливает также и … Энциклопедический словарь по металлургии

Симметрия (от греч. symmetria ‒ соразмерность) в математике, 1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой а на плоскости), ‒ преобразование пространства (плоскости), при… … Большая советская энциклопедия

Хар ка молекулы, определяемая совокупностью возможных операций точечной симметрии для её равновесной конфигурации. Четыре операции точечной симметрии (вращение вокруг оси на нек рый угол, меньший или равный 360°; отражение от плоскости; инверсия… … Физическая энциклопедия

I Симметрия (от греч. symmetria соразмерность) в математике, 1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости α в пространстве (относительно прямой а на плоскости), преобразование пространства… … Большая советская энциклопедия

- (от греч. соразмерность), понятие, характеризующее переход объектов в самих себя или друг в друга при осуществлении над ними оп редел. преобразований (преобразований С.); в широком смысле свойство неизменности (инвариантности) некоторых… … Философская энциклопедия

- (от греч. symmetria соразмерность) законов физики. Если законы, устанавливающие соотношение между величинами, характеризующими физ. систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях… … Физическая энциклопедия, Е.С. Федоров. В издание вошли классические работы Евграфа Степановича Фёдорова по кристаллографии. Крупнейшее достижение Е. С. Фёдорова - строгий вывод всех возможных пространственных групп (1891 год). Тем…

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИСНТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

"УТВЕРЖДАЮ"

Зав. кафедрой КФН

Горбацевич А.А.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

по курсу «ФТТ и ПП»

Описание составила:

Анфалова Е.С

МОСКВА, 2002

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ

Цель работы: определение структуры кристалла и постоянной решетки с помощью метода Дебая-Шерера.

1. Структура и симметрия кристаллов.

Кристаллы - это твердые тела, характеризующиеся периодическим расположением атомов в пространстве. Периодичность кристаллов означает существование в них дальнего порядка и отличает кристаллы от аморфных тел, в которых имеется только ближний порядок.

Периодичность - один из типов симметрии кристалла. Симметрия означает возможность преобразования объекта, совмещающего его с собой. Кристаллы также могут обладать симметрией по отношению к вращениям вокруг выделенных (периодически расположенных в пространстве) осей вращения и отражениям в плоскостях отражения. Пространственное преобразование, оставляющее кристалл инвариантным, то есть переводящее кристалл в себя, называется операцией симметрии. Вращения вокруг оси, отражения в плоскости, а также инверсия относительно центра инверсии - точечные преобразования симметрии, поскольку они оставляют на месте хотя бы одну точку кристалла. Смещение (или трансляция) кристалла на период решетки - то же преобразование симметрии, но оно уже не относится к точечным преобразованиям. Точечные преобразования симметрии иначе еще называют собственными преобразованиями. Имеются также несобственные преобразования симметрии, представляющие собой комбинацию вращения или отражения и трансляцию на расстояние, кратное периоду решетки.

Кристаллы различного химического состава с точки зрения симметрии могут быть эквивалентными, то есть могут обладать одним и тем же набором операций симметрии. Это обстоятельство определяет возможность классификации кристаллов по типу их симметрии. Различным кристаллам можно поставить в соответствие одну и ту же решетку, обладающую заданной симметрией. Классификация кристаллов строится на основе решеток Бравэ. Решетку Бравэ можно определить как множество точек, координаты которых задаются концами радиус вектора r .

где a 1 , a 2 , a 3 - произвольная тройка некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) векторов, n 1 , n 2 , n 3 - произвольные целые числа. Векторы a 1 , a 2 , a 3 называются векторами элементарных трансляций. Решетка переходит в себя при трансляции на любой вектор, удовлетворяющий соотношению (1). Необходимо отметить, что для данной решетки Бравэ выбор векторов элементарных трансляций неоднозначен. Из определения решетки Бравэ следует, что вектор элементарной трансляции а 1 представляет собой наименьший период решетки в заданном направлении. В качестве элементарных трансляций могут быть выбраны любые три некомпланарных минимальных периода решетки.

В каждой решетке Бравэ можно выделить минимальный объем пространства, который при всех трансляциях вида (1) заполняет все пространство, не перекрываясь с собой и не оставляя промежутков. Такой объем называется примитивной ячейкой. Если же мы выберем объем, заполняющий все пространство в результате не всех, а какого-то подмножества трансляций, то такой объем будет уже просто элементарной ячейкой. Таким образом, примитивная ячейка есть элементарная ячейка минимального объема. Из определения примитивной ячейки следует, что на нее приходится ровно один узел решетки Бравэ. Это обстоятельство может быть полезно для проверки того, представляет ли собой выбранный объем примитивную ячейку или нет.

Выбор примитивной ячейки, как и выбор векторов элементарных трансляций, неоднозначен. Простейшим примером примитивной ячейки может служить параллелепипед, простроенный на векторах элементарных трансляций.

Важную роль в физике твердого тела играет примитивная ячейка Вигнера-Зейтца, которую определяют, как часть пространства, расположенную к данной точке решетки Бравэ ближе, чем к другим точкам решетки. Для построения ячейки Вигнера-Зейтца следует провести плоскости, перпендикулярные отрезкам прямых, соединяющих точку решетки, выбранную в качестве центра, с другими точками. Плоскости должны проходить через середины этих отрезков. Многогранник, ограниченный построенными плоскостями, и будет ячейкой Вигнера-Зейтца. Существенно, что ячейка Вигнера-Зейтца обладает всеми элементами симметрии решетки Бравэ.

Кристалл (кристаллическую структуру) можно описать, если поставить ему в соответствие определенную решетку Бравэ и указать расположение атомов в элементарной ячейке. Совокупность этих атомов называется базисом. Базис может состоять из одного или нескольких атомов. Так, в кремнии в состав базиса входит два атома Si, в кристалле GaAs - базис также двухатомный и представлен одним атомов Ga и одним атомов As. В сложных органических соединениях базис может включать в себя несколько тысяч атомов. Взаимосвязь между понятиями решетка, базис, структура можно определить так:

решетка + базис = кристаллическая структура.

Требование периодичности трансляционной инвариантности накладывает существенные ограничения на возможные в кристалле точечные операции симметрии. Так, в идеально периодичном кристалле могут существовать оси симметрии только 2, 3, 4 и 6 порядков и запрещено существование оси 5 порядка.

Бравэ показал, что из плоскостей отражения, четырех типов осей вращения, инверсии и трансляций можно образовать 14 различных комбинаций. Этим 14 комбинациям соответствует 14 типов решеток. С математической точки зрения каждая такая комбинация представляет собой группу (группу симметрии). При этом, поскольку в группе присутствуют в качестве элементов симметрии трансляции, группа называется пространственной группой симметрии. Если трансляцию убрать, то оставшиеся элементы образуют точечную группу. Всего точечных групп симметрии решеток Бравэ 7. Решетки, относящиеся в данной точечной группе, образуют сингонию или систему. К кубической сингонии относятся простая кубическая (ПК), объемноцентрированная кубическая (ОЦК) и гранецентрированная кубическая решетки (ГЦК); к тетрагональной - простая тетрагональная и центрированная тетрагональная; к ромбической - простая, базоцентрированная, объемноцентрированная и гранецентрированная ромбические решетки; к моноклинной - простая и базоцентрированная моноклинные решетки. Оставшиеся три сингонии содержат по одному типу одноименных с ними решеток - триклинную, тригональную и гексагональную.

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №24»

город Подольск

Московская область

Доклад

« Симметрия кристаллов »

Выполнила:

Орлова

Ольга Романовна,

ученица 10 класса «Г»

Научный руководитель:

Елющев Олег Владимирович,

учитель

математики

2012 год.

План.

I Вступление. Понятие симметрии.

II Основная часть.

1)равные части и фигуры в геометрии и в кристаллографии;

2)кристаллы и их строение;

3)элементарные ячейки к кристалле;

4)симметрия и анизотропия кристаллических многогранников;

5)симметрия и ее элементы;

6)группы или виды симметрии;

7)сингонии кристаллов;

9)симметрия реальных кристаллов;

III Вывод. Симметрия как кристаллофизический метод исследования.

Симметрия кристаллов.

Греческое слово "симметрия" в переводе на русский язык означает "соразмерность". В целом же, симметрию можно определить как способность к закономерному повторению фигурой своих частей. Представление о симметрии широко распространено в повседневной жизни. Симметричными называются, например, венчики цветов, крылья бабочки, снежные звездочки. Человечество издавна пользовалось понятием о симметрии, применяя его в самых разнообразных областях своей деятельности. Однако математическая разработка учения о симметрии была осуществлена лишь во второй половине XIX века.

Симметричная фигура должна состоять из закономерно повторяющихся равных частей. Поэтому в основе представления о симметричных фигурах лежит понятие о равных частях.

"Две фигуры называются взаимно равными, если для каждой точки одной фигуры имеется соответственная точка другой фигуры, причем расстояние между двумя любыми точками одной фигуры равно расстоянию между двумя соответственными точками другой".

Понятие равенства фигур, согласно данному определению, значительно шире соответственного понятия, принятого в элементарной геометрии. В элементарной геометрии равными называются обычно такие фигуры, которые при наложении одна на другую совпадают всеми своими точками. В кристаллографии равными считаются не только такие совместимо - равные фигуры, но также фигуры, относящиеся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение.

До сих пор говорилось о геометрических фигурах. Переходя к кристаллам, надо помнить, что они представляют собой реальные тела и что равные их части должны быть не только геометрически равными, но и физически одинаковыми.

Вообще же кристаллами обычно называются твердые тела, образующиеся в природных или лабораторных условиях в виде многогранников.

Поверхность таких многогранников ограничена более или менее совершенными плоскостями - гранями, пересекающимися по прямым линиям - ребрам. Точки пересечения ребер образуют вершины.

Геометрически правильная форма кристаллов обуславливается, прежде всего, их строго закономерным внутренним строением.

Во всех кристаллических структурах можно выделить множество одинаковых атомов, расположенных наподобие узлов пространственной решетки. Чтобы представить себе такую решетку, необходимо мысленно заполнить пространство без остатка множеством равных параллелепипедов, параллельно ориентированных и смежных по целым граням. Простейший пример подобных параллелепипедальных систем представляет собой совокупность кубиков или кирпичиков, вплотную приложенных друг к другу. Если в таких воображаемых параллелепипедах выделить соответственные точки, например, их центры или любые другие точки, то можно получить так называемую пространственную решетку. Выделенные соответственные точки называются узлами. В реальных структурах кристаллов места узлов пространственных решеток могут заниматься отдельными атомами, ионами или группами атомов.

Решетчатое строение характерно для всех кристаллов без исключения.

Таким образов, наиболее полное определение кристалла будет звучать так: кристаллами называются все твердые тела, в которых частицы (атомы, ионы, молекулы) расположены закономерно в виде узлов пространственных решеток.

Твердые тела, в которых частицы располагаются беспорядочно, называются аморфными. Примерами аморфных образований служат стекла, пластмассы, смолы, клей. Аморфное вещество не является устойчивым и обнаруживает с течением времени тенденцию к кристаллизации. Так стекло "закристаллизовывается", образуя агрегаты мелких кристаллов.

Примерами кристаллов могут служить кубики поваренной соли, заостренные на концах шестигранные призмы горного хрусталя, восьмигранники алмаза, двенадцатигранники граната.

В современном описании минерала обязательно указываются параметры его элементарной ячейки - наименьшей группы атомов, параллельным перемещением которой можно построить всю структуру данного вещества. Несмотря на то что количество атомов в элементарной ячейке и их тип у каждого минерала различны, в природных кристаллах существует всего семь типов элементарных ячеек, которые, повторяясь миллионы раз в трехмерном пространстве, образуют различные кристаллы. Каждый тип ячейки соответствует определенной сингонии, что позволяет разделить все кристаллы на семь групп.

Облик кристаллов во многом зависит от формы элементарных ячеек и их расположения в пространстве. Из кубических элементарных ячеек можно получить большие кубические кристаллы. В то же время ступенчатое расположение "кубиков" позволяет создавать более сложные формы.

Элементарные ячейки всегда выстраиваются таким образом, что грани растущего кристалла и образуемые ими углы располагаются не случайно, а в правильном порядке. Каждый тип грани имеет определенное положение относительно оси, плоскости или центра симметрии, которыми обладает тот или иной минерал. Кристаллография основана на законах симметрии, в соответствии с которыми проводится классификация кристаллов по определенным сингониям.

В природе, в научных и заводских лабораториях кристаллы растут в виде красивых, правильных многогранников с плоскими гранями и прямыми ребрами. Симметрия и правильность внешней формы природных кристаллических многогранников - отличительная особенность кристаллов, но не обязательная. В заводских и лабораторных условиях часто выращивают кристаллы не многогранные, но их свойства от этого не изменяются. Из природных и искусственно выращенных кристаллов вырезают пластинки, призмы, стержни, линзы, в которых уже нет следов внешней многогранной формы кристалла, но сохраняется удивительная симметрия структуры и свойств кристаллического вещества.

Опыт показывает, что если поместить обломок или пластинку из кристалла в раствор или расплав того же вещества и дать им возможность свободно расти, то опять вырастет кристалл в форме правильного, симметричного многоугольника. Это происходит из-за того, что скорость роста кристаллов в разных направлениях различна. Это лишь один пример анизотропии физических свойств кристалла.

Анизотропия и симметрия - характерные особенности кристаллов, обусловленные закономерностью и симметрией их внутреннего строения. В кристаллическом многограннике и в вырезанной из него пластинке одинаково закономерное, симметричное, периодическое расположение частиц. Частицы, из которых сложены кристаллы, образуют правильные, симметричные ряды, сетки, решетки.

Камни, металлы, химические продукты - органические и неорганические, в том числе такие сложные, как волокна хлопка и искусственного шелка, кости человека и животных, и, наконец, такие сложно организованные объекты, как вирусы, гемоглобин, инсулин, ДНК и многие другие, имеют закономерное внутреннее строение. Каждому кристаллическому веществу присущи определенный порядок, характерный "узор" и симметрия в расположении частиц, установившиеся расстояния между частицами, причем все эти закономерности можно определить качественно и количественно.

Все сказанное относится к идеально развитым кристаллам. Но в природе редко встречаются совершенные геометрические формы. Чаще всего кристаллы деформируются в результате неравномерного развития граней или имеют прерывистые, изогнутые линии, сохраняя при этом углы между различными гранями. Кристаллы могут расти в виде геометрически упорядоченных агрегатов или в полном беспорядке. Нередко минералы демонстрируют сочетание различных кристаллографических форм. Иногда росту кристалла мешают определенные препятствия, из-за чего внутренняя кристаллическая структура не находит идеального отражения во внешней форме, и минерал образовывает незакономерные сростки ил плотные массы. Вместе с тем, согласно закону постоянства гранных углов, в кристаллах определенного вещества и величина граней, и форма их могут изменяться, но углы между соответственными гранями остаются постоянными. Поэтому при изучении симметрии и вообще геометрии реальных кристаллов необходимо основываться на углах между гранями.

Знакомясь с данным разделом кристаллографии, не обойтись без использования геометрически правильных многогранников, представляющих идеализированные модели тех или иных кристаллов.

Учение о симметрии кристаллов основывается на геометрии. Однако своим развитием этот раздел науки обязан главным образов ученым, работавшим в области кристаллографии. Наиболее блестящие достижения связаны с именами кристаллографов, среди которых выделяются фамилии двух русских академиков - А.В.Гадолина и Е.С.Федорова.

Теперь необходимо рассказать о самой симметрии и ее элементах. В определении симметрии упоминалось о закономерном повторении равных частей фигур. Для уточнения понятия об указанной закономерности пользуются воображаемыми вспомогательными образами (точками, прямыми, плоскостями), относительно которых правильно повторяются равные части фигур. Такие образы носят название элементов симметрии.

Примерами упомянутых элементов являются: центр инверсии, оси и плоскости симметрии.

Чтобы охарактеризовать ту или иную ось, необходимо выяснить величину наименьшего угла поворота, приводящего фигуру в совмещение. Такой угол носит название элементарного угла поворота оси.

Элементарный угол поворота любой оси симметрии содержится целое число раз в 360°:

где n - целое число, называющееся порядком (наименованием) оси.

Порядок оси симметрии отвечает числу, показывающему, сколько раз элементарный угол поворота содержится в 360°. Одновременно порядок оси дает число совмещений фигуры самой с собой при полном повороте вокруг данной оси.

Каждой оси соответствует свой элементарный угол поворота:

при n =1 α=360°

n =2 α=180°

n =3 α=120°

n =4 α=90°

n =5 α=72°

n =6 α=60° и т.д.

В геометрии существует бесконечный ряд осей различных целых наименований. Однако симметрия кристаллов описывается конечным набором осей. Их число ограничивается фактом существования пространственной решетки. Решетка накладывает запрет на реализацию в кристаллах осей пятого порядка и осей выше шестого порядка.

Кроме того, существуют так называемые инверсионные оси.

Подобный элемент симметрии представляет как бы совокупность простой оси симметрии и центра инверсии, действующих не порознь, а совместно. Участвуя лишь в качестве составной части инверсионной оси, центр инверсии может не проявляться в виде самостоятельного элемента симметрии. На всех моделях, где приходится определять инверсионные оси, центра инверсии нет.

В кристаллографии совокупность элементов симметрии называют видом симметрии кристаллического многогранника.

Все группы (виды) симметрии кристаллов получил в 1820 г. немецкий профессор минералогии И.Гессель. Их оказалось 32. Однако его результаты не были замечены научной общественностью отчасти по причине неудачного изложения, отчасти потому, что статья Гесселя была опубликована в малодоступном издании.

Независимо от Гесселя вывод 32 групп (видов) симметрии кристаллов осуществил в 1867 году российский академик, профессор Артиллерийской академии, кристаллограф - любитель, генерал А.В.Гадолин. Его работа была сразу высоко оценена специалистами.

Группы симметрии кристаллов или, как их принято называть, виды симметрии, удобно разделить на системы, объединяющие группы со сходными элементами симметрии. Таких систем шесть - триклинная, моноклинная, ромбическая, тетрагональная, гексагональная и кубическая.

Кристаллографы, изучающие внешнюю форму кристаллов и их строение, часто выделяют из гексагональной системы тригональные кристаллы. Таким образом, все кристаллы при этом делятся на семь сингоний (от греческого "син" - вместе, "гония" - угол): триклинную, моноклинную, ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную и кубическую. В кристаллографии сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одним или несколькими сходными элементами симметрии при одинаковом числе единичных направлений. Существенно отметить, что пространственные решетки, относящиеся к кристаллам одной и той же сингонии, должны обладать элементарными ячейками с одинаковой симметрией.

Названия сингоний объясняются следующим образом: в кристаллах триклинной сингонии все три угла между ребрами параллелепипеда являются косыми [клино (греч.) - наклонять]. В кристаллах моноклинной сингонии между указанными ребрами имеется лишь один косой угол (два другие - прямые). Ромбическая сингония характеризуется тем, что относящиеся к ней простые формы нередко имеют форму ромбов.

Названия "тригональная", "тетрагональная", "гексагональная" сингонии указывают на типичную симметрию относящихся сюда кристаллов. Тригональная сингония часто называется ромбоэдрической, так как для большинства видов симметрии этой сингонии характерна простая форма, называемая ромбоэдром.

Кристаллам кубической сингонии свойственны пространственные решетки, элементарные параллелепипеды которых по форме представляют кубы.

Триклинная сингония. Сингония с самыми примитивными кристаллическими формами и очень простой симметрией. Характерной формой триклинной сингонии является косоугольная призма. Типичные представители: бирюза и родонит.

Моноклинная сингония. Характерны призмы с параллелограммом в основании. К моноклинной сингонии относятся кристаллы таких минералов, как алебастр, малахит, нефрит.

Ромбическая сингония. Характерными формами являются ромбическая призма, пирамида и бипирамида. Среди типичных минералов этой сингонии топаз, хризоберилл, оливин.

Тригональная сингония. Простыми формами являются тригональные призмы, пирамиды, бипирамиды, а также ромбоэдры и скаленоэдры. Примером минералов тригональной сингонии служат кальцит, кварц, турмалин.

Гексагональная сингония. Типичные формы: 6- или 12- гранные призмы, пирамиды и бипирамиды. В этой сингонии выделяются берилл, ванадинит (используется как руда ванадия).

Тетрагональная сингония. Простыми формами являются тетрагональные призмы, пирамиды и бипирамиды. В этой сингонии кристаллизуются циркон и рутил.

Кубическая сингония. Простые формы: куб, октаэдр, тетраэдр. В кубической сингонии кристаллизуются флюорит, алмаз, пирит.

Сингонии, в свою очередь, группируются в три категории: низшую, среднюю, высшую.

Кристаллы низшей категории характеризуются наличием нескольких единичных направлений (единственное, не повторяющееся в кристалле направление называется единичным) и отсутствием осей симметрии порядка выше 2. Сюда относятся три сингонии: триклинная, моноклинная и ромбическая.

Кристаллы средней категории обладают одним единичным направлением, совпадающим с единственной осью порядка выше 2. Сюда также принадлежат три сингонии: тригональная, тетрагональная и гексагональная.

В кристаллах высшей категории при отсутствии единичных направлений всегда имеется несколько осей порядка выше 2. Сюда относится одна кубическая сингония.

До сих пор рассматривались идеализированные модели кристаллических многогранников.

Значительно сложнее определять симметрию реальных кристаллов. Выше отмечалось неравномерное развитие симметричных граней кристаллов вследствие неодинакового притока к ним питающего раствора. В связи с этим куб реального кристалла нередко получает форму уплощенного или вытянутого параллелепипеда. Мало того, иногда наблюдается даже частичное отсутствие симметричных граней. Поэтому, исходя из внешних форм реальных кристаллов, легко ошибочно понизить их действительную симметрию.

На помощь здесь приходят точные измерения углов между гранями, по которым нетрудно восстановить истинную симметрию многогранника. Однако нередко происходят и обратные ошибки, когда кристаллам приписывается более высокая симметрия по сравнению с действительной.

Также интересно, что одни и те же вещества при разных условиях могут образовывать совершенно разные кристаллические структуры, а следовательно, и разные минералы. Ярким примером служит углерод: если у него гексагональная сингония, то образуется графит, если кубическая - алмаз.

Итак, симметрия, периодичность и закономерность структуры - основные характеристики кристаллического состояния вещества.

То, как кристалл устроен изнутри, неизбежно отражается на его внешнем облике и на его форме. Форма кристалла позволяет предполагать, в каком порядке соединились частицы в его структуре. И конечно, можно с большой уверенностью говорить, что в октаэдрическом кристалле флюорита, шестиугольной пластинке графита и пластинчатом кристалле барита частицы расположены по-разному. А вот в "кубиках" галита и галенита они размещаются очень похоже, хотя эти минералы имеют разный химический состав.

Все эти отличия и сходства помогает описать симметрия.

Однако симметрия не ограничивается выявлением закономерностей в расположении частиц в пространственных решетках и во внешней форме кристаллов. Кроме того, все физические свойства тесным образом связаны с симметрией. Она определяет, какими физическими свойствами может или не может обладать той или иной кристалл. Она диктует количество независимых величин, необходимых для полной характеристики данного физического свойства, и направления их измерений по отношению к элементам симметрии, т.е. определяет характер анизотропии физических свойств. Более того, оказалось возможным приписать симметрию математическим величинам - скалярам, векторам, описывающим физические свойства кристаллов. И, наконец, самим физическим явлениям в кристаллах можно приписать ту или иную симметрию, совпадающую с симметрией математических величин, которые описывают эти явления.

Список литературы

1. А.С.Сонин. "Курс макроскопической кристаллофизики", М., "Наука", 2006г.

2. М.П.Шаскольская. "Кристаллография", М., "Высшая школа", 1984 г.

3.Г.М.Попов, И.И.Шафрановский. "Кристаллография", М.,"Высшая школа",1972 г.

4. М.Аксенова, В.Володин. Энциклопедия для детей. Геология, М., "Аванта +", 2006 г.

5.А.Жаркова. "Минералы. Сокровища земли", М., "Де Агостини", 2009 г.

Пояснительная записка.

Темой моего реферата является симметрия кристаллов. Цель моего реферата - рассказ о симметрии кристаллов. Задачами моей работы являются изучение элементов симметрии, рассказ о значении симметрии в изучении свойств кристаллов, обобщение полученных данных. Предметом моего исследования являются кристаллы. Во время проведения исследования я пользовалась разнообразной литературой. Одним из главных источников была книга М.П.Шаскольской "Кристаллография", содержавшая много статей о строении кристаллов и самой симметрии. Также я пользовалась книгой Г.М.Попова, И.И.Шафрановского "Кристаллография", где нашла большое количество интересной информации. Для более подробного анализа и рассказа о симметрии кристаллов я использовала другую литературу, журналы и энциклопедии.

Тезисы.

В кристаллографии равными считаются не только такие совместимо - равные фигуры, но также фигуры, относящиеся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение.

Все кристаллы построены из материальных частиц, геометрически правильно расположенных в пространстве. Упорядоченное распределение атомов, ионов, молекул отличает кристаллическое состояние от некристаллического, где степень упорядоченности совершенно ничтожна.

Кристаллами называются все твердые тела, в которых частицы (атомы, ионы, молекулы) расположены закономерно в виде узлов пространственных решеток.

Анизотропия и симметрия - характерные особенности кристаллов, обусловленные закономерностью и симметрией их внутреннего строения.

Элементами симметрии называются вспомогательные геометрические образы (точки, прямые, плоскости), с помощью которых обнаруживается симметрия фигур.

Центром инверсии называется особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Подобная точка в геометрии называется центром симметрии.

Плоскостью симметрии называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально - равные части, расположенные относительно друг друга как предмет и его зеркальное отражение.

Осью симметрии называется прямая линия, вокруг которой несколько раз повторяются равные части фигуры.

Инверсионной осью называется такая прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол с последующим (или предварительным) отражением в центральной точке фигуры, как в центре инверсии, фигура совмещается сама с собой.

Все кристаллы при этом делятся на семь сингоний (от греческого "син" - вместе, "гония" - угол): триклинную, моноклинную, ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную и кубическую. В кристаллографии сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одним или несколькими сходными элементами симметрии при одинаковом числе единичных направлений.

Одни и те же вещества при разных условиях могут образовывать совершенно разные кристаллические структуры, а следовательно, и разные минералы. Ярким примером служит углерод: если у него гексагональная сингония, то образуется графит, если кубическая - алмаз.

Кроме того, все физические свойства тесным образом связаны с симметрией. Она определяет, какими физическими свойствами может или не может обладать той или иной кристалл. Она диктует количество независимых величин, необходимых для полной характеристики данного физического свойства, и направления их измерений по отношению к элементам симметрии, т.е. определяет характер анизотропии физических свойств.

Симметрия пронизывает всю кристаллофизику и выступает как специфический метод исследования физических свойств кристаллов.

Поэтому основным методом кристаллографии является установление симметрии явлений, свойств, структуры и внешней формы кристаллов.

Приложение.

А. И. Сёмке ,
, МОУ СОШ № 11, Ейское УО, г. Ейск, Краснодарский кр.

Симметрия кристаллов

Цели урока: Образовательная – знакомство с симметрией кристаллов; закрепление знаний и умений по теме «Свойства кристаллов» Воспитательная – воспитание мировоззренческих понятий (причинно-следственные связи в окружающем мире, познаваемость окружающего мира и человечества); нравственное воспитание (воспитание любви к природе, чувства товарищеской взаимовыручки, этики групповой работы) Развивающая – развитие самостоятельности мышления, грамотной устной речи, навыков исследовательской, экспериментальной, поисковой и практической работы.

Симметрия… является той идеей, посредством
которой человек на протяжении веков пытался
постичь порядок, красоту и совершенство.
Герман Вейль

Физический словарик

Кристалл – от греч. κρύσταλλος – буквально лёд, горный хрусталь.
Симметрия кристаллов – закономерность атомного строения, внешней формы и физических свойств кристаллов, заключающаяся в том, что кристалл может быть совмещён с самим собой путём поворотов, отражений, параллельных переносов (трансляций) и других преобразований симметрии, а также комбинаций этих преобразований.

Вводный этап

Симметрия кристаллов – наиболее общая закономерность, связанная со строением и свойствами кристаллического вещества. Она является одним из обобщающих фундаментальных понятий физики и естествознания в целом . Согласно определению симметрии, данному Е.С. Фёдоровым, «симметрия есть свойство геометрических фигур повторять свои части, или, выражаясь точнее, свойство их в различных положениях приходить в совмещение с первоначальным положением». Таким образом, симметричным является такой объект, который может быть совмещён сам с собой определёнными преобразованиями: поворотами вокруг осей симметрии или отражениями в плоскостях симметрии. Такие преобразования принято называть симметрическими операциями . После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в другом месте, что означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые и зеркальные). Внутренняя атомная структура кристаллов – трёхмерно-периодическая, т. е. она описывается как кристаллическая решётка. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его внутреннего атомного строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла.

Исследовательская работа 1. Описание кристаллов

Кристаллическая решётка может обладать различными видами симметрии. Под симметрией кристаллической решётки понимаются свойства решётки совпадать с самой собой при некоторых пространственных перемещениях. Если решётка совпадает сама с собой при повороте некоторой оси на угол 2π/n , то эта ось называется осью симметрии n -го порядка.

Кроме тривиальной оси 1-го порядка, возможны только оси 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков.

Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются пространственные группы симметрии, описывающие структуру кристаллов на атомарном уровне, и точечные группы симметрии, описывающие их внешнюю форму. Последние называются также кристаллографическими классами . В обозначения точечных групп входят символы основных присущих им элементов симметрии. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки кристалла в семь кристаллографических сингоний – триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность кристалла к той или иной группе симметрии и сингонии определяется измерениями углов или методом рентгеноструктурного анализа.

В порядке возрастающей симметрии кристаллографические системы располагаются следующим образом (обозначения осей и углов понятны из рисунка):

Триклинная система. Характерное свойство: a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ. Элементарная ячейка имеет форму косоугольного параллелепипеда.

Моноклинная система. Характерное свойство: два угла прямые, третий отличен от прямого. Следовательно, a ≠ b ≠ c ; β = γ = 90°, α ≠ 90°. Элементарная ячейка имеет форму параллелепипеда с прямоугольником в основании.

Ромбическая система. Все углы прямые, все рёбра разные: a ≠ b ≠ c ; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда.

Тетрагональная система. Все углы прямые, два ребра одинаковые: a = b ≠ c ; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму прямой призмы с квадратным основанием.

Ромбоэдрическая (тригональная) система. Все рёбра одинаковые, все углы одинаковые и отличны от прямого: a = b = c ; α = β = γ ≠ 90°. Элементарная ячейка имеет форму куба, деформированного сжатием или растяжением вдоль диагонали.

Гексагональная система. Рёбра и углы между ними удовлетворяют условиям: a = b ≠ c ; α = β = 90°; γ = 120°. Если составить вместе три элементарные ячейки, то получается правильная шестигранная призма. гексагональную упаковку имеют более 30 элементов (С в аллотропной модификации графита, Be, Cd, Ti и др.).

Кубическая система. Все рёбра одинаковые, все углы прямые: a = b = c ; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму куба. В кубической системе различают три вида так называемых решёток Бравэ : примитивную (а ), объёмно-центрированную (б ) и гранецентрированную (в ).

Примером кубической системы являются кристаллы поваренной соли (NaCl, г ). Более крупные ионы хлора (светлые шарики) образуют плотную кубическую упаковку, в свободных узлах которой (в вершинах правильного октаэдра) расположены ионы натрия (чёрные шарики).

Ещё один пример кубической системы – решётка алмаза (д ). Она представляет собой две кубические гранецентрированные решётки Бравэ, сдвинутые на четверть длины пространственной диагонали куба. Такой решёткой обладают, например, химические элементы кремний, германий, а также аллотропная модификация олова – серое олово.

Экспериментальная работа «Наблюдение кристаллических тел»

Оборудование: лупа или короткофокусная линза в оправе, набор кристаллических тел.

Порядок выполнения

С помощью лупы рассмотрите кристаллики поваренной соли. Обратите внимание на то, что все они имеют форму кубиков. Одиночный кристалл называют монокристаллом (имеет макроскопически упорядоченную кристаллическую решётку). Основным свойством кристаллических тел является зависимость физических свойств кристалла от направления – анизотропия.
Рассмотрите кристаллики медного купороса, обратите внимание на наличие плоских граней у отдельных кристалликов, углы между гранями не равны 90°.
Рассмотрите кристаллики слюды в виде тонких пластинок. Торец одной из пластин слюды расщеплён на множество тонких листочков. Пластинку слюды трудно разорвать, но легко расщепить на более тонкие листочки по плоскостям (анизотропия прочности ).
Рассмотрите поликристаллические тела (излом куска железа, чугуна или цинка). Обратите внимание: на изломе можно различить мелкие кристаллики, из которых и состоит кусок металла. Большинство встречающихся в природе и получаемых в технике твёрдых тел представляют собой совокупность сросшихся друг с другом хаотически ориентированных маленьких кристалликов. В отличие от монокристаллов поликристаллы изотропны, т. е. их свойства одинаковы по всем направлениям.

Исследовательская работа 2. Симметрия кристаллов (кристаллические решётки)

Кристаллы могут иметь форму различных призм, основанием которых служат правильный треугольник, квадрат, параллелограмм и шестиугольник. В основе классификации кристаллов и объяснения их физических свойств может лежать не только форма элементарной ячейки, но и другие виды симметрии, например, поворот вокруг оси. Осью симметрии называют прямую, при повороте вокруг которой на 360° кристалл (его решётка) несколько раз совмещается сам с собой. Число этих совмещений называют порядком оси симметрии . Существуют кристаллические решётки, обладающие осями симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка. Возможна симметрия кристаллической решётки относительно плоскости симметрии, а также комбинации разных видов симметрии.

Русский учёный Е.С. Фёдоров установил, что 230 различных пространственных групп охватывают все возможные кристаллические структуры, встречающиеся в природе. Евграф Степанович Фёдоров (22 декабря 1853 г. – 21 мая 1919 г.) – русский кристаллограф, минералог, математик. Крупнейшее достижение Е.С. Фёдорова – строгий вывод всех возможных пространственных групп в 1890 г. Тем самым Фёдоров описал симметрии всего разнообразия кристаллических структур. В то же время он фактически решил известную с древности задачу о возможных симметричных фигурах. Кроме того, Евграф Степанович создал универсальный прибор для кристаллографических измерений – столик Фёдорова .

Экспериментальная работа «Демонстрация кристаллических решёток»

Оборудование: модели кристаллических решёток хлористого натрия, графита, алмаза.

Порядок выполнения

Соберите модель кристалла хлористого натрия (приводится рисунок ). Обращаем внимание на то, что шарики одного цвета имитируют ионы натрия, а другого – ионы хлора. Каждый ион в кристалле совершает тепловое колебательное движение около узла кристаллической решётки. Если соединить эти узлы прямыми линиями, то образуется кристаллическая решётка. Каждый ион натрия окружён шестью ионами хлора, и наоборот, каждый ион хлора – шестью ионами натрия.
Выберите направление вдоль одного из рёбер решётки. Обратите внимание: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
Выберите направление вдоль второго ребра: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
Выберите направление вдоль третьего ребра: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
Проведите мысленно прямую линию по диагонали куба, – на ней окажутся только белые или только чёрные шарики, т. е. ионы одного элемента. Это наблюдение может служить основанием для объяснения явления анизотропии, свойственном кристаллическим телам.
Размеры ионов в решётке неодинаковы: радиус иона натрия приблизительно в 2 раза больше радиуса иона хлора. В результате этого в кристалле поваренной соли ионы расположены так, что положение решётки устойчивое, т. е. имеется минимум потенциальной энергии.
Соберите модель кристаллической решётки алмаза и графита. Различие в упаковке атомов углерода в решётках графита и алмаза определяет существенные различия их физических свойств. Такие вещества называют аллотропными.
Сделайте вывод по результатам наблюдения и зарисуйте схематично виды кристаллов.

1. Альмандин. 2. Исландский шпат. 3. Апатит. 4. Лёд. 5. Поваренная соль. 6. Ставролит (двойник). 7. Кальцит (двойник). 8. Золото.

Исследовательская работа 3. Получение кристаллов

Кристаллы ряда элементов и многих химических веществ обладают замечательными механическими, электрическими, магнитными, оптическими свойствами. Развитие науки и техники привело к тому, что многие редко встречающиеся в природе кристаллы стали очень нужны для изготовления деталей приборов, машин, для выполнения научных исследований. Возникла задача разработки технологии изготовления монокристаллов многих элементов и химических соединений. Как известно, алмаз – это кристалл углерода, рубин и сапфир – кристаллы оксида алюминия с различными примесями.

Наиболее распространёнными способами выращивания монокристаллов является кристаллизация из расплава и кристаллизация из раствора. Кристаллы из раствора выращивают при медленном испарении растворителя из насыщенного раствора или при медленном понижении температуры раствора.

Экспериментальная работа «Выращивание кристаллов»

Оборудование: насыщенные растворы поваренной соли, двухромокислого аммония, гидрохинона, хлористый аммоний, предметное стекло, стеклянная палочка, лупа или линза в оправе.

Порядок выполнения

Возьмите стеклянной палочкой небольшую каплю насыщенного раствора поваренной соли и перенесите на предметное предварительно нагретое стекло (растворы готовятся заранее и хранятся в небольших колбочках или пробирках, закрытых пробками ).
Вода с тёплого стекла сравнительно быстро испаряется, и из раствора начинают выпадать кристаллы. Возьмите лупу и наблюдайте за процессом кристаллизации.
Наиболее эффективно проходит опыт с двухромокислым аммонием. На краях, а затем по всей поверхности капли появляются золотисто-оранжевые ветви с тонкими иглами, образующие причудливый рисунок.
Хорошо можно видеть неодинаковые скорости роста кристаллов в различных направлениях – анизотропию роста – у гидрохинона.
Сделайте вывод по результатам наблюдения и зарисуйте схематично виды полученных кристаллов.

Исследовательская работа 4. Применение кристаллов

Кристаллы обладают замечательным свойством анизотропии (механическими, электрическими, оптическими и т. д.). Современные производства невозможно представить без использования кристаллов.

Кристалл		Пример применения
	Разведка и добыча полезных ископаемых	Буровые инструменты
	Ювелирная промышленность	Украшения
	Контрольно-измерительные приборы	Морские хронометры – особо точные приборы
	Обрабатывающая промышленность	Алмазные подшипники
	Приборостроение	Опорные камни для часов
	Химическая промышленность	Фильеры для протяжки волокна
	Научные исследования	Рубиновый лазер
	Ювелирная промышленность	Украшения
Германий, кремний	Электронная промышленность	Полупроводниковые схемы и устройства
Флюорит, турмалин, исландский шпат	Опто-электронная промышленность	Оптические приборы
Кварц, слюда	Электронная промышленность	Электронные приборы (конденсаторы и т. д.)
Сапфир, аметист	Ювелирная промышленность	Украшения
	Обрабатывающая промышленность	Графитовая смазка
	Машиностроение	Графитовая смазка

Интересная информация

Кто и когда открыл жидкие кристаллы? Где используются ЖК?

В конце XIX в. германский физик О. Леман и австрийский ботаник Ф. Рейнитцер обратили внимание на то, что некоторые аморфные и жидкие вещества отличаются весьма упорядоченной параллельной укладкой удлинённых по форме молекул . Позже по степени структурной упорядоченности их назвали жидкими кристаллами (ЖК). Различают смектические кристаллы (с послойной укладкой молекул), нематические (с хаотически параллельно смещёнными удлинёнными молекулами) и холестерические (по структуре близкие к нематическим, но отличающиеся большей подвижностью молекул). Было замечено, что при внешнем воздействии, например, малого по величине электрического напряжения, при изменении температуры, напряжённости магнитного поля меняется оптическая прозрачность молекулы ЖК. Выяснилось, что происходит это за счёт переориентации осей молекул в направлении, перпендикулярном исходному состоянию.

Жидкие кристаллы: а ) смектические; б ) нематические; в ) холестерические.
URL: http://www.superscreen.ru

Принцип работы ЖК-индикатора:
слева – электрическое поле выключено, свет проходит через стёкла; справа – поле включено, свет не проходит, видны чёрные символы (URL тот же)

Очередная волна научного интереса к жидким кристаллам поднялась в послевоенные годы. В числе исследователей-кристаллографов веское слово сказал наш соотечественник И.Г. Чистяков. В конце 60-х гг. прошлого века американская корпорация RСA начала проводить первые серьёзные исследования по использованию нематических ЖК для визуального отображения информации. Однако опередила всех японская компания Sharp , которая в 1973 г. предложила жидкокристаллическую буквенно-цифровую мозаичную панель – ЖК-дисплей (LCD – Liquid Crystal Display ). Это были скромные по размерам монохромные индикаторы, где полисегментные электроды использовались в основном для нумерации чисел. Начавшаяся «индикаторная революция» привела практически к полной замене стрелочных механизмов (в электроизмерительных приборах, наручных и стационарных часах, бытовой и промышленной радиоаппаратуре) на средства визуального отображения информации в цифре – более точные, с безошибочным отсчётом.

Жидкокристаллические дисплеи разного типа. URL: http://www.permvelikaya.ru ; http://www.gio.gov.tw ; http://www.radiokot.ru

Благодаря успехам микроэлектроники карманные и настольные калькуляторы заменили арифмометры, счёты, логарифмические линейки. Лавинообразное снижение себестоимости интегральных микросхем привело даже к явлениям, явно противоречащим техническим тенденциям. Например, современные цифровые наручные часы заметно дешевле пружинно-стрелочных, которые, по инерции мышления, сохраняют популярность, перейдя в категорию «престижных».

От каких параметров зависит форма снежинок? Какая наука и для каких целей занимается изучением снега, льда, снежинок?

Первый альбом с зарисовками разных снежинок, сделанных с помощью микроскопа, появился ещё в начале ХIХ в. в Японии . Его создал учёный Дои Тишицура. Почти сто лет спустя другой японский учёный, Укисиро Накайя, создал классификацию снежинок. Его исследования доказали, что привычные нам ветвистые снежинки шестиконечной формы возникают только при определённой температуре: 14–17 °С. При этом влажность воздуха должна быть очень высокой. В остальных случаях снежинки могут приобретать самые различные формы.

Самая распространённая форма снежинок – дендриты (от греч. δέντρο – дерево ). Лучи этих кристаллов похожи на ветви деревьев.

Миром снега и льда занимается наука гляциология . Она возникла в ХVII в. после того, как швейцарский естествоиспытатель О. Соссюр опубликовал книгу об альпийских ледниках. Гляциология существует на стыке множества других наук, в первую очередь физики, геологии и гидрологии. Изучать лёд и снег нужно для того, чтобы знать, как предотвратить снежные лавины и гололёд. Ведь на борьбу с их последствиями во всём мире ежегодно тратятся миллионы долларов. Но если знать природу снега и льда, можно сэкономить немало денег и спасти множество человеческих жизней. А ещё лёд может рассказать об истории Земли. Например, в 70-е гг. гляциологи изучали ледяной покров Антарктиды, бурили скважины и исследовали особенности льда в разных слоях. Благодаря этому удалось узнать о множестве изменений климата, которые происходили на нашей планете на протяжении 400 000 лет.

Занимательные и нестандартные задачи (групповая работа)

На берегу Северного пролива, на северо-востоке острова Ирландия поднимаются невысокие горы Антрим. Они сложены черными базальтами – следами деятельности древних вулканов, высившихся вдоль гигантского разлома, отделившего 60 млн лет назад Ирландию от Великобритании. Потоки чёрных лав, излившихся из этих кратеров, образовали прибрежные горы на ирландском побережье и на Гебридских островах по ту сторону Северного пролива. Удивительная порода этот базальт! Жидкий, легко текучий в расплавленном виде (по склонам вулканов базальтовые потоки несутся порой со скоростью до 50 км/ч), он при остывании и затвердевании трескается, образуя правильные шестигранные призмы. Издали базальтовые обрывы напоминают огромные органы с сотнями чёрных труб. А когда поток лавы стекает в воду, возникают иной раз такие причудливые образования, что трудно не поверить в их волшебное происхождение. Именно такое природное явление можно наблюдать у подножья Антрима. От вулканического массива отделяется здесь своеобразная «дорога в никуда». Дамба возвышается над морем на 6 м и состоит примерно из 40 000 базальтовых колонн. Она похожа на недостроенный мост через пролив, задуманный каким-то сказочным великаном, и носит название «Мостовая Гигантов».

Задача. О каких свойствах кристаллических тел и жидкостей идёт речь? Какие отличия между кристаллическими твёрдыми телами и жидкостями вы знаете? (Ответ. Правильная геометрическая форма является существенным внешним признаком любого кристалла в природных условиях.)

Первый алмаз в Южной Африке нашёл в 1869 г. мальчик-пастух. Через год здесь был основан город Кимберли, по названию которого коренная алмазоносная порода стала называться кимберлитом. Содержание алмазов в кимберлитах очень низкое – не более 0,000 007 3%, что эквивалентно 0,2 г (1 карату) на каждые 3 т кимберлитов. Ныне одна из достопримечательностей Кимберли – огромный котлован глубиной 400 м, вырытый добытчиками алмазов.

Задача. Где применяются ценные свойства алмазов?

«Такая снеговинка (речь идёт о снежинке. – А. С. ), шестигранная, правильная звёздочка, упала Нержину на рукав старой фронтовой порыжевшей шинели».

А.И. Солженицын. В круге первом.

? Почему снежинки имеют правильную форму? (Ответ. Основное свойство кристаллов – симметрия.)

«Окно брякнуло с шумом; стёкла, звеня, вылетели вон, и страшная свиная рожа выставилась, поводя очами, как будто спрашивая: «А что вы тут делаете, добрые люди?»

Н.В. Гоголь.

? Почему стекло разбивается даже при небольшой нагрузке? (Ответ. Стекло относят к хрупким телам, у которых практически отсутствует пластическая деформация, так что упругая деформация непосредственно завершается разрушением.)

«Морозило сильнее, чем с утра; но зато так было тихо, что скрып мороза под сапогами слышался за полверсты».

Н.В. Гоголь. Вечера на хуторе близ Диканьки.

? Почему в мороз снег скрипит под ногами? (Ответ. Снежинки – кристаллики, под ногами они разрушаются, вследствие этого и появляется звук.)

Алмаз алмазом режется.

? Алмаз и графит состоят из одинаковых атомов углерода. Почему же отличаются свойства алмаза и графита? (Ответ. Эти вещества различаются кристаллическим строением. У алмаза прочные ковалентные связи, у графита – слоистая структура.)

? Какие вещества вы знаете, которые не уступают алмазу по прочности? (Ответ. Одним из таких веществ является нитрид бора. Очень прочной ковалентной связью связываются атомы бора и азота в кристаллической решётке нитрида бора. Нитрид бора по твёрдости не уступает алмазу, по прочности и термостойкости превосходит его.)

Туп конец, востёр резец: режет листки, летят куски. Что это? (Ответ. Алмаз.)

? Какое свойство отличает алмаз от других веществ? (Ответ. Твёрдость.)

Самые большие кристаллы были обнаружены в пещере Найка, в мексиканском штате Чиуауа. Некоторые из них в длину достигают 13 м, а в ширину 1 м.

А.Е. Ферсман в начале XX в. описал каменоломню на Южном Урале, заложенную в одном гигантском кристалле полевого шпата.

Заключение

В заключение урока хочу привести уникальный пример использования симметрии. Медоносные пчёлы должны уметь считать и экономить. Чтобы выделить особыми железами всего 60 г воска, им надо съесть 1 кг мёда из нектара и пыльцы, а на постройку средних размеров гнезда требуется около 7 кг сладкой пищи. Ячейки сотов в принципе могут быть квадратными, но пчёлы выбирают шестигранную форму: она обеспечивает самую плотную упаковку личинок, так что на постройку стенок уходит минимум драгоценного воска. Соты вертикальные, ячейки на них расположены с обеих сторон, т. е. дно у них общее – ещё экономия. Они направлены вверх под углом 13°, чтобы не вытекал мёд. В таких сотах помещается несколько килограммов меда. Вот настоящие чудеса природы.

Литература

Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Едиториал УРСС, 2003.
Вейль Г. Симметрия: пер с англ. М., 1968.
Гляциологический словарь / Под ред. В.М. Котлякова. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.
Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире. М.: Наука, 1978.
Меркулов Д. Магия жидких кристаллов // Наука и жизнь. 2004. № 12.
Фёдоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов. М., 1949.
Физика: энц. для детей. М.: Аванта+, 2000.
Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. Изд-е 2. М., 1972.

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ - свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинации этих операций. внеш. формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, к-рая обусловливает также и симметрию физ. свойств кристалла.

Рис. 1. а - кристалл кварца; 3 - ось симметрии 3-го порядка, - оси 2-го порядка; б - кристалл водного метасиликата натрия; m - плоскость симметрии .

На рис. 1а изображён кристалл кварца. Внеш. его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3 он может быть совмещён сам с собой (совместимое равенство). Кристалл метасиликата натрия (рис. 1, б )преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальное равенство). Если - функция, описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространстве или к--л. его свойство, а операция осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g является операцией, или преобразованием симметрии, а F - симметричным объектом, если выполняются условия:

В наиб. общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность) объектов и законов при нек-рых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы - объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классич. теория С. к.- теория симметричных преобразований в себя трёхмерного пространства с учётом того, что внутр. атомная структура кристаллов дискретная, трёхмерно-периодическая. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое. Такие преобразования паз. ортогональными или изометрическим и. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также и при описании энергетич. спектра электронов кристалла (см. Зонная теория ),при анализе процессов дифракции рентгеновских лучей, дифракции нейтронов и дифракции электронов в кристаллах с использованием обратного пространства (см. Обратная решётка )и т. п.

Группы симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, а неск. . Так, кристалл кварца (рис. 1, а )совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция gi) , но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g 2), & также при поворотах на 180° вокруг осей 2 Х, 2 у, 2 W (операции g 3 , g 4 , g 5 ). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно к-рой производится данная операция. Напр., ось 3 или оси 2 x , 2 у, 2 w являются осями симметрии, плоскость т (рис. 1,б) - плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии {g 1 , g 2 , ..., g n } данного кристалла образует группу симметрии в смысле матем. теории групп . Последоват. проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначают как произведение операций:. Всегда существует операция идентичности g 0 , ничего не изменяющая в кристалле, наз. отождествлением, она геометрически соответствует неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии преобразований пространства классифицируют: по числу п измерений пространства, в к-рых они определены; по числу т измерений пространства, в к-рых объект периодичен (их соответственно обозначают), и по нек-рым др. признакам. Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из к-рых важнейшими являются точечные группы симметрии, описывающие внеш. форму кристаллов; их наз. также кристаллографич. классами; пространственные группы симметрии, описывающие атомную структуру кристаллов.

Точечные группы симметрии . Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на угол, равный 360°/N (рис. 2, а); отражение в плоскости симметрии т (зеркальное отражение, рис. 2, б); инверсия (симметрия относительно точки, рис. 2, в); инверсионные повороты (комбинация поворота на угол 360°/N с одноврем. инверсией, рис. 2, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматриваются эквивалентные им зеркальные повороты Геометрически возможные сочетания операций точечной симметрии определяют ту или иную точечную группу симметрии, к-рая изображается обычно в стереографич. проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографич. проекции. Примеры кристаллов, относящихся к различным точечным группам, даны на рис. 3.

Рис. 2. Примеры операций симметрии: а - поворот; б - отражение; в - инверсия; г - инверсионный поворот 4-го порядка; д - винтовой поворот 4-го порядка; е - скользящее отражение .

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точечным группам (кристаллографическим классам): а - к классу m (одна плоскость симметрии); б - к классу (центр симметрии или центр инверсии); а - к классу 2 (одна ось симметрии 2-го порядка); г - к классу (одна инверсионно-поворотная ось 6-го порядка) .

Точечные преобразования симметрии описываются линейными ур-ниями

или матрицей коэффициентов

Напр., при повороте вокруг оси х 1 на угол- =360°/N матрица D имеет вид:

а при отражении в плоскости х 1 х 2 D имеет вид:

Число точечных групп бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллич. решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го; в кристаллич. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков). Операции точечной симметрии и соответствующие им элементы симметрии обозначаются символами: оси 1, 2, 3, 4, 6, инверсионные оси(центр симметрии или центр инверсии), (она же - плоскость симметрии т), (рис. 4).

Рис. 4. Графические обозначения элементов точечной симметрии: а - кружок - центр симметрии, оси симметрии, перпендикулярные плоскости чертежа; б - ось 2, параллельная плоскости чертежа; в - оси симметрии, параллельные или косо расположенные к плоскости чертежа; г - плоскость симметрии, перпендикулярная плоскости чертежа; д - плоскости симметрии, параллельные плоскости чертежа .

Для описания точечной группы симметрии достаточно задать одну или неск. порождающих её операций симметрии, остальные её операции (если они есть) возникнут в результате взаимодействия порождающих. Напр., для кварца (рис. 1, а) порождающими операциями являются 3 и одна из операций 2, а всего операций в этой группе 6. В международные обозначения групп входят символы порождающих операций симметрии. Точечные группы объединяются по точечной симметрии формы элементарной ячейки (с периодами а, Ь, с и углами) в 7 сингоний (табл. 1).

Группы, содержащие кроме гл. оси N плоскости симметрии т , обозначаются как N/m , если или Nm , если ось лежит в плоскости т . Если группа помимо гл. оси имеет неск. проходящих через неё плоскостей симметрии, то она обозначается Nmm .

Табл. 1.-Точечные группы (классы) симметрии кристаллов

Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие отражения или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в К-рых есть зеркально равные части (группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах («правой» и «левой», каждая из к-рых не содержит элементов симметрии 2-го рода), но зеркально-равных друг другу (см. Энантиоморфизм ).

Группы С. к. несут в себе геом. смысл: каждой из операций соответствует, напр., поворот вокруг оси симметрии, отражение в плоскости. Нек-рые точечные группы в смысле теории групп, учитывающей лишь правила взаимодействия операций в данной группе (но не их геом. смысл), оказываются одинаковыми, или изоморфными друг другу. Таковы, напр., группы 4 и, тт2 , 222. Всего имеется 18 абстрактных групп, изоморфных одной или нескольким из 32 точечных групп С. к.

Предельные группы. Ф-ции, к-рые описывают зависимость различных свойств кристалла от направления, имеют определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огра-нения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше неё по симметрии (Неймана принцип ).

В отношении макроскопич. свойств кристалл может описываться как однородная непрерывная среда. Поэтому многие из свойств кристаллов, принадлежащих к тем или иным точечным группам симметрии, описываются т. н. предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые символом. Наличие оси означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в т. ч. бесконечно малый, угол. Таких групп 7 (рис. 5). Т. о., всего имеется 32 + 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу симметрии кристаллов, можно указать возможность наличия или отсутствия в нём нек-рых физ. свойств (см. Кристаллофизика ).

Рис. 5. Стереографические проекции 32 кристаллографических и 2 икосаэдрических групп. Группы расположены в колонки по семействам, символы которых даны в верхнем ряду. В нижнем ряду указана предельная группа каждого семейства и изображены фигуры, иллюстрирующие предельную группу .

Пространственные группы симметрии . Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов описывается пространственными группами симметрии . Они наз. также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова; эти группы были независимо выведены в том же году А. Шёнфлисом (A. Schoenflies). В противоположность точечным группам, к-рые были получены как обобщение закономерностей форм кристаллич. многогранников (С. И. Гессель, 1830, А. В. Гадолин, 1867), пространственные группы явились продуктом математическо-геом. теории, предвосхитившей эксперим. определения структуры кристаллов с помощью дифракции рентг. лучей.

Характерными для атомной структуры кристаллов операциями являются 3 некомпланарные трансляции а, b, с, к-рые и задают трёхмерную периодичность кристаллич. решётки. Кристаллич. решётка рассматривается как бесконечная во всех трёх измерениях. Такое матем. приближение реально, т. к. число элементарных ячеек в наблюдаемых кристаллах очень велико. Перенос структуры на векторы а, Ь, с или любой вектор где p 1 , p 2 , р 3 - любые целые числа, совмещает структуру кристалла с собой и, следовательно, является операцией симметрии (трансляционная симметрия).

Физ. дискретность кристаллич. вещества выражается в его атомном строении. Пространственные группы - это группы преобразования в себя трёхмерного однородного дискретного пространства. Дискретность заключается в том, что не все точки такого пространства симметрически равны друг другу, напр. атом одного и атом др. сорта, ядро и электроны. Условия однородности и дискретности определяет тот факт, что пространственные группы - трёхмерно периодические, т. е. любая группа содержит подгруппу трансляций Т - кристаллич. решётку.

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах кроме операций точечной симметрии возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляц. компонентой - винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д, е) .

В соответствии с точечной симметрией формы элементарной ячейки (элементарного параллелепипеда) пространственные группы, как и точечные, подразделяются на 7 кристаллографических сингоний (табл. 2). Дальнейшее их подразделение соответствует трансляц. группам и соответствующим им Враве решёткам . Решёток Браве 14, из них 7 - примитивные решётки соответствующих сингоний, они обозначаются Р (кроме ромбоэдрической R) . Другие-7 центриров. решёток: базо (боко) - центрированные А (центрируется грань bc), В (грань ас), С (аb); объёмноцентрнрованные I, гранецентрированные (по всем 3 граням) F . С учётом центрировки к оперирации трансляций t добавляются соответствующие центру центрирующие переносы t c . Если комбинировать друг с другом эти операции t + t с и с операциями точечных групп соответствующей сингоний, то получаются 73 пространственные группы, наз. симморфными.

Табл. 2.-Пространственные группы симметрии

На основе определённых правил из симморфных пространственных групп можно извлечь нетривиальные подгруппы, что даёт ещё 157 несимморфных пространственных групп. Всего пространственных групп 230. Операции симметрии при преобразовании точки х в симметрично равную ей (а значит. и всего пространства в себя) записываются в виде: , где D - точечные преобразования, - компоненты винтового переноса или скользящего отражения, - операции трансляц. группы Браве. Операции винтовой симметрии и соответствующие им элементы симметрии - винтовые оси имеют угл. компоненту (N = 2, 3, 4, 6) и трансляционную t s = tq/N , где t - трансляция решётки, поворот на происходит одновременно с трансляцией вдоль оси Ж, q - индекс винтового поворота. Общий символ винтовых осей N q (рис. 6). Винтовые оси направлены вдоль гл. осей или диагоналей элементарной ячейки. Оси 3 1 и 3 2 , 4 1 и 4 3 , 6 1 и 6 5 , 6 2 и 6 4 соответствуют попарно правым и левым винтовым поворотам. Кроме операции зеркальной симметрии в пространственных группах возможны также плоскости скользящего отражения а, Ь, с: отражение сочетается с переносом на половину соответствующего периода решётки. Переносу на половину диагонали грани ячейки соответствует т. н. клиноплоскость скольжения n, кроме того, в тетрагональных и кубич. группах возможны «алмазные» плоскости d .

Рис. 6. а - Графические обозначения винтовых осей, перпендикулярных плоскости рис.; б - винтовая ось, лежащая в плоскости рис.; в - плоскости скользящего отражения, перпендикулярные плоскости рис., где а, b, с - периоды элементарной ячейки, вдоль осей которой происходит скольжение (трансляционная компонента а/2), п - диагональная плоскость скользящего отражения [трансляционная компонента (а + b)/2], d - алмазная плоскость скольжения ; г - то же в плоскости рисунка .

В табл. 2 даны интернациональные символы всех 230 пространственных групп в соответствии с их принадлежностью к одной из 7 сингоний и классу точечной симметрии.

Трансляц. компоненты операций микросимметрии пространственных групп макроскопически в точечных группах не проявляются; напр., винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 группмакроскопически сходственна (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп. Напр., на точечную группу- ттт гомоморфно отображаются 28 пространственных групп.

Обозначения Шёнфлиса пространственных групп - это обозначение соответственной точечной группы (напр., , табл. 1), к-рому сверху приписан принятый исторически порядковый номер, напр. . В международных обозначениях указывается символ решётки Браве и порождающие операции симметрии каждой группы - и т. д. Последовательность расположения пространственных групп в табл. 2 в международных обозначениях соответствует номеру (верхнему индексу) в обозначениях Шёнфлиса.

На рис. 7 дано изображение пространств. группы - Рпта согласно Интернациональным кристаллографич. таблицам. Операции (и соответствующие им элементы) симметрии каждой пространственной группы, указываемые для элементарной ячейки, действуют на всё кристаллич. пространство, всю атомную структуру кристалла и друг на друга.

Рис. 7. Изображение группы- Рпта в Интернациональных таблицах .

Если задать внутри элементарной ячейки к--н. точку х (x 1 x 2 x 3) , то операции симметрии преобразуют её в симметрично равные ей точки во всём кристаллич. пространстве; таких точек бесконечное множество. Но достаточно описать их положение в одной элементарной ячейке, и эта совокупность уже будет размножаться трансляциями решётки. Совокупность точек, выводимых из данной операциями g i группы G - х 1 , x 2 ,...,x n-1 , наз. правильной системой точек (ПСТ). На рис. 7 справа дано расположение элементов симметрии группы, слева - изображение ПСТ общего положения этой группы. Точки общего положения - это такие точки, к-рые не расположены на элементе точечной симметрии пространственной группы. Число (кратность) таких точек равно порядку группы. Точки, расположенные на элементе (или элементах) точечной симметрии, образуют ПСТ частного положения и обладают соответственной симметрией, количество их в целое число раз меньше кратности ПСТ общего положения. На рис. 7 слева кружками указаны точки общего положения, их внутри элементарной ячейки 8, символы «+» и «-», «1/2+» и «1/2-» означают соответственно координаты +z, -z, 1/2 + z, 1/2 - z. Запятые пли их отсутствие означают попарное зеркальное равенство соответствующих точек относительно плоскостей симметрии т, имеющихся в данной группе при у = 1/4 и 3/4. Если же точка попадает на плоскость т, то она этой плоскостью не удваивается, как в случае точек общего положения, и число (кратность) таких точек частного положения 4, их симметрия -m. То же имеет место при попадании точки в центры симметрии.

Для каждой пространственной группы имеются свои совокупности ПСТ. Правильная система точек общего положения для каждой группы одна. Но нек-рые из ПСТ частного положения могут оказаться одинаковыми для различных групп. В Интернациональных таблицах указаны кратность ПСТ, их симметрия и координаты и все др. характеристики каждой пространственной группы. Важность понятия ПСТ состоит в том, что в любой кристаллич. структуре, принадлежащей данной пространственной группе, атомы или центры молекул располагаются по ПСТ (одной или нескольким). При структурном анализе распределение атомов по одной или неск. ПСТ данной пространственной группы производится с учётом хим. ф-лы кристалла и данных дифракц. эксперимента, позволяет находить координаты точек частных или общих положений, в к-рых расположены атомы. Поскольку каждая ПСТ состоит из одной или кратного числа решёток Браве, то и расположение атомов можно представлять себе как совокупность «вдвинутых друг в друга» решёток Браво. Такое представление эквивалентно тому, что пространственная группа содержит в себе как подгруппу трансляц. группу Браве.

Подгруппы групп симметрии кристаллов . Если часть операции к--л. группы сама образует группу G r (g 1 ,...,g m), , то последняя наз. подгруппой первой. Напр., подгруппами точечной группы 32 (рис. 1, а) являются группа 3 и группа 2 . Также и среди пространств. групп существует иерархия подгрупп. Пространственные группы могут иметь в качестве подгрупп точечные группы (таких пространственных групп 217) и подгруппы, к-рые являются пространственными группами более низкого порядка. Соответственно существует иерархия подгрупп.

Роль пространственных групп симметрии кристаллов . Пространственные группы симметрии кристаллов- основа теоретич. кристаллографии , дифракционных и иных методов определения атомной структуры кристаллов и описания кристаллич. структур.

Дифракционная картина, получаемая методом рентгенографии, нейтронографии или электронографии ,позволяет установить симметрийные и геом. характеристики обратной решётки кристалла, а следовательно и самой структуры кристалла. Так определяют точечную группу кристалла и элементарную ячейку; по характерным погасаниям (отсутствие определённых дифракционных рефлексов) определяют тип решётки Браве и принадлежность к той или иной пространственной группе. Размещение атомов в элементарной ячейке находят по совокупности интенсивностей дифракционных рефлексов.

Большую роль играют пространственные группы в кристаллохимии . Определено более 100 тыс. кристаллич. структур неорганич., органич. и биологич. соединений. Любой кристалл относится к одной из 230 пространственных групп. Оказалось, что почти все пространственные группы реализованы в мире кристаллов, хотя одни из них встречаются чаще, другие реже. Имеется статистика распространённости пространственных групп по различным видам хим. соединений. Пока не найдены среди исследованных структур лишь 4 группы: Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1 , Р6тп . Теория, объясняющая распространённость тех пли иных пространственных групп, учитывает размеры составляющих структуру атомов, понятия плотной упаковки атомов или молекул, роль «упаковочных» элементов симметрии - плоскостей скольжения и винтовых осей.

В физике твёрдого тела используется теория представлений групп с помощью матриц и спец. ф-ций, для пространственных групп эти ф-ции периодичны. Так, в теории структурных фазовых переходов 2-го рода пространственная группа симметрии менее симметричной (низкотемпературной) фазы является подгруппой пространственной группы более симметричной фазы и фазовый переход связан с одним из неприводимых представлений пространственной группы высокосимметричной фазы. Теория представлений позволяет также решать задачи динамики кристаллической решётки , её электронной и магн. структур, ряда физ. свойств. В теоретич. кристаллографии пространственные группы позволяют развить теорию разбиения пространства на равные области, в частности полиэдрические.

Симметрия проекций, слоев и цепей . Проекции кристаллич. структур на плоскость описываются плоскими группами, их число - 17. Для описания трёхмерных объектов, периодических в 1 или 2 направлениях, в частности фрагментов структуры кристаллов, могут быть использованы группы - двумерно периодические и - одномерно периодические. Эти группы играют важную роль в изучении биологич. структур и молекул. Напр., группыописывают строение биологич. мембран, группы- цепных молекул (рис. 8, а) , палочкообразных вирусов, трубчатых кристаллов глобулярных белков (рис. 8, б) , в к-рых молекулы уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах (см. Биологический кристалл ).

Рис. 8. Объекты со спиральной симметрией: а - молекула ДНК; б - трубчатый кристалл белка фосфорилазы (электронно-микроскопический снимок, увеличение 220 000) .

Структура квазикристаллов . Квазикристалля (напр., А1 86 Мn 14) имеют икосаэдрич. точечную симметрию (рис. 5), к-рая невозможна в кристаллнч. решётке. Дальний порядок в квазикристаллах - квазипериодический, описываемый на основе теории почти периодич. ф-ций. Структура квазикристаллов может быть представлена как проекция на трёхмерное пространство шестимерной периодич. кубич. решётки с осями 5-го порядка. Квазикристаллы с пятимерной симметрией в высшем измерении могут иметь 3 типа решёток Браве (примитивную, объёмноцентрированную и гранецентрированную) и 11 пространственных групп. Др. возможные типы квазикристаллов - укладки в стопку двумерных сеток атомов с осями 5-, 7-, 8-, 10-, 12-го... порядков, с периодичностью вдоль третьего перпендикулярного сеткам направления.

Обобщённая симметрия . В основе определения симметрии лежит понятие равенства (1,б) при преобразовании (1,а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Напр., распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нём магн. моментов (рис. 9), то «обычной», классич. симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относятся а н т и с и м м е т р и я и цветная сниметрия.

Рис. 9. Распределение магнитных моментов (стрелки) в элементарной ячейке ферримагнитного кристалла, описываемое с помощью обобщённой симметрии .

В антисимметрии в дополнение к трём пространственным переменным х 1 , х 2 , х 3 вводится добавочная, 4-я переменная . Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1,а) функция F может быть не только равна себе, как в (1,б), но и «антиравна» - изменит знак. Существует 58 групп точечной антисимметрии и 1651 пространственная группа антисимметрии(шубнпковские группы).

Если добавочная переменная приобретает не два значения, а больше (возможны 3,4,6,8, ..., 48) , то возникает т. н. цветная симметрия Белова.

Так, известна 81 точечная группа и 2942 группы . Осн. приложения обобщённой симметрии в кристаллографии - описание магн. структур.

Найдены и др. группы антисимметрии (кратной и др.). Теоретически выведены и все точечные и пространственные группы четырёхмерного пространства и более высоких измерений. На основе рассмотрения симметрии (3 + К)-мерного пространства можно также описывать несоразмерные в трёх направлениях модулиров. структуры (см. Несоразмерная структура ).

Др. обобщение симметрии - симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием (рис. 10), криволинейная симметрия, статистич. симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твёрдых растворов, жидких кристаллов и др.

Рис. 10. Фигура, обладающая симметрией подобия .

Лит.: Шубников А. В., К о п ц и к В. А., Симметрия в науке и искусстве, 2 изд., М., 1972; Федоров E.С., Симметрия и структура кристаллов, М., 1949; Шубников А. В., Симметрия и антисимметрия конечных фигур, М., 1951; International tables for X-ray crystallography, v. 1 - Symmetry groups, Birmingham, 1952; Ковалев О. В., Неприводимые представления пространственных групп, К., 1961; В е й л ь Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Современная кристаллография, т. 1 - Вайнштейн Б. К., Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии, М., 1979; Г а л и у л и н Р. В., Кристаллографическая геометрия, М., 1984; International tables for crystallography, v. A - Space group symmetry, Dordrecht - , 1987. Б . К. Вайнштейн .

Категории

Выбор редакции

Симметрия кристаллов. Атомная структура твердых тел Экспериментальная работа «Выращивание кристаллов»

1. Структура и симметрия кристаллов.

А. И. Сёмке ,
, МОУ СОШ № 11, Ейское УО, г. Ейск, Краснодарский кр.

Симметрия кристаллов

Поиск

Подписка

Популярные записи

Последние записи

Категории

Выбор редакции

Симметрия кристаллов. Атомная структура твердых тел Экспериментальная работа «Выращивание кристаллов»

1. Структура и симметрия кристаллов.

А. И. Сёмке ,, МОУ СОШ № 11, Ейское УО, г. Ейск, Краснодарский кр.

Симметрия кристаллов

Поиск

Подписка

Популярные записи

Последние записи

А. И. Сёмке ,
, МОУ СОШ № 11, Ейское УО, г. Ейск, Краснодарский кр.