Спектроскопия ЯМР высокого разрешения в органической и металлорганической химии. Когерентные волны Когерентность определение
Фазовая когерентность
Экспериментальное подтверждение (14). Из этого уравнения следует, то можно увеличить, либо увеличив амплитуду компонента B i , либо увеличив продолжительность импульса . В экспериментах Фриболина с образцом H 2 O увеличивали с интервалом 1 мкс, а B i выдерживали постоянной. Из полученных результатов следует, что максимум амплитуды соответствует
Что касается заселенностей энергетических уровней, то при ситуация обращается и на верхнем энергетическом уровне ядер будет больше, чем на нижнем.
При имеем более сложную ситуацию, т.к. M 2 = 0 и оба зеемановских уровня заселены равным образом. Этот случай отличается от насыщения, т.к. в данной ситуации у нас M y" имеется, а при насыщении - нет. Появление поперечной намагниченности в данном случае объясняется тем, что под влиянием B 1 ядерные диполи прецессируют вокруг двойного конуса не равномерно, а образуя "редкие" и "плотные" фракции, прецессирующие "по фазе". Это явление называется "фазовой когерентностью. |
Когерентност ь (от латинского cohaerens – находящийся в связи) рассматривается как согласованное протекание во времени нескольких колебательных или волновых процессов, проявляющееся при их сложении. Колебания называют когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени и при сложении колебаний определяет амплитуду суммарного колебания. Два гармонических (синусоидальных) колебания одной частоты когерентны.
При сложении двух гармонических колебаний с одинаковой частотой, но с различными амплитудами A 1 и A 2 и фазами φ 1 и φ 2 образуется гармоническое колебание той же частоты ν :
причем амплитуда результирующих колебаний
а фазовый сдвиг
Амплитуда результирующих колебаний может изменяться от A 1 + A 2 до A 1 - A 2 в зависимости от разности фаз φ 1 - φ 1 .
Когерентность проявляется как свойство двух (или большего числа) колебательных процессов, способных при сложении взаимно усиливать или ослаблять эффект взаимодействия.
Вынужденное излучение фотонов имеет существенные особенности. Во-первых, частота кванта света, излученного под действием внешнего монохроматического поля, точно совпадает с частотой внешнего поля. Во-вторых, направление распространения и поляризация излученного фотона совпадают с направлением распространения и поляризацией внешнего электромагнитного поля, вызывающего излучение. Таким образом, излучения отдельных элементарных излучателей, находящихся под действием общего внешнего поля, будут когерентными. Эти особенности вынужденного излучения квантов света характерны для активной среды лазеров и эффективно используются для усиления и формирования мощного монохроматического излучения.
Для пояснения понятия когерентности удобно воспользоваться волновым представлением света. На рис. 6 излучение изображено в виде «элементарных волн», зарождающихся в активной среде; их обычно называют цугами. Ситуация на рис. 3.13а соответствует некогерентному свету, а на рис. 3.13б - идеально когерентному. В последнем случае все волновые цуги распространяются в одном и том же направлении, имеют одинаковую длину волны и находятся в фазе друг с другом. Все это есть следствие вынужденного испускания света. При вынужденном испускании вторичный цуг точно копирует первичный цуг по направлению распространения, по длине волны, по фазе. На рис. 3.13б штриховой прямой показана поверхность одинаковой фазы (волновой фронт).
Рисунок.3.13 Схема распространения некогерентного (а) и когерентного (б) света
Когерентность лазерного луча проявляется, в частности, в исключительно высокой степени его монохроматичности, а также в очень малой расходимости лазерного луча.
Направленность
Направленность является одним из основных свойств излучения лазеров. Направленным является излучение, распространяющееся в пределах небольшого телесного угла.
Мерой параллельности излучения является расходимость лазерного пучка.
Расходимость лазерного излучения – это плоский θ или телесный угол с вершиной, совпадающей с точкой пересечения оси резонатора с плоскостью перетяжки.
Эту расходимость также называют угловой. Пространственные параметры лазерного пучка получают экспериментальным путем или рассчитывают по известным параметрам резонатора. Связь параметров пучка с параметрами резонатора определяется типом резонатора.
На рис. 3.14 представлен конфокальный резонатор, состоящий из двух зеркал 1, 2 с радиусами r 1 и r 2 соответственно. В случае r 1 = r 2 перетяжка излучения будет находиться в центре резонатора, ее диаметр (для одномодового излучения) определяется выражением:
где = 2 /λ - волновое число; d - длина резонатора.
Диаметр излучения на расстоянии z от перетяжки выражается формулой:
.
Рисунок 3.14 – Схема конфокального резонатора
Расходимость пучка при равномерном распределении энергии, что соответствует многомодовому характеру излучения, определяется равенством:
где 2у - размер диафрагмы на выходном зеркале; k Ф - коэффициент, зависящий от распределения энергии и формы активного элемента.
При равномерном распределении энергии для круглой диафрагмы k Ф = 1, для гауссового пучка k Ф = 1,22.
Без применения дополнительных оптических систем расходимость газовых лазеров составляет единицы угловых минут, твердотельных – до нескольких десятков минут, полупроводниковых – до десятков градусов.
Расходимость пучка можно уменьшить путем его коллимации с фокусировкой лазерного пучка (в фокусе оптической системы помещают диафрагму малого диаметра - пространственный фильтр) и без фокусировки лазерного пучка - путем пропускания пучка через телескоп (рис. 3.15), который преобразует параллельный пучок лучей, входящий в систему, также в параллельный пучок лучей на выходе из нее с увеличенной апертурой (диаметром) пучка.
Рисунок 3.15 – Коллимация пучка с помощью двухлинзового телескопа
При этом расходимость лазерного излучения обратно пропорциональна увеличению β используемого телескопа (β = D2/D1):
где 1,2 - расходимость пучка на входе в телескоп и на выходе из него соответственно;D 1 , D 2 - диаметр пучка на входе в телескоп и на выходе из него соответственно. При этом лазерный пучок должен полностью заполнять телескоп.
Минимальное достижимое значение расходимости определяется дифракционными явлениями оптического волнового фронта на выходном компоненте коллимирующей системы.
В технической характеристике (паспорте) обычно указывают в качестве расходимости угол 2θ.
Интенсивность
Понятие интенсивности применяется для оценки фотометрических величин, с помощью которых характеризуется излучение лазера: силы излучения, яркости, потока и т.д. При больших значениях этих величин обычно утверждается, что излучение является интенсивным. Излучение лазера, благодаря высокой степени направленности излучения, может быть интенсивным даже в том случае, когда мощность излучения сравнительно невелика.
Сила излучения лазера характеризует пространственную плотность потока излучения, то есть величину лучистого потока, приходящегося на единицу телесного угла, в котором распространяется излучение, и определяется по формуле:
где Фэ - мощность излучения, Вт; Ω=α 2 - телесный угол, стер; α - апертурный угол конуса, которым образован телесный угол, рад.
При одномодовом излучении лазера, расходимость которого 2θ (телесный угол соответственно равен α = 4θ 2), сила излучения в направлении, характеризуемом апертурным углом 2θ к оси, равна
Если сравнивать, например, по силе излучения лампу накаливания и лазер, то при одной и той же потребляемой мощности лазеры оказываются более интенсивными, обладая более низким КПД. Например, лампа накаливания мощностью 66 Вт обладает средней силой излучения
а лазер типа ЛГ-55 с потребляемой мощностью 66 Вт, мощностью излучения 2 10 -3 Вт и расходимостью 10" характеризуется силой излучения
Вт/стер.
Поток излучения (мощность лазера) Фэ представляет энергию вынужденного излучения (энергию генерации), проходящего через поперечное сечение в единицу времени: Фэ = dQe/dt . Если излучение происходит на основной моде, то величина потока Фэ определяется соотношением радиуса рассматриваемого сечения r и размера пятна моды ω:
где Ф 0 - полный поток лазера, измеренный при r>>ω.
Переход энергетической величины потока (Вт) к световому (лм) осуществляется по формуле
Ф=638Фэ ,
где 683 лм/Вт - световой эквивалент лучистой энергии на длине волны, соответствующей максимуму чувствительности глаза (λ = 0,55 мкм).
Переход от светотехнической величины потока к энергетической осуществляется по формуле
Фэ=АФ ,
где А = 0,00146 Вт/лм - механический эквивалент света (А = 1/683).
При импульсном излучении режим регулярной последовательности импульсов характеризуется средним потоком излучения, то есть средним значением потока за заданный промежуток времени:
Фср=Фи∆t/T ,
где Фи - поток в импульсе; ∆t - длительность импульса; Т - период повторения импульсов.
В допечатных процессах при записи изображения осуществляют управление интенсивностью лазерного луча по принципу «да - нет», при котором интенсивность меняется от максимального значения до нуля, для формирования печатающих или пробельных элементов формы, а также для приведения в соответствие интенсивности с свето- или термочувствительностью записываемых материалов. Для управления интенсивностью служат специальные устройства – модуляторы излучения.
(от лат. cohaerens- находящийся в связи), согласованное протекание во времени и в пр-ве неск. колебат. или волн. процессов, проявляющееся при их сложении. Колебания наз. когерентными, если разность их фаз остаётся постоянной (или закономерно изменяется) во времени и при сложении колебаний определяет амплитуду суммарного . Гармонич. колебание описывается выражением:
Р(t)=Acos(wt+j), (1)
где Р - изменяющаяся величина (смещение маятника, напряжённость электрич. и магн. полей и т. д.), а амплитуда А, частота со и j - константы. При сложении двух гармонич. колебаний с одинаковой частотой со, но разными амплитудами A1 и А2 и фазами j1 и j2 образуется гармонич. колебание той же частоты. Амплитуда результирующего колебания
Ар =?(A21+A22+2A1A2cos(j1-j2)) (2)
может изменяться в пределах от A1+A2 до AI-A2 в зависимости от разности фаз j1-j2 (рис.).
В действительности идеально гармонич. колебания неосуществимы. В реальных колебат. процессах амплитуда, частота и могут непрерывно хаотически изменяться во времени.
Сложение двух гармонич. колебаний (пунктир) с амплитудами A1 и A2 при разл. разностях фаз. Результирующее колебание - сплошная линия.
Если фазы двух колебаний j1 и j2 изменяются беспорядочно, но их разность j1-j2 остаётся постоянной, то амплитуда суммарного колебания определяется разностью фаз складываемых колебаний, т. е. колебания когерентны. Если разность фаз двух колебаний изменяется очень медленно, то в этом случае колебания остаются когерентными лишь в течение нек-рого времени, пока их разность фаз не успела измениться на величину, сравнимую с я.
Если сравнивать фазы одного и того же колебания в разные времени, разделённые интервалом т, то при достаточно большом т случайное изменение фазы колебания может превысить л. Это означает, что через т гармонич. колебание «забывает» свою первонач. фазу и становится некогерентным «самому себе». С ростом т К. обычно ослабевает постепенно. Для количеств, хар-ки этого явления вводят ф-цию R (t), наз. функцией корреляции. Результат сложения двух колебаний, полученных от одного источника и задержанных друг относительно друга на время t, можно представить с помощью R (t) в виде:
Ар = ?(A21+A22+2A1A2R (t)coswt) , (3)
где w - ср. частота колебания. Ф-ция R(t)=1 при t=0 и обычно спадает до 0 при неогранич. росте t. Значение т, при к-ром R(t)=0,5, наз. временем когерентности или продолжительностью гармонич. цуга. По истечении одного гармонич. цуга колебаний он как бы заменяется другим с той же частотой, но с другой фазой.
Хар-р и св-ва колебат. процесса существенно зависят от условий его возникновения. Напр., излучаемый газовым разрядом в виде узкой . линии, может быть близок к монохроматическому. Излучение такого источника складывается из волн, посылаемых разл. ч-цами независимо друг от друга и поэтому с независимыми фазами (спонтанное излучение). В результате амплитуда и фаза суммарной хаотически изменяются с характерным временем, равным времени К. Изменения амплитуды суммарной волны велики: от 0, когда исходные волны гасят друг друга, до макс. значения, когда соотношение фаз исходных волн благоприятствует их сложению. Колебания, возникающие в автоколебат. системе, напр. в ламповом или транзисторном генераторах, лазере, имеют др. структуру. В первых двух частота и фаза колебаний хаотически изменяются, но результирующая амплитуда поддерживается постоянной. В лазере все ч-цы излучают согласованно (вынужденное излучение), синфазно с колебанием, установившимся в резонаторе. Соотношения фаз слагающих колебаний всегда благоприятны для образования устойчивой амплитуды суммарного колебания. Термин «К.» иногда означает, что колебание порождено автоколебат. системой и имеет стабильную амплитуду.
При распространении плоской эл.-магн. волны в однородной среде фаза колебаний в к.-н. определ. точке пр-ва сохраняется только в течение времени К. t0. За это время волна распространяется на расстояние ct0. При этом колебания в точках, удалённых друг от друга на расстояние, большее ct0, вдоль направления распространения волны, оказываются некогерентными. Расстояние, равное ct0 вдоль направления распространения плоской волны, наз. длиной К. или длиной цуга.
Идеально неосуществима, как и идеально гармонич. колебание. В реальных волн. процессах амплитуда и фаза колебаний изменяются не только вдоль направления распространения волны, но и в плоскости, перпендикулярной этому направлению. Случайные изменения разности фаз в двух точках, расположенных в этой плоскости, увеличиваются с расстоянием между ними. К. колебаний в этих точках ослабевает и на нек-ром расстоянии l, когда случайные изменения разности фаз становятся сравнимыми с я, исчезает. Для описания когерентных св-в волны в плоскости, перпендикулярной направлению её распространения, применяют термины площадь К. и пространственная К., в отличие от временной К., связанной со степенью монохроматичности волны. Количественно пространств. К. также можно характеризовать ф-цией корреляции RI(l). Условие Rf(l)=0,5 определяет размер или радиус К., к-рый может зависеть от ориентации отрезка l в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Всё пр-во, занятое волной, можно разбить на области, в каждой из к-рых волна сохраняет К. Объём такой области (объём К.) принимают равным произведению длины цуга на площадь фигуры, ограниченной кривой RI(l)=0,5RI(0).
Нарушение пространств. К. связано с особенностями процессов излучения и формирования волн. Напр., нагретое тело излучает совокупность сферич. волн, распространяющихся по всем направлениям. По мере удаления от теплового источника конечных размеров волна приближается к плоской. На больших расстояниях от источника размер К. равен l,22lr/r, где r - расстояние до источника, r - размер источника. Для солн. света размер К. равен 30 мкм. С уменьшением утл. размера источника размер К. растёт. Это позволяет определить размер звёзд по размеру площади К. приходящего от них света. Величину l/r наз. углом К. С удалением от источника интенсивность света убывает пропорц. 1/r2. Поэтому с помощью нагретого тела нельзя получить интенсивное , обладающее большой пространств. К. Световая волна, излучаемая лазером, формируется в результате вынужденного излучения во всём объёме активного в-ва. Поэтому пространств. К. лазерного излучения сохраняется во всём поперечном сечении луча.
Понятие «К.», возникшее первоначально в классич. оптике как хар-ка, определяющая способность света к интерференции (см. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА), широко применяется при описании колебаний и волн любой природы. Благодаря квант. механике, распространившей волн. представления на все в микромире, понятие «К.» стало применяться к пучкам эл-нов, протонов, нейтронов и др. ч-ц. Здесь под К. понимают упорядоченные согласованные и направленные движения большого кол-ва квазинезависимых ч-ц. Понятие «К.» проникло также в теорию тв. тел (напр., гиперзвуковые фононы, (см. ГИПЕРЗВУК)) и квант. жидкостей. После открытия сверхтекучести жидкого гелия появилось понятие «К.», означающее, что макроскопич. кол-во атомов жидкого сверхтекучего гелия может быть описано единой волн. ф-цией, имеющей одно собств. значение, как будто это одна ч-ца, а не ансамбль огромного числа взаимодействующих ч-ц.
Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .
(от лат. cohaerens -находящийся в связи) - коррелированное протекание во времени и в пространстве неск. случайных колебат. или волновых процессов, позволяющее получить при их сложении чёткую интерференц. картину. Первоначально понятие К. возникло в оптике, однако оно относится к волновым полям любой природы: эл.-магн. волнам произвольного диапазона, упругим волнам, волнам в плазме, квантовомеханич. волнам амплитуды вероятностей и т. д.
Существование интерференц. картины является прямым следствием суперпозиции принципа
для линейных колебаний и волн. Однако в реальных условиях всегда существуют хаотич. волнового поля, в частности разности фаз взаимодействующих волн, что приводит к быстрому перемещению интерференц. картины в пространстве. Если через каждую точку за время измерения успевают многократно пройти максимумы и минимумы интерференц. картины, то зарегистрированное ср. значение интенсивности волны окажется в разл. точках одинаковым и интерференц. полосы расплывутся. Чтобы зарегистрировать чёткую интерференц. картину, необходима такая стабильность случайных фазовых соотношений, при к-рой смещение интерференц. полос за время измерения составляет лишь небольшую часть от их ширины. Поэтому качеств. понятие К. можно определить как необходимую стабильность случайных фазовых соотношений за время регистрации интерференц. картины.
Такое качеств. понятие К. в ряде случаев оказывается неудобным или недостаточным. Напр., при разл. способах регистрации интерференц. картины может оказаться, что необходимое для этого время различно, так что волна, когерентная по результатам одного эксперимента, некогерентна по результатам другого. В связи с этим удобно иметь количеств. меру степени когерентности, не зависящую от способа измерения интерференц. картины.
Если волновое описывается при помощи комплексной амплитуды , так что может быть, напр., аналитическим сигналом],
то функция взаимной когерентности второго порядка Г 2 определяется как ср. значение:
Черта сверху обозначает статистич. усреднение по флуктуациям волнового поля, причём флуктуировать могут как фаза, так и амплитуда волны; * означает комплексное сопряжение. Случайная (мгновенная) интенсивность ( энергии) волны пропорц. величине . Её ср. значение связано с Г 2 ф-лой . Ср. вектор плотности потока энергии S также выражается через Г":
Для многокомпонентного (напр., эл.- магн.) поля скалярная ф-ция Г 2 заменяется тензором второго ранга. Если суммарное волновое поле в нек-рой точке является результатом сложения исходных полей
То его ср. интенсивность выражается через и 1
и и 2
ф-лой
Величину
наз. комплексной степенью когерентно с-т и полей в пространственно-временных точках
И . Из (3) следует, что
Чёткость интерференц. картины непосредственно связана с величиной . Если интенсивности интерферирующих пучков одинаковы (чего всегда можно добиться в эксперименте), т. е. , то на основании (2) можно записать
Если представить в виде 
, то = =. Обычно в пределах интерференц. картины изменяется гораздо слабее, чем соs j. В этом случае максимумы распределения соответствуют тем местам, где , а минимумы - значениям , тогда , , а для относит. контраста пн-терференц. картины (её "видности")
получаем
Т. о., " " интерференц. картины непосредственно выражается через степень когерентности, т. е. в конечном счёте через ф-цию Г 2 . Максимально чёткой интерференц. картине, в к-рой , соответствует значение . Полностью замытой интерференц. картине, в к-рой 
, соответствует
Величину можно непосредственно измерить при помощи соотношения (4), если предварительно обеспечить равенство ср. интенсивностей . Величина определяет смещение интерференц. полос.
Из определения следует, что степень когерентности максимальна при совмещении точек наблюдения: . Характерный масштаб спадания ф-ции попеременной наз. временем когерентности.
Если при наложении волновых полей временной между ними мал по сравнению с , то может быть подучена чёткая интерференц. картина. В противоположном случае интерференция наблюдаться не будет. Величина также ограничивает время измерения интерференц. картины, о к-ром говорилось выше. Величина , где с -
скорость распространения волны рассматриваемого типа, наз. продольным радиусом когерентности (длиной когерентности).
Если рассмотреть волновой пучок с чётко выделенным направлением распространения, то при разнесении точек наблюдения поперёк этого направления ф-ция также будет убывать. Характерный масштаб спада-ния в этом случае наз. поперечным радиусом когерентности r 0
. Эта величина характеризует размер тех участков волнового фронта, от к-рых может быть получена чёткая интерференц. картина. По мере распространения волны в однородной среде величина r 0
возрастает за счёт дифракции (см. Ван-Циттерта-Цернике теорема).
Произведение характеризует объём когерентности, в пределах к-рого случайная фаза волны меняется на величину, не превосходящую
К. волновых полей можно исследовать и косвенным путём, изучая корреляцию флуктуации мгновенной интенсивности I
. При этом время измерения должно быть малым по сравнению с , а поперечный размер детектора - малым по сравнению с r 0 .
Корреляц. ф-цию флуктуации интенсивности -
Можно найти, если наряду с Г 2 известна и ф-ция К. четвёртого порядка:
Если u(r, t
)является гауссовым (напр., создаётся тепловым источником), причём 
(но, разумеется, ), то Г 4 можно выразить через Г 2 по ф-лам, справедливым для гауссовых случайных полей:
Поэтому для гауссовых волновых полей измерения величины B I
могут дать сведения о модуле степени К. (см. Интерферометр интенсивности).
В общем случае измерений интенсивности волнового поля в п
точках для описания результатов опыта достаточно знать ф-цию К. порядка 2п:
Эти же ф-ции описывают результаты экспериментов по статистике фотоотсчётов, когда измеряются корреляции чисел фотонов, зарегистрированных в разл. точках r 1 , . .
., r п.
Квантовые могут существенно исказить результаты интерференц. опыта, если полное число фотонов, зарегистрированных в максимуме интерференц. картины, невелико. Т. к. при осуществлении интерференц. опыта можно собрать излучение с площади, имеющей порядок величины , и проводить измерения в течение времени , то при этом будут использованы все фотоны из объёма , т. е. из объёма коге-рентпости. Если ср. число N
фотонов в объёме К., называемое параметром вырождения, велико, то квантовые флуктуации числа зарегистрированных фотонов относительно невелики () и не оказывают существ, влияния на результат измерений. Если же N
невелико, то эти флуктуации будут препятствовать измерениям.
Термин "К." употребляется и в более широком смысле. Так, в квантовой механике , для к-рых реализуется минимум в неопределённостей соотношении,
наз. когерентными состояниями.
В разл. областях физики термин "К." применяется для описания корре-лиров. поведения большого числа частиц (как это имеет место, напр., при сверхтекучести).
Термин "когерентные структуры" в разл. областях науки применяется для обозначения спонтанно возникающих устойчивых образований, сохраняющих нек-рые закономерные свойства на фоне хаотич. флуктуации.
Лит.: Вольф Э., Мандель Л., Когерентные свойства оптических полей, пер. с англ., "УФН", 1965, т. 87, с. 491; 1966, т. 88, с. 347, 619; О" Н е и л Э., Введение в статистическую оптику, пер. с англ., М., 1966; Борн М., Вольф Э. Основы оптики, пер. сангл., 2 изд., М., 1973; Клаудер Д ж. Сударшан Э., Основы квантовой оптики, пер. с англ. М., 1970; Перина Я., Когерентность света, пер. с англ. М., 1974. В. И. Татарский
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .
Синонимы :
Результат сложения двух гармонических колебаний зависит от разности фаз , которая меняется при переходе к другой пространственной точке. Возможны два варианта:
1) Если оба колебания не согласованы друг с другом, т.е. разность фаз изменяется с течением времени произвольным образом , то такие колебания называются некогерентными. В реальных колебательных процессах из-за непрерывного хаотического (случайного) изменения и среднее по времени значение , т.е. хаотическая смена таких мгновенных картин глазом не воспринимается и создается ощущение ровного потока света, не изменяющегося во времени. Поэтому амплитуда результирующего колебания выразится формулой:
Интенсивность результирующего колебания в этом случае равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности:
2) Если разность фаз постоянна во времени , то такие колебания (волны) называются когерентными (связанными).
В общем случае когерентными называются волны одинаковой частоты, у которых разность фаз .
В случае суперпозиции когерентных волн интенсивность результирующего колебания определяется формулой:
где - называется интерференционным членом, который и оказывает наибольшее влияние на результирующую интенсивность:
а) если , то результирующая интенсивность ;
б) если , то результирующая интенсивность .
Это значит, что если разность фаз складываемых колебаний остается постоянной в течение времени (колебания или волны являются когерентными), то амплитуда суммарного колебания в зависимости от принимает значения от при , , до , (Рис. 6.3) .
Более наглядно интерференция проявляется тогда, когда интенсивности складываемых колебаний равны:
Очевидно, что максимальная интенсивность результирующего колебания будет наблюдаться при и будет равна:
Минимальная интенсивность результирующего колебания будет наблюдаться при и будет равна:
Таким образом, при наложении гармонических когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других - минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией световых волн.
Интерференция характерна для волн любой природы. Особенно наглядно можно наблюдать интерференцию, например, для волн на поверхности воды или звуковых волн. Интерференция же световых волн в повседневной жизни встречается не так часто, так как ее наблюдение требует определенных условий, поскольку, во-первых, обычный свет естественный свет не является монохроматическим (фиксированной частоты) источником. Во-вторых, обычные источники света - некогерентные, поскольку при наложении световых волн от разных источников разность фаз световых колебаний изменяется с течением времени случайным образом , и устойчивой интерференционной картины не наблюдается. Для получения четкой интерференционной картины необходимо, чтобы накладываемые волны были когерентны.
Когерентность- согласованное протекание во времени и в пространстве нескольких колебательных или волновых процессов, проявляющееся при их сложении. Общий принцип получения когерентных волн состоит в следующем: волну, излучаемую одним источником света, разделяют каким-либо способом на две или более число вторичных волн, в результате чего эти волны когерентны (разность их фаз - величина постоянная, так как они "произошли" от одного источника). Затем после прохождения различных оптических путей эти волны каким-либо способом накладывают друг на друга и наблюдают интерференцию.
Пусть два точечных когерентных источника света и излучают монохроматический свет (Рис. 6.4). Для них должны выполнятся условия когерентности:
До точки P первый луч проходит в среде с показателем преломления путь , второй луч проходит в среде с показателем преломления - путь . Расстояния и от источников до наблюдаемой точки называются геометрические длины путей лучей. Произведение показателя преломления среды на геометрическую длину пути называется оптической длиной пути. и - оптические длины первого и второго лучей, соответственно.
Пусть и - фазовые скорости волн. Первый луч возбудит в точке P колебание:
а второй луч - колебание
Разность фаз колебаний, возбуждаемых лучами в точкеP , будет равна:
Т.к. (- длина волны в вакууме), то выражению для разности фаз можно придать вид
есть величина, называемая оптической разностью хода. При расчете интерференционных картин следует учитывать именно оптическую разность хода лучей, т.е. показатели преломления сред, в которых лучи распространяются.
Из выражения для разности фаз видно, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме
то разность фаз и колебания будут происходить с одинаковой фазой. Число называется порядком интерференции. Следовательно, это условие есть условие интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода равна полуцелому числу длин волн в вакууме
то , так что колебания в точке P находятся в противофазе. Это условие интерференционного минимума.
Итак, если на длине равной оптической разности хода лучей , укладывается четное число длин полуволн, то в данной точке экрана наблюдается максимум интенсивности. Если на длине оптической разности хода лучей укладывается нечетное число длин полуволн, то в данной точки экрана наблюдается минимум освещенности.
Если два пути лучей оптически эквивалентны, они называются таутохронными, а оптические системы - линзы, зеркала - удовлетворяют условию таутохронизма.
Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Степень согласованности может быть различной. Соответственно можно ввести понятие степени когерентности двух волн.
Различают времени у и пространственную когерентность. Мы начнем с рассмотрения временной когерентности.
Временная когерентность. Описанный в предыдущем параграфе процесс интерференции является идеализированным. В действительности этот процесс гораздо более сложен. Это обусловлено тем, что монохроматическая волна, описываемая выражением
где - константы, представляет собой абстракцию. Всякая реальная световая волна образуется наложением колебаний всевозможных частот (или длин волн), заключенных в более или менее узком, но конечном интервале частот (соответственно длин волн ). Даже для квазимонохроматического света (см. стр. 327) интервал частот является конечным. Кроме того, амплитуда волны А и фаза а претерпевают со временем непрерывные случайные (хаотические) изменения. Поэтому колебания, возбуждаемые в некоторой точке пространства двумя накладывающимися друг на друга световыми волнами, имеют вид
причем хаотические изменения функций являются совершенно независимыми.
где - некоторое среднее значение частоты, и введем обозначение: Тогда формула (120.2) примет вид
Мы получили функцию, у которой хаотические изменения претерпевает лишь фаза колебания.
С другой стороны, в математике доказывается, что негармоническую функцию, например функцию (120.2), можно представить в виде суммы гармонических функций с частотами, заключенными в некотором интервале Лео (см. формулу (120.4)).
Таким образом, при рассмотрении вопроса о когерентности возможны два подхода: «фазовый» и «частотный». Начнем с «фазового» подхода. Допустим, что частоты в формулах (120.1) удовлетворяют условию: , и выясним, какое влияние оказывает изменение фаз . В соответствии с формулой (119.2) интенсивность света в данной точке определяется выражением
где Последнее слагаемое в этой формуле носит название интерференционного члена.
Всякий прибор, с помощью которого можно наблюдать интерференционную картину (глаз, фотопластинка и т. п.), обладает некоторой инерционностью. В связи с этим он регистрирует картину, усредненную по некоторому промежутку времени Если за Время множитель принимает все значения от -1 до среднее значение интерференционного члена будет равно нулю. Поэтому регистрируемая прибором интенсивность окажется равной сумме интенсивностей, создаваемых в данной точке каждой из волн в отдельности, - интерференщ я отсутствует. Если же за время значение изменяется мало, прибор обнаружит интерференцию.
Пусть некоторая величина х изменяется скачками, равными причем приращения являются равновероятными. Такое поведение величины называется случайными блужданиями. Положим начальное значение равным нулю. Если после N шагов величина равна то после шага она будет равна причем оба знака равновероятны. Допустим, что случайные блуждания совершаются многократно, начинаясь каждый раз и найдем среднее значение Оно равно (удвоенное произведение при усреднении исчезает). Следовательно, независимо от значения N среднее значение увеличивается на Поэтому . Таким образом, величина, совершающая случайные блуждания, в среднем все больше удаляется от первоначального значения.
Фаза волны, образованной наложением огромного числа цугов, порождаемых отдельными атомами, не может совершать больших скачков. Она изменяется случайным образом небольшими шагами, т. е. совершает случайные блуждания. Время когд, за которое случайное изменение фазы волны достигает значения порядка называется временем когерентности. За это время колебание как бы забывает свою первоначальную фазу и становится некогерентным по отношению к самому себе.
Для примера укажем, что квазимонохроматический свет, содержащий длины волн в интервале , характеризуется порядка с. Излучение гелий-неонового лазера обладает порядка с.
Расстояние на которое перемещается волна за время , называется длиной когерентности (или длиной цуга). Длина когерентности есть то расстояние, на котором случайное изменение фазы достигает значения Для получения интерференционной картины путем деления естественной волны на две части необходимо, чтобы оптическая разность хода А была меньше, чем длина когерентности. Это требование ограничивает число видимых интерференционных полос, наблюдаемых по схеме, изображенной на рис. 119.2. С увеличением номера полосы разность хода растет, вследствие чего четкость полос делается все хуже и хуже.
Перейдем к выяснению роли немонохроматичности световых волн. Допустим, что свет состоит из последовательности идентичных цугов частоты и длительности . При смене одного цуга другим фаза претерпевает беспорядочные изменения, вследствие чего цуги оказываются взаимно некогерентными. При этих предположениях длительность цуга практически совпадает со временем когерентности .
В математике доказывается теорема Фурье, согласно которой любую конечную и интегрируемую функцию можно представить в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих с непрерывно изменяющейся частотой:
(120.4)
Выражение (120.4) называется интегралом Фурье. Стоящая под знаком интеграла функция представляет собой амплитуду соответствующей монохроматической составляющей. Согласно теории интегралов Фурье аналитический вид функции определяется выражением
(120.5)
где - вспомогательная переменная интегрирования.
Пусть функция описывает световое возмущение в некоторой точке в момент времени вызванное одиночным волновым цугом. Тогда она определяется условиями:
График вещественной части этой функции дан на рис. 120.1.
Вне интервала от до функция равна нулю. Поэтому выражение (120.5), определяющее амплитуды гармонических составляющих, имеет вид
После подстановки пределов интегрирования и несложных преобразований приходим к формуле
Интенсивность гармонической составляющей волны пропорциональна квадрату амплитуды, т. е. выражению
График функции (120.6) показан на рис. 120.2. Из рисунка видно, что интенсивность составляющих, частоты которых заключены в интервале значительно превосходит интенсивность остальных составляющих.
Это обстоятельство позволяет связать длительность цуга с эффективным частотным диапазоном фурье-спектра:
Отождествив со временем когерентности, придем к соотношению
(знак означает: «по порядку величины равно»).
Из соотношения (120.7) следует, что чем шире интервал частот, представленных в данной световой волне, тем меньше время когерентности этой волны.
Частота связана с длиной волны в вакууме соотношением Продифференцировав это соотношение, найдем, что (знак минус, получающийся при дифференцировании, мы опустили, кроме того, положили ). Заменив в формуле (120.7) его выражением через X и , получим для времени когерентности выражение
Отсюда для длины когерентности получается следующее значение:
Из формулы (119.5) вытекает, что разность хода, при которой получается максимум m-го порядка, определяется соотношением
Когда эта разность хода достигает значения порядка длины когерентности, полосы становятся неразличимыми. Следовательно, предельный наблюдаемый порядок интерференции определяется условием
(120.10)
Из (120.10) следует, что число интерференционных полос, наблюдаемых по схеме, изображенной на рис. 119.2, возрастает при уменьшении интервала длин волн, представленных в используемом свете.
Пространственная когерентность. Согласно формуле разбросу частот соответствует разброс значений k. Мы установили, что временная когерентность определяется значением ). Следовательно, временная когерентность связана с разбросом значений модуля волнового вектора к. Пространственная когерентность связана с разбросом направлений вектора к, который характеризуется величиной Де.
Возникновение в некоторой точке пространства колебаний, возбуждаемых волнами с разными , возможно в том случае, если эти волны испускаются разными участками протяженного (неточечного) источника света. Допустим для простоты, что источник имеет форму диска, видимого из данной точки под углом . Из рис. 120.3 видно, что угол характеризует интервал, в котором заключены орты е. Будем считать этот угол малым.
Пусть свет от источника падает на две узкие щели, за которыми находится экран (рис. 120.4).
Интервал частот, испускаемых источником, будем считать очень малым, для того чтобы степень временной когерентности была достаточной для получения четкой интерференционной картины. Волна, пришедшая от участка поверхности, обозначенного на рис. 120.4 через О, создает нулевой максимум М в середине экрана. Нулевой максимум , созданный волной, пришедшей от участка О, будет смешен от середины экрана на расстояние х. Вследствие малости угла и отношения можно считать, что
Нулевой максимум созданный волной, пришедшей от участка смещен от середины экрана в противоположную сторону на расстояние равное х. Нулевые максимумы от остальных участков источника располагаются между максимумами и
Отдельные участки источника света возбуждают волны, фазы которых никак не связаны между собой. Поэтому интерференционная картина, возникающая на экране, будет наложением картин, создаваемых каждым из участков в отдельности. Если смещение х много меньше ширины интерференционной полосы (см. формулу (119.10)), максимумы от разных участков источника практически наложатся друг на друга и картина будет такой, как от точечного источника. При максимумы от одних участков придутся на минимумы от других, и интерференционная картина наблюдаться не будет. Таким образом, интерференционная картина будет различимой при условии, что т. е.
При переходе от (120.11) к (120.12) мы опустили множитель 2.
Формула (120.12) определяет угловые размеры источника, при которых наблюдается интерференция. Из этой формулы можно также определить наибольшее расстояние между щелями, при котором можно еще наблюдать интерференцию от источника с угловым размером Умножив неравенство (120.12) на придем к условию
Совокупность волн с разными можно заменить результирующей волной, падающей на экран со щелями. Отсутствие интерференционной картины означает, что колебания, возбуждаемые этой волной в местах нахождения первой и второй щелей, некогерентны. Следовательно, и колебания в самой волне в точках, находящихся на расстоянии d друг от друга, являются некогерентными. Если бы источник был идеально монохроматическим (это значит, что поверхность, проходящая через щели, была бы волновой и колебания во всех точках этой поверхности происходили бы в одинаковой фазе. Мы установили, что в случае и конечных размеров источника ) колебания в точках поверхности, отстоящих на расстояние некогерентны.
Поверхность, которая была бы волновой при условии монохроматичности источника, будем для краткости называть псевдоволновой.
Мы могли бы удовлетворить условию (120.12), уменьшив расстояние между щелями d, т. е. взяв более близкие точки псевдоволновой поверхности. Следовательно, колебания, возбуждаемые волной в достаточно близких точках псевдоволновой поверхности, оказываются когерентными. Такая когерентность называется пространственной.
Итак, фаза колебания при переходе от одной точки псевдоволновой поверхности к другой изменяется беспорядочным образом. Введем расстояние рког, при смещении на которое вдоль псевдоволновой поверхности случайное изменение фазы достигает значения Колебания в двух точках псевдоволновой поверхности, отстоящих друг от друга на расстояние, меньшее будут приблизительно когерентными. Расстояние рког называется длиной пространственной когерентности или радиусом когерентности. Из (120.13) следует, что
Угловой размер Солнца составляет около 0,01 рад, длина световых волн равна примерно 0,5 мкм. Следовательно, радиус когерентности приходящих от Солнца световых волн имеет значение порядка
Все пространство, занимаемое волной, можно разбить на части, в каждой из которых волна приблизительно сохраняет когерентность. Объем такой части пространства, называемый объемом когерентности, по порядку величины равен произведению длины временной когерентности на площадь круга радиуса .
Пространственная когерентность световой волны вблизи поверхности излучающего ее нагретого тела ограничивается размером рког всего в несколько длин волн. По мере удаления от источника степень пространственной когерентности возрастает. Излучение лазера обладает огромной временной и пространственной когерентностью. У выходного отверстия лазера пространственная когерентность наблюдается во всем поперечном сечении светового пучка.
Можно было бы, казалось, наблюдать интерференцию, пропустив свет, распространяющийся от произвольного источника, через две щели в непрозрачном экране. Однако при малой пространственной когерентности падающей на щели волны пучки света, прошедшие через щели, окажутся некогерентными, и интерференционная картина будет отсутствовать. Юнг получил в 1802 г. интерференцию от двух щелей, увеличив пространственную когерентность падающего на щели света. Такое увеличение Юнг осуществил, пропустив предварительно свет через небольшое отверстие в непрозрачном экране.
Прошедшим через это отверстие светом освещались щели во втором непрозрачном экране. Таким способом Юнг впервые наблюдал интерференцию световых волн и определил длины этих волн.
